METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

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1 Elemento Piastra Con elemento piastra si intende un elemento piano (avente una dimensione piccola rispetto alle altre due) capace di reagire alle azioni che tendono ad infletterlo fuori dal piano in cui giace. Viene considerato nel seguito un elemento rettangolare con lati diritti e di spessore costante. Anche per l elemento piastra si può fare riferimento ad una formulazione che trascura gli effetti della deformazione da taglio (formulazione di Kirchhoff) e ad una che invece tiene conto di tale deformazione (formulazione di Mindlin). L ipotesi alla base della prima formulazione comporta che le sezioni normali alla giacitura della piastra rimangano piane in seguito all applicazione del carico e normali alla superficie elastica; ciò è molto vicino al vero se la piastra è sottile. x1 1 y1 x4 y4 4 x w 1 w 4 Figura 3.13 x2 y 2 w 2 y2 z x3 3 w 3 y3

2 Elemento Piastra Entrambe le teorie si basano sulle ipotesi che gli spostamenti di flessione siano piccoli rispetto allo spessore e che le tensioni z siano trascurabili; quella di Mindlin, pur considerando gli effetti del taglio, che dovrebbero comportare l incurvamento ad S delle sezioni normali alla giacitura, ipotizza anche che queste ultime si mantengano piane, ma non necessariamente ortogonali alla superficie elastica. Dalla figura 3.13 si osserva che l elemento a quattro nodi possiede dodici gradi di libertà e quindi la funzione di spostamento deve contenere dodici coordinate genralizzate. x1 1 y1 x4 y4 4 x w 1 w 4 x2 y 2 w 2 y2 z x3 3 w 3 y3

3 Elemento Piastra Formulazione di Kirchhoff x w y y w x Formulazione di Mindlin w y w x x x y y

4 Formulazione di Kirchhoff Per effetto di questa ipotesi le rotazioni sono dovute solamente alle azioni flettenti, come nel caso della trave euleriana, pertanto le rotazioni si ricavano dagli spostamenti con semplice operazione di derivazione. Allora le dodici coordinate generalizzate possono essere utilizzate tutte nella espressione della freccia: w= x+ 3 y+ 4 x xy+ 6 y x x 2 y+ 9 xy y x 3 y+ 12 xy 3 e quindi: x =dw/dy= x+2 6 y+ 8 x xy+3 10 y x xy 2 y =dw/dx= x+ 5 y+3 7 x xy+ 9 y x 2 y+ 12 y 3 Questa formulazione soddisfa la condizione di completezza; infatti consente di descrivere: - traslazione rigida lungo z ( 1 ); - rotazioni rigide intorno ad x ed y ( 2, 3 ); -stato di deformazione costante ({ }={-d 2 w/dx 2 -d 2 w/dy 2 -d 2 w/dxdy} T 4, 5, 6 ) x1 1 w 1 y1 x4 4 x w 4 y4 x2 y 2 w 2 y2 z x3 3 w 3 y3

5 Formulazione di Kirchhoff Per quanto riguarda la compatibilità, questa formulazione rappresenta spostamenti continui nell elemento. Nel passaggio da un elemento ad un altro si ha (figura 3.14): x # bordo 1-2: x = costante = 0 w= y+ 6 y y 3 x = y+3 10 y 2 y = y+ 9 y y 3 y z Figura 3.14 Si hanno quindi 8 coefficienti e sei condizioni al contorno che non consentono di imporre la continuità degli spostamenti e delle rotazioni. Si osservi però che nelle espressioni di w e x compaiono quattro coefficienti ( 1, 3, 6, 10 ), che consentono di imporre le quattro condizioni al contorno su tali due componenti; allora w e x sono continui lungo 1-2 e lungo tutti i bordi paralleli ad y. Nell espressione di y sono presenti altri quattro coefficienti ( 2, 5, 9, 12 ), che le restanti due condizioni al contorno non consentono di determinare; allora la y risulta discontinua (figura 3.15). bordo 1-4 e bordi paralleli ad x: sono continui w e y, mentre è discontinua x. Figura 3.15

6 Formulazione di Kirchhoff Si conclude che la funzione di spostamento non è compatibile, ma è completa. Pertanto la soluzione converge all aumentare del numero di elementi, ma non se ne conosce il verso. Formulazione di Mindlin I tre spostamenti generalizzati sono tra loro indipendenti e quindi per rappresentare le frecce e le rotazioni si debbono utilizzare tre polinomi indipendenti: w= x+ 3 y+ 4 xy x = x+ 7 y+ 8 xy y = x+ 11 y+ 12 xy

7 Elemento guscio L elemento guscio nasce dalla combinazione dell elemento membranale, caratterizzato da due g.d.l. (traslazioni) per nodo, e dell elemento piastra, caratterizzato da tre g.d.l per nodo (una traslazione e due rotazioni). E pertanto un elemento a cinque gradi di libertà per nodo in grado di analizzare problemi con spostamenti nel piano (due componenti di traslazione), spostamenti fuori dal piano (una componente di traslazione) e due rotazioni intorno ad assi giacenti del piano dell elemento. Le relazioni di equilibrio dei due tipi di elementi: {Q m }=[k m ]{q m } per l elemento membranale {Q p }=[k p ]{q p } per l elemento piastra possono combinarsi nella: Q Q m k m q 0 Q p k 0 p q m p che rappresenta la relazione di equilibrio per l elemento guscio. Per la trattazione di certi casi occorre aggiungere un sesto g.d.l., rappresentato dalla rotazione intorno all asse z: z. In figura 3.16 è riportata la deformata in regime di postbuckling di una struttura tubolare, a parete sottile, di sezione quadra, discretizzata con elementi guscio

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11 Tipi di elementi

12 Tipi di elementi

13 Generazione degli elementi triangolari della famiglia di Lagrange

14 Generazione degli elementi rettangolari della famiglia di Lagrange

15 Elemento triangolare quadratico a 6 nodi (EP12) Funzione di spostamento: 2 2, u x y a a x a y a x a xy a y v( x, y) a a x a y a x a xy a y Le funzioni di forma N i risulteranno quadratiche in x ed y e l elemento triangolare quadratico sarà in grado di rappresentare deformazioni e tensioni che variano linearmente. La matrice di rigidezza dell elemento è 12x12 e si ricava da: xmax ymax T k t B E B x min y min dx dy

16 Studi Comparativi

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