Tracciamento. Gabriele Chiodini Istituto Nazionale di Fisica Nucleare Sezione di Lecce

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1 Tracciamento Gabriele Chiodini Istituto Nazionale di Fisica Nucleare Sezione di Lecce Corso di Laurea Magistrale in Fisica dell Università del Salento Anno accademico II Semestre (49 ore, 7 CFU) 1

2 Parametrizzazione traiettoria ad elica Elica in space (x,y,z)(s) λ=dip angle, h=±1=direzione di percorrenza, φ0 =angolo iniziale sul piano trasverso d=parametro d impatto Proiezione piano trasverso: cerchio (x,y)=(r,θ) un giro sul piano trasverso s=2πh/rcosλ φ0 =legato anche alla pendenza della tangente alla traiettoria Proiezione nel piano longitudinale (x,z) oppure (y,z) è una sinusoide Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 2 /15

3 Approssimazione parabolica dell elica ad alto PT Ad alto PT il raggio di curvatura è molto più grande del raggio del solenoide e quindi possiamo sviluppare nel parametro s/r<<1 le funzioni trigonometriche e ci troviamo una espressione parabolica in x e y NB: i parametri dell elica nell approssimazione quadratica appaiono linearmente nell equazione. Questo fa si che nel fit con il metodo del chi2 la minimizzazione è un problema lineare. angolo nel piano trasverso curvatura con segno angolo polare La parametrizzazione più usata è questa Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 3 /15

4 Vertice di decadimento Vertice Primario Vertice Secondario o di decadimento Decaying particle Ψ daughter 1 Linea di volo L d daughter 2 L = decay length = βγct t = tempo di decadimento nel sistema di riposo distribuito esponenzialmente con vita media τ Ψ = angolo di decadimento d = parametro d impatto Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 4 /15

5 B e D vite medie circa 1 ps. Esempio fisica dei sapori pesanti B factory simmetrica e+(5.3gev)e-(5.3gev) produce a riposo ϒ(4S) BB: γb=1.002, βb=0.06, LB~30 μm, ψb~1 (IMPOSSIBILE DA SEPARARE) B factory asimmetrica e+(3.1gev)e-(9gev) produce con un boost ϒ(4S) BB: γb=1.15, βb=0.5, LB~290 μm, ψb~1 Collisori di alta energia (LEP, Tevatron, LHC) producono B s con γb=5-10, βb=1, LB=2-3 mm, ψb~0.1 La misura di L è la tecnica principale con cui si identificano i sapori pesanti (b o c- tagging). Il sistema di tracciamento interno deve essere capace di separare vertici primari da vertici secondari e quindi una risoluzione su L molto buona (rivelatore di vertice) L L << 1! L = µm Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 5 /15

6 Parametro d impatto L Ψ d Il parametro d impatto d di una traccia generica è la distanza minima del suo prolungamento rispetto al vertice primario. d=lsinψ=βγctsinψ βγct/γ~ct Per una decadimento con forte boost il d della traccia del vertice secondario è uguale al tempo di decadimento della particella che decade nel sistema di riferimento in cui è a riposo. La misura di L è buona per b e c tagging. La misura di d è necessaria per determinare la vita media ed il mixing che sono fenomeni definiti in termini del tempo proprio nel sistema di riferimento del centro di massa e non nel sistema di riferiemnto del laboratorio. Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 6 /15

7 Misura posizione del vertice d2 L Ψ1 Ψ2 d1 Trascuriamo l errore di misura sulla posizione del vertice primario che si assume centrato nell origine e sull angolo di decadimento. L è determinato dalla intersezione di due rette ricostruite dall angolo di decadimento e dal parametro d impatto dei prodotti di decadimento Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 7 /15

8 Risoluzione parametro d impatto: risoluzione spaziale Misura parametro di impatto con due piani di misura Equazione della retta passante per (x1,y1) e (x2,y2) Risoluzione spaziale Braccio di leva n=x2/x1>1 Risoluzione parametro d impatto Angolo di dec. : Slope m=sinψ Distanza minima dall origine d0 y1 Ψ x1 y2 x2 -Più vicino è il primo rivelatore al vertice primario migliore è la risoluzione (limitato dalla beam pipe) -Più lontano è il secondo rivelatore dal primo migliore è la risoluzione (limitato dai costi) Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 8 /15

9 Matrice di covarianza Angolo di decadimento e parametro d impatto sono correlati C d,m = apple < (d <d>) 2 > < (m <m>)(d <d>) > < (d <d>)(m <m>) > < (m <m>) 2 > apple " apple " = d = 2 y1 y 1,y 1 d,m @y 2 y 2,y 1 y1 e y2 non sono correlati quindi la loro matrice di covarianza è diagonale @y 2 Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 9 /15

10 Risoluzione parametro d impatto: scattering multiplo L angolo di scattering multiplo contribuisce all errore sul parametro d impatto e sull angolo di decadimento in modo correlato. Il materiale puo essere lo stesso piano di misura o la beam pipe. D x1 y1 x2 y2 θ MS D è la distanza del materiale dal punto di interazione d0 d = D MS, m = MS apple Cd,m MS D = 2 ( MS ) 2 D( MS ) 2 D( MS ) 2 ( MS ) 2 MS d = s X i (D i MS i ) 2 formula per diversi materiali di scattering θ MS θ MS è inversamente proporzionale a p. Per traccie inclinate longitudinalmente di un angolo poloidale θ lo spessore del piano di misura aumenta come sinθ -1 e l effetto di θ MS aumentato di un fattore geometrico sinθ -1. Quindi la risoluzione sul parametro di impatto si parametrizza come: d = d M MS d psin 3 2 Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 10/15

11 Fit globale con il metodo di minimizzazione del χ 2 Invertire una matrice di correlazione con N=O(10) ottenuta con misure precise è computazionalmente possibile e quindi minimizzare il χ2 globale includendo tutte le misure. Se non si considera lo scattering multiplo si hanno: N misure 2 parametri liberi N-2 gradi di libertà Se si vuole prendere in considerazione lo scattering multiplo gli angoli di scattering diventano a loro volta paremetri del fit sottoposti a dei vincoli: N parametri addizionali dovuti agli angoli di scattering N vincol: φms,k =0 e φms,k 2 =θms,k 2 2N-(N+2) gradi di libertà Se N>O(10) allora si ricorre al Kalman Filter Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 11/15

12 Fit iterativo con il Kalman filter Procedura iterativa con cui si aggiornano i parametri della traccia aggiungendo la misura di un piano alla volta. Si ha a che fare sempre con matrici di correlazione di un piano solo. Sul piano k-1-esimo abbiamo una stima Pk-1 dei parametri della traccia (ad esempio punto di impatto e direzione) Estrapoliamo sul piano k-esimo i parametri della traccia con un modello deterministico f. Calcoliamo lo jacobiano della predizione dei parametri sul piano k-esimo Calcoliamo la matrice di correlazione dei parametri della traccia sul piano k-esimo conoscendo la matrice di correlazione medesima sul piano k-1-esimo e lo jacobiano della predizione. Alla matrice di correlazione dell estrapolazione si può aggiungere la matrice di correlazione dovuta allo scattering multiplo (somma in quadratura) Costruiamo un chi2 locale somma di due chi2: -scarto quadratico tra coordinate misurate sul piano k-esimo e le predizioni pesato con l inverso della matrice di correlazione Vk. delle misure di quel piano -scarto quadratico tra i parametri veri della traccia e parametri predetti sul piano k-esimo pesato con l inverso della matrice di correlazione Ck. Minimizziamo il chi2 rispetto a Pk. Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 12/15

13 Vertex fitting Consideriamo Ntracks tracce fittate come linee rette. Se queste provengono da un unico punto (xv,yv) la miglior stima delle sue coordinate è quella che minimizza il chi2. Parametri liberi 2. Problema non-lineare perchè l errore sul parametro d impatto dipende dalla posizione del vertice secondario. E lineare se l incertezza sulla direzione è trascurabile σ φ =0. Molto meglio rifittare le tracce assieme alla posizione del vertice imponendo che passino tutte dal vertice: parametri liberi 2+Ntracks+2 cioè posizione del vertice e direzione al vertice φv delle tracce. Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 13/15

14 Pattern recognition: Hough transform The Hough transform is a method widely used in image processing. It is basically a transform between the coordinate space, in which measurements are performed the parameter space space in which tracks are defined The track model Given a measured point can be interpreted as a family of trajectories across this point La ricerca della migliore retta nello spazio delle coordinate si riduce alla ricerca di un vertice nello spazio dei parametri Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 14/15

15 Track seeding ATLAS INNER TRACKER Metodi Sperimentali di Fisica Nucleare e Subnucleare 15/15