Elementi di Psicometria (con laboratorio software 1)

Transcript

1 Elementi di Psicometria (con laboratorio software 1) 02-Tendenza centrale e variabilità (v. 1.0, 22 marzo 2019) versione per stampa Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

2 Tendenza centrale La tendenza centrale è un indicazione generica di come sta andando la distribuzione della variabile L idea base è che sia possibile trovare un valori che rappresenti al meglio la tendenza generale dei dati Ci sono diversi indici che misurano la tendenza centrale, alcuni poco informativi, altri molto informativi Questi indici dipendono dalla scala di misura Livello nominale: Moda (pochissimo informativa) Livello ordinale: Mediana (poco informativa) Livello intervallo/rapporto: Media (molto informativa) Ricordiamo che ogni livello eredita dai livelli precedenti G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

3 Livello intervallo: Media Se 4 amici escono a mangiare la pizza e poi pagano in parti uguali... stanno usando la media Ovvero: ( )/4 Ovvero: 18.5 * 4 Qualcuno paga di più e qualcuno di meno, ma, alla fine, il di più si annulla con il di meno pizza, bibita e dessert Marco 18.0 Clara 16.5 Daniela 22.0 Andrea 17.5 Totale 74.0 a testa 18.5 Marco = 0.5 Clara = 2.0 Daniela = 3.5 Andrea = 1.0 Totale = 0 Proprietà della media: Gli scarti dalla media sommano a 0 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

4 Media Logica: La media aritmetica (M, M) è la somma ( ) di tutti i valori di una distribuzione, divisa per la numerosità (N) Formalizzazione: M = M = N i=1 X i N SE i vale x i vale Marco Clara Daniela Andrea = 74 4 = 18.5 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

5 Media [aritmetica] La media aritmetica ( X, Md, M) è la somma ( ) di tutti i valori di una distribuzione, divisa per la numerosità (N) M = N i=1 X i N = X N Esempio M(10, 15, 16, 18, 20, 24, 32, 35, 38, 40) = = G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

6 Uso della distribuzione di frequenza Quando si utilizzano delle distribuzioni di frequenza, si hanno i dati in un formato leggermente diverso. Anziché: (M = 1.9) Possiamo usare una forma tabellare dove per ogni valore (x) indichiamo a fianco la frequenza (f) con cui compare. La formula cambia in: Esempio x f fx k i=1 M = f ix i fx k i=1 f = i N M = = 1.9 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

7 Media [aritmetica]: verifica e proprietà Esercizio 1 M(1,2,3,4,5) 2 M(3,4,5,6,7) 3 M(2,4,6,8,10) Soluzione 1 ( )/5=15/5=3 2 ( )/5=25/5=5 3 ( )/5=30/5=6 1 i numeri da 1 a 5 2 i numeri della prima serie sommati a 2 3 i numeri della prima serie moltiplicati per 2 Proprietà della media: Aggiungendo, sottraendo, moltiplicando o dividendo una costante a tutti i dati della distribuzione, anche la media subisce la stessa trasformazione G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

8 Media [aritmetica]: verifica Esercizio 1 M(2,4,6,8,10) 2 M(1,4,6,8,16) 3 M(1,4,6,8,46) Soluzione 1 ( )/5=30/5=6 2 ( )/5=35/5=7 3 ( )/5=65/5=13 Proprietà della media: La media è sensibile ai valori estremi G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

9 SPSS: Media La media viene visualizzata da Spss in molte procedure. Quelle specifiche sono: Analizza Statistiche descrittive Frequenze... (fra le varie statistiche che è possibile stampare vi è anche la media) Analizza Statistiche descrittive Descrittive... (è la procedura specifica per le statistiche descrittive) Analizza Statistiche descrittive Esplora... (stampa la media come una delle diverse statistiche per capire l andamento e la distribuzione di una variabile) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

10 SPSS: Media con Frequenze... Dopo aver scelto le variabili, click-are su selezionare Media Quindi, click-are su Statistiche... Continua Con variabili quantitative conviene de-selezionare anche e oppure in Formato... Poi OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

11 SPSS: Media con Frequenze... Usando set15.sav G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

12 SPSS: Media con Descrittive... Dopo aver scelto le variabili, click-are su Opzioni... Normalmente Media è già selezionato Potete ordinare i risultati in vari modi Poi OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

13 Media con dati dicotomici Se una variabile è dicotomica (D) ed è stata categorizzata con 0 e 1, la media di D equivale alla proporzione della categoria 1. Infatti, possiamo pensare a D come la somma di tutti gli 0 e la somma di tutti gli 1. di D = N = 0 f f 1 = f 1 N N Ma la somma degli 0 è 0 e la somma degli 1 è uguale alla frequenza degli 1. Quindi la media di una variabile dicotomica è D = f 1 (cioè la N proporzione degli 1) L equivalenza non vale se categorizziamo con numeri diversi da 0 e 1. G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

14 Media con dati dicotomici Usando set15.sav La media di una variabile dicotomica (0/1) è la proporzione della categoria 1 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

15 Livello nominale: Moda La moda è la misura della tendenza centrale a livello nominale La Moda (Mo) è la frequenza più elevata di una distribuzione La logica è che il valore più frequente, a questo livello, rappresenta la tendenza generale meglio degli altri valori può essere calcolata a tutti i livelli di misura a livello intervallo/rapporto è pochissimo usata G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

16 Moda Se c è una sola moda, la distribuzione si dice Unimodale Se sono 2, Bimodale Se sono più di 2, Multimodale (ma non si utilizza) Esempio Maschio=17, Femmina=13 Maschio perché ha frequenza 17 Se ci sono molte categorie, oppure poche categorie tutte con frequenze simili, la moda non ha molto senso. Esempio Mo( ) Mo( ) Mo=2 (ma non ha molto senso) Bimodale (ma non ha molto senso) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

17 Spss: moda Tramite Analizza Statistiche descrittive Frequenze... pulsante Statistiche, possiamo far calcolare la moda. poi OK Continua e G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

18 Livello ordinale: Mediana La mediana (Mdn) divide la distribuzione a metà La logica è che, nei dati ordinati, il valore centrale è anche la tendenza Se N è dispari, la Mdn è il valore in posizione centrale, corrispondente a (N + 1)/2 Esempio Dati grezzi Ordinati (11 + 1)/2 = 6 Mdn = 3 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

19 Mediana La mediana si può calcolare sia su scala ordinale sia su scala intervallo/rapporto, perciò, (con N pari) Se N è pari, la Mdn è il valore fra le 2 posizioni centrali (se esiste) cioè fra N/2 e (N/2) + 1 Se i due valori sono uguali, quello è il valore della mediana Esempio Dati grezzi Ordinati N/2 = 10/2 = 5 e (N/2) + 1 = = 6 Mdn = 3 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

20 Mediana Se i due valori sono diversi se la scala è ordinale: entrambi costituiscono la mediana se è quantitativa: si fa la media fra i due valori Esempio Dati grezzi Ordinati N/2 = 10/2 = 5 e (N/2) + 1 = = 6 Mdn=3;4 (ORD) 3,5 (I/R) Attenzione Spss (e la maggior parte dei software statistici) fanno sempre una stima del valore esatto basata sulla logica degli intervalli di classe G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

21 Mediana: Verifica Esercizio 1 Mdn (3,5,7,9,11) 2 Mdn (2,3,5,7,9,11,12) 3 Mdn (3,4,5,5,6,7) 4 Mdn (3,4,5,6,7,8) 5 Mdn (4,5,7,9,13) 6 Mdn (1,5,7,9,25) Soluzione 1 N=5; pos=3; Mdn=7 2 N=7; pos=4; Mdn=7 3 N=6; pos=3 e 4; Mdn=5 4 N=6; pos=3 e 4; Mdn=5;6 (5,5) 5 N=5; pos=3; Mdn=7 6 N=5; pos=3; Mdn=7 Se aggiungiamo lo stesso numero di valori all inizio e alla fine di una distribuzione (quindi ordinata ), la Mdn non cambia Se cambiano i valori estremi della distribuzione, la Mdn non cambia G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

22 Riepilogo tendenza centrale Moda (Nominale): la frequenza più elevata (è il peggior indice) Mediana (Ordinale): il valore in posizione centrale (non è per nulla sensibile ai valori estremi) Media (Intervallo/Rapporto): valore di equilibrio di tutti i valori è il miglior indice di tendenza centrale ma è molto sensibile ai valori estremi della distribuzione In una distribuzione simmetrica normale, media, mediana e moda coincidono Se la media è minore della mediana la distribuzione è asimmetrica a sinistra Se la media è maggiore della mediana, la distribuzione è asimmetrica a destra G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

23 Misure di variabilità Gli indici di variabilità ci dicono quanto i valori sono dispersi attorno alla tendenza centrale. Esempio valori X /N = M /8= /10=5 Due distribuzioni con M uguale, ma dispersione diversa A livello di scala intervallo/rapporto ci sono diversi indici di variabilità: Campo di variazione o gamma (di oscillazione) o range Differenza interquartilica (DI o IQR) Deviazione media o scostamento semplice medio Varianza e deviazione standard G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

24 Varianza Gli scarti dalla media potrebbero essere una misura di variabilità, sennonché... la somma degli scarti dalla media è sempre pari a 0 (zero) la soluzione è Varianza (DS 2, s 2, var): elevare gli scarti a quadrato e fare la loro media N DS 2 = s 2 i=1 = var = (X i M) 2 = SS N N G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

25 Varianza: formula alternativa Calcolare gli scarti dalla media, nella maggior parte dei casi, produce valori decimali che possono generare imprecisioni nei calcoli. Esiste quindi una formula alternativa da usare con i dati grezzi: X X M (X M) 2 X 2 2-0,8 0, ,8 0, ,2 0, ,2 0, ,2 1,44 16 Somma 14 2,8 42 Media 2,8 0,56 8,4 X 2 Var = N M2 = = = = 0.56 La varianza è quindi uguale a... la media dei quadrati meno il quadrato della media G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

26 Deviazione standard La varianza minimizza le piccole differenze e massimizza le grandi differenze Però la varianza è un quadrato (un area) e quindi si introduce anche una versione lineare (che è una distanza), lo scarto quadratico medio Lo scarto quadratico medio (sqm) o deviazione standard (DS 2, s) è la radice quadrata della varianza DS = s = s 2 = (Xi M) var = 2 N G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

27 Varianza: esempi Esempio DS 2 (1,2,3,4,5) = [(1 3) 2 + (2 3) 2 + (3 3) 2 + (4 3) 2 + (5 3) 2 ] 5 = [( 2) 2 + ( 1) 2 + (0) 2 + (1) 2 + (2) 2 ] = 2 DS(1,2,3,4,5)= 2 = 1.41 = = G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

28 Misure di variabilità la varianza finora vista è stata calcolata su una piccola quantità di dati, che però vengono considerati come una popolazione DS 2 = N i=1 (X i M) 2 N DS = (Xi M) 2 N quando si calcola su un campione si effettua una correzione che tiene conto dell ampiezza del campione stesso, in tal caso la formula diventa: DS 2 = N i=1 (X i M) 2 N 1 DS = (Xi M) 2 N 1 dividere per N 1 produce valori più grandi con campioni grandi la divisione per N o per N 1 non è molto diversa; per campioni piccoli, si. Riprenderemo il discorso al cap. 7 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

29 Proprietà della varianza (e dev. st) Esercizio 1 var(1,2,3,4,5) 2 var(3,4,5,6,7) 3 var(2,4,6,8,10) Soluzione 1 5/4 * (55/5 3 2 ) = 2.5, s = /4 * (135/5 5 2 ) = 2.5, s = /4 * (220/5 6 2 ) = 10, s = i numeri da 1 a 5 2 i numeri della prima serie sommati a 2 3 i numeri della prima serie moltiplicati per 2 Proprietà della var 1: Aggiungendo, sottraendo, una costante a tutti i dati della distribuzione, la varianza non subisce trasformazioni Proprietà della var 2: Moltiplicando o dividendo per una costante, la varianza cambia ma la dev. st. subisce la stessa trasformazione G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

30 Spss: Variabilità Anche varianza e dev. st. sono visualizzate da Spss (sempre N-1) in molte procedure. Quelle specifiche sono: Analizza Statistiche descrittive Frequenze... (fra le varie statistiche vi è anche quelle di variabilità) Analizza Statistiche descrittive Descrittive... (è la procedura specifica per le statistiche descrittive) Analizza Statistiche descrittive Esplora... (stampa le misure di variabilità come parte delle diverse statistiche per capire l andamento e la distribuzione di una variabile) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

31 Spss: Variabilità con Frequenze... Dopo aver scelto le variabili, click-are su Statistiche... e selezionare quelle che servono Quindi, click-are su Continua Con variabili quantitative conviene selezionare anche oppure in Formato... Poi OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

32 Spss: Variabilità con Descrittive... Dopo aver scelto le variabili, click-are su Opzioni... Poi Continua e OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

33 Riepilogo variabilità Varianza (Intervallo/Rapporto): media degli scarti (dalla media) al quadrato Deviazione standard (Intervallo/Rapporto): radice quadrata della varianza G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34

34 Come si riportano queste statistiche Ci sono molti modi di riportare queste statistiche all interno del contesto dell articolo (o della tesi) Di solito si riportano numerosità, media e deviazione standard (preferibilmente con 2 decimali, se non è un intero perfetto) 1) in una tabella riassuntiva delle varie variabili 2) all interno del testo per una specifica variabile Esempio N M DS FONDAM ,97 31,981 RWA ,95 11,324 INTRINSIC ,57 6,396 La variabile Fondamentalismo ha media 76,97 (DS=31,98) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 34