Prova I Calcolo delle Probabilit a, II modulo a.a. 2002/2003 Note Per il recupero del I esonero: esercizi 1, 2, 3, 4 (2 ore a disposizione). Per il re

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1 Prova I Note Per il recupero del I esonero: esercizi 1, 2, 3, 4 (2 ore a disposizione). Per il recupero del II esonero: esercizi 5, 6, 7, 8 (2 ore a disposizione). ppello d'same: un esercizio scelto tra 1 e 2; un esercizio scelto tra 3 e 4; esercizi 5, 6, 7 (3 ore a disposizione). Esercizio 1. Sia dato (Ω; F;P), dove con Ω = R, F = B(R) e, per 2F, Sia X : Ω! R, X(!) =!. P() =2 e 2 ο 1l ο>0 dο: a) Verificare che (Ω; F; P) e uno spazio di probabilit a e che X e una v.a., con legge Exp(2). b) Posto Y =1l X2(0;1) 1l X2 IN, scrivere ff(y ) (= sigma algebra generata da Y )edire qual e la legge di Y. Esercizio 2. Siano Ω = f0; 1; 2;:::g e F = P(Ω). Su (Ω; F), siano P 1 e P 2 definite da Pi() = X k2 p i (k); ρ Ω; i =1; 2 (con Pi(;) :=0)dove, per ρ 2 (0; 1) e N 2 N fissati, (misura geometrica) p 1 (k) =ρ k (1 ρ); k =0; 1;::: N ρ k (1 ρ) N k (misura binomiale) p 2 (k) = k 8 < : se k =0;:::;N 0 se k>n a) Verificare che P 1 e P 2 sono due misure di probabilit a. b) Mostrare che P 1 fi= P 2 ma che P 2 fi P 1, e scrivere dp2 dp 1. Esercizio 3. Media, varianza e covarianza: definizione e significato probabilistico. Esercizio 4. Dimostrare che il prodotto di due v.a. indipendenti di L 1 e una v.a. di L 1, con media pari al prodotto delle due medie. Esercizio 5. Sia fx k g k una successione di v.a. i.i.d., ciascuna con densit a p(x) = 1 2x 1l e 1 <x<e: p Q 1=n Posto Y n = n Q 1= X k=1 k edin = n n, X k=1 k dimostrare che per ogni g 2 Cb, n!1 E(g(Y n)) = g(1) e n!1 E(g( n)) = g(e z ) p 2ß=3 e 3 z2 =2 dz:

2 Esercizio 6. Siano X e Y due v.a. con densit a congiunta p(x; y) =c p x 2 + y 2 1l x 2 +y 2»1 a) Calcolare c e la densit a congiunta di U = jxj e V = Y=X. U e V sono indipendenti? E la terna (Y; U; V )hadensit a di probabilit a? b) Per n 1, sia R n la distanza di (X n ;Y n ) dall'origine, con (X n ;Y n ) copie indipendenti di (X; Y ). Studiare la convergenza di fd n g n,dove D n = min(r 1 ;:::;R n ). Esercizio 7. Enunciare, dimostrare a grandi linee e discutere le applicazioni del teorema di convergenza di Lévy. Esercizio 8. E vero che se una successione di v.a. converge q.c. allora converge in L p? Ed e vero il viceversa? (Giustificare le risposte).

3 Prova II Esercizio 1. Sia G : R! R una funzione monotona non decrescente, itata e c adl ag, e sia μ G ((a; b]) := G(b) G(a); a; b 2 R; a» b: a) Mostrare che esiste un'unica misura μ su (R; B) tale che μ μ G sugli intervalli della forma (a; b]. b) Trovare condizioni su G affinché (R; B;μ) sia uno spazio di probabilit a. Se μ e una misura di probabilit a, e vero che esiste una v.a. X con legge μ? E in caso affermativo, che relazione c' e tra G e la funzione R di distribuzione F X di X? x c) Supponiamo G(x) =1+ 1 g(t) dt, con g 2 L1 (R; B; Leb) fissata e g(t) 0 per q.o. t. Verificare che G soddisfa le ipotesi richieste e che in tal caso μ() = g(t) dt; per ogni 2B: Dedurre quindi che μ fi Leb e scrivere dμ. Se μ e una misura di probabilit a ed e la legge dleb di una v.a. X, evero che X ha densit a? Se s, quanto vale la densit a f X di X? Esercizio 2. Siano fx n g n, fy n g n due successioni di v.a. e X, Y due ulteriori v.a. Dimostrare che se X n! X e Yn! Y allora Xn + Y n! X + Y dove!" denota la convergenza q.c. oppure in probabilit a 1 oppure in L p. Mostrare che lo stesso risultato in generale non vale se!" = convergenza in legge. Esercizio 3. Per n 1, sia fx n g n una successione di v.a. tali che X n ο N(μ; ff 2 n), con μ 2 R e ff 2 n! 0pern!1. a) Studiare la convergenza in probabilit a, in L p e in legge della successione fx n g n. b) Trovare due successioni possibili per fff 2 ng n tali che fx n g n converge q.c. e fx n g n non converge q.c. (eventualmente imponendo una condizione di indipendenza sulle X n ) 2. Esercizio 4. Siano X e Y due v.a. indipendenti, con legge Exp(1). a) Calcolare la densit a congiunta e le densit a marginali di U = X + Y e V = X Y. b) Calcolare Cov(U; V ). U e V sono indipendenti? c) Sia f(u n ;V n )g n una successione di v.a. i.i.d. tale che (U n ;V n ) ha la stessa legge di (U; V ). Calcolare, se esiste, X n n!1 P (U k + V k 2) > p n : k=1 Esercizio 5. a) Enunciare e dimostrare il teorema di Weierstrass. b) La funzione caratteristica: descrivere le propriet a che ritenete particolarmente importanti (giustificando la scelta - eventuali dimostrazioni sono ben accette). 1 Potrebbe essere utile il seguente fatto: se U e V denotano due v.a. allora per ogni ffi>0, fju + V j > ffig ρfjuj + jv j >ffigρfjuj >ffi=2g [fjv j >ffi=2g. 2 tale scopo, potrebbe essere utile la seguente stima (facilmente dimostrabile): se ο N(0; 1), allora per z! +1 P(jj >z) ' 2 e z2 =2 p 2ßz (o, equivalentemente, z!+1 P(jj>z) 2 e z 2 =2 =( p 2ßz) =1)

4 Prova III Esercizio 1. Sia F una funzione di distribuzione su R. mediana per F se e solo se x"m F (x)» 1 2» F (m): Un punto m 2 R e detto una Dimostrare l'esistenza di almeno una mediana e che l'insieme delle mediane e un insieme chiuso di R. Interpretare il concetto di mediana". Esercizio 2. Se ffi(t) denota una funzione caratteristica, dimostrare che anche μ ffi(t), ffi 2 (t), jffij 2 (t) sono funzioni caratteristiche. Esercizio 3. Sia (X; Y ) una coppia di v.a. con densit a gaussiana bivariata: ; dove ρ 2 ( 1; 1) e fissato. f X;Y (x; y) = p 1 2ß 1 ρ exp 2 x2 2ρxy + y 2 2(1 ρ 2 ) p a) Calcolare, se esiste, la densit a congiunta di X e =(Y ρx)= 1 ρ 2 e dedurre che P(X >0;Y > 0) = ß arcsin ρ. b) Calcolare Cov(X; ) ecov(x; Y ). Studiare l'indipendenza tra X e etrax e Y. c) Sia Λ X,Λ eλ X+ la legge di X, di edix + rispettivamente. c1) Dire se Λ X fi Λ e in caso affermativo calcolare dλx dλ. c2) Dire se Λ X fi Λ X+ e in caso affermativo calcolare dλ X dλ X+. Esercizio 4. Si consideri una partizione dell'intervallo [0; 1] in m sotto-intervalli disgiunti di ampiezza positiva p 1 ;p 2 ;:::;p m. L'entropia di questa partizione e data dalla quantit a h = mx i=1 p i log p i : Sia fx k g k una successione di v.a. i.i.d., con legge Un(0; 1), e sia n (i) ilnumero delle v.a. X 1 ;X 2 ;:::;X n che cadono nell'i-esimo intervallo della partizione. Posto R n = my i=1 dimostrare che n 1 log R n! h q.c. per n!1. p n(i) i ; Esercizio 5. a) Dimostrare un teorema di rappresentazione di Skorohod e mostrarne qualche interessante esempio di applicazione. b) Convergenza q.c. e in probabilit a: dimostrare eventuali implicazioni e discutere (con controesempi) eventuali non-implicazioni.

5 Prova IV Esercizio 1. Sia dato (Ω; F;P), con Ω = R, F = B(R) e, per 2F, Sia X : Ω! R, X(!) =!. P() = οe ο 1l ο>0 dο: a) Verificare che (Ω; F; P) e uno spazio di probabilit a e che X e una v.a., con legge (2; 1). b) Posto Y = 1l X2(0;1) 1l X2 IN, verificare che Y e una v.a. Scrivere ff(y ) (= sigma algebra generata da Y ) e dire qual e la legge di Y. Esercizio 2. Siano X e Y v.a. i.i.d., con legge Un(0; 1), e siano U = min(x; Y ) e V = max(x; Y ). a) Calcolare, se esistono, la densit a congiunta di U e V e le rispettive densit a marginali. b) Le v.a. U e V sono indipendenti? c) Per ff 2 R, calcolare P(U + ff>v). d) Sia W = Y X. La v.a. (su R 3 )(U; V; W ) ha densit a? Esercizio 3. Sia fx n g n una successione di v.a. e sia f una funzione continua. Dimostrare che se X n! X allora f(xn )! f(x) dove!" denota la convergenza q.c. oppure in legge. Mostrare che lo stesso risultato in generale non valese!" = convergenza in L p. Esercizio 4. a) Siano X 1 ;:::;X n v.a. i.i.d. con legge Exp( ). Dimostrare che S n := P n k=1 X k ο (n; ). b) Sia g 2 C b (R). Dimostrare che, per ogni >0, n!1 n (n 1)! 1 g 0 t n t n 1 e t dt = g(1= ): Esercizio 5. Dimostrare il Teorema del Limite Centrale e discutere almeno un esempio di applicazione.

6 Prova V Esercizio 1. Siano Ω = R e F = B(R). Su (Ω; F), siano P 1 e P 2 definite da dove, fissato >0, Pi() = p i (x) dx; ρ Ω; i =1; 2 p 1 (x) = e x 1l x>0 p 2 (x) = 1 1l 0<x< (misura esponenziale) (misura uniforme) a) Verificare che P 1 e P 2 sono due misure di probabilit a. b) Dire se Pi fi Pj ed in caso affermativo scrivere dpi dp j, i 6= j, i; j 2f1; 2g. Esercizio 2. Sia fx n g n una successione di v.a. i.i.d., con legge Un( 1; 1). Siano U n =min(x 1 ;:::;X n ) e V n = max(x 1 ;:::;X n ): Studiare la convergenza q.c., in probabilit a, in legge e in L 1 delle successioni fu n g n, fv n g n e fu n + V n g n. Esercizio 3. Sia (X; Y ) una coppia di v.a. con densit a gaussiana bivariata: f X;Y (x; y) = ; dove ρ 2 ( 1; 1) e fissato. p 1 2ß 1 ρ exp 2 x2 2ρxy + y 2 2(1 ρ 2 ) p a) Calcolare, se esiste, la densit a congiunta di X e =(Y ρx)= 1 ρ 2 e dedurre che P(X >0;Y > 0) = ß arcsin ρ. b) Calcolare Cov(X; ) ecov(x; Y ). Studiare l'indipendenza tra X e etrax e Y. c) Dire se (X; Y; ) e una v.a. assolutamente continua su R 3 ; in caso affermativo, calcolarne la densit a di probabilit a. Esercizio 4. a) Siano 1» p<q. E vero che L p ρ L q? E vero che L q ρ L p? (Giustificare le risposte). b) La funzione caratteristica: descrivere le propriet a che ritenete particolarmente importanti (giustificando la scelta - eventuali dimostrazioni sono ben accette). c) Enunciare e dimostrare in grandi linee i lemmi di Borel-Cantelli; dare un esempio di applicazione che ritenete significativo (giustificare!) nel Calcolo delle Probabilit a.