Esperienze del primo semestre del Laboratorio di Fisica I

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1 Esperienze del primo semestre del Laboratorio di Fisica I 25 settembre 2003

2 Meccanica Pendolo semplice Il pendolo semplice, che trovate montato a fianco del tavolo, è costituito da una piccola massa (intercambiabile) sospesa mediante un filo di refe, ed ha un montaggio che consente di cambiare in modo molto semplice la sua lunghezza. (Chiedete all esercitatore presente di illustrarvi le poche manovre necessarie per far questo). Sia l (lunghezza del pendolo) la distanza tra il punto di sospensione e il centro di massa della massa sospesa, m la massa del pendolo, che misurerete sulla bilancia elettronica, e α 0 l angolo massimo di oscillazione, cioè l angolo da cui farete partire il moto, che potete misurare utilizzando un po di trigonometria e il foglio di carta millimetrata che sta dietro al pendolo (evitate, per favore, di scrivere a penna sul foglio di carta millimetrata!). Scegliete valori ragionevoli per l, m e α 0 e misurate, usando il cronometro disponibile, il periodo di oscillazione T al meglio della strumentazione a disposizione. Indicate esplicitamente il procedimento seguito per la misura di T e per la stima del suo errore T. Studiate come varia T in funzione delle variabili l, m e α 0. Per far questo scegliete un valore ragionevole per due delle variabili tenute rigorosamente costanti mentra cambia la terza. Tenere costante m non è un problema; per α 0 c è qualche piccola difficoltà, ma in realtà basta che α 0 sia tenuto quasi costante (potete giustificare questa affermazione?); per tenere costante l ricordate che l è la distanza tra il punto di sospensione e il centro di massa del corpo sospeso. Nella relazione, indicate i valori misurati in opportune tabelle e fate grafici degli andamenti. Dall analisi di tutte le misure effettuate e facendovi aiutare dai grafici, anche in carta logaritmica, quale legame funzionale è ragionevole ipotizzare fra il periodo T del pendolo semplice e le grandezze l, m e α 0? 1

3 Meccanica Misura dell accelerazione di gravità usando una molla Dopo aver misurato i valori delle masse dei pesini a disposizione con la bilancia elettronica, montate la molla sul supporto verticale e misurate i suoi allungamenti in corrispondenza a masse diverse poste sul piattino. Non allungate mai la molla oltre i 50 cm!. Costruite il grafico degli allungamenti y i in funzione della massa m i posta sul piattino. Se i punti del grafico appaiono allineati, determinare, per via grafica, la retta che meglio approssima i dati nella forma: y = am + b a = b = Come è legato il coefficiente angolare a alla accelerazione di gravità g e alla costante elastica k della molla? Mettete in oscillazione verticale la molla per ciascuna delle masse m i poste sul piattino, misurate il corrispondente periodo di oscillazione T i al meglio della strumentazione a disposizione e stimate l errore T i. Indicate esplicitamente il procedimento seguito sia per la misura del periodo che per la stima dell errore. Costruite la tabella delle misure m i, T i, T i. Ricordando che dovrebbe valere la legge: T = 2π m + m p µ k dove m è la massa posta sul piattino, µ è la massa della molla, m p la massa del piattino e k la costante elastica della molla, costruite, su carta millimetrata, il grafico (T 2 i, m i). Se, come è ragionevole aspettarsi, i punti sono allineati, fate un fit grafico e determinate i valori delle costanti a 1 e b 1 nella legge T 2 = a 1 m + b 1 a 1 = b 1 = Dalla misura dei coefficienti a ed a 1, deducete il valore della accelerazione di gravità g e del suo errore: g = g = 2

4 Meccanica Pendolo di torsione Misura del modulo di torsione e della costante di rigidità d un filo metallico utilizzando un pendolo di torsione Un filo di acciaio fissato all estremo superiore è solidale, all altro estremo, ad un corpo di momento di inerzia I, sconosciuto. 1. Quando si torce leggermente il filo (di lunghezza l e diametro d (state attenti che parte del filo non è visibile: un cartellino scritto a mano indica la misura della parte invisibile), il corpo compie delle piccole oscillazioni di periodo: I T = 2π k 2. Se si aggiunge al corpo sospeso la corona cilindrica (che trovate sul tavolo) di momento di inerzia noto I 0 : I 0 = 1 2 M(R2 i + R 2 e) (M è la massa della corona cilindrica, R i ed R e sono rispettivamente il raggio interno ed esterno), il periodo delle piccole oscillazioni diventa: T = 2π I + I0 3. Misurate il periodo delle piccole oscillazioni senza e con il corpo aggiunto. Da queste misure determinate il momento di inerzia I, il modulo di torsione k e la costante di rigidità G, che è legata a k dalla relazione: G = 32 π k lk d 4 3

5 Meccanica Legge spazio-tempo per il rotolamento puro di una sfera su un piano inclinato Nel caso di rotolamento puro di una sfera su un profilo come quello del montaggio, la legge teorica per la relazione fra spazio s e t (tempo di percorrenza), con le condizioni iniziali v 0 = 0, s 0 = 0 è s = 5 g sin αt2 18 ove α è l inclinazione del piano e g l accelerazione di gravità. Misurate l inclinazione α del piano con la livella elettronica. Lasciando poi partire la sfera da altezze diverse, mediante il calcolatore misurate i tempi t i necessari a percorrere gli spazi s i, questi ultimi misurati col metro a nastro. Badate a che la sferetta parta, da fermo, il più possibile vicina al traguardo ottico iniziale, in modo che le condizioni v 0 = 0, s 0 = 0 siano verificate con buona approssimazione. Riportate le misure fatte in un grafico cartesiano su carta millimetrata. E conveniente riportare i punti {s i, t 2 i }, perché se le condizioni iniziali di velocità e spazio nulli sono ben verificate ci aspettiamo una parabola (s = at 2 ), quindi nel grafico {s i, t 2 i } una retta. Confrontate il coefficiente angolare a determinato mediante fit grafico con quello previsto dal modello teorico. Se invece il grafico non rappresenta una retta significa che non sono soddisfatte le condizioni iniziali v 0 = 0, s 0 = 0. Conviene allora cercare la funzione s = at 2 + bt + c che meglio si adatta ai punti misurati. Per determinare i migliori parametri a, b e c usate il metodo di fit analitico che considerate più opportuno, tenuto conto delle misure fatte ed i loro errori, e confrontate il valore ottenuto per a col valore teorico. I parametri b e c che significato assumono? Se rimane tempo ripetete la misura usando sfere di massa diversa (o di raggio diverso) e controllate se il risultato dipende dalla massa della sfera (o dal suo raggio). Se sì, provate a pensare a quale ragione può esser dovuto questo fatto. 4

6 Densità Misura di densità Misurate sia la massa m che il volume V dei molti pezzi a disposizione. Costruite una tabella m i, V i, V i delle masse, dei volumi e dei corrispondenti errori massimi calcolati mediante la propagazione degli errori. Riportate le misure m i, V i su di un grafico cartesiano. Le misure sono consistenti con l ipotesi che tutti i pezzi abbiano la stessa densità? I materiali che hanno lo stesso aspetto cromatico hanno la stessa densità? Utilizzando il grafico fatto stimate, mediante fit grafico, la densità dei vari pezzetti ed il corrispondente errore; esprimete densità ed errore in unità c.g.s. e M.K.S.. 5

7 Termodinamica Misura della conducibilità termica dell alluminio Avete a disposizione due barre cilindriche di alluminio, una delle quali è rivestita di materiale isolante (neoprene). Ciascuna barra è riscaldata ad una estremità mediante un riscaldatore elettrico ed è refrigerata all altra mediante circolazione di acqua fredda. Misurate le distanze fra i fori presenti e misurate poi la temperatura T i nella posizione di ciascun foro. Costruite un grafico per entrambe le barre, mettendo in ascissa la posizione x i del foro rispetto all estremità riscaldata, e in ordinata la temperatura T i. Confrontate i due grafici. Ci sono differenze fra i due grafici? Se sì, provate a trovarne una spiegazione. Dai dati del grafico per la barra ricoperta da isolante, misurate la conducibilità termica λ. Assumendo che non ci sia scambio termico alla superficie della barra, il trasferimento di energia lungo la barra può esser considerato indipendente dalla posizione x. Risulta quindi costante anche il gradiente medio di temperatura (T i T j )/ x ij. In queste condizioni la relazione che lega la conducibilità termica λ alla potenza fornita W e al gradiente di temperatura è W = λs (T i T j ) x ij dove S è la superficie della sezione della barra. La potenza W per l apparato montato è W = V I 2 dove V è la tensione erogata ed I 2 è la corrente che circola in ciascun riscaldatore; V ed I vengono lette sul display dell alimentatore. Nel sistema MKS la conducibilità termica si misura in watt/(m K), però spesso vengono usate anche le unità watt/(cm K). 6

8 Statistica Statistica sulle lunghezze di un campione di chiodini 1. Misurate la lunghezza dei 100 chiodi (o 300 chiodi) che trovate sul banco usando il calibro ventesimale disponibile. 2. Disegnate l istogramma della frequenza O i delle misure raggruppandole in un numero di intervalli M che sia all incirca la radice quadrata del numero dei chiodini. 3. Calcolate il valor medio, la varianza e la deviazione standard del campione della distribuzione che avete misurato. 4. Assumete che i valori trovati siano quelli della distribuzione dei chiodini. Controllate, mediante il test del χ 2, l ipotesi che la distribuzione delle lunghezze dei chiodini, di cui le misure fatte sono un campione, sia una distribuzione Gaussiana. Suggerimento: assunta buona l ipotesi di distribuzione Gaussiana, calcolate le probabilità associate ai vari intervalli usando le tabelle della errorf unction; questi valori, moltiplicati per il numero totale di chiodi del campione, danno le frequenza attese E i. A questo punto calcolate il χ 2 χ 2 = M i=0 (O i E i ) 2 E i. Usate le tabelle del χ 2 e il valore ottenuto per controllare la validità dell ipotesi di partenza. 7