( ) x x ( ) + + > + + = +, 3a 2ab b a 2ab b a b 0

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1 Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti. PROBLEMA Si considerino le seguenti funzioni: f(x) = ax x +, x x = +. g x ax b e Provare che, comunque siano scelti i valori di a e b in R con a, la funzione f ammette un massimo e un minimo assoluti. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni f e g si intersecano nel punto A (; ). Calcoliamo gli eventuali estremi relativi: x x x x ( ax + ( a b) x + a + b) e x x g ' x = a + x ax + b e = a + ax + b ax bx e = a b ± a b + a + 4ab g '( x) = ax ( a b) x a b = x = = a a b ± a ab + b + a + 4ab a b ± 3a + ab + b = = a a Il discriminante è certamente sempre positivo, dato che 3a ab b a ab b a b + + > + + = +, quindi ci sono in ogni caso due radici, che costituiscono ovviamente ascisse di un massimo e un minimo relativi, in particolare, se a >, si ha massimo per per a b + 3a + ab + b x = e minimo a a b 3a + ab + b x =. Viceversa se a <. Studiamo il comportamento della funzione a x x ax + b a lim ax + b e = lim = lim =, quindi la funzione ha y = x x x x x x x e e x agli estremi: come asintoto orizzontale. Poiché x x = + è prodotto di un fattore sempre positivo e g x ax b e uno che invece è lineare, quindi assume sia valori positivi che negativi, minimo e massimo relativo sono anche estremi assoluti. Per la seconda parte della prima richiesta basta sostituire le coordinate di A, nelle due equazioni e = 4a + b = a a = risolvere il sistema: = a + b = a + b b = Si assuma, d ora in avanti, di avere a = e b =. Studiare le due funzioni così ottenute, verificando che il grafico di g ammette un centro di simmetria e che i grafici di f e g sono tangenti nel punto B (; ). Determinare inoltre l area della regione piana S delimitata dai grafici delle funzioni f e g.

2 f x x x assoluto per = è una parabola con concavità rivolta verso l alto, quindi con minimo relativo e x =. Per ( ) x x = sfruttiamo quanto ottenuto in precedenza quindi: ha massimo per g x x e + x = e minimo per x =. Sempre asintoto orizzontale y =. Ha ovviamente un punto di flesso a tangente obliqua, che sta fra il minimo e il massimo, che evitiamo di calcolare, perché è il centro di simmetria che ci viene chiesto. Infatti se vi è simmetria centrale, il centro di simmetria deve essere il punto medio fra gli estremi relativi, ossia x = e y =. Verifichiamo quindi che è effettivamente questo: leggi della simmetria centrale: x = x c x. 4 x 4+ 4 x x x x + = + =. Abbiamo usato le g x g x x e x e Dire che le funzioni sono tangenti in B, equivale a dire che hanno la stessa tangente, e dato che passano entrambe per B, basta verificare che hanno la stessa derivata nel punto. Si ha: f (x) = x ; e x x g (x) = ( 4 ) x + x e. Da cui f () = ; e g () =. L area di cui si chiede il valore è quella mostrata in figura. x e x x dx = x e x + x + dx = x x E vale x x 3 x x x x 8 4 = e + + x = = Si supponga che nel riferimento Oxy le lunghezze siano espresse in metri (m). Si considerino tre fili conduttori rettilinei disposti perpendicolarmente al piano Oxy e passanti rispettivamente per i punti: P (3/ ; ), P (3/ ; ) e P 3 (3/ ; /). I tre fili sono percorsi da correnti continue di intensità i =, A, i e i 3. Il verso di i è indicato in figura mentre gli altri due versi non sono indicati. Stabilire come varia la circuitazione del campo magnetico, generato dalle correnti i, i e i 3, lungo il contorno di S, a seconda dell intensità e del verso di i e i 3.

3 Possiamo applicare il Teorema di Ampére, secondo il quale i Γ B = µ i, in cui si sommano solo le correnti concatenate alla superficie. Dobbiamo quindi stabilire quali dei 3 fili sono interni alla regione delimitata da S. Potremmo fidarci della figura precedente, ma preferiamo calcolare i valori delle due funzioni in x = 3/. Abbiamo: f = = g = e = e / 9 / 4 3 / 4 ;, 6 Quindi il punto P 3 (3/ ; /) è esterno e perciò non consideriamo i 3. Adesso consideriamo Γ B = µ A + i, men- verso e intensità di i. Se ha verso entrante come quello di i, avremo ( ) tre se ha verso uscente ( B) µ ( A i ) Γ =. Quindi, nel primo caso la circuitazione è sempre positiva; nel secondo caso invece se i = A, la circuitazione sarà nulla, mentre se i < A, la circuitazione sarà positiva, altrimenti sarà negativa. Si supponga, in assenza dei tre fili, che il contorno della regione S rappresenti il profilo di una spira conduttrice di resistenza R =, Ω. La spira è posta all interno di un campo magnetico u- niforme di intensità B =,5 T perpendicolare alla regione S. Facendo ruotare la spira intorno all asse x con velocità angolare ω costante, in essa si genera una corrente indotta la cui intensità massima è pari a 5, ma. Determinare il valore di ω. Per la I legge di Ohm avremo: fem(t) = R i(t). D altro canto per la legge di Faraday Neumann d d avremo: fem( t) = ( Φ ( B) ) = ( B S cos ( ωt) ) = B S ω sin( ωt). Quindi possiamo u- dt dt R i t = B S ω sin ωt, il cui valore massimo si ha ovviamente guagliare le due espressioni: quando sin(ωt) =, cioè 3, Ω 5, A ω =, 5 rad / s,5 T 4 / 3m =. R imax R imax t = B S ω ω = B S ( t), sostituiamo i dati: PROBLEMA Un condensatore piano è formato da due armature circolari di raggio R, poste a distanza d, dove R e d sono espresse in metri (m). Viene applicata alle armature una differenza di potenziale variabile nel tempo e inizialmente nulla. All interno del condensatore si rileva la presenza di un campo magnetico B. Trascurando gli effetti di bordo, a distanza r dall asse di simmetria del condensatore, l intensità di B, espressa in tesla (T), varia secondo la legge: B = kt r, con t + a 3

4 r R dove a e k sono costanti positive e t è il tempo trascorso dall istante iniziale, espresso in secondi (s). Dopo aver determinato le unità di misura di a e k, spiegare perché nel condensatore è presente un campo magnetico anche in assenza di magneti e correnti di conduzione. Qual è la relazione tra le direzioni di B e del campo elettrico E nei punti interni al condensatore? ( t + a ) 3 Si ha: k = B. Poiché a è sommato a t, vuol dire che i termini sono omogenei, quindi tr a si misura in secondi. A questo punto l unità di misura di k è [ s] [ A] 6 3 s s s kg s kg T = [ T ] = T = = s m s m m m m A La variazione del campo elettrico produce una corrente, quindi un campo magnetico. Le linee del campo elettrico all interno del condensatore sono parallele, escono dall armatura carica positivamente ed entrano nell armatura con carica negativa; le linee del campo magnetico indotto sono circonferenze concentriche centrate sull asse di simmetrica e giacenti su piani perpendicolari a questo. Campo elettrico e magnetico sono pertanto ortogonali tra di loro in ogni punto e in ogni istante. Si consideri, tra le armature, un piano perpendicolare all asse di simmetria. Su tale piano, sia C la circonferenza avente centro sull asse e raggio r. Determinare la circuitazione di B lungo C e da essa ricavare che il flusso di E, attraverso la superficie circolare delimitata da C, è dato da kπ r Φ ( E) = +. Calcolare la d.d.p. tra le armature del condensatore. A quale va- µ ε t + a a lore tende B al trascorrere del tempo? Giustificare la risposta dal punto di vista fisico. Abbiamo Γ ( B) = Bdl, in cui C è la circonferenza di cui abbiamo parlato nel punto precedente. Pertanto: ( B) π r B ( r) ( B) µ ii dφ ( E) C Γ =. D altro canto per il Teorema di Ampére si ha anche Γ =, in cui consideriamo le correnti concatenate. In questo caso vi è l unica corrente i = ε. Abbiamo perciò: dt

5 π dφ E dφ E r B r t r kt π π r B( r) = µ ε = Φ ( E) = r dt dt dt µ ε = µ ε 3 t ( t + a ) ( t + a ) ( t + a ) 3/ + / π r k t 3/ π r k π r k = t ( t a ) dt µ ε + = = = µ ε 3/ + µ ε / t π r k π r k = = µ ε t + a µ ε t + a che coincide con quanto richiesto. π r k π r k + = µ ε a µ ε a t + a Nei condensatori sappiamo che vale la relazione: V = E d, determiniamo quindi il valore del campo elettrico: Infine: Φ Φ E E k kd E = = = V = S π r µ ε a t + a µ ε a t + a t t ( t + a ) 3 kt lim B = lim r =, applicando il principio di sostituzione degli infiniti. Fisicamente il campo elettrico tende a stabilizzarsi, quindi non produce una corrente di spostamento e pertanto non vi è neanche campo magnetico. Per a >, si consideri la funzione f: R R definita da f ( t ) = t ( t + a ) 3 t. Verificare che la funzione F ( t) = è la primitiva di f il cui grafico passa per l origine. Studiare la t + a a funzione F, individuandone eventuali simmetrie, asintoti, estremi. Provare che F presenta due flessi nei punti di ascisse in tali punti. Abbiamo: t 3 ( t + a ) ( t + a ) / t = ± a e determinare le pendenze delle rette tangenti al grafico di F 3/ + ( t a ) 3/ + dt = t t + a dt = + c = 3/ + = + c = + c, eper t =, abbiamo: / + richiesto. ( t a ) = + c c = a, ossia quanto ( a ) F ( t) =, ha dominio R, è sempre non positiva, perché il primo addendo positivo è non t + a a maggiore, in valore assoluto, del secondo addendo negativo. È una funzione pari: F(t) = F( t). Non

6 ha asintoti verticali; ma ha un asintoto orizzontale: lim t =. Abbiamo visto che la t + a a a sua derivata è f ( t) = t, che quindi si annulla solo per t =. Per il quale valore si ha un t + a 3 punto di massimo relativo, dato che il segno della derivata dipende solo da t, e la funzione è crescente per t < e descrescente per t >. L ordinata del massimo è. Quindi il massimo è l origine. A causa dell asintoto orizzontale e della simmetria, ha ovviamente due flessi. Calcoliamone le a- scisse: ( 3 ) ( ) t + a + t 3/ t + a t t a + 3t t a F "( t) = f '( t) = = ( t + a ) = t + a t + a t + a Che effettivamente si annulla per t = ± a. Il grafico, ovviamente dipendente da a, è simile al seguente: Determiniamo le pendenze delle rette tangenti al grafico di F nei punti precedenti: a a a 3 F ' ± a 3 3 = f ± a = = = = 3 3 9a a a ± a + a + a Con le opportune motivazioni, dedurre il grafico di f da quello di F, specificando cosa rappresentano le ascisse dei punti di flesso di F per la funzione f. Calcolare l area della regione compresa tra il grafico di f, l asse delle ascisse e le rette parallele all asse delle ordinate passanti per gli e- b stremi della funzione. Fissato b >, calcolare il valore di f ( t ) dt. b Essendo f(t) la derivata di F(t), possiamo dire che laddove la F ha estremo relativo, ossia per x =, la f incontra l asse x. Analogamente dove la F cresce, la f è positiva e dove decresce negativa. Dove la F ha i flessi la f ha estremi relativi, in particolare curvatura verso l alto di F implica f crescente, lo stesso per la concavità verso il basso. Quindi in corrispondenza del primo flesso di F, f ha un massimo e in corrispondenza del secondo flesso invece vi è un minimo. Abbiamo già determinato le a- scisse dei detti estremi di f. f ha per asintoto l asse della ascisse. Il grafico è il seguente, unitamente a quello di F.

7 L area da determinare è quella in figura. integrale:, che si trova calcolando il seguente ( t a ) / t 3/ + 3 dt t ( t a ) dt = a / 3 + = = =. a / / a 3a 3a ( t + a ) b Infine = b f t dt, data la simmetria della funzione. a / QUESITI p x. Una data funzione è esprimibile nella forma f ( x) =, dove d R e p(x) è un polinomio. Il x + d grafico di f interseca l asse x nei punti di ascisse e /5 ed ha come asintoti le rette di equazione x = 3, x = 3 e y = 5. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f. Intanto determiniamo il grado di p(x) usando l informazione sull asintoto orizzontale. Dato che p( x) lim = 5, utilizzando il principio di sostituzione degli infiniti, ne viene che numeratore e denominatore hanno lo stesso grado. Pertanto si ha: p( x) = ax + bx + c. A questo punto x x + d possiamo tradurre le informazioni, impostando il sistema risolutore:

8 ( ) f ( x) 3 f ( x) f ( x) ( ) f = p = f / 5 p / 5 = = lim = 9 + d = p( 3) x lim = 9 + d = p( 3) x 3 ax + bx + c lim = 5 lim = 5 5 x 5 x x + d c = c = c = 44 / 5a + / 5b + c = 44 / 5 + / 5b = b = 9 + d = 9a ± 3b + c d = 9 45 ± 3b d = 9 b ± 5 a = 5 a = 5 a = 5 Quindi la funzione è f ( x) f ' ( x) = 5x ( x 9) x x, la sua derivata prima è 9 x x 9 5x x x x = = 3 9x x + 8 x = 4x x 9x 8 ( x 9) ( x 9) 6 5 ± ± 9 che si annulla per x 5x + 8 = x = = =. Abbiamo quindi un 4 4 3/ punto di massimo relativo per x = 3/ e uno di minimo relativo per x = 6. Le cui rispettive ordinate valgono e 4.. È assegnata la funzione g ( x) n = x. Provare che esiste un solo x R tale che g(x ) =. De- n= terminare inoltre il valore di g x lim, x x + Abbiamo g() =. Inoltre ' ( ) g x = n x n=. n, che è positiva per ogni x, quindi la funzione è strettamente crescente, il che implica che è l unico zero della funzione. Passiamo al calcolo del n x n= lim = x + x limite:, perché un esponenziale a base maggiore di è un infinito di ordine superiore a qualsiasi, polinomio. 3. Tra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata, con superficie totale di area S, determinare quello per cui la somma delle lunghezze degli spigoli è minima.

9 Indichiamo con a, a e b le dimensioni del parallelepipedo. Sappiamo che si ha: (a + ab) = S, da S / a S a cui b = =. Pertanto la funzione da minimizzare è a 4a Da cui: h( a) = 8a + 4b = 8a + 4 S h ' a = 6, a >, annullando: a = a S a S = 6 a +, a > 4a a S 6. Questo è effettivamente un punto di minimo, S S S poiché h '( a) > < a < < a <. Pertanto avremo anche: cioè il parallelepipedo cercato è in realtà un cubo. S S / 6 S b = =, 4 S / Dati i punti A (; ; ) e B ( ; ; ), provare che il luogo geometrico dei punti P dello spazio, tali che PA = PB, è costituito da una superficie sferica S e scrivere la sua equazione cartesiana. Verificare che il punto T ( ; 8; 7) appartiene a S e determinare l equazione del piano tangente in T a S. Sia P (x; y; z), il luogo cercato è certamente una superficie sferica, senza bisogno di effettuare i calcoli, poiché può scriversi nella forma PA = PB, che verifica le proprietà principali delle sfere, ossia coefficienti dei termini di secondo grado uguali e mancanza dei termini misti. La sua equazione è: x + y + z + = x + + y + z x + y + z + x 8y 6z + 3 =, che ha centro in C ( 6; 4; 3) e raggio = 4 3. Verifichiamo che T vi appar- 4 tiene: =. Il piano tangente verifica la proprietà che la retta diametrale della sfera passante per T è a esso perpendicolare. La detta retta ha numeri direttori dati dalle differenze delle coordinate di C e T, cioè ( 6 + ; 4 8; 3 7) = (4; 4; 4). Quindi il piano tangente ha equazione 4x 4y 4z + d =. Per determinare d, imponiamo il passaggio per T, ottenendo: x y z + 5 =. 5. Si lanciano 4 dadi con facce numerate da a 6. Qual è la probabilità che a) la somma dei 4 numeri usciti non superi 5? b) il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3? c) il massimo numero uscito sia 4? I casi possibili sono ovviamente 6 4 = 96. a) Gli eventi favorevoli sono (; ; ; ) e i 4 in cui 3 dadi presentano e uno presenta. Ossia sono in totale 5. Quindi la probabilità è 5/96 b) In questo caso conviene considerare l evento complementare, ossia che il prodotto non sia multiplo di 3, ossia che nessuno dei 4 dadi presenti 3 o 6. Quindi gli eventi favorevoli sono dati dal lan-

10 cio di 4 dadi ciascuno dei quali può assumere 4 soli valori, pertanto sono in numero di 4 4. La probabilità è perciò: (4/6) 4 = 6/8 = 65/8. c) Abbiamo i seguenti eventi favorevoli (indichiamo con m4, l uscita di un punteggio minore di 4): un 4 e tre m4; due 4 e due m4; tre 4 e un m4; quattro 4. Essi sono quindi in numero di La probabilità è 75/ = = Una spira di rame, di resistenza R = 4, mω, racchiude un area di 3 cm ed è immersa in un campo magnetico uniforme, le cui linee di forza sono perpendicolari alla superficie della spira. La componente del campo magnetico perpendicolare alla superficie varia nel tempo come indicato in figura. Spiegare la relazione esistente tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta. Calcolare la corrente media che passa nella spira durante i seguenti intervalli di tempo: a) da, ms a 3, ms; b) da 3, ms a 5, ms; c) da 5, ms a ms. Per la legge di Lenz il verso della corrente indotta si oppone alla variazione di flusso che l ha generata. Usando la legge di Faraday-Neumann abbiamo: fem( t) = e per la I legge di Ohm: Φ ( B) t 3 T +, T 3 4 m i = =,5A 3 3 4, Ω 3, s Φ B Bi B f S fem = R i. Quindi i = =. Basta sostituire i dati per ottenere i risultati richie- R t R t sti: i 3, T T 3 4 m = =,3A 4, Ω 5, s ,, 3 T T 3 4 m = =,5A ; 4, Ω, s ; i In laboratorio si sta osservando il moto di una particella che si muove nel verso positivo dell asse x di un sistema di riferimento ad esso solidale. All istante iniziale, la particella si trova nell origine

11 e in un intervallo di tempo di, ns percorre una distanza di 5 cm. Una navicella passa con velocità v =,8 c lungo la direzione x del laboratorio, nel verso positivo, e da essa si osserva il moto della stessa particella. Determinare le velocità medie della particella nei due sistemi di riferimento. Quale intervallo di tempo e quale distanza misurerebbe un osservatore posto sulla navicella? u v Usiamo la composizione relativistica delle velocità: u ' =. u è la velocità nel sistema del uv / c 5 m 8 laboratorio, quindi: u = =, 5 m / s. Da cui 9, s 8 (,5,4) 8,5,8c 8 ' = / = / =,75 / 8 u m s m s m s, 5,8 c / c, 33 Per rispondere alle altre domande determiniamo le trasformazioni di Lorentz: 5 γ = = =. Abbiamo perciò, usando,8, x ' = γ ( x vt ) x ' = (,5m,8 3 m / s s) =,38m 3 v t ' = γ t x 5 9,8 c t ' = s, 5m =, ns m / s 8. Un protone penetra in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme di modulo B =, mt. Esso inizia a muoversi descrivendo una traiettoria ad elica cilindrica, con passo costante x = 38, cm, ottenuta dalla composizione di un moto circolare uniforme di raggio r =,5 cm e di un moto rettilineo uniforme. Determinare il modulo del vettore velocità e l angolo che esso forma con B. La componente ortogonale della velocità si ottiene uguagliando la forza di Lorentz e la forza centripeta: e v B = v = = =,5 m / s. 9 3 m v e B r,6 C, T,5 m 4 7 r m,673 kg La componente orizzontale invece si trova come rapporto fra il passo dell elica e il periodo: 4 38,,5 / T π r / v π,5 m x x m m s v = = = = Quindi: 3 5,84 / 4 3 4, 5 5,84 /,6 /. v = v + v = + m s = m s 4.5 Infine: α = tan 6 3 =. 5,84 m s

12 COSTANTI FISICHE carica elementare e =,6 9 C massa del protone mp,673 7 kg velocità della luce c,998 8 m/s