MECCANICA COMPUTAZIONALE

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1 Claudio Borri Luca Salvatori MECCANICA COMPUTAZIONALE Capitolo 5 Modellazione delle strutture Rev. 31 maggio 2006 (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 1/70 Argomenti trattati nel capitolo 5 Criteri di modellazione Esempi di discretizzazione di continui 2D: Convergenza al raffinamento del reticolo Effetti della distorsione del reticolo Raffinamento locale del reticolo Modellazione di singolarità Esempi di modellazione strutturale: Elementi troppo rigidi Cinematismi (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 2/70 1

2 Idealizzazione Struttura reale membrature vincoli collegamenti [figure per gentile concessione del Prof. C. Felippa] Struttura idealizzata (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 3/70 Esempi di idealizzazione dei componenti strutturali in elementi biella trave parete di taglio (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 4/70 2

3 Programmi FE: alcuni nomi FEMAS ANSYS DIANA SAP MARC ABAQUS NASTRAN STRUDL FEABL ADINA NONSAP BERSAFE CASTEM (University of Bochum) (Houston, TX) (TU-Delft) (Berkeley) (privato) (Brown University) (NASA) (Georgia Tech) (MIT) (MIT) (Berkeley) (Berkeley) (Université de Bourgogne) (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 5/70 sistema fisico Operazioni (ed errori conseguenti) idealizzazione discretizzazione soluzione numerica FEM modello ingegneristico modello discreto soluzione discreta approssimazione della realtà nel modello approssimazione indotta dalla discretizzazione errore numerico (precisione finita dei calcolatori) Il processo di idealizzazione è il passaggio fondamentale della pratica ingegneristica, consiste nel costruire un modello matematico in grado di simulare (predire) alcuni aspetti della realtà. Il problema risulta semplificato (si idealizzano carichi e sezioni, si trascurano effetti, ecc.). La discretizzazione (con il FEM) consente di approssimare il problema al continuo con un numero discreto di variabili (il problema diviene algebrico). L errore numerico è spesso marginale, ma utilizzando oggetti con rigidezze molto diverse si può incorrere negli effetti della cancellazione numerica (v. seguito). (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 6/70 3

4 Regole di modellazione: SEMPLICITÀ Regola 1: SEMPLICITÀ. Usare modelli e tipi di elementi i più semplici possibile (ma non più semplici, cfr. Einstein)! Tipi di elementi speciali e complessi vanno usati con consapevolezza della teoria con cui sono formulati. Diffidare dagli automatismi di molti programmi commerciali che possono allontanare dalla percezione del modello con la grafica: il disegno della struttura non è il suo modello! È necessario conoscere la teoria per comprendere i risultati: i programmi agli elementi finiti non sostituiscono l ingegnere, sono un potente ausilio che deve essere saputo utilizzare! È inutile modellare dettagli quando si hanno grandi incertezze su altri dati (e.g. in un edificio in muratura non ha significato modellare leggere irregolarità quando le proprietà dei materiali e dei collegamenti fra i vari membri sono note solo con grande approssimazione!). (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 7/70 Quando raffinare la discretizzazione spigoli rientranti aperture fessure saldature in prossimità di carichi concentrati e zone di contatto zone ove vengano scambiate azioni (saldature, bullonature, rinforzi, armature, ) bruschi cambiamenti di spessore [figure per gentile concessione del Prof. C. Felippa] interfacce fra materiali diversi (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 8/70 4

5 Mantenere le proporzioni fra le dimensioni degli elementi continui (aspect ratio) OK rapporti fra le dimensioni troppo elevati (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 9/70 Tipiche fonti di errore nei modelli Fonte di errore Errori di introduzione dati (e.g. carichi, vincoli, caratteristiche dei materiali). Errori di modellazione (uso di elementi sbagliati o errate combinazioni degli stessi). Controlli da effettuare Equilibrio globale della struttura; Deformata; Stato di tensione. Teoria; Esperienza; Intuizione. Errori di approssimazione. Infittire la discretizzazione (è difficile dare criteri esatti, il test da fare e la variazione di risposta all infittimento della discretizzazione). (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 10/70 5

6 Esempi di modellazione per problemi piani Gli esempi numerici riportati nel seguito sono stati analizzati da: Prof. Dr.-Ing. Istituto di Meccanica delle Strutture e Metodi Numerici Università di Wuppertal Si ringrazia l autore per averli messi a disposizione del corso. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 11/ m y Esempio 1: trave appoggiata, convergenza all infittimento del reticolo x q E = kn/m 2 ν = 0.0 h = 0.2 m q = kn/m 5.0 m rapporto fra lunghezza e altezza della trave pari a 10 Md xx = = I 2 vale il modello teorico della trave Soluzione analitica nella sezione di mezzeria (momento, freccia e massima tensione per unità di spessore): ql 5qL ql M = = knm w = + = mm max max 8 384EI 8GAQ n h kn / m (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 12/70 6

7 Ordine di descrizione delle varie grandezz grado del polinomio ISO 3 ISO 4 ISO 6 ISO 8 Teoria De Saint Venant u y (x) n xx (x) (~ momento) n xx (y) n xy (x) (~ taglio) Per la simmetria della struttura è possibile discretizzarne solo metà imponendo le opportune condizioni di vincolo. s (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 13/70 ISO 3: spostamenti reticolo 10x10 GdL 230 v = mm (errore %) reticolo 20x10 GdL 450 v = mm (errore -9.2 %) reticolo 40x10 GdL 890 v = mm (errore -2.8 %) L errore è sempre per difetto, di fatto la struttura è più rigida che nella realtà perché le funzioni di forma sono un vincolo per gli spostamenti. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 14/70 7

8 ISO 3: sforzi reticolo 10x10 GdL 230 n xx = kn/m (errore 28.7 %) reticolo 20x10 GdL 450 n xx = kn/m (errore 10.8 %) reticolo 10x10 GdL 890 n xx = kn/m (errore 4.9 %) (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 15/70 ISO 6: spostamenti reticolo GdL v [mm] errore [%] 1x x x x x (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 16/70 8

9 ISO 6: sforzi reticolo GdL n xx [kn/m] errore [%] 1x x x x x (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 17/70 ISO 4: spostamenti reticolo GdL v [mm] errore [%] 1x x x x x (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 18/70 9

10 ISO 4: sforzi reticolo GdL n xx [kn/m] errore [%] 1x x x x x (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 19/70 ISO 8: spostmenti reticolo GdL v [mm] errore [%] 1x x x x x (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 20/70 10

11 ISO 8: sforzi reticolo GdL n xx [kn/m] errore [%] 1x x x x x (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 21/70 Convergenza degli spostamenti spostamenti [mm] ISO8 ISO ISO ISO numero di GdL (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 22/70 11

12 Convergenza degli sforzi sforzo n xx [kn/m] ISO8 ISO6 ISO4 ISO numero di GdL (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 23/70 Esempio 2: trave appoggiata, effetti della distorisione del reticolo b a d c c d a b Fattore di distorsione f=a/b=c/d La mesh èfissata 4x2, poichéla soluzione non èesatta, la soluzione di riferimento è quella con f=1 (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 24/70 12

13 ISO 4: risultati f = 0.9 f = 0.8 f = 0.5 f = 0.2 f v [mm] n xx [kn/m] (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 25/70 ISO 8: risultati Discretizzazione per f = 0.2 Deformata: v(f=1.0) = mm v(f=0.2) = mm (-3.0%) Sforzo n xx : n xx (f=1.0) = kn/m n xx (f=0.2) = kn/m (-6.2%) (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 26/70 13

14 Esempio 3: stato di tensione monoassiale, infittimento del reticolo errato con nodi singolari q 0.2 m E = kn/m 2 ν = 0.2 h = 0.1 m q = 10.0 kn/m 0.6 m Discretizzazione con elementi ISO 4, infittita introducendo nodi singolari: nodo singolare (solo parzialmente connessi con gli elementi circostanti) (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 27/70 Nodi singolari: spostamenti soluzione analitica: u = m u = m u = m u = m Effetti dei nodi singolari: I nodi singolari si staccano dai lati cui non sono connessi. Il campo di spostamenti non è continuo (nonostante ciascun elemento sia di per sé conforme). Gli spostamenti lungo il lato libero sono a loro volta non uniformi poiché influenzati dalla presenza delle discontinuità interne. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 28/70 14

15 Nodi singolari: sforzi n xx [kn/m] 10.0 In prossimità dei nodi singolari lo stato tensionale è pesantemente alterato: 9.93 variazioni a dente di sega per n xx n yy [kn/m] valori di n yy e n xy dello stesso ordine di grandezza di n xx anziché nulli n xy [kn/m] Allontanandosi dai nodi singolari si ritonra progressivamente ad uno stato tensionale corretto (cfr. principio di De Saint Venant). (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 29/70 Esempio 4: stato di tensione monoassiale, mescolanza di elementi di diverso ordine ISO4 ISO8 u = m u = m u = m Anche se in maniera meno marcata rispetto alla presenza di nodi singolari: Gli spostamenti del bordo libero sono disuniformi. Gli spostamenti non sono continui lungo le interfacce fra elementi. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 30/70 15

16 Mescolanza di elementi di ordine diverso: sforzi n xx [kn/m] n xy [kn/m] n yy [kn/m] (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 31/70 Esempio 5: stato di tensione monoassiale, differenti elementi ma dello stesso ordine ISO3 ISO4 Deformata e sforzi corretti: è il giusto modo di infittire la discretizzazione! v = m v = m v = m n xx = 10.0 kn/m (in tutti gli elemenit) (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 32/70 16

17 Esempio 6: carico concentrato sottostruttura 1 H V V E = kn/m 2 H ν = 0.2 h = 0.05 m P sottostruttura 2 P = 1.0 kn 1.0 m possibile rottura nella sottostruttura m (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 33/70 Carico concentrato: spostamenti mesh 2x2 4x4 8x8 16x16 32x32 spostamento massimo [m] Non c è convergenza! (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 34/70 17

18 Carico concentrato: sforzi mesh 4x4 8x8 16x16 32x32 n yy [kn/m] La massima tensione dipende linearmente dalle dimensioni dell elemento! (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 35/70 Stiamo cercando di modellare una singolarità! Nella realtà non esistono carichi concentrati. Il modello di carico concentrato va bene se ci interessa lo stato di sollecitazione solo in punti lontani dal punto di applicazione (Saint Venant). Distribuendo l azione P lungo la sua effettiva (piccola ma finita) lunghezza di applicazione si ottiene un modello realistico e convergente! P = p a P a p 1.0 m 1.0 m 1.0 m 1.0 m (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 36/70 18

19 Modello convergente con carico distribuito: spostamenti mesh 4x4: v = m mesh 8x8: v = m mesh 16x16: v = m mesh 32x32: v = m (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 37/70 Modello convergente con carico distribuito: sforzi mesh 4x4 mesh 8x8 mesh 16x16 mesh 32x32 (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 38/70 19

20 Esempio 7: modellazione di spigoli acuti Membrana sollecitata sollecitata uniformemente con apertura rettangolare Problema: Stato tensionale in prossimità dell apertura 1.5 m 0.5 m axes of symmetry Ci sono due assi di simmetria è sufficiente modellare un quarto della struttura. 0.5 m 1.5 m E = kn/m 2 ν = 0.2 h = 0.2 m q = 10.0 kn/m q (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 39/70 Reticolo 12x12 deformata sforzi principali n max = kn/m (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 40/70 20

21 Reticolo 24x24 deformata sforzi principali n max = kn/m (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 41/70 Reticolo 48x48 deformata sforzi principali n max = kn/m (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 42/70 21

22 Interpretazione Le tensioni nello spigolo divergono all infittirsi del reticolo: si è in presenza di una singolarità. Nella realtà nello spigolo le tensioni superano immediatamente il limite elastico e, a seconda dei materiali danno luogo a plasticizzazione o alla formazione di fessure. Di conseguenza lo spigolo si arrotonda. La singolarità sparische nella realtà. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 43/70 Modellazione con lo spigolo arrotondato axe 1.5 m 0.5 m assi di simmetria r 0.5 m modellazione 1.5 m q le tensioni non sono più singolari! (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 44/70 22

23 Conclusioni per le modellazioni di continui 2D Elementi diversi hanno comportamenti diversi. Attenzione a: Discretizzazioni poco raffinate. Discretizzazioni che non rispettano la continuità (nodi singolari, elementi di ordine diverso). Applicazione errata dei carichi. Interpretazione dei risultati. I programmi FE sono un ausilio se utilizzati intelligentemente e imprescindibilmente dalla conoscenza di: Meccanica teorica: continui, piastre, gusci, Meccanica computazionale: funzioni di forma, conformità, GdL degli elementi, E.g. modellare spigoli acuti e carichi concentrati è perfettamente corretto, si deve essere consapevoli però che i risultati in quei punti non sono attendibili! (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 45/70 struttura piastra di collegamento Unioni rigide elementi trave molto rigidi idealizzazione cavi elementi biella pilone elementi trave Talvolta è necessario idealizzare dei collegamenti con elementi trave di elevata rigidezza (grandi sezioni e piccole lunghezze). (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 46/70 23

24 Esempio 8: portale, elevati rapporti fra sezioni P = 100 kn N b3 A b = b αa αa c c II b = b II c c 0.2 m 3 Q c3 A c = c m 2 2 II c = c m m 3.0 m R h1 A m R h2 Facciamo aumentare il rapporto fra l area della trave e quella dei pilastri (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 47/ discretizzazione con 3 elementi discretizzazione con 30 elementi A b /A c R h1 [kn] R h2 [kn] Q c3 [kn] N b3 [kn] R h1 [kn] R h2 [kn] Q c3 [kn] N b3 [kn] matrice di rigidezza singolare! matrice di rigidezza singolare! Risultati All aumentare del rapporto fra le aree i risultati si deteriorano fino ad arrivare ad avere la matrice di rigidezza singolare! Infittire la discretizzazione è controproducente (3 elementi sono teoricamente sufficienti a fornire la soluzione analitica esatta). (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 48/70 24

25 Spiegazione Durante l assemblaggio la rigidezza flessionale dei pilastri viene sommata a w quella assiale della trave: K ww 12 EIc EAb 3 Lc Lb = + pilastro trave I numeri reali sono rappresenti dal calcolatore in forma esponenziale con un numero finito di cifre significative per mantissa ad esponente (rappresentazione in virgola mobile con precisione finita): R = x.yyy * 10 m Se due numeri hanno grandezze molto diverse il minore si perde durante le operazioni di somma! = entrambi i numeri vengono scalati secondo il massimo esponente e rappresentati con un numero finito di decimali (3 nell esempio) = Quando A b /A c è grande, il pilastro è come se non esistesse per quel GdL! (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 49/70 Esempio 9: mensola, elemento troppo corto (e dunque troppo rigido) P = 1.0 kn 0.2 m E = kn/m m 10.0 m w soluzione analitica 3 PL = 3EI = cm discretizzazione 2 elementi trave trave di di lunghezza disuguale M = PL = 10. 0kNm (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 50/70 25

26 L 1 [m] Risultati ed interpretazione analitica L 2 [m] w[cm] M[kNm] matrice di rigidezza singolare! Anche in questo caso al variare delle proporzioni la rigidezza della trave più corta tende a cancellare numericamente quella del restante tratto fino ad eliminarlo del tutto creando un cinematismo! 12 EI 12 EI Kww = + L L Elementi molto rigidi (o molto corti) vanno utilizzati con estrema cautela: la formazione di un cinematismo è il caso estremo, normalmente si ha solo un alterazione dei risultati (più difficile da verificare!). (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 51/70 Esempio 10: cinematismi di bielle Discretizzazione del traliccio con elementi trave e biella (4 (4 bielle per ogni X ) elementi biella biella elementi trave trave Si Si ottiene una matrice di di rigidezza singolare! incastri incastrialla alla base base La La struttura è un un cinematismo! (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 52/70 26

27 Analisi agli autovalori La La matrice di di rigidezza ha ha autovalori nulli Ad essi corrispondono cinematismi individuati dai corrispondenti autovalori Nell esempio sono i 12 spostamenti fuori dal piano dei centri delle croci di S. Andrea. primo primo cinematismo (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 53/70 Modello con pretensione Un Un modo modo per per eliminare la la singolarità della della matrice di di rigidezza e di di conseguenza i i cinematismi consiste nell introdurre una una debole debole pretensione negli negli elementi biella. biella. In In tal tal modo modo questi questi acquistano rigidezza anche anche fuori fuori dal dal piano piano (v. (v. cap. cap. 6). 6). Nell esempio una unapretensione di di kn kn è sufficiente a stabilizzare l analisi l analisi senza senza alterare in in maniera percettibile le le proprietà del del sistema. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 54/70 27

28 Esempio 11: formazione di cinematismo fra elementi trave ed elementi guscio elementi guscio piani elementi trave incastro (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 55/70 Formazione di un cinematismo! Discretizzazione con con due due elementi guscio ed ed un un elemento trave Rigidezza singolare! Si Si forma un un cinematismo! (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 56/70 28

29 y z x Spiegazione m xx xx m yy yy m xy xy m xy xy La La lastra inflessa possiede 2 momenti flettenti (m (m xx e xx m yy ) yy ) e 1 momento torsionale (m (m xy ). xy ). Non Non c è c èalcun momento m zz attorno zz all asse normale. Una Una rotazione attorno all asse z non non compie lavoro e dunque l elemento non non ha ha rigidezza rispetto a ϕ z. z. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 57/70 Discretizzazione corretta Si Si aggiunge un un segmento di di elemento trave. La La rigidezza non non è singolare! Il Il momento sulla sulla trave è generato da da una una coppia di di forze. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 58/70 29

30 Esempio 12: travi incernierate 30 kn 20 kn 10 kn 0.5 m 1.0 m 1.0 m Struttura spaziale incernierata. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 59/70 Discretizzazione con elementi biella N 4 = 4 = kn kn v = m N 3 = 3 = kn kn N 1 = 1 = kn kn N 2 = 2 = kn kn Con elementi biella: nessun problema. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 60/70 30

31 Discretizzazione con elementi trave Discretizzazione con elementi trave (può essere utile per analisi di di stabilità)! Rigidezza di di sistema singolare! nodi nodi11,12,13,14 elemento elemento3: 3: elemento elemento4: 4: nodo nodo1 elemento elemento1: 1: vincoli: vincoli: nodi nodi1-4: U x = x 0; 0; U y = y 0; 0; U z = z 0 nodi nodi11-14: U x U x y U y z uguali z uguali fra fra loro loro nodo nodo3 elemento elemento2: 2: node node2 node node4 (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 61/70 Analisi agli autovalori 4 autovalori nulli. Le Le corrispondenti forme non mostrano deformazioni. autovettori 1-4 (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 62/70 31

32 Andando a vedere i valori numerici ci si accorge che sono rotazioni attorno agli assi delle travi! Φ nodo 11: = GdL locali: ϕ = Φ 1 nodo 1: = (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 63/70 Soluzione del problema Ad Ad ogni ogni cerniera si si aggiungono molle rotazionali di di piccola rigidezza (0.1 (0.1 knm). La La labilità viene così cosìeliminata senza alterare apprezzabilmente il il comportamento della della struttura. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 64/70 32

33 Nota Sottostrutture di un sistema possono dar luogo a cinematismi per differenti ragioni, e.g.: bielle complanari, travi incernierate, unione di elementi con differenti GdL... I cinematismi possono venire individuati con analisi agli autovalori, i programmi commerciali tuttavia non offrono questa possibilità! Esperienza e conoscenza della teoria sono le uniche difese per evitare, individuare e risolvere questi problemi. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 65/70 Esempio 13: stabilità di trave IPE caricata di punta, modello con elementi guscio piani modellazione analisi prima forma seconda forma terza forma gusci piani a 4 nodi 6 GdL/nodo (v x,v y,v z,ϕ x,ϕ y,ϕ z ) la continuità degli spostamenti non è rispettata! (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 66/70 33

34 Interpretazione del risultato errato Ancora una volta il problema è dovuto agli elementi guscio piani che non hanno rigidezza alla rotazione attorno all asse ortogonale agli elementi stessi: sottostruttura 1 ϕ z ϕ y ϕ n v z v y sottostruttura 2 ϕ x v x Le sottostrutture sono collegate nei nodi, essendo fra loro ortogonali ciascuna non offre rigidezza alle rotazioni dell altra. si comportano come vicendevolmente incernierate nei nodi e le forme di instabilità viste sono possibili! sottostruttura 1 sottostruttura 2 (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 67/70 Soluzione: discretizzazione più fine Discretizzando con un reticolo più fine le forme di instabilità delle singole lamine si ottengono per valori del carico via via più alti (diminuisce la distanza fra gli appoggi e dunque la lunghezza di libera inflessione) ed è così possibile cogliere il comportamento globale della struttura. (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 68/70 34

35 Conclusioni L utilizzo del FEM non è banale: gli errori in cui si può incorrere sono di molti tipi. Iniziare sempre con modellazioni semplici (meglio controllabili) ed aggiungere dettagli (se necessario!) per passi. Mai prendere risultati per buoni senza verifica! In caso di dubbio semplificare il problema al massimo ed eseguire verifiche anche manuali. Non credere all infallibilità dei programmi commerciali con comportamento black box. La conoscenza della teoria (sia della meccanica che del FEM) è indispensabile. L esperienza è altrettanto importante: quanto visto in questo capitolo può solo dare un idea! (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 69/70 Nel prossimo capitolo Introduzione all analisi non-lineare (rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 70/70 35