Economia Pubblica Giochi con informazione incompleta e Selezione Avversa

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1 Economia Pubblica Giochi con informazione incompleta e Selezione Avversa Giuseppe De Feo Università degli Studi di Pavia giuseppe.defeo@unipv.it Secondo Semestre

2 Outline Giochi con informazione incompleta Forma estesa Forma normale Bayesiana Equilibrio di Nash Bayesiano Primo Metodo: utilizzare la forma normale Bayesiana Secondo Metodo: ciascun tipo come un giocatore diverso Il duopolio di Cournot con informazione incompleta Selezione Avversa Equilibrio Bayesiano perfetto The Market for Lemons (Akerlof, 1970) razionalità sequenziale Coerenza delle credenze Definizione dell Equilibrio Bayesiano perfetto

3 References Reading List Gibbons (2005) Rasmusen (1993) Teoria dei Giochi e Informazione Akerlof, George A. (1970),The Market for Lemons : Quality Uncertainty and the Market Mechanism, The Quarterly Journal of Economics, Vol. 84 (3), pp

4 Giochi con informazione incompleta Come analizzare giochi con informazione incompleta? Introduciamo la Natura, il giocatore fittizio 0 Le scelte della Natura sono casuali e non razionali La scelta della Natura è rivelata solo ad una delle parti Gli altri gocatori conoscono solo la distribuzione di probabilità ex-ante Il contributo fonamentale: Harsanyi (1967-8) Games of incomplete information played by Bayesian players

5 Giochi con informazione incompleta Example (Il gift game) Natura Friend (π) Enemy (1 π) 1 a 1 b No gift Gift 2 a No gift Gift 2 b accept reject {0,0} accept reject {0,0} {1,1} { 1, 0} {1, 1} { 1, 0} 1. Informazione incompleta poiché il giocatore 1 ha un informazione privata 2. La vincita del giocatore 2 e influenzata dal tipo di giocatore 1 3. Il giocatore 1 deve pensare anche a come agirebbe se fosse dell altro tipo (assunzione sulla razionalità più ampia)

6 La forma normale di un gioco con informazione incompleta La forma normale di un gioco con informazione incompleta è anche detta Forma normale Bayesiana. Nel gift game 1 ha 4 strategie & 2 ha solo 2 strategie giocatore 1 G F G E G F N E N F G E N F N E giocatore 2 Accept Reject Calcolo delle vincite: si noti che ciascun profilo di strategie può generare più di un sentiero a cause della scelta della natura la vincita (o payoff) è la media ponderata delle vincite di questi sentieri

7 La forma normale di un gioco con informazione incompleta Gift 2 a 1 a Natura Friend (π) Enemy (1 π) 1 b No gift Gift No gift 2 b accept reject {0,0} accept reject {0,0} {1,1} { 1, 0} {1, 1} { 1, 0} giocatore 2 Accept Reject G F G E 1,2π 1 1,0 giocatore 1 G F N E π,π π,0 N F G E 1 π,π 1 π 1,0 N F N E 0,0 0,0

8 Un altro gioco con la Natura Example (un gioco di informatione incompleta) giocatore 1 giocatore 2 C D A x,9 3,6 B 6,0 6,9 dove x = 12 with probability 2 3 = 0 with probability 1 3 x è noto al giocatore 1 il gicatore 2 conosce solo la distribuzione di probabilità di x quindi questa non è la vera forma normale Bayesiana del gioco

9 Un gioco con informazione incompleta La forma estesa giocatore 2 C D giocatore 1 A x,9 3,6 B 6,0 6,9 X = 0 (1 3 ) 1 a Natura X = 12 ( 2 3 ) 1 b C A 0 B 0 A 12 B 12 2 a 2 b 2 c 2 d D C D C D C D {0,9} {3,6} {6,0} {6,9} {12, 9} {3,6} {6,0} {6,9}

10 Un gioco con informazione incompleta La forma normale Bayesiana X = 0 (1 3 ) 1 a Natura X = 12 ( 2 3 ) 1 b A 0 B 0 A 12 B 12 2 a 2 b 2 c 2 d C D C D C D C D {0,9} {3,6} {6,0} {6,9} {12, 9} {3,6} {6,0} {6,9} giocatore 1 giocatore 2 C D A 0 A 12 8,9 3,6 A 0 B 12 4,3 5,8 B 0 A 12 10,6 4,7 B 0 B 12 6,0 6,9

11 Giochi di informazione incompleta Come analizzare i giochi con informazione incompleta? Si introduce la Natura, il giocatore fittizio 0 la Natura fa scelte casuali la scelta della Natura è svelata solo ad una delle parti, le altre parti conoscono solo la distribuzione di probabilità ex-ante noi chiameremo giocatore di tipo i il giocatore informato che riceve l informazione che la scelta della natura è stata i questo è perché la scelta della natura è di solito relativa ad alcune caratteristiche del giocatore informato

12 Razionalità ed equilibrio di Nash in giochi con la Natura L assunzione di Razionalità circa il comportamento dei giocatori Ciascun giocatore, date le proprie convinzioni circa il comportamento degli altri giocatori, sceglie la strategia che massimizza il proprio payoff. e il concetto di Equilibrio di Nash possono essere entrambi applicati ai giochi con la natura. Ci sono due metodi per calcolare l equilibrio di Nash Bayesiano in giochi con informazione incompleta: 1. Trovare le risposte ottime dei giocatori e l equilibrio di Nash sulla forma normale Bayesiana del gioco; 2. Considerare i diversi tipi di giocatori come giocatori diversi. Per ciò che interessa a noi, i due metodi portano ai medesimi risultati. Come scegliere tra i due metodi? Utilizzare il metodo 1 se si può ricavare una forma normale Bayesiana per il gioco; Altrimenti utilizzare il metodo 2

13 un altro gioco con la Natura Si riprenda l esempio dalla lezione precedente: Example (un gioco di informazione incompleta) giocatore 1 giocatore 2 C D A x,9 3,6 B 6,0 6,9 dove x = 12 con probabilità 2 3 = 0 con probabilità 1 3 x è conosciuto dal giocatore 1 il giocatore 2 conosce solo la distribuzione di probabilità di x Quindi questa non è la vera forma normale Bayesiana del gioco

14 Un gioco con informazione incompleta La forma estesa giocatore 2 C D giocatore 1 A x,9 3,6 B 6,0 6,9 X = 0 (1 3 ) 1 a Natura X = 12 ( 2 3 ) 1 b C A 0 B 0 A 12 B 12 2 a 2 b 2 c 2 d D C D C D C D {0,9} {3,6} {6,0} {6,9} {12, 9} {3,6} {6,0} {6,9}

15 Un gioco con informazione incompleta La forma normale Bayesiana X = 0 (1 3 ) 1 a Natura X = 12 ( 2 3 ) 1 b A 0 B 0 A 12 B 12 2 a 2 b 2 c 2 d C D C D C D C D {0,9} {3,6} {6,0} {6,9} {12, 9} {3,6} {6,0} {6,9} giocatore 1 giocatore 2 C D A 0 A 12 8,9 3,6 A 0 B 12 4,3 5,8 B 0 A 12 10,6 4,7 B 0 B 12 6,0 6,9

16 Un gioco con informazione incompleta La forma normale Bayesiana per trovare l eq. di Nash bayesiano calcolare le risposte ottime giocatore 2 C D A 0 A 12 8,99 3,6 giocatore 1 A 0 B 12 4,3 5,88 B 0 A ,6 4,77 B 0 B 12 6,0 66,99 G. 1 G. 2 B 0 A 12 C RO di 1 B 0 B 12 D RO di 2 Equilibrio di Nash Bayesiano: {B 0 B 12,D} G. 2 G. 1 C A 0 A 12 D A 0 B 12 D B 0 A 12 D B 0 B 12

17 Il duopolio di Cournot con informazione incompleta Un caso in cui non è possibile utilizzare il primo metodo è quello di un gioco con un continuum di strategie. Example (Il duopolio di Cournot con informazione incompleta) Si assuma: Due imprese P(Q) = 1 Q con Q = q 1 +q 2 I costi dell Impresa 1 sono zero I costi dell Impresa 2 sono zero o 1 4 con probabilità 50 : 50 I costi dell impresa 2 sono un informazione privata Si considerino i due tipi di giocatore 2 come due giocatori con: giocatore 2L: quello con costi bassi (zero) giocatore 2H: quello con costi alti ( 1 4 )

18 Il duopolio di Cournot con informazione incompleta Obiettivo dell impresa 1 è quello di massimizzare i profitti attesi: EΠ 1 = (1 q 1 0.5q 2L 0.5q 2H )q 1 La sua funzione di reazione è: la funzione obiettivo dell impresa 2L è: Π 2L = (1 q 1 q 2L )q 2L e la sua funzione di reazione è: Infine, la funzione obiettivo dell impresa 2H è Π 2H = (1 q 1 q 2H )q 2H 1 4 q 2H e la sua funzione di reazione: L equilibrio di Nash Bayesiano è {q 1 = 3 8,q 2L = 5 16,q 2H = 3 16 }

19 Selezione Avversa Definizione Si verifica Selezione Avversa quando, in presenza di informazione nascosta, compratori o venditori con caratteristiche negative hanno maggiori probabilità di essere parte di uno scambio I beni di cattiva qualità scacciano quelli di buona qualità dal mercato Esempi di problemi di selezione avversa: Assicurazione sulla salute, in cui gli assicurati hanno informazioni rilevanti circa il rischio di malattia mercato del lavoro, in cui i lavoratori hanno informazioni private circa la propria abilità collocazione in Borsa, in cui coloro che emetton le azioni hanno informazioni private rilevanti circa la profittabilità futura dell azienda auto usate, dove il proprietario ha informazioni private rilevanti circa la qualità della propria auto

20 Selezione Avversa Una lezione fondamentale: Le azioni portano informazioni Esempi: la scelta del contratto assicurativo può rivelare informazioni circa il livello di rischio le garanzie offerte dai debitori possono segnalare il rischio di default il numero di anni di scuola può segnalare l abilità 2 conseguenze importanti: l uso strategico delle azioni per influenzare le convinzioni altrui (signaling) il disegno di un insieme di alternative (meccanismo) per indurre la rivelazione delle informazioni (screening) Effetti sull efficienza del mercato: perdita di opportunità di scambio mutualmente (e socialmente) benefiche i beni di cattiva qualità spingono fuori dal mercato quelli di buona qualità razionamento del credito salari superiori a quelli di equilibrio disoccupazione

21 Equilibrio Bayesiano perfetto Un nuovo concetto di equilibrio i modelli di teoria ddei giochi di selezione avversa sono di solito giochi sequenziali con asimmetrie informative noi abbiamo già visto: Giochi con la Natura nell ultimo stadio EPS su payoff attesi era il concetto di equilibrio usato Giochi simultanei con informazione incompleta Equilibrio di Nash Bayesiano Qui abbiamo bisogno di un nuovo concetto di equilibrio per i giochi sequenziali con informazione incompleta: Equilibrio Bayesiano perfetto Questo concetto combina la risposta ottima in ciascun nodo decisionale Credenze aggiornate sul il tipo di giocatore in ciascun set informativo

22 Il mercato dei Limoni Akerlof, 1970 Si supponga che vi siano sul mercato della auto usate: auto scadenti (Lemons) auto buone Si assuma che la valutazione dei compratori e dei venditori siano le seguenti: Giocatori qualità Valutazione Venditore scadente v L S = 200 Buona v H S = 600 compratore Scadente v L B = 300 Buona v H B = 800

23 Il mercato dei Limoni Akerlof, 1970 La struttura del gioco: Giocatori: il compratore ed il venditore La sequenza del gioco: La Natura sceglie il tipo di auto (buona o scadente) il venditore fa un offerta il compratore decide se accettare o meno l offerta Payoff: la valutazione meno il prezzo per il compratore; il prezzo meno la valutazione per il venditore. (0,0) se non si effettua nessuno scambio. Nota: la struttura del gioco è irrilevante; La presenza di Selezione Avversa non dipende da chi muove per primo o da come si definisce il prezzo

24 Il mercato dei Limoni la rappresentazione del gioco Buona (π) Natura Scadente (1 π) S a S b p L p H p L p H B a (q) B b (1 q) A R A R {p v H S,vH B p} {0,0} {p v L S },vl B p {0,0}

25 Equilibrio Bayesiano Perfetto credenze condizionate sul tipo il compratore ha delle credenze iniziali relative al tipo di venditore: π è la probabilità che sia un venditore di un auto buona (1 π) è la probabilità che sia un venditore di un auto cattiva Si assuma che la distribuzione conosciuta della popolazione sia {50;50} il compratore potrebbe apprendere qualche informazione aggiuntiva dalle scelte del venditore relative al suo tipo: egli può quindi aggiornare le sue credenze relative al tipo di venditore guardando al prezzo proposto queste credenze aggiornate sono la distribuzione di probabilità del tipo di venditore condizionata al prezzo scelto si chiamino queste probabilità aggiornate q and 1 q

26 Il mercato dei Limoni la rappresentazione del gioco Buona (π) Natura Scadente (1 π) S a S b p L p H p L p H B a (q) B b (1 q) A R A R {p v H S,vH B p} {0,0} {p v L S },vl B p {0,0}

27 Equilibrio Bayesiano Perfetto Razionalità sequenziale Due sono gli elementi che definiscono l Equilibrio Bayesiano Perfetto: 1) Razionalità sequenziale or Credibilità: Implica che le scelte fatte dal compratore devono essere coerenti con le credenze che si hanno ad ogni set informativo del gioco se egli assegna la probabilità del 100% che l auto sia scadente deve rifiutare ogni offerta superiore a 300

28 Equilibrio Bayesiano Perfetto Coerenza delle credenze 2)Coerenza delle credenze: le credenze del compratore devono essere coerenti con quelle iniziali e con le scelte fatte dal venditore se le credenze iniziali sono di probabilità positive per entrambi i tipi e l offerta del venditore è inferiore alla sua valutazione di un auto buona, quale sarebbe per voi la probabilità aggiornata che l auto sia di buona qualità? Zero! se le credenze iniziali sono di probabilità positive per entrambi i tipi e l offerta del venditore è superiore alla sua valutazione di un auto di buona qualità, quale sarebbe per voi la probabilità aggiornata che l auto sia di buona qualità? π, la stessa delle credenze iniziali La regola generale per aggiornare le credenze: Regola di Bayes per la probabilità condizionale q = Prob[H p] = Prob[p H]Prob[H] Prob[p] (proof)

29 Equilibrio Bayesiano Perfetto Coerenza delle credenze Esempio Si supponga che il prezzo proposto dal venditore è p < 600 vogliamo definire q = Prob[H p < 600] = Prob[p<600 H]Prob[H] Prob[p<600] qual è il valore che voi assegnereste a Prob[p < 600]? 0.5 potrebbe essere una buon punto di partenza (possiamo iniziare da un valore arbitrario se è difficile fare una valutazione precisa) qual è il valore che voi assegnereste a Prob[H]? π = 0.5 qual è il valore che voi assegnereste a Prob[p < 600 H]? Zero! quindi, q = Prob[H p < 600] = Prob[p<600 H]Prob[H] Prob[p<600] = = 0

30 Equilibrio Bayesiano Perfetto Definizione dell Equilibrio EBP incorpora razionalità sequenziale e coerenza delle credenze Definition Si consideri un profilo di strategie e di credenze relative ai nodi di tutti i set informativi. Questi costituiscono un Equilibrio Bayesiano Perfetto se 1. la strategia di ogni giocatore è la migliore risposta alle strategie degli altri giocatori date le sue credenze; 2. le credenze sono aggiornate in modo coerente con la regola di Bayes Due tipi di equilibrio: equilibrio di separazione, in cui tipi diversi scelgono strategie diverse equilibri di pooling, in cui tipi diversi scelgono la stessa strategia

31 Equilibrio Bayesiano Perfetto come calcolarlo 1. si inizi con una strategia per il venditore due prezzi diversi per l auto buona e quella scadente (separating) o lo stesso prezzo per i due tipi di auto (pooling) 2. aggiornare le credenze del compratore al suo set informativo definendo q e (1 q) coerentemente con π e (1 π) e con le strategie di prezzo del venditore (Bayes Rule) 3. calcolare la risposta ottima del compratore coerente con la credenza aggiornata 4. calcolare se il prezzo scelto dal venditore è la miglior risposta alla decisione del compratore. Se è così, tu hai trovato un EBP

32 Il mercato dei Limoni Trovare l Equilibrio Bayesiano Perfetto 1. si ipotizzi una strategia di pooling con p > aggiornare le credenze del compratore: q = Prob[H p > 600] = = Z 0.5 Z = 0.5 Prob[p > 600 H]Prob[H] Prob[p > 600] = 3. dato q il payoff atteso per l agente è 550, e quindi egli non accetterà l offerta 4. e di conseguenza il prezzo scelto dal venditore non è la miglior risposta (potrebbe far meglio cambiando il prezzo)

33 Il mercato dei Limoni Trovare l Equilibrio Bayesiano Perfetto 1. si supponga una strategia di separazione con 200 p L 300 e 600 p H aggiornando le credenze del compratore: quando l auto è un limone e 200 p 300 q = Prob[H p 300] = = Z = 0 Prob[p 300 H]Prob[H] Prob[ 300] = 3. dato che q = 0 il valore atteso per il compratore è 300, così egli accetterà l offerta 4. la miglior risposta per il compratore è p = 300

34 Il mercato dei Limoni Trovare l Equilibrio Bayesiano Perfetto 2. aggiornare le credenze del compratore: quando l auto è di buona qualità e si osserva 600 ph 800 q = Prob[H p 600] = = Z 0.5 Z = 0.5 Prob[p 600 H]Prob[H] Prob[ 600] 3. dato q, il payoff atteso dell agente è 550, quindi non accetta l offerta 4. la strategia p = 600 per il venditore è la miglior risposta poiché non c è modo di migliorare il suo payoff Quindi, l insieme di strategie:{p L = 300,p H 600,compra se p 300} è un EBP. =

35 Il mercato dei Limoni Informazione perfetta si ipotizzi che entrambi i giocatori conoscano la scelta della Natura. il gioco si risolve per induzione a ritroso risolvere per induzione a ritroso in entrambi i casi (buona o scadente) l auto verrà scambiata il prezzo sarà tra la valutazione del compratore e quella del venditore anzi, data la struttura del gioco, il venditore propone p = V i B e il compratore accetta (vantaggio del first mover) se il mercato consiste in tante relazioni così, l equilibrio è efficiente (tutti gli scambi mutualmente convenienti avvengono) Buona (π) Natura Scadente (1 π) S a S b p L p H p L p H B a B b A R A R {p v H S,vH B p} {0,0} {p v L S,vL B p} {0,0}

36 Il mercato dei Limoni Informazione imperfetta ma simmetrica si ipotizzi che nessun giocatore osservi la qualità: abbiamo informazione imperfetta per risolvere il gioco non possiamo usare il concetto di perfezione nei sottogiochi, ma l equilibrio di Nash Bayesiano Buona (π) Natura Scadente (1 π) S a S b p L p H p L p H B a B b A R A R {p v H S,vH B p} {0,0} {p v L S,vL B p} {0,0}

37 Il mercato dei Limoni Informazione imperfetta ma simmetrica si assuma che la distribuzione di probabilità sia {.5;.5} e che i giocatori siano neutrali al rischio le utilità attese del venditore e del compratore sono date da: EU S = E[v S ] = 0.5(200) +0.5(600) = 400 EU B = E[v B ] = 0.5(300) +0.5(800) = 550 tutti gli scambi avverranno ad un prezzo 400 p 550 il mercato è efficiente (tutti gli scambi mutualmente convenienti avvengono). Buona (π) Natura Scadente (1 π) S a S b p L p H p L p H B a B b A R A R {p v H S,vH B p} {0,0} {p v L S,vL B p} {0,0}

38 Inefficienza degli equilibri di mercato In modelli più complessi: il giocatore informato può segnalare il proprio tipo nel mercato delle auto usate i venditori di auto buone possono offrire garanzie per la riparazione di guasti nel mercato del lavoro lavoratori di elevata abilità possono utilizzare il segnale dato dal titolo di studio per distinguersi anche il giocatore non informato può utilizzare strategie per selezionare il tipo di agente le imprese assicuratrici possono offrire contratti con diverse combinazioni di copertura e prezzi le banche possono offrire diverse combinazioni di tassi di interesse e collaterale ma solo segnali credibili (leggi costosi) possono funzionare quindi vi sno sempre inefficienze i contratti assicurativi non offrono copertura totale in presenza di limiti di ricchezza razionamento del credito, etc...