I Limiti della computazione

Transcript

1 I Limiti della computazione Fondamenti di Informatica 2011 Cio che un computer non puo fare Prof, perche pensare in negativo?!? Un ovvia motivazione: Comprendere i limiti della tecnologia 1

2 Il pensare in negativo Risultati di impossibilita visione profonda Esempi Impossibilita di trisecare un angolo con riga e compasso (Galois) Teoria dei Gruppi e parte della matematica moderna Niente e piu veloce della luce Relativita e fisica moderna Pensare in negativo in informatica CAPTCHA (CMU Group) Test generato automaticamente che i computer (almeno con le attuali capacita algoritmiche) sembrano incapaci di superare. Crittografia Compiti che i computer non possono assolvere abbastanza velocemente ; argomento di un altra lezione 2

3 Oggi: Problemi che un computer non puo risolvere (indipendentemente dal tempo di computazione assegnato) lunga storia con diversi protagonisti e risvolti che esulano dall ambito scientifico Google Alan Turing, Alonzo Church! In Matematica.. Possono le macchine sostituire i matematici? La Matematica e assiomatica Assiomi Insiemi di affermazioni Regole di Derivazione insieme finito di regole per derivare nuove affermazioni dagli assiomi Teoremi Affermazioni derivabili dagli assiomi in un numero finito di passi Matematico Persona che cerca di decidere se un affermazione e o meno un teorema. [Hilbert, 1900] Risposta (Goedel,Turing, etc.): I computers non possono scoprire tutte le verita matematiche; infatti nessun sistema assiomatico puo esprimere tutte le verita matematiche 3

4 Debugging, Automated software checking? e.g. Windows Vista: 50-milioni di linee di codice Puo un computer determinare se si blocchera mai? Risposta: Nessun programma puo risolvere il problema di testare (offline) se un dato programma si blocchera ( crash ) Come e possibile provare tale risultato? A. Turing Fissiamo un semplice modello computazionale, pseudocodice di Turing-Post Mostriamo che tale modello puo simulare ogni modello computazionale realizzabile (c e un programma T.P. per ogni cosa che un computer puo ) Mostra che un programma T.P. non puo risolvere il problema OK, ma come proviamo che lo pseudocodice T-P non puo risolvere il problema? Risp.: Avete letto la sezione 3.2 del libro di testo? 4

5 Discussion Time (L idea di A. Turing) Che cosa e una computazione? Che cosa e una computazione? Formalizzazione di una nozione antica Elementi di base Tavoletta per prendere appunti Descrizione precisa (passo-passo) di cosa fare ( programma ); dovrebbe essere un processo finito! Ad ogni passo: Si puo leggere solo un numero finito di simboli (appunti) Si puo scrivere solo un numero finito di simboli (appunti) 5

6 Il modello di Turing Un nastro infinito (tavoletta monodimensionale) Unici simboli sono 0 e 1 (il nastro contiene un numero finito di 1) Si puo leggere/scrivere un simbolo alla volta Un programma e qualcosa del genere 1. PRINT 0 2. GO LEFT 3. GO TO STEP 2 IF 1 SCANNED 4. PRINT 1 5. GO RIGHT 6. GO TO STEP 5 IF 1 SCANNED 7. PRINT 1 8. GO RIGHT 9. GO TO STEP 1 IF 1 SCANNED 10. STOP Programma Duplicatore Esempio: Cosa fa questo programma? 1. PRINT 0 2. GO RIGHT 3. GO TO STEP 1 if 1 SCANNED 4. GO TO STEP 2 if 0 SCANNED 6

7 Discussion Time Puo tale modello computazionale fare qualsiasi computazione che si puo fare con lo pseudocodice? Come implementiamo istruzioni aritmetiche, arrays, loop? Anche se puo sembrare sorprendente, questo semplice modello Puo computare tutto quanto uno pseudocodice puo computare Quindi puo simulare ogni altro computer fisicamente realizzabile [TESI di CHURCH-TURING] QUESTO MODELLO CATTURA LA NOZIONE DI COMPUTAZIONE ----TURING 7

8 Rappresentiamo programmi in binario Ricorda: Numeri e lettere possono essere scritti in binario. Un programma puo essere rappresentato da una stringa di bit! Codifica di programmi = Rappresentazione Binaria Diverse convenzioni possibili (es., ASCII) Un esempio di codifica: P Code (P) 8

9 Programmi e Dati Una Falsa Dicotomia! Tipica prospettiva - Programma Dati Ma si puo avere - Programma Codifica del Programma Programma Universale U U Programma P Dati U simula cio che P farebbe su quei dati (Anche detto interprete ; alla base delle moderne tecnologie) 9

10 Altra versione del debugging automatico Problema della Fermata V Sia P = programma tale che code(p) = V. IDEE??? Determinare se P termina/o cicla all infinito sui dati D? Idea Banale: Simulare P con il programma universale U. Se P termina, prima o poi lo determineremo. Problema: Ma se P non termina mai, non lo fara neppure la simulazione. D Il Problema della fermata non e risovibile da un altro programma Dimostrazione per contraddizione When something s not right, it s wrong -Bob Dylan 10