Tecniche statistiche di analisi del cambiamento

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1 Tecniche statistiche di analisi del cambiamento 05-Anova (bozza) (vers. 1.0, 27 novembre 2015) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

2 Analisi della varianza Analysis of variance (Anova, AOV) è una tecnica statistica che confronta due o più gruppi fra di loro È un estensione del t-test che si usa quando si hanno più di 2 gruppi La variabile dipendente dev essere quantitativa Le variabili indipendenti devono essere qualitative G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

3 Analisi della varianza Disegni a 1 via: quando c è una sola variabile indipendente (anova univariata) Disegni fattoriali: con 2 o più variabili indipendenti (anova multivariata) Disegni tra i soggetti (between subjects): quando, rispetto ad una VI, i soggetti sono misurati una sola volta (ad es. ansia misurata fra maschi e femmine) Disegni entro i soggetti (within subjects): quando, rispetto ad una VI, i soggetti sono misurati più di una volta (ad es. ansia prima e dopo un esame) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

4 Esempio empirico In un campione di persone abbiamo misurato l autoritarismo (variabile Y) usando la scala di Karen Stenner (5 item sulle cose importanti da insegnare ad un bambino, maggiore il punteggio, maggiore l autoritarismo) e l orientamento politico (su una scala da 1 a 10, da sinistra a destra) Raccogliamo i 10 punteggi dell orientamento politico in 3 categorie (variabile X): 1-3 => SX, 4-7 => Centro, 8-10 => DX L autoritarismo è uguale nei tre gruppi? Oppure ogni sottocampione (in base all orientamento politico) ha parametri della popolazione diversi? Se usassimo il t-test (differenza delle medie, dovremmo fare 3 confronti a coppie: SX vs. Centro, SX vs. DX, Centro vs. DX) Usiamo l analisi della varianza G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

5 Esempio empirico Stenner N Media Dev. std. Err. std. Minimo Massimo SX ,16 4,159 0, Centro ,63 4,391 0, Dx 80 15,94 5,321 0, Totale ,34 4,607 0, ANOVA univariata Somma Media quadrati df quadrati F Sig. Fra gruppi 433, ,622 10,68 0,000 Entro gruppi 8373, ,276 Totale 8807, C è almeno un gruppo che ha una media statisticamente diversa da quelle degli altri (cioè è stato estratto da una popolazione con parametri diversi) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

6 Esempio empirico Quale? Usiamo i confronti a posteriori Test post hoc - Sottoinsiemi omogenei Stenner Student-Newman-Keuls N Sottoinsieme per alfa = SX ,1623 Centro ,6319 Dx 80 15,9375 Sig. 1,000 1,000 1,000 Le tre medie sono tutte diverse fra di loro, ovvero i campioni su cui sono state calcolate sono stati estratti da popolazioni con parametri statistici diversi G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

7 Esempio empirico G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

8 La logica dell anova Possiamo pensare all autoritarismo (Y) come ad una variabile casuale il cui valore atteso è la sua media E(Y ) = µ y Tuttavia l orientamento politico (X) può influenzare l autoritarismo aggiungendo un certo valore Y sx = µ y + µ sx Y dx = µ y + µ dx e infine si aggiunge un possibile errore casuale (ε) che dipende da ogni singolo soggetto G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

9 La logica dell anova quindi il punteggio di ogni soggetto i appartenente al gruppo politico j è y ij = µ + α i + ε ij cioè dipende dalla media della variabile nella popolazione ˆµ = y da un fattore di correzione dovuto all influenza della variabile indipendente (fattore del trattamento) ˆα 1 = (ŷ i. ŷ.. ) e ad un errore dovuto al caso statistico (fattore di correzione) ˆε ij = (y ij ŷ i. ) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

10 La logica dell anova per l Anova assumiamo (fra l altro) che 1 normalità: la variabile dipendente (autoritarismo) sia quantitativa e che si distribuisca normalmente 2 omogeneità della varianza: i diversi campioni (in base alla v. indipendente) siano estratti dalla stessa popolazione e abbiano quindi varianza uguale fra loro e con quella della popolazione e quindi σ 2 1 = σ 2 2 = = σ 2 k σ 2 1 = s indipendenza dei soggetti: le osservazioni siano fra loro indipendenti e quindi le differenze individuali siano casuali G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

11 La logica dell anova Ipotizziamo che tutti i gruppi abbiano la stessa media H 0 : µ 1 = µ 2 L ipotesi alternativa sarà che almeno un gruppo ha media diversa dagli altri H 1 : µ i µ j per semplicità usiamo campioni di uguale numerosità G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

12 Una logica alternativa Between Totale Within trattamento punteggio errore Seguendo un altro ragionamento, possiamo considerare il punteggio Y di un soggetto come formato da un punteggio vero (dovuto al trattamento) e da una componente d errore (dovuta ai singoli soggetti) Noi conosciamo solo il valore misurato (Y ) e la sua varianza totale L anova ipotizza che il punteggio vero sia uguale alla media dei singoli campioni (Ȳ ) e che l errore sia Y Ȳ F è calcolato con la varianza del punteggio vero divisa la varianza dell errore G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

13 La logica dell anova Se sono veri i primi due assunti, i gruppi formati dall indipendente sono uguali, hanno la stessa forma e la stessa varianza Se hanno la stessa varianza, possiamo calcolare la stima della varianza della popolazione come media delle varianze dei singoli campioni ˆσ 2 1 = s 2 1 ˆσ 2 e = s 2 i k = n i=1 k j=1 (y ij ȳ i. ) 2 k(n 1) con y ij = il punteggio di un individuo in un certo gruppo, ȳ i. = la media di quel gruppo, n=l ampiezza del singolo gruppo e k=numero dei gruppi G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

14 La logica dell anova Se H 0 è vera, allora la varianza della popolazione è stimabile anche tramite la distribuzione campionaria delle medie σ 2 Ȳ = σ2 n Le medie dei singoli gruppi sono utilizzate per stimare la varianza, quindi con ˆσ t 2 = nˆσ ȳ 2 = n k j=1 (ȳ i. ȳ.. ) 2 k 1 dove n è l ampiezza, ȳ i. è la media calcolata su ogni gruppo e ȳ.. è la media delle medie G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

15 La logica dell anova La varianza totale (y ij ȳ) che considera tutti i casi statistici come un solo gruppo viene quindi scomposta in due diverse stime della varianza della popolazione y ij ȳ i. : La prima è calcolata entro i gruppi (chiamata anche within o varianza d errore = MS e ) perché si basa sulle differenze individuali rispetto alla media dei singoli gruppi ȳ i ȳ.. : La seconda fra i gruppi (chiamata anche between o varianza di trattamento = MS t ) perché considera uguali gli individui di un gruppo e imputa le differenze al trattamento (la variabile categoriale usata per suddividere il campione in gruppi) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

16 La logica dell anova il loro rapporto si distribuisce secondo la curva di probabilità di F F = MS t MS e con k 1 e k(n 1) gradi di libertà Se il rapporto è piccolo (e non significativo) le due stime sono uguali e quindi non vi è differenza fra i gruppi Se il rapporto è grande (e significativo), le due stime sono diverse e vi è differenza fra i gruppi G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

17 Esempio di calcolo Gruppo (X X) 2 X 2 ( X) , , , , X = 29/3 = 9, = /3 3 1 Per i calcoli ricordiamo che (Xi var = X) 2 x 2 ( x) 2 N X 2 ( X) 2 /N = = N 1 N 1 N 1 e che il numeratore si chiama anche somma dei quadrati, il denominatore può essere pensato come un gdl G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

18 Esempio di calcolo: fase 1-var. totale Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati M 9,667 3,667 4,000 ( X ij ) 2 = ( ) 2 = 2704 X 2 ij = = 388 SS tot = X 2 ij ( X ij ) 2 /N = /9 = gdl = N 1 = 8 MS tot = var(x) = SS tot /gdl = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

21 Esempio di calcolo: fase 2-var. fra i gruppi Sostituisco i valori con le medie dei gruppi Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati 9,667 3,667 4,000 93,451 13,447 16,000 9,667 3,667 4,000 93,451 13,447 16,000 9,667 3,667 4,000 93,451 13,447 16,000 29,000 11,000 12, ,353 40,341 48,000 ( x) 2 = ( ) 2 = 2704 x 2 = 280, , = SS t = x 2 ( x) 2 /N = /9 = gdl = k 1 = 2 MS t = SS t /gdl = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

22 Esempio di calcolo: fase 3-var. entro i gruppi Sostituisco i valori con X i X e li chiamo x Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati -0,667 0,333-1,000 0,444 0,111 1,000 2,333-1,667 2,000 5,444 2,778 4,000-1,667 1,333-1,000 2,778 1,778 1,000 0,000 0,000 0,000 8,667 4,667 6,000 ( x) 2 = ( ) 2 = 0 x 2 = 8, , = SS e = x 2 ( x) 2 /N = /9 = gdl = k(n 1) = 6 MS e = SS e /gdl = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

23 Esempio di calcolo: fase finale Risultati da calcoli a mano SS gl MS F Sig Trattamento 68, ,111 10,586 Errore 19, ,222 Totale 87, ,944 Risultati da SPSS Somma dei Media dei quadrati gl quadrati F Sig. Fra gruppi 68, ,111 10,586 0,011 Entro gruppi 19, ,222 Totale 87,556 8 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

24 Formule di calcolo SQ (SS) df MQ (MS) Somme gdl Media F Fonte quadrati quadrati Trattamento ( X.j X.. ) 2 k 1 SQ t /gl Errore (Xij X.j ) 2 k(n 1) SQ e /gl MQ t /MQ e Totale (X ij X.. ) 2 N 1 ij G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

25 In SPSS Analizza Confronta medie ANOVA univariata... trascinate almeno una variabile quantitativa (Intervallo o a rapporto) nel riquadro Variabili dipendenti se indicate più dipendenti, verrà calcolata una anova per ogni variabile indicata trascinate una variabile qualitativa (Nominale o Ordinale) nel riquadro Fattore: Date l OK G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

26 Analisi della varianza 2-fattori between L analisi della varianza si può usare anche con più variabili indipendenti categoriali Ipotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasce d età), il modello generale dell anova diventerà X = µ + α + β + φ + ε ovvero il punteggio X è scomponibile come: una parte dovuta alla variabile dipendente (µ = X... ) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

27 Analisi della varianza 2-fattori between L analisi della varianza si può usare anche con più variabili indipendenti categoriali Ipotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasce d età), il modello generale dell anova diventerà X = µ + α + β + φ + ε ovvero il punteggio X è scomponibile come: una parte dovuta alla variabile dipendente (µ = X... ) una parte dovuta alla prima indipendente (α = ( X i.. X... )) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

28 Analisi della varianza 2-fattori between L analisi della varianza si può usare anche con più variabili indipendenti categoriali Ipotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasce d età), il modello generale dell anova diventerà X = µ + α + β + φ + ε ovvero il punteggio X è scomponibile come: una parte dovuta alla variabile dipendente (µ = X... ) una parte dovuta alla prima indipendente (α = ( X i.. X... )) una alla seconda indipendente (β = ( X.j. X... )) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

29 Analisi della varianza 2-fattori between L analisi della varianza si può usare anche con più variabili indipendenti categoriali Ipotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasce d età), il modello generale dell anova diventerà X = µ + α + β + φ + ε ovvero il punteggio X è scomponibile come: una parte dovuta alla variabile dipendente (µ = X... ) una parte dovuta alla prima indipendente (α = ( X i.. X... )) una alla seconda indipendente (β = ( X.j. X... )) una alla loro interazione (φ = µ ij µ (α + β)) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

30 Analisi della varianza 2-fattori between L analisi della varianza si può usare anche con più variabili indipendenti categoriali Ipotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasce d età), il modello generale dell anova diventerà X = µ + α + β + φ + ε ovvero il punteggio X è scomponibile come: una parte dovuta alla variabile dipendente (µ = X... ) una parte dovuta alla prima indipendente (α = ( X i.. X... )) una alla seconda indipendente (β = ( X.j. X... )) una alla loro interazione (φ = µ ij µ (α + β)) e alle differenze individuali (o errori ε = ( X ijk X ij. )) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

31 Scomposizione della varianza Totale Within (Errore) Between (Trattamento) A B AxB La varianza totale è quindi scomponibile in una parte dovuta alle differenze individuali (within=errore) e una parte dovuta ai trattamenti (che in questo caso sono 2 diversi) La varianza dovuta ai trattamenti (Between) è scomponibile in una parte dovuta solo al primo trattamento (A), una dovuta solo al secondo trattamento (B) e una parte dovuta alla loro interazione (AxB) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

32 Esempio concreto Var. dipendente: Errori ad un test Var. indipendenti: Alcool; Deprivazione di sonno Deprivazione sonno 4h 12h 24h Alcool No Alc Questi dati possono essere considerati come un solo campione (media totale) Ignorando la variabile alcool (quindi usando i 3 gruppi della deprivazione di sonno) Ignorando la variabile deprivazione di sonno (quindi usando i 2 gruppi di alcool) Considerando i 6 sottogruppi G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

36 Varianza totale Depriv. sonno 4h 12h 24h Quadrati Alcohol No Alc Somma ( x) 2 = ( ) 2 = (284) 2 = X 2 = = 5162 SQ tot = /18 = gdl = N 1 = 18 1 = 17 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

37 Varianza dell errore Depriv. sonno 4h 12h 24h Quadrati Alcohol 1,000-1,667-4, , ,000-3,667-2, , ,000 5,333 6, , No Alc. 0,333 2,333-0,667 0,111 5,444 0,444-1,667-2,667 1,333 2,778 7,111 1,778 1,333 0,333-0,667 1,778 0,111 0,444 Somma 0,000 0,000 0,000 18,667 57,333 58,667 ( x) 2 = ( ) 2 = (0) 2 = 0 X 2 = 18, , , 667 = 134, 667 SQ tot = 134, 667 0/18 = 134, 667 gdl = N k A k B = = 12 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

38 Varianza sonno (fattore A) Depriv. sonno 4h 12h 24h Quadrati Alcohol 12,833 15,167 19, , , ,778 12,833 15,167 19, , , ,778 12,833 15,167 19, , , ,778 No Alc. 12,833 15,167 19, , , ,778 12,833 15,167 19, , , ,778 12,833 15,167 19, , , ,778 Somma , , ,667 ( x) 2 = ( ) 2 = (284) 2 = X 2 = 988, , , 667 = 4611 SQ A = /18 = gdl = k A 1 = 3 1 = 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

39 Varianza alcool (fattore B) Depriv. sonno 4h 12h 24h Quadrati Alcohol 20,222 20,222 20, , , ,938 20,222 20,222 20, , , ,938 20,222 20,222 20, , , ,938 No Alc. 11,333 11,333 11, , , ,444 11,333 11,333 11, , , ,444 11,333 11,333 11, , , ,444 Somma 94,667 94,667 94, , , ,148 ( x) 2 = ( ) 2 = (284) 2 = X 2 = 1612, , , 148 = 4836, 444 SQ B = 4836, /18 = gdl = k B 1 = 2 1 = 1 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

40 Varianza interazione (fattore AxB) Deprivazione sonno 4h 12h 24h Alcohol 15,00 19,67 26,00 20,22 No Alc. 10,67 10,67 12,67 11,33 Il calcolo dei punteggi necessari per calcolare la varianza dell interazione sono un poco più complessi Si parte dalle medie dei singoli gruppi a cui si sottrae la media di una delle variabili categoriali (A o B): = e = si calcola la media di colonna: (3 ( 5.222) + 3 ( 0.666))/6 = che si sottrae ai singoli valori di quella colonna: ( 2.944) = e ( 2.944) = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

41 Varianza interazione (fattore AxB) Depriv. sonno 4h 12h 24h Quadrati Alcohol -2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938-2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938-2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938 No Alc. 2,278-0,056-2,222 5,188 0,003 4,938 2,278-0,056-2,222 5,188 0,003 4,938 2,278-0,056-2,222 5,188 0,003 4,938 Somma ,130 0,019 29,630 ( x) 2 = ( ) 2 = (0) 2 = 0 X 2 = 31, , , 630 = SQ AxB = /18 = gdl = (k A 1)(k B 1) = 2x1 = 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

42 Riepilogo: calcolato e SPSS Sorgente SQ gdl MQ F Effetti principali Sonno 130, ,056 5,80 Alcohol 355, ,556 31,68 Interazioni SxA 60, ,389 2,71 Errore 134, ,222 Totale 681, ,065 Test degli effetti fra soggetti Variabile dipendente: errori Sorgente SQ df MQ F Sig. Modello corretto 546,444(a) 5 109,289 9,739 0,001 Intercetta 4.480, , ,287 0,000 alcool 355, ,556 31,683 0,000 sonno 130, ,056 5,797 0,017 alcool * sonno 60, ,389 2,708 0,107 Errore 134, ,222 Totale 5.162, Totale corretto 681, a. R quadrato =,802 (R quadrato corretto =,720) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

43 Per capire i risultati Per capire e interpretare i risultati dobbiamo guardare le medie (marginali stimate) degli effetti significativi (con soli fattori between, coincidono con quelle calcolate, salvo missing) Variabile dipendente: errori alcool Media Errore std. Intervallo di confidenza 95% Limite inferiore Limite superiore Alcool 20,222 1,117 17,789 22,655 No alcool 11,333 1,117 8,900 13,766 sonno Media Errore std. Intervallo di confidenza 95% Limite inferiore Limite superiore 4h 12,833 1,368 9,854 15,813 12h 15,167 1,368 12,187 18,146 24h 19,333 1,368 16,354 22,313 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

44 In Spss Analizza Modello lineare generalizzato Univariata... Inserite la variabile da studiare in Variabile dipendente Inserite le variabili categoriali in Fattori fissi Scegliete i contrasti o post-hoc se li volete Nel pulsante Opzioni, selezionare le Medie marginali stimate (se volete) Date l OK G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

45 Possibili esempi di interazione ipotizzando 2 INDIP (3x2) e unendo i valori medi di una indipendente suddivisi e separatamente per l altra, otteniamo due linee La forma di interazione più comune è quando le linee si incrociano (fig 1 e 2) Ma anche quando in corrispondenza di un valore c è una differenza particolarmente diversa (fig 3) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

46 Confronti post-hoc Sono confronti che si fanno a posteriori, se l Anova è significativa e se ci sono più di 2 gruppi in una variabile indipendente La logica è quella di tenere sotto controllo i problemi di significatività legati ai confronti multipli. In Spss, premete il bottone Post Hoc... e selezionate tutti i test che volete gli output sono di due tipi: confronti multipli completi oppure gruppi omogenei Vi sono diverse procedure che effettuano confronti post-hoc G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

47 Confronti post-hoc: multipli Confronti multipli - Variabile dipendente: ABA HSD di Tukey Differenza Intervallo di fra medie Err. std. Sig. confidenza 95% Lim. sup. Lim. inf. SX Cent. 2,796 2,2137 0,4168-2,409 8,002 Dx 7,859 2,7597 0,0128 1,369 14,349 Centro SX -2,796 2,2137 0,4168-8,002 2,409 Dx 5,063 2,6940 0,1459-1,273 11,398 Dx SX -7,859 2,7597 0, ,349-1,369 Cent. -5,063 2,6940 0, ,398 1,273 Non è significativa: le medie dei 2 gruppi sono simili È significativa: le medie dei 2 gruppi sono diverse G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

48 Confronti post-hoc: multipli Confronti multipli - Variabile dipendente: ABA HSD di Tukey Differenza Intervallo di fra medie Err. std. Sig. confidenza 95% Lim. sup. Lim. inf. SX Cent. 2,796 2,2137 0,4168-2,409 8,002 Dx 7,859 2,7597 0,0128 1,369 14,349 Centro SX -2,796 2,2137 0,4168-8,002 2,409 Dx 5,063 2,6940 0,1459-1,273 11,398 Dx SX -7,859 2,7597 0, ,349-1,369 Cent. -5,063 2,6940 0, ,398 1,273 Non è significativa: le medie dei 2 gruppi sono simili È significativa: le medie dei 2 gruppi sono diverse G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

49 Confronti post-hoc: gruppi omogenei Sottoinsiemi omogenei HSD di Tukey trepol N Sottoinsieme per alfa = Dx 87 33,580 Centro ,643 38,643 SX ,439 Sig. 0,120 0,521 Sono visualizzate le medie per i gruppi di sottoinsiemi omogenei. Le medie di Centro e DX sono omogenee fra loro (si assomigliano) Le medie di Centro e SX sono omogenee fra loro (si assomigliano) Le medie di DX e SX non sono omogenee fra loro (vengono da due popolazioni diverse) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

52 Confronti post-hoc alcuni presumono che le varianze fra i gruppi siano uguali: LSD (Least Significant Difference), Bonferroni, Sidak, Scheffé, SNK (Student-Neumann-Kouls), Tukey HSD (Honesty Significant Difference), Duncan, Hochberg, Gabriel, Waller-Duncan, Dunnett altre no: Tamhane, Dunnett, Games-Howell, C di Dunnett richiedono che le N dei gruppi siano = o di poco : LSD, HSD, F-H (LSD modificata), REGWQ, Gabriel accettano gruppi con N : Bonferroni, Scheffé, Hoch GT2, Games-Howell N piccoli: Games-Howell Meglio con solo 3 gruppi: LSD Meglio 4 o più gruppi: HSD, F-H, Bonferroni, Tukey, REGWQ G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

53 Confronti post-hoc metodi che presumono varianze uguali fra i gruppi LSD (Least Significant Difference) Bonferroni Sidak Scheffé SNK (Student-Neumann-Kouls) Tukey HSD (Honesty Significant Difference) Duncan Hochberg Gabriel Waller-Duncan Dunnett Bonferroni è adatto alle ricerche esplorative non presumono Tamhane Dunnett Games-Howell C di Dunnett Tukey è conservativo, quindi adatto a molti confronti REGWD è quelo che viene suggerito se non si hanno motivi particolari per preferirne altri (Gallucci e Leone, 2012 p.95) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

54 Confronti a priori Oltre ai post hoc si possono effettuare dei confronti a priori ovvero decisi prima ancora di effettuare l anova, sulla base di una teoria Questi confronti si chiamano anche contrasti perché contrastano la media di uno o più gruppi con quella di altri Anche in questo caso ci sono due possibilità: contrasti predefiniti: lineare, quadratico, Helmert... contrasti decisi da noi G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

55 Confronti a priori Contrasti... In Spss, premete il bottone se selezionate Polinomiale, poi potete scegliere fra Lineare: ipotizzo che le medie aumentano o diminuiscono nella varie categorie in modo lineare Quadratico: in forma di U o U rovesciata Cubico altrimenti dovrete inserire dei coefficienti (uno alla volta e poi premere Aggiungi ). dopo aver inserito un contrasto è possibile inserirne un secondo tramite il pulsante Successivo G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44

56 Confronti a priori: contrasti a scelta Dovete inserire tanti coefficienti quanti sono i gruppi previsti dalla variabile indipendente la somma dei coefficienti dev essere 0. Non è necessario che vengano usati tutti i gruppi. Se ho 4 gruppi, i coefficienti confrontano il primo con la somma del terzo e quarto, ignorando il secondo Coefficienti di contrasto Test di contrasto Contrasto trepol SX Centro Dx Contrasto Valore di Sig. contrasto Err. std. t df (2-code) Assumi var. = 2,775 0,621 4, ,000 Assumi var. 2,775 0,683 4, ,333 0,000 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 44