PROBABILITÀ CONDIZIONATA Lezione n. 8

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1 PROBABILITÀ CONDIZIONATA Lezione n. 8 Finalità: Enunciare le definizioni maturate attraverso l esercitazione pratica. Sistematizzare i concetti attraverso i diagrammi ad albero. Metodo: Sperimentazione pratica, compilazione delle schede e rappresentazione grafica. Materiali didattici: Schede di gruppo, bottoni, sacchetti. Estrazioni di bottoni Con la scheda dal titolo SEQUENZE DI EVENTI ALEATORI E PROBABILITÀ CONDIZIONATA si è proposto alla classe un nuovo lavoro di gruppo per sperimentare altre situazioni probabilistiche. Si è dato ai ragazzi un sacchetto contenente bottoni di diverso colore e si sono formati i gruppi di lavoro mediante l estrazione delle carte napoletane. Questo metodo di selezione ha permesso di verificare la scarsa probabilità di capitare in gruppo con le stesse persone e così di confrontarsi di volta in volta con compagni diversi. I temi affrontati nella scheda sono stati due: estrazione con reinserimento ed estrazione senza reinserimento e per ognuno di essi sono stati proposti due esercizi. Nel primo esercizio si è considerato un ugual numero di bottoni di colore diverso, mentre nel secondo si è considerato un differente numero di bottoni di colore diverso. Quindi i ragazzi, nella prima parte della scheda, si sono trovati a ragionare con oggetti nuovi in situazioni note e grazie alle conoscenze acquisite sono stati capaci di affrontarle e risolverle; mentre nella seconda parte si sono scontrati con situazioni nuove e così solo i più attenti hanno risolto esattamente gli esercizi proposti. Nel primo esercizio si è esaminata l estrazione con reinserimento di bottoni, a tre a tre di diverso colore, richiedendo, dopo l esercizio pratico, di calcolare lo spazio degli eventi, il valore della probabilità dei singoli eventi, la tipologia degli eventi ed infine la rappresentazione grafica delle sequenze di eventi aleatori. Questo esercizio è stato risolto correttamente da tutti i gruppi. Nel secondo esercizio è stata 79

2 considerata ancora l estrazione con reinserimento ma con differente numero di bottoni di diverso colore. Questa situazione ha indotto in errore qualche ragazzo, che ha sbagliato sia i valori della probabilità degli eventi sia la tipologia degli eventi stessi. Il terzo e il quarto esercizio sono stati strutturati come i primi due con la differenza di considerare estrazioni senza reinserimento. I ragazzi non hanno colto la differenza tra la precedente situazione e questa nuova, nonostante si fossero evidenziati nelle tracce degli esercizi i termini con e senza reinserimento. Dalla correzione delle schede si è evinto che un solo gruppo ha risolto bene tutti gli esercizi riportando le giuste osservazioni e riconoscendo le differenze della nuova situazione rispetto alla vecchia, tutti gli altri gruppi hanno manifestato incapacità nell affrontare e risolvere tale situazione. I ragazzi, nonostante abbiano verificato praticamente i risultati dell estrazione senza reinserimento rispondendo bene alle domande della prima parte dell esercizio, nei momenti di calcolo delle probabilità e di rappresentazione degli eventi hanno ripetuto gli stessi risultati degli esercizi già svolti, dimenticando che nell estrazione senza reinserimento il numero degli oggetti da estrarre diminuisce di volta in volta e dimostrando scarsa concentrazione. Questo modo di agire ha evidenziato come l attività di riflessione sia ridotta nei ragazzi di questa età, che ancora una volta hanno preferito ripetere meccanicamente gli stessi risultati a prescindere dalle situazioni, commettendo così molti errori. Osservazioni critiche L approccio con la probabilità condizionata non è stato facile per i ragazzi di quest età, data la complessità dell argomento. In questo caso non è bastato l esercizio pratico, svolto in gruppo, per ricavare alcune prime osservazioni e poi la regola, ma è stato necessario per la classe ripetere insieme all insegnante l esperimento pratico segnando di volta in volta il risultato alla lavagna per analizzare e commentare la situazione. Di seguito l insegnante ha rappresentato con un diagramma ad albero tale sequenza di eventi aleatori sottolineando le differenze con le situazioni già incontrate. Questo momento di riflessione è stato prezioso per gli alunni, che hanno approfittato per porre alcune domande e per chiarire i dubbi sull argomento; inoltre ha evidenziato l importanza del confronto alunni-insegnante per ben acquisire le 80

3 nuove conoscenze. Infine si è proposto agli alunni un esercizio individuale da svolgere a casa per verificare l apprendimento, nel quale si è riproposta l estrazione senza reinserimento e si è richiesta la rappresentazione grafica dei singoli eventi con i rispettivi valori probabilistici. I risultati, questa volta sono stati soddisfacenti. 81

4 Scheda n. 8 Sequenze di eventi aleatori e probabilità condizionata Consideriamo le estrazioni di bottoni da un urna. In questo caso lo studio può essere utilmente sviluppato con l aiuto di diagrammi ad albero. Consideriamo un urna nella quale sono contenuti sei bottoni, tre gialli e tre rosa. Estraiamo a caso un bottone, poi lo reinseriamo nell ur- 1 na (estrazione con reinserimento). In questo modo ci rimettiamo nelle stesse condizioni iniziali e ciascuna prova sarà indipendente dalla precedente. Inoltre notiamo che il numero di bottoni gialli è uguale al numero di bottoni rosa, questo ci assicura che l uscita di un bottone giallo è equipossibile con l uscita di un bottone rosa. Qual è Ω? Consideriamo gli eventi: A: esce il bottone giallo e B: esce il bottone rosa ; Qual è p(a)? Qual è p(b)? Come sono questi eventi? Consideriamo l estrazione di un bottone con reinserimento. Con queste condizioni prova a fare 2 estrazioni, qual è il tuo risultato? Con queste condizioni prova a fare 3 estrazioni, qual è il tuo risultato? Con queste condizioni prova a fare 4 estrazioni, qual è il tuo risultato? Che cosa noti? Utilizzando i diagrammi ad albero, come rappresenteresti graficamente la sequenza consistente di 2 (3, 4) estrazioni. Inoltre indica su ogni freccia la probabilità del singolo evento. 82

5 Consideriamo un urna nella quale sono contenuti sei bottoni, questa 2 volta due sono gialli e quattro rosa. Estraiamo a caso un bottone, poi lo reinseriamo nell urna (estrazione con reinserimento). In questo modo ci rimettiamo nelle stesse condizioni iniziali e ciascuna prova sarà indipendente dalla precedente. Notiamo, però, che il numero di bottoni gialli non è uguale al numero di bottoni rosa, questo non ci assicura che l uscita di un bottone giallo è equipossibile con l uscita di un bottone rosa. Qual è Ω? Consideriamo gli eventi: A: esce il bottone giallo e B: esce il bottone rosa ; Qualè p(a)? Qual è p(b)? Come sono questi eventi? Consideriamo l estrazione di un bottone con reinserimento. Con queste condizioni prova a fare 2 estrazioni, qual è il tuo risultato? Con queste condizioni prova a fare 3 estrazioni, qual è il tuo risultato? Con queste condizioni prova a fare 4 estrazioni, qual è il tuo risultato? Consideriamo un urna nella quale sono contenuti sei bottoni, tre gialli e tre rosa. Estraiamo a caso un bottone, poi non lo reinseriamo nel- 3 l urna (estrazione senza reinserimento). In questo modo non ci rimettiamo nelle stesse condizioni iniziali e ciascuna prova sarà dipendente dalla precedente. Inoltre notiamo che il numero di bottoni gialli è uguale al numero di bottoni rosa, questo ci assicura che l uscita di un bottone giallo è equipossibile con l uscita di un bottone rosa. Qual è Ω? Consideriamo gli eventi: A: esce il bottone giallo e B: esce il bottone rosa ; Qual è p(a)? Qual è p(b)? Come sono questi eventi? 83

6 Consideriamo l estrazione di un bottone senza reinserimento. Con queste condizioni prova a fare 2 estrazioni, qual è il tuo risultato? Con queste condizioni prova a fare 3 estrazioni, qual è il tuo risultato? Con queste condizioni prova a fare 4 estrazioni, qual è il tuo risultato? Che cosa noti? Utilizzando i diagrammi ad albero, come rappresenteresti graficamente la sequenza consistente di 2 (3, 4) estrazioni. Inoltre indica su ogni freccia la probabilità del singolo evento. Consideriamo un urna nella quale sono contenuti sei bottoni, questa 4 volta due sono gialli e quattro rosa. Estraiamo a caso un bottone, poi non lo reinseriamo nell urna (estrazione senza reinserimento). In questo modo non ci rimettiamo nelle stesse condizioni iniziali e ciascuna prova sarà dipendente dalla precedente. Inoltre notiamo che il numero di bottoni gialli non è uguale al numero di bottoni rosa, questo non ci assicura che l uscita di un bottone giallo è equipossibile con l uscita di un bottone rosa. Qual è Ω? Consideriamo gli eventi: A: esce il bottone giallo e B: esce il bottone rosa ; Qual è p(a)? Qual è p(b)? Come sono questi eventi? Consideriamo l estrazione di un bottone senza reinserimento. Con queste condizioni prova a fare 2 estrazioni, qual è il tuo risultato? Con queste condizioni prova a fare 3 estrazioni, qual è il tuo risultato? Con queste condizioni prova a fare 4 estrazioni, qual è il tuo risultato? 84

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