Parametro (ultima cifra non nulla della matricola): + v c (t)

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1 UNIVESITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDEICO II FACOLTÀ DI INGEGNEIA COSO DI LAUEA IN INGEGNEIA MECCANICA A-I, INGEGNEIA BIOMEDICA, INGEGNEIA PE LA GESTIONE DEI SISTEMI DI TASPOTO Prof. Luigi Verolino Prova scritta del 31 Gennaio 2012 Cognome: Nome: ESECIZIO 1 Matricola: Parametro (ultima cifra non nulla della matricola): { e(t) C v c (t) i Quesiti: isolvere la rete mostrata in figura per, con costante di tempo del circuito. Cosa accade se? ESECIZIO 2 i1 (t) L 1 i2 (t) L 2 3 i3 (t) L C C C Quesiti: Per la rete trifase mostrata in figura, si determinino: ( La terna di alimentazione è simmetrica. il valore di C che consente di rifasare completamente il carico; le tre correnti di linea,. Questo foglio deve essere consegnato insieme al compito. È possibile averne una copia sul sito

2 Prova scritta del 31 Gennaio 2012 ESECIZIO 1 isolvere la rete mostrata in figura per circuito. Cosa accade se?, con costante di tempo del e(t) C v c (t) i Svolgimento i e(t) i v c (t) Per t < 0 la rete opera in regime stazionario: il condensatore si comporta come un circuito aperto. La tensione si ottiene come Per t = 0 si ha -.

3 Per t > 0 le LK impongono che Sostituendo ed nella terza equazione si ottiene da cui Il problema di Cauchy da risolvere per t 0 è dunque L equazione omogenea associata è da cui si ottiene l equazione caratteristica

4 Nella ipotesi, l integrale generale dell omogenea associata assume la forma L integrale particolare dell equazione completa va cercato tra le funzioni del tipo Sostituendo nell equazione differenziale si ottiene da cui L integrale generale dell equazione completa è, in definitiva, Imponendo la condizione iniziale, si ottiene e, quindi,

5 Quando, si ha Per trovare il limite del secondo termine, che conduce ad una forma indeterminata, si può utilizzare la regola di de l Hôpital: Quindi, per, Allo stesso risultato si giunge ponendo e ricordando che, se - è una radice semplice del polinomio caratteristico associato all equazione omogenea, la soluzione particolare va cercata tra le funzioni del tipo

6 ESECIZIO 2 Per la rete trifase mostrata in figura, si determinino: a) il valore di C che consente di rifasare completamente il carico; b) le tre correnti di linea,. i1 (t) L 1 i2 (t) L 2 3 i3 (t) L C C C ( La terna di alimentazione è simmetrica. Svolgimento Passando al dominio dei fasori, ed adoperando una convenzione ai valori efficaci, si ha Possiamo allora ricavare le tensioni stellate di alimentazione: -, -,. Per rifasare completamente l impianto si procede in questo modo. In assenza della batteria di condensatori si ha che.

7 Dopo l inserimento della batteria di condensatori, si ha Poiché si vuole rifasare completamente il carico, bisogna imporre Quindi, si può scrivere, cioè -. Poiché si ha In assenza della batteria di condensatori, essendo il carico equilibrato, si può scrivere la potenza complessa come Dato che si ha immediatamente Poiché il carico è equilibrato, le tre correnti di linea hanno lo stesso modulo, pari a

8 La potenza complessa vale da cui si evince che Il valore di C che consente di rifasare completamente il sistema è Le correnti di linea e si possono ottenere osservando che i due carichi trifasi, essendo entrambi equilibrati, sono collegati in parallelo all alimentazione. La rete trifase si semplifica come mostrato nella figura che segue. 1 i 1 (t) 2 i 2 (t) 3 i 3 (t) Z Z Z Posto avendo rifasato completamente il sistema, il carico su ciascuna linea è puramente resistivo!

9 Le tre correnti di linea, ciascuna delle quali è in fase con la rispettiva tensione stellata di alimentazione, valgono - - ; ;.