Problema 1. ESEMPIO SECONDA PROVA DI MATEMATICA E FISICA pubblicato dal MIUR il 28 febbraio Svolgimento

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1 A cura di Francesco Benvenuti, Lidia Ceresara, Elisa Garagnani, Gianni Melegari e Claudio Romeni Problema La derivata prima della funzione q(t) è q (t) = ae bt + abte bt = a( + bt)e bt Dallo studio del segno di q (t) (sapendo che a > e e bt > ) si ha a( + bt)e bt ) bt + Se b > ) t In tal caso si ha un minimo relativo per t = b b b + Se b = la funzione di partenza q(t) = at è lineare e q (t) = a è costante. In tal caso non ci sono né punti di massimo né punti di minimo. Se b < ) t apple b In tal caso si ha un massimo relativo per = b b + A nché la funzione q(t) ammetta un massimo in B deve risultare b < e 8>< q() = 8 e > q : () = ) 8>< ae b = 8 e > a(b + )e : b = Zanichelli 9

2 Per le condizioni imposte dal problema, la seconda equazione è risolta solo per b =, perciò 8>< a e = 8 e > b = : ) 8>< a = 4 > b = : La funzione q(t) = 4te t esiste 8t R. I limiti per t! + e t! valgono (applicando il teorema di de l Hospital) lim t!+ 4te t 4t = lim t!+ e t H = lim t!+ 4 e t = + lim 4te t = t! Agli stessi risultati si poteva arrivare considerando la gerarchia degli infiniti. L unico punto in cui la funzione interseca gli assi è l origine (; ). Il segno della funzione è q(t) > ) t > poiché il fattore e t è sempre positivo. Utilizzando il risultato ottenuto al punto precedente, la derivata prima di q(t) è q (t) = 4e t t Il suo segno è indicato in figura + Si ha un massimo nel punto B La derivata seconda di q(t) è q (t) = 4e t t + 4e t Il cui segno è indicato in figura ; 8, coerentemente con il punto precedente. e = (t 4)e t 4 + Per cui in t = 4 vi è un punto di flesso a tangente obliqua di coordinate F Il coe ciente angolare della tangente inflessionale è q (4) = 4e 4; 6 e. Zanichelli 9

3 Quindi l equazione della retta tangente è = 4 e t + 3 e E il suo grafico è q B F 4 t 3 Il problema propone di interpretare la funzione q(t) come la carica elettrica che attraversa all istante di tempo t la sezione di un certo conduttore. Questa interpretazione non ha significato fisico. Infatti, in Fisica non è definita una grandezza carica elettrica che attraversa all istante di tempo t la sezione di un conduttore. Si definisce invece la carica elettrica Q(t) presente all istante t sulla superficie di un conduttore, ma non è questo il caso proposto dal problema. Esistono altre due definizioni: a) la carica che attraversa una sezione di un conduttore in un dato intervallo di tempo; b) la corrente elettrica, cioè la rapidità di trasferimento della carica. Sulla base di esse, proponiamo due possibili interpretazioni per il termine at e bt. a) at e bt è una carica 3a Scegliendo l impostazione usuale in cui q(t), per t, rappresenta la carica elettrica in coulomb che ha attraversato una sezione trasversale del conduttore dall istante t = fino al generico istante t, allora le costanti a e b devono avere le seguenti dimensioni: a! [carica] [tempo] = [corrente] b! [tempo] La corrente è data dalla derivata della carica rispetto al tempo i(t) = q (t) = 4e t t 3 Zanichelli 9

4 per cui il suo andamento corrisponde al grafico della funzione derivata prima q (t). Dovendo considerare solo t, il grafico è i 4 4 t Il valore massimo della corrente si ha per t = s: i() = 4 A Il valore minimo si ha in corrispondenza del punto di flesso di q(t) cioè per t = 4 s: i(4) = 4e A Al trascorrere del tempo, per t! +, si ha (applicando il teorema di de l Hospital): ( t) lim i(t) = lim t!+ t!+ e t H = lim t!+ e t = Allo stesso risultato si poteva arrivare considerando la gerarchia degli infiniti. 4a In coerenza con l interpretazione data, la carica Q(t ) che attraversa una sezione trasversale del conduttore da t = fino a t = t si calcola con l integrale definito Q(t ) = π t i(t)dt = h i 4te t t = 4t e t Ma è inutile ricavare la primitiva della derivata di una funzione, perché, a meno di una costante, è la funzione stessa. Si ha lim Q(t ) = + t!+ come si vede anche nel grafico del punto. La potenza è, per e etto Joule, P = Ri e l energia dissipata nell intervallo [; t ] vale (omettendo l unità di misura di R) E = π t Ri (t)dt = ed è misurata in joule (J). π t 3 h i ( t)e t π t dt = ( t) e t dt 4 Zanichelli 9

5 b) at e bt è una corrente 3b In alternativa, la carica che attraversa una sezione di un conduttore in un istante di tempo è una corrente elettrica. Allora si può interpretare la formula del testo come la quantità infinitesima di carica dq che attraversa la sezione del conduttore in un intervallo di tempo dt: dq(t) = i(t) dt = 4 te t dt Secondo questa ipotesi le dimensioni fisiche dei parametri sono a! [carica] [tempo] = [corrente] [tempo] b! [tempo] In questo caso l intensità di corrente è i(t) = 4te t (t ) Quindi la funzione 4te t è una corrente e non una carica. Il valore massimo di questa funzione è 8 ; e A e corrisponde alle coordinate 8 e già individuate in precedenza, come è detto anche nel testo. Il suo valore minimo è i = e viene assunto solo all istante t =. Come già visto nel punto, la corrente tende a + per t! + 4b In coerenza con l interpretazione data, la carica Q(t ) che attraversa una sezione trasversale del conduttore da t = fino a t = t si calcola con l integrale definito Q(t ) = π t i(t) dt = 4 π t te t dt L integrale indefinito associato si calcola per parti scegliendo t come fattore finito. In questo modo si ottiene π π te t t dt = te + e t t dt = e (t + ) + c Quindi Q(t ) = 4 π t te t dt = h Per cui il limite richiesto è lim Q(t ) = 8 lim t!+ t!+ i e t t h i (t + ) = 8 e t (t + ) h e t (t + ) i t + = 6 lim t!+ e t = 6 C Con la resistenza data, e tralasciando ancora una volta l unità di misura della resistenza nei passaggi intermedi, l energia dissipata nell intervallo di tempo [, t ] è data dall integrale π t π t h i E = Ri (t)dt = 3 4 te t π t dt = 48 t e t dt ed è misurata in joule (J). 5 Zanichelli 9

6 In conclusione a) Nel primo caso lo studente deve calcolare la funzione corrente i(t) come derivata rispetto al tempo della carica q(t). Non deve calcolare l integrale perché conosce già la forma di Q(t ) = q(t ); b) nel secondo caso lo studente conosce dal testo la funzione corrente e quindi non deve calcolare la derivata. Gli è richiesto invece di calcolare un integrale definito per ottenere l espressione Q(t ). 6 Zanichelli 9

7 Problema Visto che le due cariche sono poste entrambe sull asse, l unica zona del piano cartesiano in cui il campo elettrico può essere nullo è lo stesso asse. Infatti, in ogni punto del piano cartesiano posto al di fuori dell asse i due vettori campo elettrico hanno direzioni diverse tra loro e quindi la loro somma vettoriale non può essere nulla. Sull asse delle ordinate, il campo elettrico totale può essere nullo solo nel segmento compreso tra i punti (; ) e A(; ); infatti entrambe le cariche sono positive, e, quindi, i loro campi elettrici hanno versi opposti solo all interno di tale segmento. Negli altri punti dell asse delle ordinate i due campi hanno la stessa direzione e lo stesso verso, per cui la loro somma non può essere nulla. Q A Q In un punto P(; ) del segmento Ala componente lungo del campo elettrico totale è E tot, = E, E, = k 4q q k ( ) = kq apple 4 ( ) < < Ponendo uguale a zero l espressione tra parentesi quadre si ottiene l equazione di secondo grado 4 = ) = che ha come soluzioni = /3 e =. Di queste solo la prima soluzione è accettabile in quanto compresa tra e. Quindi, come dice il testo del problema, è confermato che esiste solo un punto in cui il campo elettrico totale è nullo, ed è il punto P ;. 3 Se poniamo in P una terza carica, essa si trova in una situazione di equilibrio instabile. Per esempio, spostando una terza carica positiva in direzione parallela all asse, su di essa agirebbe una forza obliqua che tenderebbe ad allontanarla da P. Zanichelli 9

8 Come secondo esempio, se si sposta una terza carica negativa verso il basso si ottiene che la forza attrattiva verso Q diviene più intensa di quella verso Q, per cui anche in questo caso la terza carica si allontana da P. Q A Q A F F TT P' P F P P' F TT F F Q Q Indichiamo con B(;) il generico punto in cui si trova la carica Q. La distanza tra le due cariche è, quindi, r = B = p +. Quindi l energia potenziale del sistema di due cariche risulta U () = k Q Q r 4 q = k p. + In coerenza con il testo della prova, in tutta la trattazione è stata sottintesa l unità di misura delle lunghezze, cioè il metro. 3 La funzione U = p 4kq è definita in tutto R ed è pari, dunque il suo grafico è simmetrico + rispetto all asse. La funzione è sempre positiva e interseca l asse nel punto (; 4kq ). 4kq Il grafico ha come asintoto orizzontale sia destro, sia sinistro l asse : infatti, lim p =.! + Studiamo ora la derivata prima di U () = 4kq + : U () = kq + 3 = 4kq p ( + ) 3 che ha lo stesso segno di : dunque la funzione è crescente per <, decrescente per > e ha il massimo assoluto in =. 3 Studiamo la derivata seconda di U (), derivando U = 4kq + : " U () = 4kq # = 4kq ( ) p ( + ) 5 Dunque U () > se >, cioè se < p _ > p. Zanichelli 9

9 U''() + + U() p Dunque ci sono due punti di flesso per = ±, di coordinate p p! p p! F ; 4kq 6 e F 3 ; 4kq 6 3 Determiniamo i coe cienti angolari delle tangenti in F e F : p! m = U = 8kqp 3 9 che è la pendenza in F. Per simmetria, il coe Il grafico di U () è dunque questo: ciente angolare della tangente in F è m = m = 8kqp 3 9 4kq F F =U() 4 La funzione U () = 4kq p è dispari nel dominio R. Infatti si può dimostrare che ( + ) 3 la derivata di una funzione pari è dispari. U () interseca gli assi cartesiani solo nell origine, è positiva per < dove U () è crescente, è negativo per > dove U () è decrescente.! Poiché lim 4kq p =, U () ha per asintoto orizzontale sia destro, sia sinistro!± ( + ) 3 l asse. p U () è crescente dove U () ha la concavità verso l alto, cioè per < p _ > decrescente dove U () ha la concavità rivolta verso il basso, cioè per < < p. p ed è 3 Zanichelli 9

10 p Quindi ha massimo assoluto in =, che vale M = U assoluto nel punto simmetrico rispetto all origine. Il grafico di U () è dunque: p! = 8kqp 3, e un minimo 9 8kq 3 9 = U '() 8kq 3 9 U () è una funzione dispari e continua su tutta R e quindi integrabile in tutto R. Ne segue che il suo integrale definito su qualunque intervallo del tipo [ a; a] è nullo, e in particolare π m m U () d =. 4 Zanichelli 9

11 Quesito Imponiamo, innanzitutto, che la funzione g sia continua in =, calcolando il limite destro e sinistro per che tende a e uguagliandoli tra loro e al valore della funzione in : g() = lim (3 b! a ) = lim! + 3 Studiamo ora la derivabilità di g(): ) 3 a = b ) b = a 6. Poniamo lim! ( a) = lim! + g () = 8>< > : b ( 3) a, < b ( 3), >. Mettiamo a sistema le due condizioni su a e b: ( ( b = a 6 a 6 = 8a ) b = 8a b = 8a Per tali valori, ) a = b 4 ) ) b = 8a. ( a = b = 8 8>< 3 +, apple 8><, apple g() = 8 > : 3, > ^, 3 e g () = 8 > : ( 3), > ^, 3 Disegniamo il grafico di g(). L equazione = 3 + rappresenta una parabola con asse verticale, vertice V(; 3) e passante per (; 4). 8 L equazione = è l equazione di una funzione omografica che ha per grafico l iperbole 3 equilatera di centro C(3; ), asintoti di equazione = 3 e = e passante per (; 4). Zanichelli 9

12 Il grafico di g è dunque questo: Possiamo osservare dal grafico che la funzione g è continua e derivabile anche in =. Disegniamo il grafico di g (). La funzione di equazione = ha come grafico la retta passante per l origine e per il punto (; ). La funzione di equazione = 8 ( 3) ha come asintoto verticale la retta = 3, poiché lim!3 8 ( 3) =+. Inoltre è una funzione sempre positiva nel dominio. Essa è crescente per < 3 e decrescente per > 3 poiché la sua derivata prima è la derivata seconda 8 di = 3, che è positiva per < 3 (dove la concavità dell iperbole è rivolta verso l alto) e negativa per > 3 (dove la concavità dell iperbole è rivolta verso il basso). La funzione definita per casi g è continua anche in =. Infatti g è anche derivabile in =. Infatti: g () = = lim! 8 ( 3) 8><, < g () = 6 > : ( 3) 3, > ^, 3 e lim! Dunque g () =. = = lim! + 6 ( 3) 3 = Zanichelli 9

13 In conclusione, il grafico di g è questo: 3 3 Zanichelli 9

14 Quesito La funzione di equazione = e è una funzione pari. Per, si ottiene l equazione = e = e e, il cui grafico è quello di un esponenziale decrescente dilatato verticalmente, passante per (; e), con asintoto orizzontale l asse. Il grafico di = e è dunque: e Inscriviamo un generico rettangolo nella regione considerata: e e Sia l ascissa del vertice di coordinate (;) con. L area del rettangolo vale A() = e = 4e, con >. La derivata vale A () = 4(e e ) = 4e ( ), che è positiva per ]; [, negativa per > e si annulla in =. Dunque l area massima si ottiene per =. In questo caso la base del rettangolo vale e l altezza e =, quindi si tratta di un quadrato: Zanichelli 9

15 e Il perimetro del generico rettangolo inscritto vale la cui derivata vale p() = 4 + e = 4( + e ) p () = 4( e ) che è positiva se e <, cioè se <, cioè se >. In = si annulla, per poi diventare negativa per <. Dunque il perimetro minimo si ottiene nella stessa situazione in cui si ha l area massima, ossia nel caso in cui il rettangolo sia un quadrato. Zanichelli 9

16 Quesito 3 La probabilità che la prima pallina estratta sia la numero vale /6, mentre la probabilità che venga estratta una pallina con un numero minore di vale 9/6. La probabilità richiesta è quindi p = = = 8 496, 98% Un primo modo per calcolare la probabilità p richiesta è l approccio classico, per cui le possibili cinquine estratte contemporaneamente sono 6 C 6,5 = = 6! 5! 5! = 4368 Invece i casi favorevoli sono le cinquine che contengono il numero 3 come numero massimo, e in cui le rimanenti quattro palline hanno numeri compresi tra e. Tale numero è uguale al numero di quaterne scelte tra palline, cioè C,4 = =! 4 8! 4! = 495 La probabilità richiesta vale dunque p = C,4 C 6,5 = = , 3% Un secondo modo per calcolare p può essere quello di pensare di estrarre le 5 palline una alla volta, senza reimbussolamento e senza considerare l ordine di estrazione. In questo caso si ottiene p = = , 3% 5 dove il coe ciente rappresenta le cinque possibili posizioni di uscita del numero 3 e gli altri fattori rappresentano le probabilità di uscita di altri 4 numeri inferiori al 3. Zanichelli 9

17 Quesito 4 Il polinomio s() deve annullarsi per = e per =, e quest ultima radice deve avere molteplicità almeno. Il polinomio t() deve annullarsi per = 3 e =. La più semplice funzione che soddisfa le richieste del quesito è del tipo: = a ( + )( ), con a R, a, ( )( + 3) Ricaviamo il parametro a in modo che valga anche la terza condizione (7) = : = a ) a = 3 ( + )( ) La funzione = 3 risponde a tutte le richieste del quesito. ( )( + 3) Va sottolineato, naturalmente, che tale funzione non è l unica possibile. Il grafico della funzione è il seguente: P 7 Zanichelli 9

18 Quesito 5 Riscriviamo l equazione della superficie sferica completando i quadrati: ( ) + + (z + 3) = + 9 ) ( ) + + (z + 3) = Il centro della superficie sferica è quindi C(; ; 3) e il raggio vale R = p. Calcoliamo la distanza tra il centro C e il piano : d(c; ) = ( 3) + p 3 + ( ) + 6 = 4 7 Poiché < p, la superficie S e il piano sono secanti in una circonferenza. Tale circonferenza, per il teorema di Pitagora, ha raggio r = p R d = p 4 = p 6. = Zanichelli 9

19 Quesito 6 Coerentemente con il testo del problema, si è scelto di non introdurre le unità di misura nelle formule, ma solo nei risultati finali. Il punto materiale si muove secondo la legge oraria (t) (con t ): (t) = 9 t 3 t + ) (t) = 7 t3 + 9 t La velocità è data dalla derivata rispetto al tempo di (t): v(t) = 9 t t e l accelerazione è data dalla derivata rispetto al tempo di v(t): a(t) = 9 t L accelerazione a(t) non è costante perciò non si tratta di un moto uniformemente accelerato. La velocità media nei primi 9 secondi di moto è data da v = t = 45 m 9 s = 5 m/s L istante in cui il punto si muove alla velocità v(t) = 5 m/s è 5 = 9 t t ) t + 4t 45 = che ammette le soluzioni t, = ± p = ± 7 ) t = 9 s, t = 5 s La soluzione t = 5 m/s è t = 5 s. 9 s non è accettabile in quanto negativa, per cui l istante in cui la velocità vale Zanichelli 9

20 Quesito 7 a) Nel caso di urto elastico, si conservano la quantità di moto totale e l energia cinetica totale del sistema: 8>< mv i = mv f + 3mv f > : mv i = mv f + 3mv f ) 8>< v i = v f + 3v f > : vi = v f + 3v f ) 8>< v f = v i 3v f > : vi = v i + 9v f 6v i v f + 3v f dove la velocità iniziale della prima sfera, v i, coincide con la velocità v indicata nel testo del quesito. La velocità finale della sfera è data da v f 6v i v f = ) v f (v f v i ) = ) v f =, v f = v i = v Di cui la soluzione v f = v è quella accettabile. La velocità finale della sfera è v f = v i 3 v i = v i = v il segno indica che la sfera torna indietro. b) Se l urto è completamente anelastico non si conserva l energia cinetica iniziale e le due sfere rimangono attaccate. Si conserva solo la quantità di moto totale. Indicando con v la velocità iniziale della sfera e con V la velocità finale del sistema formato dalle due sfere, si ha: mv = (m + 3m)V ) mv = 4mV ) V = v 4 L energia cinetica finale del sistema è E f = 4mV = m v 6 = 8 mv mentre l energia cinetica iniziale è E i = mv L energia dissipata è quindi E = E i E f = mv 8 mv = 3 8 mv Zanichelli 9

21 Quesito 8 Il campo magnetico considerato varia nel tempo secondo la legge B(t) = B ( + sen(!t)) Il campo è perpendicolare al quadrato delimitato dal circuito di area l. Pertanto il flusso di campo magnetico attraverso la spira è = #» B #» S = Bl = B l ( + sen(!t)) La forza elettromotrice indotta è perciò fem = d dt = B l! cos(!t) L intensità di corrente indotta nel circuito nell istante t è i = fem R = B l! R cos(!t) Le unità di misura delle grandezze coinvolte sono B! tesla [T]!! radianti al secondo [rad/s]! weber [Wb] fem! volt [V] i! ampere [A] Zanichelli 9