Fiammetta Conforto Francesco Oliveri MATEMATICA DI BASE

Транскрипт

1 Fiammetta Conforto Francesco Oliveri MATEMATICA DI BASE

2

3 Note per il Test di Accesso alla Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Università di Messina Fiammetta Conforto Francesco Oliveri Dipartimento di Matematica Facoltà di Scienze mm.ff.nn. Università di Messina

4 c 011. Queste note possono essere liberamente distribuite e riprodotte purché non a fini commerciali. Prodotto dagli autori mediante il sistema di composizione tipografica L A TEX.

5 Prefazione Queste note contengono alcuni richiami alle nozioni matematiche di base richieste per il superamento del test di ingresso ai corsi di laurea triennale della Facoltà di Scienze MM.FF.NN. dell Università di Messina. Tali nozioni dovrebbero essere patrimonio di ogni studente che si accinge ad iscriversi all Università. In linea di principio queste note dovrebbero quindi essere superflue, ma l esperienza insegna che purtroppo così non è. È comunque auspicabile che non siano inutili e che gli studenti lettori (muniti di un bloc notes e di una penna), svolgendo autonomamente gli esercizi (per molti dei quali è esplicitamente fornito il procedimento risolutivo, con una pletora di dettagli a volte irritante), ne traggano qualche beneficio. Negli esercizi le risposte esatte sono marcate con un asterisco. Se alla fine la reazione della maggior parte dei lettori sarà di fastidio per avere tra le mani del materiale a loro ben noto, gli autori si riterranno comunque soddisfatti. Il materiale contenuto è tratto dalle presentazioni tenute l anno scorso durante i corsi di allineamento organizzati dal Preside della Facoltà di Scienze dell Università di Messina, prof. Mario Gattuso. Altri colleghi del Dipartimento di Matematica (Roberto Amato, Maddalena Bonanzinga, Patrizia Rogolino, Antoinette Tripodi) hanno contribuito nella formulazione degli esercizi e nello svolgimento delle lezioni dei vari corsi di allineamento. Il prof. Francesco Santoro (Liceo Scientifico Statale Archimede di Messina) è l autore del modulo 5 sul calcolo combinatorio e la probabilità. Alcuni dottorandi del Dottorato di Ricerca in Matematica (Serena Sammarco, Cecilia Spinelli, Paola Lea Staglianò) hanno altresì contribuito ad una versione preliminare delle presentazioni. Un avvertenza è necessaria: nessuno scritto è esente da errori e/o imperfezioni, e questo non fa eccezione, anche alla luce del fatto che si tratta di una versione 1.0. Gli autori hanno controllato il testo e gli esercizi, ma l errore, come il diavolo, è solito nascondersi nei dettagli! Segnalazioni di errori e/o 3

6 imprecisioni saranno gradite ( in modo da produrre versioni più accurate. Agosto 011 Fiammetta Conforto, Francesco Oliveri 4

7 Indice 1 MATEMATICA DI BASE MODULO Insiemi Diagrammi di Eulero Venn L insieme vuoto Operazioni tra insiemi Prodotto cartesiano Logica Logica Booleana Proprietà delle operazioni logiche Implicazione Numeri Numeri interi Massimo comune divisore e minimo comune multiplo Fattoriale Numeri reali Potenze Radice Esponenziali e logaritmi Numero di cifre di un numero Manipolazione di espressioni aritmetiche e notazione scientifica dei numeri reali Percentuali Esercizi svolti Insiemi Logica Numeri Esercizi proposti

8 1.7.1 Logica Numeri MATEMATICA DI BASE MODULO 43.1 Espressioni letterali Identità Equazioni Soluzione di un equazione Classificazione delle equazioni Equazioni di primo grado Principi di equivalenza Equazioni di secondo grado Casi particolari Soluzioni dell equazione di secondo grado Proprietà delle soluzioni di un equazione di secondo grado Regola di Cartesio Disequazioni Disequazioni quadratiche Sistemi lineari Soluzione Metodo di sostituzione Metodo del confronto Metodo di riduzione Metodo di Cramer Esercizi svolti Espressioni algebriche Disequazioni Sistemi lineari Esercizi proposti Espressioni algebriche Disequazioni Sistemi lineari MATEMATICA DI BASE MODULO Matematica: concetti primitivi Gli Elementi di Euclide (Στoιχɛια) Nozioni comuni Definizioni

9 3..3 Postulati Figure piane Poligonali Poligono Punti notevoli di un triangolo Triangoli simili Quadrilateri Poligoni regolari Circonferenza Perimetro e area di figure piane Teoremi notevoli sui triangoli rettangoli Solidi Piano cartesiano Distanza tra due punti Retta Circonferenza Parabola Esercizi svolti Geometria piana Geometria solida Geometria analitica Esercizi proposti Geometria piana Geometria solida Geometria analitica MATEMATICA DI BASE MODULO Relazioni Proprietà delle relazioni su un insieme A Funzioni Funzioni reali di variabile reale Rappresentazione grafica Grafici Funzioni iniettive Grafici e iniettività Funzioni suriettive Grafici e suriettività Funzioni biettive o biunivoche

10 4..9 Grafici e biettività Funzione composta Funzione inversa Funzioni notevoli Esercizi svolti Funzioni Esercizi proposti Funzioni MATEMATICA DI BASE MODULO Calcolo Combinatorio Cenni storici Definizioni Disposizioni semplici di n elementi a k a k Permutazioni di n elementi Inversioni sulle permutazioni Combinazioni di n elementi a k a k Proprietà del coefficiente binomiale Binomio di Newton Calcolo delle probabilità, cenni storici Giochi di dadi e calcolo delle probabilità Teoria della probabilità Teoria assiomatica Notazioni abbreviate Probabilità condizionata Probabilità totale Eventi indipendenti Paradossi nel calcolo delle probabilità Paradosso del compleanno Problema di Monty Hall Esercizi svolti Calcolo combinatorio Calcolo delle probabilità Esercizi proposti Calcolo combinatorio Calcolo delle probabilità

11 Capitolo 1 MATEMATICA DI BASE MODULO 1 Insiemi Logica Numeri 1.1 Insiemi Intuitivamente, con il termine insieme si indica una collezione di oggetti chiamati elementi. Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente. x A l elemento x appartiene all insieme A; x / A l elemento x non appartiene all insieme A. Due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi, cioè, due insiemi A e B coincidono se per ogni elemento x tale che x A risulta x B, e per ogni elemento x B risulta x A, o, più concisamente: A = B ( x A x B) e ( x B x A). Nota 1 Il simbolo (quantificatore universale) si legge per ogni. L altro quantificatore, (quantificatore esistenziale), che presto farà la sua comparsa, si legge esiste. Il simbolo si legge implica, mentre il simbolo si legge è equivalente. 9

12 Un insieme può essere descritto in maniera estensiva (elencando gli elementi che lo compongono), ad esempio A = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, o in maniera intensiva (le proprietà possedute dai suoi elementi), ad esempio A = {gli studenti di quest aula il cui compleanno cade in settembre}. Per gli elementi di un insieme non si fa caso all ordine degli elementi. Quindi A = {x, y, z} e B = {y, z, x} rappresentano lo stesso insieme. Un insieme B si dice sottoinsieme dell insieme A, e si indica con B A, se e solo se per ogni elemento x B risulta x A, o, più concisamente: B A x B x A. Se esiste almeno un elemento x A che non appartiene a B (cioè x / B) allora si dice che B è una parte propria di A e si scrive più concisamente si scrive: B A; B A ( x B x A) e ( x A tale che x / B). In particolare, due insiemi A e B coincidono se risulta B A e A B. Due insiemi si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune: ( x A x / B) e ( x B x / A). 10

13 1.1.1 Diagrammi di Eulero Venn Un diagramma di Eulero Venn è la rappresentazione grafica di un insieme che consiste nel racchiuderne gli elementi all interno di una regione delimitata da una linea chiusa non intrecciata. Gli elementi dell insieme vengono evidenziati con punti interni alla regione, gli elementi che non appartengono all insieme con punti esterni ad essa. A B Insiemi disgiunti 1.1. L insieme vuoto Si chiama insieme vuoto l insieme che non contiene nessun elemento. Tale insieme si indica con il simbolo oppure con le parentesi graffe aperte e chiuse {} (insieme vuoto). L insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso se stesso). L insieme vuoto è importante per definire in maniera generale le operazioni tra insiemi. 11

14 1.1.3 Operazioni tra insiemi L unione di due insiemi A e B, A B, è l insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all insieme A o all insieme B o a entrambi. L intersezione di due insiemi A e B, A B, è l insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi A e B. La differenza B meno A, B \ A, è data dall insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A, B \ A = {x : x B e x / A}. La differenza tra B e A si dice anche complementare di A rispetto a B. La differenza simmetrica tra due insiemi è l insieme degli elementi che appartengono ad A e non a B oppure che appartengono a B e non ad A: A B = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B). Nota Nella definizione di insiemi il simbolo : si legge tale che. Esempio 1 A = {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, A B = {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A B = {4, 5, 6, 7}, A \ B = {0, 1,, 3}, A B = {0, 1,, 3, 8, 9}. 1

15 Dati due insiemi A, ed U, con A U, si definisce complementare di A rispetto ad U l insieme formato dagli elementi che appartengono ad U ma non appartengono ad A: A = {x : x U e x / A}. Nella figura seguente il complementare di A rispetto ad U è identificata dalla parte in rosso. Esempio A = {x : x numero intero e 0 < x < 1} B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 1, 13, 14, 15} A B = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 13, 14, 15} A B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} A \ B = {, 4, 6, 8, 10} A B = {, 4, 6, 8, 10, 1, 13, 14, 15} Prodotto cartesiano Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l insieme di tutte le possibili coppie ordinate (a, b) con a A e b B: A B = {(a, b) : a A e b B}. Esempio 3 Se A = {a, b, c}, B = {1,, 3, 4} risulta A B = {(a, 1), (a, ), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, ), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, ), (c, 3), (c, 4)}. 13

16 1. Logica La Logica classica è la scienza che tratta tutta la validità e le articolazioni di un discorso in termini di nessi inferenziali relativamente alle proposizioni che lo compongono. La prima formulazione della logica come scienza propedeutica a ogni possibile conoscenza si deve ad Aristotele. La logica aristotelica si basa sul fatto che esistono solo due valori di verità: Vero (V) e Falso (F). Ogni proposizione è Vera oppure (in senso esclusivo) Falsa. È questo il cosiddetto Principio del Terzo Escluso (tertium non datur) Logica Booleana A metà dell Ottocento George Boole ( ), evidenziando l analogia tra i simboli che rappresentano le proposizioni logiche e opportuni simboli algebrici, ridusse la logica ad una disciplina matematica. Boole ha di fatto creato un algebra, detta Algebra Booleana, che opera su variabili logiche, cioè, variabili in grado di assumere due soli valori, vero, che nel seguito indicheremo con il simbolo V, e falso, che nel seguito indicheremo con il simbolo F. L Algebra Booleana è il fondamento del funzionamento dei calcolatori elettronici digitali in quanto tutte le operazioni si possono ricondurre a particolari operazioni logiche. Le operazioni logiche sono operazioni che coinvolgono delle variabili logiche e che danno come risultato delle variabili logiche. Poiché una variabile logica ha due possibili valori (vero o falso), è comodo identificare questi due valori di verità con i due simboli dell alfabeto binario: possiamo identificare il simbolo 0 con il valore di verità F, e il simbolo 1 con il valore di verità V. Le operazioni logiche fondamentali sono not, or, and e xor. Chiariremo il significato di queste operazioni logiche specificando la corrispondente tavola di verità (che è l analogo delle tabellina di un operazione aritmetica), indicando le variabili logiche con delle lettere minuscole, a, b,.... Cominciamo con l operazione not: si tratta di un operazione unaria, che richiede un solo argomento. Essa non è altro che l operazione di negazione logica: restituisce un risultato falso se il suo argomento è vero, mentre restituisce il valore vero se il suo argomento è falso. La corrispondente tavola di verità è la seguente: 14

17 a F V not(a) V F Quando non c è pericolo di ambiguità, si usa la notazione compatta a per indicare not(a), essendo a una variabile logica. L operazione logica or (detta anche o non esclusivo, somma logica, oppure disgiunzione logica: corrisponde al termine latino vel) è un operazione binaria che restituisce il valore di verità falso solo nel caso in cui entrambi gli operandi sono falsi, e vero in tutti gli altri casi. Una notazione alternativa per (a or b) è (a b). L operazione logica and (detta anche e logico, congiunzione logica, oppure prodotto logico) è un operazione binaria che fornisce un risultato vero solo quando entrambi gli operandi sono veri, e falso in tutti gli altri casi. Una notazione alternativa per (a and b) è (a b). L operazione logica xor ( o esclusivo, corrispondente al termine latino aut; il nome xor è un acronimo di exclusive OR ) è un operazione binaria che dà come risultato il valore di verità vero quando i suoi due operandi sono diversi, mentre dà come risultato il valore di verità falso quando i suoi due operandi sono uguali 1. Le tavole di verità delle operazioni logiche or, and e xor sono presto scritte: a b a or b a and b a xor b V V V V F V F V F V F V V F V F F F F F È facile vedere che l operazione di xor può essere ricondotta ad una opportuna combinazione di operazioni not, or ed and. Infatti, sussiste l identità a xor b = (not(a) and b) or (a and not(b)), che si dimostra confrontando le tavole di verità di entrambi i membri, 1 In italiano, o e oppure vengono usati indifferentemente sia in senso esclusivo (ad es., o ti mangi questa minestra o ti butti dalla finestra ) che in senso non esclusivo (ad es., si assumono individui di sesso maschile o femminile ). In latino, invece, i due significati erano associati a parole diverse: vel per il senso non esclusivo, ed aut per il senso esclusivo. 15

18 a b (a and b) or (a and b) a xor b V V F F V F V V F V V V F F F F da cui si evince la coincidenza delle ultime due colonne. 1.. Proprietà delle operazioni logiche Le operazioni logiche verificano alcune proprietà che si chiamano tautologie, in quanto sono verificate per ogni possibile valore di verità dei loro argomenti. Consideriamo le tautologie che riguardano le operazioni not, or e and. Doppia negazione: not(not(a)) = a, che corrisponde alla nota asserzione due negazioni affermano. Proprietà Commutativa: Proprietà Associativa: Proprietà di Idempotenza: Proprietà Distributiva: Leggi di De Morgan: a or b = b or a; a and b = b and a. (a or b) or c = a or (b or c); (a and b) and c = a and (b and c). a or V = V; a or F = a; a and V = a; a and F = F. a or (b and c) = (a or b) and (a or c); a and (b or c) = (a and b) or (a and c). not(a or b) = (not(a)) and (not(b)); not(a and b) = (not(a)) or (not(b)). 16

19 Per quando riguarda l operazione logica xor si hanno, tra le altre, le seguenti tautologie (identità logiche vere qualunque sia il valore di verità delle proposizioni logiche coinvolte): a xor b = b xor a; (a xor b) xor c = a xor (b xor c); a xor V = not(a); a xor F = a; not(a xor b) = (a or not(b)) and (not(a) or b). Dimostriamo, in particolare, l ultima tautologia: not(a xor b) = not((not(a) and b) or (a and not(b))) = = not(not(a) and b) and not(a and not(b)) = = (a or not(b)) and (not(a) or b) Implicazione La notazione p q, dove p e q sono delle espressioni logiche, indica che da p segue q. L implicazione è vera 1. se p è vera e q è vera,. se p è falsa e q è vera, 3. se p è falsa e q è falsa, ed è falsa solo se p è vera e q è falsa. I casi e 3 corrispondono alla ben nota proprietà che da una proposizione falsa è possibile dedurre qualunque cosa. Non è difficile rendersi conto delle seguenti equivalenze: p q not(p) or q; p q not(q) not(p). 17

20 1.3 Numeri Insiemi importanti in Matematica sono quelli i cui elementi sono i numeri. I numeri sono rappresentati mediante cifre, secondo un sistema di numerazione (decimale, binario, ottale, esadecimale,... ). 1. Numeri Naturali: N = {0, 1,, 3,...}.. Numeri Relativi: Z = {0, ±1, ±, ±3...}. 3. Numeri Razionali: Q = { m n con m, n Z, n 0}. 3, 15 9, 3 4 = 3 4 = Numeri Irrazionali: = , π = , e = Numeri Reali: R, unione dei Razionali e degli Irrazionali. 6. Numeri Complessi: C = {a + ib : a, b R, i = 1} i, i, π 6 i. 1.4 Numeri interi Un numero primo è un numero naturale che è divisibile solamente per se stesso e per 1. I numeri primi sono infiniti (dimostrato da Euclide nel IV secolo a.c.):, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37,... Un numero composto è un numero naturale che ha più di due divisori; 6 = 3, sono esempi di numeri composti. 80 = 5 7 Teorema 1 (Teorema fondamentale dell Aritmetica) Ogni numero naturale diverso da 1 può essere scomposto nel prodotto di numeri primi. Tale scomposizione è unica a meno dell ordine dei fattori. 344 =

21 1.4.1 Massimo comune divisore e minimo comune multiplo Il massimo comune divisore (MCD) di due interi è il più grande numero naturale che li divide entrambi. Ad es., MCD(30, 18) = 6, MCD(4, 180) =. Due numeri a, b si dicono coprimi se MCD(a, b) = 1. Il minimo comune multiplo (mcm) di due interi è il più piccolo numero naturale multiplo di entrambi. Ad es., mcm(30, 18) = 90. Vale la relazione mcm(a, b) = a b MCD(a, b). Scomposizione in fattori primi: M CD(344, 1456) 344 = , 1456 = Dunque: MCD(344, 1456) = 13 = 5, mcm(344, 1456) = = Usare la scomposizione in fattori primi per calcolare il MCD (e anche il mcm) non è il metodo più efficiente. Si può calcolare il MCD di due numeri più facilmente che scomponendo in primi ricorrendo alle seguenti proprietà: MCD(m, 0) = m se m 0; MCD(m, n) = MCD(m n, n), se m > n; MCD(m, n) = MCD(n, r), se n > 0, dove r è il resto della divisione tra m ed n. 19

22 L ultima proprietà (alla base del cosiddetto Algoritmo di Euclide) è quella che rende il calcolo del massimo comune divisore più veloce. Esempio 4 Per calcolare MCD(344, 1456) si divide 344 per 1456 (quoziente 15 e resto 1404). Dunque MCD(344, 1456) = MCD(1456, 1404). Si divide 1456 per 1404 (quoziente 1 e resto 5) e quindi MCD(1456, 1404) = MCD(1404, 5). Si divide 1404 per 5 (quoziente 7 e resto 0) da cui Esempio 5 Per calcolare MCD(1404, 5) = MCD(5, 0) = 5. MCD( , ) l uso del metodo di cui all esercizio precedente non è agevole (i numeri coinvolti hanno più di 600 cifre!). IL MCD si può calcolare semplicemente facendo la differenza tra i due numeri; si ha: MCD( , ) = MCD(, ). Poiché il secondo numero è pari (e quindi divisibile per ), il MCD è semplicemente. Il MCD e il mcm sono fondamentali nella manipolazione delle frazioni. I numeri razionali non hanno una rappresentazione unica! Le frazioni 3 4, 6 8, 1 8, rappresentano tutte lo stesso numero

23 La rappresentazione è unica se si considerano le frazioni ridotte ai minimi termini, in cui numeratore e denominatore non hanno fattori in comune (basta dividerli per il loro MCD). Ad es., = 344/5 1456/5 = Il mcm serve quando si eseguono operazioni aritmetiche tra numeri razionali. E il MCD per semplificare eventualmente il risultato Fattoriale = = = 1. Dato un numero intero positivo n, si definisce il fattoriale di n: n! = 1 (n 1) n, dato dal prodotto dei primi n naturali. Per definizione, nonché per consistenza logica, è 0! = Numeri reali Quando si opera con i numeri reali si ha spesso a che fare con intervalli. Nel seguito a e b sono numeri reali assegnati con a b. Intervalli chiusi: Intervalli aperti a sinistra: Intervalli aperti a destra: [a, b] = {x R : a x b}; ]a, b] = {x R : a < x b}; [a, b[= {x R : a x < b}; 1

24 Intervalli aperti: ]a, b[= {x R : a < x < b}. Intervalli aperti illimitati a destra: ]a, + [= {x R : x > a}. Intervalli chiusi illimitati a destra: [a, + [= {x R : x a}. Intervalli aperti illimitati a sinistra: ], a[= {x R : x < a}. Intervalli chiusi illimitati a sinistra: ], a] = {x R : x a}. Intervallo illimitato a destra e a sinistra: ], + [= R. Le disuguaglianze tra numeri reali possono essere manipolate utilizzando le seguenti proprietà: a < b a + c < b + c, a, b, c R, a b a + c b + c, a, b, c R, a < b a c < b c, a, b, c R, c > 0, a b a c b c, a, b, c R, c > 0, a < b a c > b c, a, b, c R, c < 0, a b a c b c, a, b, c R, c < 0, a < b e c < d a + c < b + d, a, b, c, d R, a b e c < d a + c < b + d, a, b, c, d R, a < b e c d a + c < b + d, a, b, c, d R, a b e c d a + c b + d, a, b, c, d R.

25 1.5.1 Potenze Dato un numero reale x e un numero naturale n la potenza n esima di x, x n, è data dal prodotto Proprietà delle potenze. x n = x x... x } {{ } n volte. x 0 = 1 (a patto che x 0, altrimenti è indeterminato), x m x n = x m+n, x m x n = xm n, (x m ) n = x m n Radice La radice n esima (n numero naturale) del numero x, n x, è quel numero y tale che y n = x, cioè y = n x y n = x. Se n è pari x non può essere negativo. Dalla definizione di radice n esima e dalle proprietà delle potenze, si può scrivere n x = x 1/n Esponenziali e logaritmi Generalizzando il concetto di potenza, si può introdurre il concetto di esponenziale, a x, dove a > 0 è un numero reale positivo, e x è un numero reale. Per definire a x è opportuno prima definire e x, dove e

26 è il numero di Nepero. L esponenziale e x si definisce come somma della serie infinita e x = 1 + x + x + x3 3! + x4 4!... = x k k!. Il logaritmo in base e (logaritmo naturale) di un numero x > 0, ln x, è il valore y per cui e y = x. Si ha dunque che il logaritmo naturale è l operazione inversa dell esponenziale e x, cioè, o, anche: y = ln x x = e y, k=0 e ln x = x x > 0, ln e x = x x R. A partire da e x si può definire l esponenziale a x di base a come segue: Valgono le seguenti identità: a x = e (ln a)x. a 0 = 1, a 1 = a, a 1 = 1 a, (a x ) y = a xy, a x a y = a x+y, a x a y = ax y. Oltre a quelli naturali, importanti logaritmi sono quelli in base 10 (log 10 x), e, per il loro uso in Informatica, i logaritmi in base (log x). In generale, presa una generica base a positiva e diversa da 1, possiamo definire il logaritmo in base a di x, log a x. Risulta o, anche: Valgono le seguenti relazioni: y = log a x x = a y, a log a x = x x > 0, log a a x = x x R. log a 1 = 0, log a (x y) = log a x + log a y, log a x n = n log a x, log a (x/y) = log a x log a y, log b a = 1/log a b, log b a = log c a/log c b. 4

27 1.5.4 Numero di cifre di un numero Il logaritmo in base 10 può essere usato per sapere con quante cifre si rappresenta un numero nel sistema decimale. Poiché è: e log 10 1 = 0, log = 1, log =,..., log n = n,... x < y log 10 x < log 10 y, aggiungendo 1 alla parte intera del logaritmo in base 10 di un numero si ottiene il numero di cifre della sua rappresentazione decimale. Numero di cifre( ) = 1 + log = log Per sapere quanti bit ha la rappresentazione binaria di un numero, in maniera analoga basta aggiungere 1 al logaritmo in base Manipolazione di espressioni aritmetiche e notazione scientifica dei numeri reali Esempio 6 Esempio = = = = = = = = = Nella notazione scientifica i numeri reali vengono rappresentati con una mantissa compresa tra 1 e 1 (escluso) moltiplicata per una opportuna potenza del = =

28 Esempio 8 Esempio = = = = = = = Il risultato non è né 5 8 né 10 4 (come qualche buontempone potrebbe pensare)! Esempio 10 Esempio = = = ( ) 10 = = = = = (3 3 ) 1/ ( 3 3 ) 1/3 = 3/ 3 1/3 3 = 3/ 1/3 = 7/6 = 1+1/6 = 6. Esempio 1 Il numero più grande tra è il secondo, perché e < 46. Esempio 13 Individuare i due numeri interi consecutivi tra i quali è compreso il numero è maggiore di 5 (5 = 5) e minore di 6 (6 = 36), cioè 5 < 7 < < < < < 7. 6

29 Esempio 14 Stimare (senza usare la calcolatrice) il numero Si ha: > 5 perché 141 > 5 3 = 15; Dunque: < 6 perché 141 < 6 3 = 16; 5 è compreso tra e 3. 5 < < 6, < 5 < 3, 3 < 5 <. 5 + ( 3) < ( 5) < 6 + ( ) < < Percentuali Il p% di una quantità x si calcola moltiplicando x per p e dividendo il risultato per 100. Ad es., Il 17% di 34 è : = = Che valore assume una quantità x se viene aumentata del p%? x + x p 100 x(100 + p) =. 100 Ad es., se x = 35 e p = 7, il valore che si ottiene è 35( ) 100 = = Se una quantità x, diminuita del p% vale y, quanto vale x? Deve essere: y = x x p 100 = x(100 p) 100 x = 100y 100 p. Se nel periodo dei saldi una maglietta, scontata del 30%, viene pagata Euro, il prezzo originale era: = Euro. 7

30 1.6 Esercizi svolti Insiemi 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Se A B = A, allora A = B b) Se A \ B = A, allora B è vuoto c) Se A B = B, allora A B ( ) d) Nessuna delle precedenti Svolgimento. Esaminando la risposta a), l affermazione A B = A implica, per definizione di intersezione tra insiemi, che A B. È quindi chiaro che la risposta a) è errata, perché l affermazione fatta risulta essere vera anche se A B. Esaminando la risposta b), l affermazione A\B = A implica che gli elementi dell insieme B non possono essere contenuti nell insieme A, ovvero che gli insiemi A e B hanno intersezione vuota, e quindi che l insieme B sia vuoto è solo una possibilità. Esaminando la risposta c), l affermazione A B = B implica, per definizione di unione di insiemi, che A B. È quindi chiaro che la risposta c) è esatta. Pertanto, la risposta d) non può che essere errata.. Se A \ B = A allora a) B = b) A B c) B A d) A B = ( ) Svolgimento. L affermazione A \ B = A implica che gli elementi dell insieme B non possono essere contenuti nell insieme A, ovvero che gli insiemi A e B hanno intersezione vuota, e quindi la risposta esatta è la c). La risposta a) è sbagliata perché che l insieme B sia vuoto è solo una possibilità. Se fossa vera la risposta b), si avrebbe che A \ B =. Se fossa vera la risposta c), si avrebbe che se B A, allora A \ B A, se invece A = B, allora A \ B =. 8

31 3. Dati gli insiemi A e B tali che A B, quale delle seguenti affermazioni è vera? a) A B = B b) A B = A c) A B B ( ) d) A B A Svolgimento. L affermazione A B implica che A B = A B e quindi a) è falsa e c) è vera. Per completezza, l affermazione A B implica che A B = B B e quindi sono false anche le b) e d). 4. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Se A B = A, allora A B ( ) b) Se A B = A, allora B è vuoto c) Se a A e a A \ B, allora a B d) Se A ha 10 elementi e B ha 7 elementi, allora A \ B ha 3 elementi Svolgimento. Esaminando la risposta a), l affermazione A B = A implica, per definizione di intersezione tra insiemi, che A B. È quindi chiaro che la risposta a) è esatta. Esaminando la risposta b), l affermazione A B = A implica che B A e quindi che l insieme B sia vuoto è solo una possibilità. La risposta c) è certamente falsa in quanto l affermazione a A \ B implica, per definizione di differenza di insiemi, che a / B. La risposta d) è anch essa certamente falsa in quanto, per definizione di differenza di insiemi, l affermazione è vera solo nell ulteriore ipotesi che B A, cioè che i 7 elementi di B siano tutti contenuti nell insieme A. 5. Se A \ B = allora a) A = B b) A B ( ) c) A = d) Nessuna delle precedenti affermazioni è vera 9

32 Svolgimento. L affermazione A \ B = implica che gli elementi dell insieme A devono appartenere tutti anche all insieme B, cioè A B, e quindi la risposta esatta è la b). Le risposte a) e c) sono casi particolari della più generale risposta b) Logica 1. Se si afferma che tutte le persone ricche sono felici, quale frase si puòcertamente dedurre dall affermazione fatta? a) Se una persona è infelice, allora è povera ( ) b) Ogni persona felice è ricca c) Tutte le persone felici sono ricche d) Non esistono persone povere e felici Svolgimento. L affermazione A B, che in questo caso coincide con la seguente affermazione ricco felice, equivale logicamente all implicazione e cioè B A, infelice povero, e quindi la risposta esatta è la a). Tutte le altre risposte sono logicamente errate.. Se non è vero che ogni adolescente italiano pratica il calcio o il basket, allora quale delle seguenti affermazione è vera? a) Nessun adolescente italiano pratica il calcio o il basket b) Gli adolescenti italiani non praticano né il calcio né il basket c) Almeno un adolescente italiano non pratica alcun tipo di sport 30

33 d) Qualche adolescente italiano non pratica né il calcio, né il basket ( ) Svolgimento. La negazione logica dell affermazione ogni adolescente italiano pratica il calcio o il basket è almeno un adolescente italiano non pratica né il calcio, né il basket, e quindi la risposta esatta è la d). Tutte le altre risposte sono logicamente errate. 3. In un palazzo abitano 15 bambini; di questi, 5 hanno la bicicletta, 7 il pallone e 3 sia la bicicletta, che il pallone. Quanti di loro non hanno né la bicicletta, né il pallone? a) 0 b) 6 ( ) c) 5 d) 9 Svolgimento. Dei 15 bambini, 5 hanno la bicicletta (e potrebbero avere anche il pallone), 7 il pallone (e potrebbero avere anche la bicicletta) e 3 sia la bicicletta, che il pallone. In definitiva, il numero di bambini che hanno almeno una delle cose è: = 9. Il numero di bambini che non hanno né la bicicletta, né il pallone è: 15 9 = Se p è la proposizione a b, quale delle seguenti affermazioni è vera? a) p è vera se a è falsa ( ) b) p è vera solo se a è falsa c) Se a è vera, allora p è falsa d) Se b è vera, allora p è falsa Svolgimento. La proposizione p si può scrivere equivalentemente come segue: p = a b = a b = a b, cioè p è vera o se a è falsa, o se b è vera. La risposta esatta è quindi la a). La risposta b) è falsa perché p è vera anche se è vera solo b. La risposta c) è falsa perché, anche se a è vera, p è vera se è vera solo b. La risposta d) è falsa perché, se b è vera, p è certamente vera. 31

34 5. Sia p la proposizione a b. Sapendo che b è una proposizione vera, quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Se a è vera, allora p è vera b) p è vera solo se a è vera c) Se a è falsa, allora p è vera ( ) d) Se a è falsa, allora p è falsa Svolgimento. La proposizione p si può scrivere equivalentemente come segue: p = a b = a b = a b, cioè p è vera se a è falsa e contemporaneamente b è vera. La risposta esatta è quindi la c). La risposta a) è falsa perché se a è vera, allora p è certamente falsa. La risposta b) è falsa perché, come abbiamo già osservato, se a è vera, allora p è certamente falsa. La risposta d) è falsa perché a è falsa, allora p può essere vera Numeri 1. Dati i numeri e, π, 1 4, π, 1 5, 7 10 quali delle seguenti affermazioni è vera? a) 1 5 < 1 4 < π < π < e < 7 10 b) 1 4 < 1 5 < π < π < e < 7 10 c) 1 4 < 1 5 < π < π < 7 10 < e ( ) d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera Svolgimento. I numeri certamente più piccoli sono quelli negativi e cioè 1/4 e 1/5; per stabilire il loro ordinamento procediamo con le seguenti considerazioni: 4 < < < 1 5 ; 3

35 il numero successivo nel senso dell ordinamento è certamente /π, poiché è l unico numero positivo minore di 1 perché il numeratore è minore del denominatore (π = ), mentre i rimanenti numeri sono tutti maggiori di 1 (il loro numeratore è maggiore del denominatore) e quindi possiamo affermare che dalla relazione 1 4 < 1 5 < π ; 3 < π = < 4 dividendo l intera disuguaglianza per, si ha: 1.5 = 3 < π < 4 = ; infine, poiché e = e dalla relazione 0 < 7 < 30 dividendo l intera disuguaglianza per 10, si ha: = 0 10 < 7 10 =.7 < = 3, possiamo affermare che tra i 3 numeri rimanenti la relazione d ordine è la seguente π < 7 10 < e, e la risposta esatta è dunque la c).. Dati i numeri vera? 3 3, 5 5, 3 log 3 30, quali delle seguenti affermazioni è a) 3 3 < 3 log 3 30 < 5 5 b) 3 log 3 30 < 3 3 < 5 5 c) 5 5 < 3 3 < 3 log 3 30 ( ) d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera 33

36 Svolgimento. Per confrontare i numeri 3 3 e 5 5, si utilizza la proprietà che dati due numeri reali positivi a e b e un numero naturale n 1, si può affermare che possiamo certamente affermare che a < b a n < b n ; 5 5 < 3 3 perché se eleviamo ambo i membri della disuguaglianza al minimo comune multiplo dei due indici di radice, 3 e 5, e cioè 15 = mcm {3, 5}, si ha: ( 5 1/5 ) 15 < ( 3 1/3 ) < < < 43. Per confrontare i numeri 3 3 e 3 log 3 30, utilizziamo la stessa proprietà di prima e le seguenti due proprietà dei logaritmi: i) dato un numero reale a > 0, a 1, ed un numero reale b, possiamo affermare che: b = log a a b ; ii) dato un numero reale a > 1, e numeri reali b, c > 0, possiamo affermare che: b < c log a b < log a c ; quindi 3 3 < 3 log 3 30 perché se eleviamo al cubo ambo i membri della disuguaglianza, si ha: 3 < log 3 30 e se, utilizzando la proprietà i), scriviamo il numero 3 come 3 = log = log 3 7, otteniamo che log 3 7 < log < 30 che è vero per la proprietà ii). La risposta esatta è pertanto la c). 3. Se compro della merce con lo sconto del 5% e spendo 660 EURO, quanti EURO avrei speso se non avessi goduto di alcuno sconto? 34

37 a) 880 ( ) b) 165 c) 495 d) 85 Svolgimento. Se indichiamo con x l incognita del problema, cioè il costo originario (senza sconto) della merce, il problema si può formulare come segue: x 5 x = 660 euro ; 100 sommando le frazioni in x al primo membro, si ha: x = 660 euro e moltiplicando ambo i membri per 100/75 x = euro = 880 euro. 4. Quanto vale il rapporto tra e ? a) b) c) 0.03 ( ) d) nessuna delle precedenti Svolgimento. Osserviamo innanzitutto che i numeri si possono scrivere come segue: = = = , = = 3 10 = ; utilizzando le espressioni precedentemente ottenute, il rapporto tra i numeri è = = = ( 4) = = 3 10 = La risposta esatta è dunque la c). 35

38 5. L espressione è uguale a a) b) c) d) nessuna delle precedenti espressioni ( ) Svolgimento. Il numero assegnato si può scrivere come segue: ( ) = 1000 = = ( 5) = = 6 3 = 6 = 3 3 = ( 3 ) 1 6 = 1 (3 1 6 ) = 1 1 = 1 = 1 1 =. Se si osserva che le risposte a) e b) sono uguali, in quanto 3 1 = 3 1, ed entrambe, evidentemente, errate, come pure la risposta c), si può affermare che la risposta esatta è la d). 1.7 Esercizi proposti Logica Se si afferma che ogni persona colta è intelligente, quale frase si può certamente dedurre dall affermazione fatta? a) Tutte le persone intelligenti sono colte b) Non esistono persone ignoranti che sono intelligenti c) Se una persona è stupida, allora è ignorante ( ) d) Se una persona è intelligente, allora è colta 36

39 Se si afferma che tutti gli anziani sono saggi, quale frase si può certamente dedurre dall affermazione fatta? a) Se una persona non è saggia, allora non è anziana ( ) b) Non esistono giovani saggi c) Ogni persona saggia è anziana d) Se una persona è saggia, allora è anziana Se si afferma che ogni persona intelligente è onesta, quale frase si può certamente dedurre dall affermazione fatta? a) Se una persona non è intelligente allora non è onesta b) Se una persona è onesta, allora è intelligente c) Tutte le persone oneste sono intelligenti d) Una persona disonesta non è intelligente ( ) Se si afferma che ogni persona ricca è felice, quale frase si può certamente dedurre dall affermazione fatta? a) Se una persona è felice, allora è ricca b) Nessuna persona povera è felice c) Tutte le persone felici sono ricche d) Ogni persona infelice è povera ( ) Se si afferma che ogni libro scientifico è interessante, quale frase si può certamente dedurre dall affermazione fatta? a) Se un libro è interessante, allora è scientifico b) Tutti i libri interessanti sono scientifici c) Se un libro non è interessante allora non è scientifico ( ) d) Se un libro non è scientifico allora non è interessante Se non è vero che tutti gli adolescenti italiani praticano il calcio o il basket, allora quale delle seguenti affermazione è vera? a) Nessun adolescente italiano pratica il calcio o il basket 37

40 b) Ci sono adolescenti italiani che non praticano alcun tipo di sport c) Almeno un adolescente italiano non pratica né il calcio, né il basket ( ) d) Nessun adolescente italiano pratica alcuno sport Se p è la proposizione a b, quale delle seguenti affermazioni è vera? a) p è vera solo se a è falsa b) p è vera solo se b è vera c) Se a è vera, allora p è falsa d) Se b è vera, allora p è vera ( ) Se p è la proposizione a b, quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Se b è vera, allora p è vera ( ) b) p è vera solo se b è vera c) Se a è vera, allora p è vera d) Se a è falsa, allora p è falsa 1.7. Numeri Dati i numeri vera? 4, 5 3, 5 log 3 30, quali delle seguenti affermazioni è a) 4 < 5 3 < 5 log 3 30 ( ) b) 5 3 < 5 log 3 30 < 4 c) 5 log 3 30 < 4 < 5 3 d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera Dati i numeri vera? 3, 5 4, 5 log 5, quali delle seguenti affermazioni è a) 3 < 5 4 < 5 log 5 b) 5 4 < 5 log 5 < 3 c) 5 log 5 < 3 < 5 4 ( ) 38

41 d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera Dati i numeri vera? 3, 5 10, 3 log 5 10, quali delle seguenti affermazioni è a) 3 < 3 log 5 10 < 5 10 b) 3 log 5 10 < 5 10 < 3 c) 3 log 5 10 < 3 < 5 10 ( ) d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera Quanto vale il rapporto tra e ? a) ( ) b) c) 9 10 d) nessuna delle precedenti Quanto vale il rapporto tra e ? a) ( ) b) c) d) nessuna delle precedenti Quanto vale il rapporto tra e ? a) ( ) b) c) 10 4 d) nessuna delle precedenti Quanto vale il rapporto tra 0, e 0, ? a) b) 0,03 c) 0, 3 10 ( ) 39

42 d) L espressione 5 3a 5 b 10 x 3 y 5 è uguale a a) ayx 3 5 b b) ab 5 x3 y 5 ( ) c) ay x 3 5 b d) nessuna delle precedenti 9a L espressione b 3 è uguale a 3x 3 y 1 a) b) c) ( ) a /3 x 3b y ( ) a 1/3 ( ) /3 x 3 y b ( ) a /3 3 x b y 1/3 ( ) d) nessuna delle precedenti 9x L espressione 6 ab 3 è uguale a 64yz 3 c 5 a) b) c) 3c z (bc)/3 3 z b/3 c 5/3 c z (3bc)/3 ( ) 1/3 a ( x ) y ( ) 1/3 a ( x ) y ( ) 1/3 a ( x ) ( ) y d) nessuna delle precedenti 40

43 L espressione 9 8x3 y 6 7a 9 b 6 è uguale a ) 1/9 ( xy a) a 1 3b ( ) 1/3 ( ) /3 3 b b) a 1 ( ) x y ( ) 1/3 xy c) a 3b ( ) 1/3 ( ) /3 3 b d) a 1 xy ( x ) /3 z L espressione 4 è uguale a b y 3 a 1/3 a) 3 64ab x y 9 z 6 b) 4 3 x b z ay c) 4a 3 (xz) (by) 3 ( ) d) nessuna delle precedenti espressioni 41

44 4

45 Capitolo MATEMATICA DI BASE MODULO Espressioni algebriche Equazioni di primo e secondo grado Disequazioni Sistemi lineari.1 Espressioni letterali Espressioni aritmetiche come ( ) hanno la loro naturale estensione nelle espressioni letterali, in cui gli operatori aritmetici combinano numeri e lettere, ad es.: ( ) a + b 3 4/5 b 4 + c Le lettere che compaiono in un espressione letterale possono avere due significati: costanti, generalmente indicate dalle prime lettere dell alfabeto (a, b, c,...), o variabili, indicate dalle ultime lettere dell alfabeto (x, y, z, t)..1.1 Identità Una identità è una uguaglianza tra due espressioni verificata per qualunque valore assegnato alle lettere in esse contenute e per cui le espressioni hanno significato. 43

46 Ecco alcuni esempi di identità:.1. Equazioni (a b)(a + b) = a b, (a + b) = a + ab + b, (a b) = a ab + b, (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3, (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3, (a + b + c) = a + ab + ac + b + bc + c, 1 + a 3 = (1 + a)(1 a + a ), 1 a 3 = (1 a)(1 + a + a ), 1 + a 5 = (1 + a)(1 a + a a 3 + a 4 ), 1 a 5 = (1 a)(1 + a + a + a 3 + a 4 ). Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni verificata solo per particolari valori (le soluzioni) assegnati ai simboli (le incognite) in esse contenute e per cui le espressioni hanno significato. Ecco alcuni esempi di equazioni: 3(x ) = x + 4, x = 5; x 5x = 6, x = oppure x = 3; x x = 6(x + 1) x = 1 oppure x = oppure x = Soluzione di un equazione Risolvere un equazione significa determinare l insieme delle soluzioni, ovvero l insieme dei valori che assegnati alle variabili, soddisfano identicamente l equazione. Una classificazione delle equazioni può essere fatta in base all esistenza e al numero delle soluzioni. Un equazione si dice: determinata se ammette un numero finito di soluzioni: x 14x + 4 = 0, x = oppure x = 1; indeterminata se ammette infinite soluzioni: x + y = 1 y = 1 x con x valore arbitrario, è soluzione; 44

47 impossibile se non ammette soluzioni. x + 1 = 0 nessun numero reale può soddisfarla. Nota 3 La classificazione di un equazione in determinata, indeterminata e impossibile dipende dall insieme numerico in cui si cercano le soluzioni. Ad esempio, l equazione x = 0 è determinata nell insieme dei numeri reali, ma impossibile nell insieme dei numeri razionali (perché non è un numero razionale). Così l equazione x + 1 = 0, che è impossibile nei numeri reali, diventa determinata nell insieme dei numeri complessi, dove ha soluzioni x = ±i..1.4 Classificazione delle equazioni Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni coinvolte: 1. equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche e l estrazione di radice; esempi di equazioni algebriche sono: le equazioni polinomiali: le equazioni razionali fratte: le equazioni irrazionali: x 3 3x + 4 = 0; x + 1 x + x3 = 0; x3 1 = 5x;. equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti; esempi di equazioni trascendenti sono: 45

48 le equazioni esponenziali: e x+3 = 7; le equazioni logaritmiche: log(x + 1) 1 = 0; le equazioni trigonometriche: sin(x) cos (x) sin(x) = 1.. Equazioni di primo grado Una equazione di primo grado (o lineare) nella sua forma canonica è espressa dalla scrittura: a x = b dove a è detto il coefficiente, e b è il termine noto. Tre casi vanno distinti: a 0: x = b a è l unica soluzione (equazione determinata); a = 0, b = 0: l equazione è indeterminata e ogni valore di x è soluzione dell equazione; a = 0, b 0; l equazione è impossibile e non ha soluzioni. Data un equazione di primo grado non in forma canonica, per risolverla è necessario ridurla alla sua forma canonica e risolverla discriminando i tre casi. Attraverso quali operazioni possiamo trasformare un equazione di primo grado in forma canonica? Definizione 1 Due equazioni sono equivalenti se tutte le soluzioni della prima equazione lo sono anche della seconda, e viceversa. Per ridurre un equazione lineare in forma canonica dobbiamo usare operazioni che non fanno perdere soluzioni e che non ne introducano di spurie. In tal modo l equazione canonica finale è equivalente a quella di partenza e le soluzioni dell ultima sono le soluzioni di quella originale! 46

49 ..1 Principi di equivalenza Data una equazione, se ne ottiene una equivalente, aggiungendo o togliendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente o no l incognita, purché quest ultima non compaia al denominatore (primo principio di equivalenza). Regola 1 Dal primo principio di equivalenza deriva la regola del trasporto. In una equazione, un termine può essere trasportato da un membro all altro purché venga cambiato di segno. In formule: a = b a + c = b + c a, b, c R, a = b a c = b c a, b, c R, a + c = b a = b c a, b, c R. Data una equazione, se ne ha una equivalente moltiplicando o dividendo entrambi i membri per lo stesso numero (diverso da zero) o per la stessa espressione letterale diversa da zero e non contenente l incognita (secondo principio di equivalenza). Regola Il secondo principio di equivalenza si traduce nelle formule: a = b a c = b c a, b, c R, c 0, a = b a c = b c a, b, c R, c 0. È quindi possibile cambiare il segno a tutti i termini dell equazione (significa moltiplicare entrambi i membri per 1) ed eliminare dall equazione eventuali denominatori. Esempio 15 Risolvere l equazione di primo grado 3x 5 = x Aggiungere 5 ad entrambi i membri: 3x = x x = x ;. aggiungere x ad entrambi i membri: 3x x = x x x = ; 47

50 3. dividere entrambi i membri per : x = x = 1. Esempio 16 Risolvere l equazione di primo grado 3x 5 = x Moltiplicare ambo i membri per 5 e semplificare: ( x 5(3x 5) = ) 15x 5 = x 15 ;. moltiplicare ambo i membri per e semplificare ( (15x 5) = x 15 ) 30x 50 = x 15; 3. trasportare x al primo membro e semplificare: 30x 50 = x 15 30x x = x = 35; 4. dividere entrambi i membri per 8 e semplificare la frazione dividendo per 7 (massimo comune divisore tra 35 e 8): 8x = 35 x = 35 8 = Equazioni di secondo grado Una equazione di secondo grado nella sua forma canonica ha la forma: ax + bx + c = 0, dove a (coefficiente quadratico), b (coefficiente lineare), c (termine noto) sono costanti e a 0 (altrimenti non è un equazione di secondo grado)..3.1 Casi particolari c = 0: l equazione ax + bx = 0 è detta spuria; b = 0: l equazione ax + c = 0 è detta pura. 48

51 .3. Soluzioni dell equazione di secondo grado Equazione spuria Equazione pura ax + bx = 0, x(ax + b) = 0; x = 0 x(ax + b) = 0 oppure ax + b = 0 x = b a ax + c = 0, x + c a = 0; x + c a = 0 x = c a x = ± c a Nota 4 Se i coefficienti a e c sono concordi (hanno cioè lo stesso segno), non ci sono soluzioni perché nessun numero reale è la radice quadrata di un numero negativo. Equazione completa: ax + bx + c = 0 Si calcola il discriminante: = b 4ac. 1. se > 0 si hanno due soluzioni reali e distinte: x 1 = b + b 4ac a, x = b b 4ac ; a. se = 0 si hanno due soluzioni reali e coincidenti: x 1 = x = b a ; 3. se < 0 le soluzioni non sono reali ma complesse e coniugate: x 1 = b + i 4ac b a 49, x = b i 4ac b. a

52 Esempio 17 Le soluzioni (reali e distinte) sono: 3x 5x + = 0 = ( 5) 4 3 = 5 4 = 1 > 0. x 1 = ( 5) + 1 = 1, x = ( 5) 1 = Sostituendo al posto di x i valori di x 1 e di x l equazione è soddisfatta. Esempio 18 16x 8 3x + 3 = 0 = ( 8 3) = = = 0. Le due soluzioni (reali e coincidenti) sono: Esempio 19 x 1 = x = ( 8 3) 16 = 7x + 4x 3 = = 4 4 ( 7) ( 3) = = 68 < 0. Le due soluzioni (complesse e coniugate) sono: x 1 = 4 + i = i 17, x = 4 i = + i Nota 5 I principi di equivalenza che abbiamo illustrato prima con le equazioni di primo grado si applicano a tutte le equazioni. Esempio 0 Risolvere l equazione: 3x(x 1) + 5 = x 7x ( x + 3 ). Moltiplichiamo ambo i membri per per eliminare il denominatore: ( ( x )) (3x(x 1) + 5) = x 7x + 3 ; Sviluppiamo i prodotti e semplifichiamo: 6x 6x + 10 = x 7x 4x; Portiamo tutti i termini a primo membro e semplifichiamo: 11x + 36x + 10 = 0, che è in forma canonica. 50

53 .3.3 Proprietà delle soluzioni di un equazione di secondo grado Sia data una generica equazione di secondo grado ax + bx + c = 0. Se x 1 e x denotano le sue soluzioni, allora valgono le proprietà: x 1 + x = b a, x 1 x = c a. x 1 x = x 1 + x = b + + b a a ( b + ) ( b ) a a = b a = b a. = b 4a = 4ac 4a = c a. Esempio 1 Assegnati due numeri x 1 e x, determinare l equazione di secondo grado che le possiede come soluzioni. Soluzione. Si calcolano s = x 1 + x, p = x 1 x. L equazione di secondo grado cercata è: x sx + p = 0. Esempio Trovare l equazione di secondo grado le cui soluzioni sono x 1 = 3 e x = 5. s = = 1, p = 15 x + 1 x 15 = 0, x + x 15 = 0. Esempio 3 Trovare l equazione di secondo grado le cui soluzioni sono x 1 = 3 e x = 3. s = 3 3, p = 6 x 3 3x + 6 = 0. 51

54 .3.4 Regola di Cartesio Dalle proprietà delle soluzioni delle equazioni di secondo grado discende la Regola di Cartesio, che si applica però solo alle equazioni di secondo grado con > 0. Elencando nell ordine i segni dei coefficienti a, b, c, ad ogni variazione di segno corrisponde una soluzione reale positiva, ad ogni permanenza di segno una soluzione reale negativa. Esempio 4 Applicazione della regola di Cartesio: x + 5x + 6 = 0, + + +: due permanenze due soluzioni negative. x +3x 6 = 0, + + : una permanenza e una variazione una soluzione negativa e una soluzione positiva. x + 9x 15 = 0, + : due variazioni due soluzioni positive..4 Disequazioni Una disequazione nell incognita x nella sua forma canonica può assumere una delle seguenti forme: f(x) > 0, oppure f(x) 0, dove f(x) è un espressione (algebrica o trascendente). Le corrispondenti disequazioni con i segni di < o si ottengono cambiando il segno di f(x). Come per le equazioni, una disequazione può amettere un insieme finito di soluzioni, o un insieme infinito di soluzioni, o nessuna soluzione. Disequazioni non in forma canonica come f(x) g(x) si possono ridurre in forma canonica attraverso dei principi di equivalenza. Data una disequazione f(x) g(x), si ha f(x) ± h(x) g(x) ± h(x) 5

55 dove h(x) è una funzione di x. Analogo discorso vale per f(x) g(x) Questa proprietà è la stessa di quella che vale per le equazioni. Ciò significa che in una disequazione possiamo spostare termini da un membro all altro, previo cambio di segno. Data una disequazione f(x) g(x), sia h(x) > 0 una funzione positiva di x; si ha Se invece h(x) < 0, si ha f(x) h(x) g(x) h(x) f(x) h(x) g(x) h(x) e e f(x) h(x) g(x) h(x). f(x) h(x) g(x) h(x). Questa proprietà ci dice che se moltiplichiamo ambo i membri di una disequazione per una quantità positiva il segno della disuguaglianza non cambia, mentre se moltiplichiamo ambo i membri di una disequazione per una quantità negativa il segno della disuguaglianza si inverte. Esempio 5 Disequazione di primo grado Risolvere la disequazione 3x + 1 x 5 > 3x Moltiplichiamo entrambi i membri per 10 (mcm dei denominatori): 30x + 5(1 x) 50 > 6x + 40, 5x 45 > 6x Portiamo i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo: 5x 6x > x > Dividiamo ambo i membri per 19: x > Esempio 6 Disequazione di primo grado Risolvere la disequazione 3 x + 1 x 5 > 3x 5 + 4, 30 x + 5(1 x) 50 > 6x

56 x 0 30x + 5(1 x) 50 > 6x + 40; 19x > 85 x > Dunque la soluzione è: x < oppure x > x x < 0 30x + 5(1 x) 50 > 6x + 40; 41x > 85 x < ], 85 [ ] [ ,..4.1 Disequazioni quadratiche Per determinare il segno di un espressione quadratica ax + bx + c al variare di x è sufficiente discriminare i tre casi secondo il segno di = b 4ac. Caso < 0 Se < 0 non ci sono soluzioni reali dell equazione ax + bx + c = 0. Dunque, l espressione non si annulla mai. Per valori elevati di x il termine ax ha il segno di a e in valore assoluto predomina sugli altri due termini. Dunque l espressione ha sempre il segno di a. Esempio 7 3x 5x + 15, = ( 5) = 155 < 0. 3x 5x + 15 > 0, sempre, cioè x R, 3x 5x , mai. 54

57 Caso = 0 Se = 0 possiamo scrivere ax + bx + c = a(x x 1 ), x 1 soluzione dell equazione di secondo grado. Dunque il segno dell espressione è sempre quello di a tranne in x = x 1 dove si annulla. Esempio 8 Caso > 0 x + 4x 4 = 0, = 4 4 ( 1) ( 4) = 0, x 1 =. Se > 0 possiamo scrivere x + 4x 4 > 0, mai, x + 4x 4 < 0, x R : x. ax +bx+c = a(x x 1 )(x x ), x 1 < x soluzioni dell eq. di secondo grado. Dunque il il segno dell espressione è sempre quello opposto a quello di a per x 1 < x < x e quello di a per x < x 1 oppure x > x ; l espressione si annulla per x = x 1 e per x = x. Esempio 9 x 5x + 6 = 0, = ( 5) = 1, x 1 =, x 3 = 3. x 5x + 6 > 0, per x < o x > 3, x ], ] ]3, [, x 5x + 6 < 0, per < x < 3, x ], 3[. Esempio 30 Risolvere la disequazione 3x + x 16 x + 6x + 5 < 0. Innanzitutto deve essere x + 6x + 5 0, x 5, x 1. L equazione 3x + x 16 = 0 ha soluzioni x 1 = 8 3, x =. 55

58 Il numeratore è positivo per valori non appartenenti all intervallo [ 8 3, ] e negativo all interno dell intervallo. Il denominatore è positivo per valori non appartenenti all intervallo [ 5, 1] e negativo all interno dell intervallo. La frazione è negativa se numeratore e denominatore hanno segni opposti. Dunque la soluzione è: 5 < x < 8, 1 < x <. 3 Esempio 31 x 4 x + 1 < 3, Impossibile perché la radice è positiva. x x + 4, x < 9 oppure 1 x 1. x x Sistemi lineari x 3x + 1, x 43. x 3 5x x 7 0, 5 x 0 oppure 5 x < 7. Un sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma: { ax + by = c a x + b y = c dove a, b, c, a, b, c sono dei coefficienti noti, e x, y sono le incognite. Risolvere un sistema lineare significa trovare le soluzioni comuni alle due equazioni. Un sistema lineare si dice: determinato se ha un numero finito di soluzioni; indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni; impossibile se non esistono soluzioni. 56

59 .5.1 Soluzione { ax + by = c a x + b y = c se ab a b 0, il sistema è determinato, e la soluzione (unica!) è: x = b c bc ab a b, y = ac a c ab a b ; se ab a b = 0, allora se esiste una costante k tale che a x + b y c = k(ax + by c) il sistema è indeterminato (infinite soluzioni!); altrimenti il sistema è impossibile (nessuna soluzione!). Nota 6 Inutile provare a ricordare la formula! Meglio usare un metodo e risolvere di volta in volta il sistema che si ha davanti. Esistono vari metodi differenti ma equivalenti (il quarto si giustifica nell ambito dell algebra lineare): 1. metodo di sostituzione;. metodo del confronto; 3. metodo di riduzione; 4. metodo di Cramer..5. Metodo di sostituzione Si risolve un equazione rispetto ad un incognita e si sostituisce l espressione trovata nell altra equazione. Esempio 3 Sistema Determinato Dalla prima eq. si ricava 7 y 3 3x + y = 7, x 4y = 1. x = 7 y 3 e si sostituisce nella seconda: 4y = 1 16y = 11, y =

60 Si usa questo valore nella prima (o nella seconda) equazione: 3x Esempio 33 Sistema Indeterminato Dalla prima eq. si ricava 6 7 y = 7 4x + 11 = 56 x = 45 4 = x + y = 7, 6x + 3y = 1. x = 7 y e si sostituisce nella seconda: + 3y = 1 1 3y + 3y = 1, 1 = 1 La seconda equazione non dà informazioni perché è una conseguenza della prima. Ci sono infinite soluzioni, Ad es., sono tutte soluzioni. x = 7 y, y arbitrario. (x = 7, y = 0), (x = 3, y = 1), (x = 4, y = 1)... Esempio 34 Sistema Impossibile Dalla prima equazione si ricava e si sostituisce nella seconda: 6 7 y x + y = 7, 6x + 3y = 0. x = 7 y + 3y = 0 1 3y + 3y = 0, 1 = 0 (?). Siamo pervenuti ad una contraddizione: quindi non ci sono soluzioni. 58

61 .5.3 Metodo del confronto Si risolvono le due equazioni rispetto alla stessa incognita e si confrontano i risultati. Esempio 35 { x 5y = 4 x + y = 1 { 5y+4 = 1 y x = 1 y { 7y = x = 1 y.5.4 Metodo di riduzione { x = 5y+4 x = 1 y { y = 7 x = = 9 7. Si moltiplica ogni equazione per un numero in modo tale che i coefficienti di un incognita siano uguali (a meno eventualmente del segno) nelle due equazioni. Ognuna delle due equazioni può essere sostituita dalla somma o dalla differenza delle due equazioni. Esempio 36 { x 5y = 4 x + y = 1 { x 5y = 4 5x + 5y = 5 Si sommano le due equazioni: x + 5x = x = 9 7. { x 5y = 4 x + y = 1 { x 5y = 4 x + y = Si sottraggono le due equazioni: 5y y = 4 y = Metodo di Cramer Si usa il formalismo matriciale. Si calcolano i determinanti di 3 matrici e si eseguono due divisioni. Esempio 37 { x 7y = 5 = x + 3y = 8 = 17, x = = 71, y = =.

62 x = x = 71 17, y = y = 17. Ovviamente, deve essere 0, altrimenti il sistema è indeterminato o impossibile. I metodi di risoluzione per i sistemi lineari di due equazioni in due incognite si estendono ai sistemi lineari con più di due equazioni..6 Esercizi svolti.6.1 Espressioni algebriche 1. L espressione 3 7a 9 b 6 x 3 y 3 a) 3a3 b 3 xy b) 3a 3 yx 1 b ( ) c) 3a 3 y x 1 b d) nessuna delle precedenti è uguale a Svolgimento. Il numero assegnato si può scrivere come segue: ( ) 3 7a 9 b 6 7a 9 b ( = = 3 3 a 9 b 6 x 3 y 3) 1 3 = x 3 y 3 x 3 y 3 = ( 3 3) 1 3 ( a 9) 1 3 ( b 6) 1 3 ( x 3) 1 3 ( y 3) 1 3 = = 3 (3 1 3) a (9 3) 1 b ( 6 1 3) x ( 3 1 3) y (3 1 3) = = 3a 3 b x 1 y, da cui si deduce immediatamente che la risposta esatta è la b).. L espressione a) 0 x + 1 ( ) ( x 1 ) + x 1 ( 1 3 1) ( x + 1 ) è uguale a 60

63 b) 16x 3(4x 1) 1x c) ( ) 4x 1 d) nessuna delle precedenti Svolgimento. Se osserviamo subito che x + 1 ( ) ( ) x 1 x 1 ( 1 1) ( = x ) x + 1 ( 3 x 1 = x + 1 ( ) x 1 ( ) 3 x 1 3 x + 1 si evince che il mcm dei denominatori è { ( mcm x 1 ), ( x + 1 )} = e quindi si ha: = ) + x 1 3 ( x + 1 ( x 1 ) ( x + 1 ) ; ( ) x + 1 ( ) x 1 ( ) ( ) = x + x + 1 ( x x + ) 1 4 ( 4 = 3 x 1 x + 1 x 1 3 4) = x + x x + x 1 ( ) 4 = x x x 1 4 = x 4x 1 6 da cui si evince che la riposta giusta è la c). 3. L espressione a) 0 b) 4ax b(x a ) c) (x + a ) b(x a ) x a b (x + a) x + a b (x a) è uguale a ( ) d) nessuna delle precedenti 61 6 = x 4x 1 = ) 1x 4x 1,

64 Svolgimento. Se osserviamo subito che mcm {b (x + a), b (x a)} = b (x + a) (x a) ; riducendo l espressione assegnata si ha: x a b (x + a) x + a b (x a) = (x a) (x + a) b (x + a) (x a) = x ax + a (x + ax + a ) b (x a ) = x ax + a x ax a b (x a ) = 4ax b (x a ), da cui si evince che la riposta giusta è la b). 4. L equazione letterale x(m 1)(m 3) = (m 1) risulta determinata per: a) m = 1, m = 3 b) ogni valore di m c) m 3 d) m 1, m 3 ( ) Svolgimento. Osserviamo subito che si tratta di un equazione di primo grado nell incognita x R, in cui è presente il parametro m R; com è noto, affinché un equazione di primo grado sia determinata (ovvero, sia possibile dedurne l unica soluzione), è necessario che si possano dividere ambo i membri dell equazione per il coefficiente dell incognita, e cioè (m 1)(m 3). Quindi, se (m 1)(m 3) 0 m 1 e m 3 l equazione è determinata ed ammette l unica soluzione x = m 3. 6 = = =

65 Resta da verificare se per m = 1 e m = 3 (valori che sono stati esclusi nelle precedenti considerazioni) l equazione ammette una soluzione. Se sostituiamo m = 1 nell equazione assegnata si ottiene l identità 0 = 0 che è ovviamente soddisfatta per ogni valore di x R, ma che ovviamente non è un equazione determinata. Se, infine, sostituiamo m = 3 nell equazione assegnata si ottiene invece 0 = 4, che è evidentemente falso. Pertanto, la risposta esatta è la d). 5. L equazione + 5 x = 0 è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x b) x = 9 c) x = 5 d) mai ( ) Svolgimento. Osserviamo subito che si tratta di un equazione irrazionale nell incognita x R, che pertanto deve soddisfare la condizione di esistenza della radice quadrata, e cioè: 5 x 0 x 5. Precisiamo quindi che l equazione non avrà mai soluzioni reali per tutti i numeri x > 5. Per quanto riguarda i valori x 5, basta osservare che per la definizione di radice quadrata, si può affermare che 5 x 0 x 5 e conseguentemente, sommando da ambo i membri della precedente disequazione, si ha: + 5 x x 5 il che esclude che l equazione assegnata possa essere mai soddisfatta da un x 5, in quanto il numero + 5 x è un numero reale maggiore 63

66 o uguale a e non potrà mai essere uguale a zero. Come ulteriore precisazione, osserviamo che, se l equazione data viene scritta isolando la radice al primo membro, e cioè 5 x = risulta evidente che il primo membro, che per le considerazioni fatte sulla positività della radice è positivo per ogni x 5, non potrà mai essere uguale a..6. Disequazioni Nota 7 Per le disequazioni che coinvolgono esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche può essere utile leggere il capitolo La disequazione 3x + 1 < è soddisfatta: a) 5 3 < x < 1 ( ) b) per ogni valore reale di x c) x > 5 3 d) x < 1 Svolgimento. Utilizziamo innanzitutto la proprietà a = a b b, ottenendo così: 3x + 1 = 3x + 1 = 3x + 1 La disequazione diventa 3x + 1 < e moltiplicando ambo i membri della disequazione data per, si ottiene: 3x + 1 <, 3x + 1 <

67 Una volta che la disequazione è stata scritta nella precedente forma, possiamo applicare la seguente proprietà: a < b b < a < b a, b R, b > 0 e la disequazione si può riscrivere come segue: 4 < 3x + 1 < 4, che, sommando 1 (o, equivalentemente, sottraendo 1) a ciascun membro della precedente disuguaglianza, diventa: 4 1 < 3x < 4 1, 5 < 3x < 3, e quindi, dividendo per 3 (o, equivalentemente, moltiplicando per 1/3) ciascun membro della della precedente disuguaglianza, si ottiene 5 3 < 3x 3 < 3 3, 5 3 < x < 1, che rappresenta l insieme delle soluzioni della disequazione assegnata. La risposta esatta è dunque la a).. La disequazione a) 1 < x < x 1 1 x 1 x 1 b) x < 1, 0 < x < 1 ( ) c) per ogni valore reale di x d) x < 0, x > 1 è soddisfatta: Svolgimento. Trattandosi di una disequazione razionale fratta, la prima condizione da imporre è che tutti i denominatori siano diversi da 0, ottenendo così: x 1 0 x 0 x 1 0 x 1 x 0 x 1 x ±1 x 1 x 0 x 1 Ciò comporta che i valori x = 0, x = 1 e x = 1 non potranno essere soluzioni della disequazione. 65

68 Sia quindi x 0 e x ±1. Com è noto, per risolvere la disequazione bisogna ricondurla alla forma p(x) q(x) 0, e a tale scopo, bisogna innanzitutto determinare il mcm dei denominatori, x 1, x e x 1. L unica considerazione necessaria per procedere alla determinazione del mcm, è relativa al termine di secondo grado x 1 che può essere scomposto nel prodotto di fattori di primo grado nell incognita x. Se osserviamo, infatti, che l equazione x 1 = 0 ammette le soluzioni, reali e distinte, x = 1 e x = 1, possiamo scrivere che: x 1 = (x 1)(x + 1), possiamo concludere che mcm { x 1, x, x 1 } = x(x 1) = x(x 1)(x + 1). Raccogliendo tutti i termini al primo membro e riducendo, si ha: x 1 1 x 1 x 1 0 x(x + 1) (x 1) x x(x 1) 0 x + x x + 1 x x(x 1) x + x + 1 x(x 1) 0. 0 Studiamo, a questo punto, il segno di ciascun fattore che interviene nella frazione al primo membro: i) x + x è un equazione di secondo grado; il suo discriminante è = b 4ac = 1 4 = 3 < 0 66

69 e quindi possiamo affermare che x + x + 1 > 0 x R, il che vuol dire che il numeratore è strettamente positivo x R (e non si annulla per nessun valore di x, dunque l uguaglianza della frazione a zero non è mai verificata). ii) relativamente al segno del primo fattore al denominatore (che, come abbiamo già commentato, non si può annullare) non c è nulla da precisare x > 0. iii) relativamente al segno del secondo fattore al denominatore, osserviamo che x 1 > 0 è un equazione di secondo grado; il suo discriminante, come abbiamo già avuto modo di commentare è positivo = b 4ac = 4 > 0 e le soluzioni dell equazione x 1 = 0 sono x = ±1; quindi possiamo affermare che x 1 > 0 x R : x < 1, x > 1. Riportando lo studio del segno dei singoli fattori su un unico diagramma, otteniamo: e possiamo concludere che la disequazione è soddisfatta per tutti i valori che rendono negativo il rapporto e cioè i valori della risposta b). 3. La disequazione x + 1 x 3 < è soddisfatta: a) x < 5 4 ( ) b) per ogni valore reale di x 67

70 c) x > 3 d) x < 1 Svolgimento. Trattandosi di una disequazione razionale fratta, la prima condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da 0, ottenendo così: x 3 0 x 3 il che implica che x = 3 non potrà essere soluzione della disequazione. Procediamo con la risoluzione per x 3. Utilizzando la proprietà già enunciata nell esercizio 1., e cioè a < b b < a < b a, b R, b > 0 e la disequazione si può riscrivere come segue: < x + 1 x 3 < che equivale al seguente sistema di disequazioni razionali fratte: x + 1 x 3 < x + 1 x 3 < 0 x + 1 x + 6 < 0 x 3 x + 1 x 3 > x + 1 x 3 + > 0 7 x 3 < 0 x x 6 x 3 > 0 4x 5 x 3 > 0 Relativamente alla prima delle disequazioni, e cioè 7 x 3 < 0, il segno della frazione è dato dal segno del denominatore, che è positivo per x > 3 e negativo per x < 3. Possiamo dunque concludere che la disequazione è soddisfatta per tutti i valori che rendono negativo il rapporto e cioè x < 3. 68

71 Procediamo quindi con la seconda delle disequazioni, e cioè 4x 5 x 3 > 0, esaminando il segno del numeratore e del denominatore; il segno del numeratore è 4x 5 > 0 x > 5 4 ; come sopra, il segno del denominatore è x 3 > 0 x > 3 ; riportando lo studio del segno su un unico diagramma, otteniamo: 5/ e possiamo concludere che la disequazione è soddisfatta per tutti i valori che rendono strettamente positivo il rapporto e cioè x < 5 4, x > 3. Dunque le due disequazioni sono soddisfatte per x < 3 x < 5 4 oppure x > 3 La disequazione assegnata è soddisfatta per tutti i valori di x che verificano entrambe le disequazioni, e cioè e la risposta esatta è dunque la a). x < 5 4, 4. La disequazione x 1 x > 0 è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x 69

72 b) < x 1 ( ) c) < x < d) mai Svolgimento. Trattandosi di una disequazione irrazionale, bisogna innanzitutto scriverla nella forma: p(x) < q(x) e quindi sfruttare la sua equivalenza con il sistema: p(x) 0 q(x) > 0 p(x) < [q(x)] Procedendo come detto, la disequazione data 1 x < x equivale al sistema: 1 x 0 x > 0 1 x < x x 1 0 x > 0 x 1 > 0 1 x 1 x > 0 x <, x > Le prime due disequazioni sono soddisfatte per 0 < x 1. Poiché dalla terza disequazione i valori positivi ammissibili della x devono essere maggiori di, che è minore di 1, segue che la disequazione assegnata è soddisfatta per < x 1, e la risposta esatta è dunque la b). 5. La disequazione x + 6 > x è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x b) 6 x < 3 ( ) 70

73 c) < x < 3 d) mai Svolgimento. Trattandosi di una disequazione irrazionale, bisogna innanzitutto scriverla nella forma: p(x) > q(x) e quindi sfruttare la sua equivalenza con l unione dei sistemi: { p(x) 0 q(x) < 0 { q(x) 0 p(x) > [q(x)] Procedendo come detto, la disequazione data x + 6 > x equivale a: { x x < 0 { x 6 x < 0 { x 6 x < 0 { x 6 x < 0 e la risposta esatta è dunque la b). { x 0 x + 6 > x { x 0 x x 6 < 0 { x 0 x x 6 < 0 { x 0 < x < 3 6 x < 0 0 x < 3 6 x < 3 6. La disequazione 3 x 1 < 1 è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x b) per x > 0 ( ) c) per x < 0 d) per x < 1 71

74 Svolgimento. Trattandosi di una disequazione irrazionale con indice di radice dispari, è possibile utilizzare la proprietà: a < b a n < b n a, b R, n N dispari pertanto, elevando ambo i membri della disequazione data al cubo, otteniamo: ( 3 x 1) 3 < 1 3 ( 3 x 1) 3 < 1 (x 1) < 1 x + 1 < 1 x < 0 x > 0 e la risposta esatta è dunque la b). 7. La disequazione 5 3x 1 > 5 5 x 1 è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x b) x > 1 ( ) c) x > d) nessuna delle precedenti Svolgimento. Trattandosi di una disequazione esponenziale in cui è possibile far intervenire solo esponenziali in base 5, e cioè: 5 3x 1 > 5 5 x 1 5 3x 1 > 5 1+x 1 5 3x 1 > 5 x possiamo sfruttare la seguente proprietà: pertanto, otteniamo: a < b c a < c b a, b, c R, c > 1 5 3x 1 > 5 x 3x 1 > x x > 1 x > 1 e la risposta esatta è dunque la b). 8. La disequazione 3 x 4 3 x + 3 > 0 è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x b) x < 0, x > 1 ( ) 7

75 c) 0 < x < 5 d) x < 1, x > 3 Svolgimento. Trattandosi di una disequazione esponenziale in cui non è possibile far intervenire solo esponenziali nella stessa base, procediamo, mediante la sostituzione 3 x = t, e la considerazione che 3 x = (3 x ) = t a scriverla sotto forma di una disequazione di secondo grado nell incognita t, e cioè: 3 x 4 3 x + 3 > 0 t 4t + 3 > 0, che, essendo = 16 1 = 4 > 0, ammette le seguenti soluzioni: t < 1, t > 3 che nell incognita originale x diventano: 3 x < 1, 3 x > 3, 3 x < 3 0, 3 x > 3 1 possiamo sfruttare la proprietà dell esercizio precedente: otteniamo così le soluzioni: a < b c a < c b a, b, c R, c > 1 e la risposta esatta è dunque la b). 9. La disequazione a) per ogni valore reale di b) mai ( ) c) per x 0 d) per x 0 x < 0, x > 1 e x 0 è soddisfatta: x + 3 x 73

76 Svolgimento. Trattandosi di una disequazione fratta, la prima condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da 0, ottenendo così la condizione: x + 3 x 0 x 3 x, che è verificata per ogni x R per la proprietà a x > 0 a, x R, a > 0. A questo punto, possiamo occuparci dello studio del segno del numeratore e del denominatore della frazione; relativamente al numeratore, per la suddetta proprietà, possiamo affermare che: e x > 0 x R, cioè che il numeratore è strettamente positivo per ogni x R; per quanto riguarda il segno del denominatore, e cioè x + 3 x > 0, possiamo affermare che tale disuguaglianza risulta essere verificata, sempre per la suddetta proprietà, in quanto, essendo e x > 0 x R, 3 x > 0 x R, la somma di numeri strettamente positivi è anch essa strettamente positiva. Possiamo concludere che la frazione al primo membro della disequazione data è senz altro un numero strettamente positivo, in quanto rapporto di numeri positivi, cioè e x x + 3 x > 0 e dunque la disequazione assegnata non è mai verificata e la risposta esatta è la b). 10. La disequazione 4 cos x > 0 è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x ( ) 74

77 b) π 4 < x < 3 4 π, 5 4 π < x < 7 4 π c) 0 < x < π 4, 3 4 π < x < 5 4 π, 7 4 π < x < π d) 0 < x < π Svolgimento. Tale disequazione trigonometrica, si risolve immediatamente se si sfrutta la seguente proprietà: Se osserviamo che 1 cos x 1 0 cos x 1 x R. 0 cos x 1 x R 1 cos x 0 x R e che sommando 4 ad ambo i membri dell ultima disuguaglianza cos x 4+0 x R 3 4 cos x 4 x R, risulta evidente che il numero 4 cos x, in quanto compreso tra 3 e 4, è positivo per ogni x R e la risposta esatta è la a). 11. La disequazione sin x cos x + 1 > 0 è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x b) 0 < x < π c) π < x < π d) 0 < x < π ( ) Svolgimento. Si tratta di una disequazione trigonometrica che è possibile trasformare in una disequazione di secondo grado mediante un cambiamento di variabile; se si tiene conto della relazione fondamentale della trigonometria: da cui si ricava che: cos x + sin x = 1, x R, cos x = 1 sin x, x R, 75

78 la disequazione data sin x cos x + 1 > 0 si riscrive come segue: sin x ( 1 sin x ) + 1 > 0, sin x 1 + sin x + 1 > 0, sin x + sin x > 0. La disequazione ottenuta si può scrivere sotto forma di una disequazione di secondo grado mediante la posizione da cui sin x = t, sin x = t, e quindi, si ottiene la seguente disequazione di secondo grado nell incognita t: t + t > 0, le cui soluzioni sono: t < 1, t > 0, che riscritte nell incognita originaria x diventano: sin x < 1, sin x > 0. La prima delle disequazioni, sin x < 1, è sempre falsa perché in contrasto con la ben nota proprietà: 1 sin x 1, x R, quindi non ammette soluzioni. Relativamente all intervallo [0, π], la seconda delle disequazioni, sin x > 0, è verificata 0 < x < π. Le soluzioni della disequazione data si ottengono dall unione delle soluzioni delle disequazioni appena esaminate, e cioè pertanto, la risposta esatta è la d). 0 < x < π ; 76

79 1. La disequazione sin x > cos x è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x b) mai c) 0 < x < π, π < x < π π d) 4 < x < 5π ( ) 4 Svolgimento. Si tratta di una disequazione trigonometrica per la cui risoluzione è conveniente raccogliere i termini ad uno dei due membri e scriverli sotto forma di prodotto. Se infatti passiamo tutto al primo membro, la disequazione può essere scritta nella seguente forma equivalente supponendo cos x 0, e quindi x π/ + kπ, k Z (cioè, relativamente all intervallo [0, π], x π/ e x 3π/) ( ) sin x sin x cos x > 0 cos x cos x 1 > 0 cos x (tan x 1) > 0 e le soluzioni della disequazione data saranno i valori di x R che rendono strettamente positivo il prodotto dei fattori, cos x e tan x 1; studiando il segno del primo fattore, e cioè: cos x > 0, relativamente all intervallo [0, π], deve essere: 0 x < π 3 π < x π ; studiando il segno del secondo fattore, e cioè: tan x 1 > 0 tan x > 1, relativamente all intervallo [0, π], deve essere: π 4 < x < π 5 4 π < x < 3 π. Riportando, infine, le soluzioni delle disequazioni su un unico diagramma, otteniamo il seguente schema dei segni dei fattori: π 0 3 π π π π π 77

80 e possiamo concludere che la disequazione assegnata è soddisfatta per tutti i valori di x, x π/ e x 3π/, che rendono positivo il prodotto dei fattori, e cioè π 4 < x < π π < x < 5 4 π. Per concludere la risoluzione, è necessario studiare i valori esclusi dal metodo risolutivo utilizzato, e cioè x = π/ e x = 3π/. Sostituendo x = π/ nella disequazione originale, si ha: sin π > cos π 1 > 0, che è vera, e quindi anche x = π/ è una soluzione della disequazione; sostituendo, invece, x = 3π/ nella disequazione originale, si ha: sin 3 π > cos 3 π 1 > 0, che è falsa, e quindi x = 3π/ non è una soluzione della disequazione. Dall unione delle soluzioni trovate, si ottiene che la disequazione è soddisfatta per π 4 < x < 5 4 π, e la risposta esatta è dunque la d)..6.3 Sistemi lineari x + y = 0 1. Le soluzioni del sistema y + z = 0 x + y + z = 1 sono: a) nessuna soluzione b) x =, y = 1, z = 5 c) x = 0, y = 1, z = 0 d) x =, y = 1 z = 1 ( ) Svolgimento. Procediamo con il metodo di sostituzione, utilizzando la prima equazione per esplicitare l incognita x in funzione di y e la 78

81 seconda equazione per esplicitare l incognita z sempre in funzione di y; si ottiene così il sistema x = y z = y x + y + z = 1 sostituendo le prime equazioni nella terza, si ha: x = y z = y ( y) + y + ( y) = 1 x = y z = y y = 1 e la risposta esatta è dunque la d). x = y z = y y + y y = 1 x = ( 1) z = ( 1) y = 1 x = z = 1 y = 1 x = y z = y y = 1.7 Esercizi proposti.7.1 Espressioni algebriche L espressione a) 1/6 b) x 3(x 1) c) x + 10x + 1 6(x 1) x + 1 (x 1) x 1 3 (x + 1) è uguale a ( ) d) nessuna delle precedenti L espressione a) 0 b) 8x 4x 1 x 1 x + 1 ( ) ( 1 1 (x + 1) 1 1) (x 1) è uguale a 79

82 c) 4 x + 1 ( ) x 1 d) nessuna delle precedenti L espressione a) 0 b) 4ax b(x a ) c) (x + a ) b(x a ) x a b (x + a) + x + a b (x a) è uguale a ( ) d) nessuna delle precedenti.7. Disequazioni La disequazione x 5 < 7 è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x b) x < 1, x > 3 c) x > 0 d) 1 < x < 6 ( ) La disequazione 1 x x è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x 0 b) mai c) per 1 x < 0, x 1 ( ) d) per 1 x 1, con x 0 La disequazione x 3 a) per ogni valore reale di x b) x, x > 3 ( ) c) x x 3 x è soddisfatta: 80

83 d) mai La disequazione x 1 1 x 1 è soddisfatta: a) x < 1, 1 x < 1 ( ) b) 1 < x 1, x > 1 c) per ogni valore reale di x d) x 1 La disequazione 1 1 x + 3 > x 7 4x 9 è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x 1 b) x < 3, x > 3 ( ) c) 1 < x < 4 d) x < 1, x > 3 La disequazione x x 1 < a) per ogni valore reale di x b) mai c) x < 1, x > 1 ( ) d) x > 1 x x + 1 è soddisfatta: La disequazione x 5x + 1 è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x b) per 5 x 0 ( ) c) per 5 x 5 1 d) mai 81

84 La disequazione x 1 > 8 è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x b) x 1, x 1 ( ) c) 3 < x < 3 d) mai La disequazione x +x < 1 64 è soddisfatta: a) x 0 b) x <, x > 3 ( ) c) x 0 d) < x < 3 La disequazione 3 x 1 > x è soddisfatta: a) per ogni valore reale di x b) x > 1 c) x > 1 ( ) d) nessuna delle precedenti.7.3 Sistemi lineari Le soluzioni del sistema { x y = 3 3x y = 4 sono: a) nessuna soluzione b) x = 1, y = 1 c) x = 1, y = 1 ( ) d) x =, y = 3x + y = 0 Le soluzioni del sistema x z = 0 x + y + z = 3 sono: a) x = 0, y = 1, z = 0 8

85 b) x = 1, y = 3, z = c) x = 1, y = 3 z = ( ) d) nessuna soluzione Le soluzioni del sistema sono: { x + 3y = 1 3x y = 7 a) x = 3, y = ( ) b) x = 0, y = 1 c) x = 3, y = 1 d) nessuna soluzione x z = 0 Le soluzioni del sistema x y + 3z = 1 x + y = 3 sono: a) x = 1, y = 6, z = b) x = 0, y = 1, z = 0 c) x = 1 3, y = 4 3 z = 3 ( ) d) nessuna soluzione 83

86 84

87 Capitolo 3 MATEMATICA DI BASE MODULO 3 Geometria del Piano Perimetri e Aree di Figure Piane Superfici e Volumi di Solidi Geometria Analitica 3.1 Matematica: concetti primitivi Anche in Matematica da qualche parte bisogna pur partire! I punti di partenza sono i cosiddetti concetti primitivi, cioè i concetti che non sono suscettibili di una definizione che non sia circolare (cioè una definizione che di fatto definisce un oggetto usando dei sinonimi). Se ne fissano soltanto le proprietà elencando i cosiddetti assiomi o postulati. Per la Geometria è tradizione riferirsi agli Elementi di Euclide. 3. Gli Elementi di Euclide (Στ oιχɛια) 3..1 Nozioni comuni 1. Cose uguali a un altra medesima sono tra loro uguali.. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali. 3. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali. 85

88 4. Cose che possono essere portate a sovrapporsi l una con l altra sono uguali tra loro. 5. Il tutto è maggiore della parte. 3.. Definizioni 1. Un punto è ciò che non ha parti.. Una linea è una lunghezza senza larghezza. 3. Gli estremi di una linea sono punti. 4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa. 5. Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza. 6. Gli estremi di una superficie sono linee. 7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa. 8. Un angolo piano è l inclinazione reciproca di due linee in un piano le quali si incontrino e non giacciano in linea retta. 9. Quando le linee che comprendono l angolo sono rette, l angolo è detto rettilineo. 10. Quando una retta innalzata a partire da un altra retta forma con essa angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata. 11. Dicesi angolo ottuso l angolo maggiore di un angolo retto. 1. Dicesi acuto l angolo minore di un angolo retto. 13. Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa. 14. Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini. 15. Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un unica linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro. 86

89 16. Quel punto si chiama centro del cerchio. 17. Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia anche il cerchio per metà. 18. Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio. 19. Si dicono rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette. 0. Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali, triangolo isoscele quella che ha soltanto due lati uguali, e scaleno quella che ha i tre lati disuguali. 1. Dicesi inoltre triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso, e triangolo acutangolo quella che ha i tre angoli acuti.. Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli retti. 3. Diconsi parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro da nessuna delle due parti Postulati 1. È possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.. È possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta. 3. È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza (raggio) qualsiasi. 4. Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro. 87

90 5. Se (in un piano) una retta, intersecando due altre rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l incontrarsi dalla parte detta. 3.3 Figure piane Una figura i cui punti appartengono tutti ad un piano si dice figura piana. Nel caso contrario si parla di figura solida Poligonali Consideriamo dei punti nel piano e congiungiamoli con dei segmenti a due a due consecutivi: otteniamo una poligonale o spezzata. Spezzata Spezzata Spezzata Spezzata chiusa aperta non intrecciata intrecciata 3.3. Poligono Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non intrecciata e dalla parte finita di piano da essa limitata. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono. Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Tale numero dà il nome al poligono: 3 angoli triangolo; 4 angoli quadrangolo; 5 angoli pentagono; 6 angoli esagono; 10 angoli decagono; 88

91 15 angoli pentadecagono; n angoli n agono; Il triangolo è una figura piana che ha tre angoli e tre lati. Proprietà 1 La somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un angolo piatto (180 0 o π radianti). Si distinguono i triangoli in: ISOSCELI, se due dei tre lati sono uguali (più esattamente: congruenti); EQUILATERI, se tutti e tre i lati sono uguali; SCALENI, se i tre lati sono tutti di lunghezza diversa. RETTANGOLI, se un angolo è retto (90 0, o, più propriamente, π radianti). ACUTANGOLI, se tutti gli angoli sono acuti (minori di 90 0 ); OTTUSANGOLI, se un angolo è ottuso (maggiore di 90 0 ); 89

92 3.3.3 Punti notevoli di un triangolo Circoncentro: punto d intersezione degli assi; Ortocentro: punto d intersezione delle altezze; Incentro: punto d intersezione delle bisettrici; Baricentro: punto d intersezione delle mediane; Excentri: centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato ed ai prolungamenti degli altri due lati. Nota 8 Nel triangolo equilatero tutti questi punti coincidono. Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente (formando angoli retti) sul lato opposto. Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a metà) del lato opposto. Le bisettrici dividono in parti congruenti l angolo da cui partono. Gli assi partono dal punto medio di un segmento perpendicolarmente al segmento stesso Triangoli simili Se due triangoli hanno lati corrispondenti proporzionali ed angoli ordinatamente uguali, essi sono simili. Criteri di Similitudine Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente uguali; Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso fra lati proporzionali; Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente proporzionali. 90

93 Corollari Tutti i triangoli equilateri sono simili fra loro; Due triangoli isosceli sono simili se hanno l angolo al vertice uguale Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto rispettivamente uguale, o quando i cateti dell uno sono proporzionali a quelli dell altro. Nota 9 In un triangolo qualsiasi c è al massimo un angolo retto. In un triangolo qualsiasi c è al massimo un angolo ottuso. Questi fatti sono conseguenza del fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto Quadrilateri I quadrilateri sono figure con quattro lati e quattro angoli. Proprietà La somma degli angoli interni è di 360 (π radianti); in generale la somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i lati diminuiti di ; Le diagonali di un quadrilatero, ovvero i segmenti che uniscono due vertici non consecutivi, sono sempre due. Classi particolari di quadrilateri sono: i trapezi: quadrilateri con due lati paralleli; 91

94 i parallelogrammi: quadrilateri dove i lati opposti sono paralleli; i rettangoli: quadrilateri che hanno tutti gli angoli retti; i rombi: quadrilateri che hanno tutti i lati uguali e quelli opposti sono paralleli, in effetti esso risulta essere un particolare parallelogramma con i lati uguali; i quadrati: quadrilateri che sono ROMBI e RETTANGOLI contemporaneamente Poligoni regolari Un poligono regolare è un poligono in cui tutti i lati e tutti gli angoli sono uguali. In pratica i poligoni regolari sono: equilateri ed equiangoli. Un poligono può essere equilatero senza essere equiangolo e viceversa. il rombo è equilatero ma non è equiangolo; il rettangolo è equiangolo ma non è equilatero. Poligoni regolari: esempi triangolo equilatero; quadrato; pentagono regolare; esagono regolare;... Esistono infiniti poligoni regolari. 9

95 Ad ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere una circonferenza. Le due circonferenze hanno lo stesso centro Circonferenza Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti P di un piano che sono equidistanti da un punto prefissato, C, detto centro. 1. La distanza tra ogni punto della circonferenza e il suo centro si chiama raggio;. Ogni segmento che congiunge due punti distinti della circonferenza si chiama corda; 3. Una qualsiasi corda passante per il centro si chiama diametro. 93

96 4. In una circonferenza una qualunque corda non passante per il centro è minore del diametro; 5. Se indichiamo con H il piede della perpendicolare condotta dal centro C di una circonferenza ad una corda AB della stessa circonferenza allora tale perpendicolare dimezza la corda; 6. Se due corde appartenenti alla stessa circonferenza sono isometriche (cioè, hanno la stessa lunghezza) allora esse sono equidistanti dal centro della circonferenza; 7. Se due corde sono equidistanti dal centro della circonferenza allora tali corde sono isometriche. Teorema Ogni angolo alla circonferenza è uguale alla metà del corrispondente angolo al centro. Corollari Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa coincide con il diametro della semicirconferenza; Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, o su archi isometrici, sono uguali fra loro. 94

97 3.3.8 Perimetro e area di figure piane Ad ogni figura piana si possono associare due valori numerici: perimetro, che è pari alla somma delle misure dei lati della figura piana; area, che è la misura della superficie occupata dalla figura piana. 95

98 3.3.9 Teoremi notevoli sui triangoli rettangoli Primo Teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo il quadrato avente come lato uno dei cateti è equivalente (ha la stessa area) al rettangolo che ha per dimensioni l ipotenusa e la proiezione del predetto cateto sull ipotenusa. Teorema di Pitagora In ogni triangolo rettangolo, l area del quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. 96

99 Nell enunciato del teorema di Pitagora, i quadrati possono essere sostituiti da altre figure, come ad esempio triangoli, esagoni, o anche figure irregolari, purché simili tra loro. Le figure simili sono quelle che differiscono solo per grandezza, ma non per forma. In altre parole, due figure simili sono l una l ingrandimento dell altra. Secondo Teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. 97

100 3.4 Solidi Esempi di solidi sono: Prisma, Parallelepipedo, Piramide, Cilindro, Cono, Sfera, Poliedri Regolari. Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari tutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro. A differenza dei poligoni regolari, che sono infiniti, esistono solo 5 poliedri regolari, che sono i cosiddetti solidi platonici. Tetraedro regolare: 4 facce triangolari; Ottaedro regolare: 8 facce triangolari; Icosaedro regolare: 0 facce triangolari; Esaedro regolare o cubo: 6 facce quadrate; Dodecaedro regolare: 1 facce pentagonali. 98

101 Volume di solidi elementari Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo. Formule Volume del Cubo: V = s 3, dove s è la lunghezza dei lati; Volume del Prisma retto a base rettangolare: V = a b c dove a, b, c sono rispettivamente lunghezza, larghezza e altezza del Prisma; per i prismi generici il volume V = A b h, dove A b indica l area di base e h l altezza; Volume del Cono di raggio r e altezza h: V = 1 3 πr h; Volume della Sfera di raggio r: V = 4 3 π r3 ; Volume della Piramide V = 1 A h, dove A è l area di base ed h l altezza Piano cartesiano Prendiamo nel piano due rette orientate (asse x e asse y) tra di loro perpendicolari e indichiamo con O il loro punto di intersezione; Fissiamo una unità di misura u. 99

102 Tale piano viene detto Piano Cartesiano Ortogonale. Un punto qualsiasi P del piano sarà individuato da due numeri (x 1, y 1 ): x 1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto di intersezione tra la perpendicolare passante per P all asse x e l asse x stesso; y 1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal punto di intersezione tra la perpendicolare passante per P all asse y e l asse y stesso; I numeri reali x 1, y 1 sono le coordinate cartesiane del punto P (rispettivamente: ascissa e ordinata del punto P ); I due assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti (Il primo quadrante è quello dei punti con entrambe le coordinate positive; gli altri nell ordine si susseguono ruotando in senso antiorario) Distanza tra due punti Considerati due punti P (x 1, y 1 ) e Q (x, y ), per determinare la distanza fra due punti si ha la seguente formula che deriva dal Teorema di Pitagora: d = (x x 1 ) + (y y 1 ) vale a dire: In coordinate ortogonali la distanza di due punti è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze tra le coordinate omologhe. 100

103 La distanza di un punto P (x 1, y 1 ) dall origine è data da OP = x 1 + y 1 cioè è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle coordinate Retta La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita. Due rette nel piano possono essere: incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto); parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si dicono che si incontrano all infinito, cioè, scherzando, quando non gliene frega più niente). Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette; Per due punti passa una e una sola retta. Equazione della retta Ogni retta è rappresentata da una equazione di primo grado in due variabili: x e y. 101

104 Equazione della retta in forma implicita ax + by + c = 0 dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b non contemporaneamente nulli. Se b 0 oppure a 0, è possibile descrivere la stessa retta in forma esplicita rispettivamente in una delle due forme seguenti: dove y = mx + q, oppure x = m y + q, m = a b, m = b a è il coefficiente angolare (rispetto all asse x o all asse y) e quantifica la pendenza della retta. Nell eq. y = mx + q il coefficiente angolare m è la tangente trigonometrica dell angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x. Il coefficiente q (l intercetta) l ordinata del punto di intersezione con l asse y. Retta: Esempi Consideriamo la retta y = x 1. Tutti i punti di questa retta godono di avere per coordinate le coppie di numeri (x, x 1), per ogni scelta di x. Cioè, coppie di numeri che, sostituiti ordinatamente al posto delle variabili x e y nell equazione, soddisfano l equazione stessa. 10

105 Retta: Proprietà Assegnata quindi una retta ax + by + c = 0 i punti del piano cartesiano rimangono suddivisi in 3 insiemi, per semplicità chiamiamoli A, B, C, che sono rispettivamente A = {P (x, y) : ax + by + c = 0} B = {P (x, y) : ax + by + c > 0} C = {P (x, y) : ax + by + c < 0} Retta per due punti Dati due punti di coordinate (x 1, y 1 ) (x, y ), per essi passa una ed una sola retta! L equazione della retta passante per essi è: x x 1 x x 1 = y y 1 y y 1. Questa formula rappresenta il modo più pratico per scrivere l equazione della retta, non parallela ad alcun asse coordinato, passante per i punti suddetti. Parallelismo e ortogonalità tra rette Date due rette, r, di equazione y = mx + p, ed r, di equazione y = m x + p, allora condizione di parallelismo: m = m ; condizione di perpendicolarità m m =

106 Esempio 38 Data la retta r di equazione ax + by + c = 0, e un punto P (x 0, y 0 ), la retta r di equazione b(x x 0 ) a(y y 0 ) = 0, è perpendicolare alla retta r e passa per P. Infatti: l equazione della retta r è identicamente soddisfatta per x = x 0 e y = y 0 ; è perpendicolare alla retta r in quanto il prodotto dei rispettivi coefficienti angolari è 1. Fascio di rette Tutte le rette passanti per un punto P (x 0, y 0 ) (fascio di rette) hanno equazione y y 0 = m(x x 0 ). Intersezione tra due rette Date due rette, di equazione ax + by + c = 0, a x + b y + c = 0 che non sono parallele (il che analiticamente corrisponde alla condizione a b a b 0), il loro punto di intersezione si trova risolvendo il sistema lineare ax + by + c = 0, a x + b y + c = 0, che è determinato e ha un unica soluzione. Nel caso di rette parallele si ha un sistema indeterminato (le due equazioni identificano la stessa retta) o impossibile (le due equazioni identificano due rette parallele ma distinte). 104

107 Rette: casi particolari Retta parallela all asse delle ordinate x = k, (per k = 0 si ha l asse y) Retta parallela all asse delle ascisse y = k, (per k = 0 si ha l asse x) Retta passante per l origine y = mx; se m = 1, si ha la bisettrice del primo e terzo quadrante; se m = 1, si ha la bisettrice del secondo e quarto quadrante. Distanza di un punto dalla retta Preso un punto P (x 0, y 0 ), e una retta r di equazione ax + by + c = 0, la distanza di P da r è la distanza tra il punto P e l intersezione tra la retta r e la perpendicolare alla retta r passante per il punto P. In formule: d(p, r) = ax 0 + by 0 + c a + b. La formula si ricava con i seguenti passi: 105

108 si scrive l equazione della retta passante per P e perpendicolare alla retta r: b(x x 0 ) a(y y 0 ) = 0; si determina il punto Q di intersezione tra questa retta e la retta r; si calcola la distanza tra P e Q. Esempio 39 Calcolare perimetro e area dei triangoli di vertici: A (3, 5), B (3, 4), C ( 1, 7); A (, 3), B (1, 0), C (0, 1); A ( 1, 4), B ( 1, 0), C (3, 0). È sufficiente calcolare la distanza tra A e B (base) e la distanza tra C e la retta passante per A e B (altezza). Il semiprodotto di base e altezza fornisce l area. Trovando la distanza tra B e C, e la distanza tra A e C possiamo calcolare il perimetro. Noto il perimetro, potremmo calcolare l area con la formula di Erone: A = p(p a)(p b)(p c), dove p è il semiperimetro, e a, b, c i tre lati. Esempio 40 Determinare il valore di k per cui, dati i punti A (k 1, 3k 5) e B (k, k 6), sia AB = Si ha: AB = (x B x A ) + (y B y A ) Dovendo essere: = (k k + 1) + (k 6 3k + 5) = (k + 1) + (k + 1) = k + 1. k + 1 = k + 1 = k + 1 = ± k = 1 o k =

109 Baricentro di un triangolo Le cordinate del baricentro di un triangolo sono date dalle medie aritmetiche delle rispettive coordinate dei suoi tre vertici. Esempio 41 Determinare le coordinate del baricentro G del triangolo OAB di vertici O (0, 0), A (3, ), B (6, 4) Le coordinate del baricentro sono date da: x G = , y G = G (3, 3 ) Esempio 4 Determinare il coefficiente angolare delle rette passanti per i punti: A = (, 3 4 ), B = ( 1, 5 8 ); A = ( 5, 4), B = (1, 4); A = (1, 3), B = (1, 1); Il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A = (x 1, y 1 ) e A = (x, y ) è dato da: m = y y 1 x x 1 purché x 1 x. Si ha quindi, per la prima coppia di punti:... al resto pensateci voi! m = = = Circonferenza L equazione di una circonferenza di centro C (x 0, y 0 ) e raggio r è (x x 0 ) + (y y 0 ) = r, che traduce analiticamente che i punti di coordinate (x, y) della circonferenza hanno distanza pari a r dal centro C (x 0, y 0 ). 107

110 Intersezione di una circonferenza e una retta L intersezione tra una circonferenza e una retta si studia determinando le soluzioni del sistema (x x 0 ) + (y y 0 ) = r, ax + by + c = 0. Le soluzioni di questo sistema si trovano risolvendo l equazione della retta rispetto ad x oppure rispetto ad y e sostituendo nell equazione della circonferenza. Ad es., sostituendo y = a b x c b nell equazione della circonferenza, si trova un equazione di secondo grado in x. Se per questa equazione risulta: > 0: ci sono due soluzioni distinte di x che sono le ascisse dei punti di intersezione; si calcolano poi i corrispondenti valori di y; la retta interseca la circonferenza in due punti (retta secante); = 0: ci sono due soluzioni coincidenti di x cui corrispondono due valori uguali di y; la retta è tangente alla circonferenza; < 0: non ci sono soluzioni reali per x; la retta è esterna. Determinare le intersezioni (se esistono) tra: 1. Retta 3x + y 1 = 0 e circonferenza di centro C (0, 0) e raggio 1.. Retta y = 1 e circonferenza di centro C (1, 0) e raggio Retta 5x + 4y 0 = 0 e circonferenza di centro C (1, 1) e raggio ( 3 4 ) ( 3, ) 3,, 6 3 (retta secante) Una sola intersezione, (1, 1) (retta tangente). 3. Non ci sono intersezioni (retta esterna). 108

111 3.5.4 Parabola La parabola è il luogo dei punti del piano equidistante da una retta fissa detta direttrice e da un punto fisso detto fuoco non appartenente alla direttrice. La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice è l asse di simmetria della parabola. Il punto di intersezione tra la parabola e l asse di simmetria è il vertice della parabola, ed è il punto medio tra il fuoco e la sua proiezione ortogonale sulla direttrice. In un piano cartesiano, scegliendo gli assi in maniera che la direttrice coincida con l asse x, e quindi la direttrice è caratterizzata dall equazione y = 0, e l asse y passi per il fuoco, e quindi ha coordinate (0, f) (f 0), l equazione della parabola diventa: y = x f + f. In generale, una parabola ad asse verticale (non necessariamente coincidente con l asse y) ha equazione y = ax + bx + c, a, b, c R, a 0. Le coordinate del vertice sono ( b ) 4ac b,, a 4a 109

112 mentre le coordinate del fuoco sono: e l equazione della direttrice è: ( b ) 1 + 4ac b,, a 4a y = 1 + b 4ac. 4a In maniera analoga, una parabola ad asse orizzontale (non necessariamente coincidente con l asse x) ha equazione Le coordinate del vertice sono x = ay + by + c, a, b, c R. ( 4ac b 4a mentre le coordinate del fuoco sono: e l equazione della direttrice è: ( 1 + 4ac b 4a, b ), a, b ) a,, x = 1 + b 4ac. 4a 3.6 Esercizi svolti Geometria piana 1. Sia data una circonferenza di centro O ed una sua tangente nel punto A. Preso un punto P sulla tangente, si consideri il triangolo OAP. Sapendo che l angolo A ˆP O è di 8 o, quanto misura l angolo AÔP? 110

113 a) 6 o ( ) b) 78 o c) 90 o d) 15 o Svolgimento. Il triangolo OAP è rettangolo in A in quanto, com è noto, la tangente ed il raggio formano un angolo retto. Ricordando, inoltre, che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 o, si può concludere che: AÔP = 180o OÂP A ˆP O = 180 o 90 o 8 o = 6 o, e la risposta esatta è la a).. Un triangolo ABC è simile ad un triangolo A B C. Sapendo che il lato BC misura 1 cm, l area di A B C misura 9 cm ed il lato B C corrispondente al lato BC misura 3 cm, quanto misura l area del triangolo ABC? a) 144cm ( ) b) 64cm c) 400cm d) 3cm Svolgimento. Per la similitudine dei due triangoli, il rapporto tra le misure dei lati corrispondenti BC e B C, che vale BC B C = 1 cm 3 cm = 4 BC = 4 B C sarà uguale al rapporto della corrispondenti altezze h e h relative ai lati BC e B C, cioè h h = 4 h = 4h. 111

114 È chiaro quindi che, dette S ed S le aree dei due triangoli, si ha: S = BC h = 4 B C 4h = 16 B C h e la risposta esatta è pertanto la a). = 16 S = 16 9 cm = 144 cm 3. In un triangolo rettangolo il cateto minore è 9 cm e la sua proiezione sull ipotenusa è 9 della stessa ipotenusa. Quanto misura il perimetro? 5 a) 36 cm ( ) b) 3 cm c) 4 cm d) 48 cm Svolgimento. Osservando la figura, i dati del problema sono: AB = 9 cm e BH = (9/5)BC. Per il primo teorema di Euclide, si ha: che sostituendo, fornisce: (9 cm) = BC AB = BC BH, 9 5 BC (9 cm) = 9 5 BC. Estraendo la radice quadrata di ambo i membri dell ultima equazione, si ha: 9 cm = 3 5 BC e moltiplicando ambo i membri per 5/3, si ottiene la lunghezza dell ipotenusa BC cm = BC BC = 15 cm. 5 11

115 Per poter calcolare il perimetro, resta da determinare la lunghezza dell altro cateto. Noti un cateto e l ipotenusa, si applica il teorema di Pitagora: AC = BC AB = 5 cm 81 cm = 144 cm = 1 cm. Il perimetro è quindi dato da: p = AB + BC + AC = 9 cm + 15 cm + 1 cm = 36 cm e la risposta esatta è la a). 4. Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo equilatero di eguale lato è 3 a) 4 b) c) d) ( ) Svolgimento. Detta l la misura comune dei lati del quadrato e del triangolo equilatero, la superficie del quadrato misura: S Q = l. Per determinare la superficie del triangolo bisogna determinarne l altezza h che si ottine applicando il teorema di Pitagora ad uno dei due triangoli rettangoli uguali che si ottengono tracciandone una qualsiasi altezza. Relativamente al triangolo rettangolo così ottenuto, uno dei un cateti è l altezza del triangolo equilatero, l altro cateto è metà di un lato del triangolo equilatero e l ipotenusa è un lato del triangolo equilatero; l altezza del triangolo equilatero è quindi data da: h = l ( ) l = l l 4 = 4l l = 3l 4 = l 3 ;

116 la superficie del triangolo equilatero è: S T = l l 3 Il rapporto richiesto è quindi = l 1 3 = l 3. 4 S Q = l = l 4 S l T 4 3 l 3 = 4 = 4 3 = , e la risposta esatta è la d). 5. Se i lati di un rettangolo misurano a e 3a, quanto vale il perimetro di un rettangolo simile la cui superficie misura 150a? a) 50a ( ) b) 50a c) 50 d) 50 Svolgimento. Se denotiamo ABCD il rettangolo di dimensioni AB = a e BC = 3a, il rettangolo simile A B C D deve avere dimensioni corrispondenti proporzionali, e cioè: A B = kab = ak, B C = kbc = 3ak, k > 0. Del rettangolo A B C D è nota la misura della superficie: S A B C D = A B B C = 150a e quindi, sostituendo a A B e B C le loro espressioni in termini del fattore di proporzionalità k, si ottiene la seguente equazione: ak 3ak = 150a 6a k = 150a da cui, dividendo per 6a 0 ambo i membri, si ottiene: ciò consente di affermare che k = 5 k = 5 ; A B = a 5 = 10a, B C = 3a 5 = 15a, ed il perimetro richiesto è: p = A B + B C = 10a + 15a = 0a + 30a = 50a e la risposta esatta è la a). 114

117 3.6. Geometria solida 1. La somma di tutti gli spigoli di un prisma retto avente per base un triangolo equilatero è 36 cm e il suo lato di base misura 3 cm. Quanto misura lo spigolo laterale? a) 3 cm b) 1 cm c) 4 cm d) 6 cm ( ) Svolgimento. La prima cosa da capire è quanti sono gli spigoli del solido e quanti sono uguali tra loro. Trattandosi di un prima retto, il solido ha due basi parallele ed uguali tra loro, che sono due triangoli equilateri, e quindi gli spigoli del solido relativi alle due basi sono in tutto 6, 3 per ciascuna delle basi, e tutti uguali tra loro; gli spigoli rimanenti sono quelli relativi alla superficie laterale del prisma ed essendo le basi dei triangoli, gli spigoli della superficie laterale sono in tutto 3, ovviamente uguali tra loro. Sapendo che ciascun lato di base misura 3 cm, la somma delle misure degli spigoli relativi alle due basi è 6 3 cm = 18 cm ; sottraendo dalla somma di tutti gli spigoli, la somma di quelli delle due basi, si ottiene la somma delle misure degli spigoli laterali, e cioè 36 cm 18 cm = 18 cm ; sapendo che gli spigoli laterali sono in tutto 3, la misura di ciascuno di essi è dunque 18 cm : 3 = 6 cm e la risposta esatta è la d).. Un solido è formato da un cilindro circolare retto e da due mezze sfere sovrapposte alle sue basi e aventi lo stesso raggio di dm. Sapendo che l altezza del cilindro è 15 dm, quanto misura il volume del solido? a) 00 3 π dm3 115

118 b) c) d) 1 3 π dm3 ( ) 44 3 π dm π dm3 Svolgimento. Il volume del solido è dato dalla somma del volume del cilindro di raggio di base r = dm ed altezza h = 15 dm che è V c = πr h = π( dm) 15 dm = 4 15 π dm 3 = 60π dm 3, e di quelli delle semisfere, che sono equivalenti ad una sfera, di raggio r = dm e cioè ed è quindi pari a V s = 4 3 πr3 = 4 3 π ( dm)3 = π dm3 = 3 3 π dm3, V T OT = V c + V s = 60π dm π dm3 = e la risposta esatta è la b) π dm 3 = 1 3 π dm3 3. Un solido è formato da un cubo sormontato da una piramide retta avente per base una faccia del cubo e lo spigolo laterale della piramide è 7 di quello del cubo. Sapendo che la somma di tutti gli spigoli del 5 solido è 176 cm, quanto misura la superficie del solido? a) ( )cm b) ( )cm c) ( )cm d) ( )cm ( ) Svolgimento. Detta l la misura dello spigolo del cubo, lo spigolo laterale della piramide misura l = 7 5 l. Il solido ha in tutto 16 spigoli, 1 del cubo (4 dei quali in comune con la base della piramide) che misurano l, e 4 della superficie laterale della 116

119 piramide che misurano l. L ulteriore dato del problema afferma che la somma di tutti gli spigoli del solido è 176 cm e cioè 1 l + 4 l = 176 cm 1 l l = 176 cm 1 l l = 176 cm l = 176 cm l = 176 cm l = cm l = 10 cm. 88 Abbiamo anche che l = 7 5 l = 7 10 cm = 14 cm. 5 La superficie del solido è data dalla somma delle superficie S q = l di 5 facce del cubo, una base e la superficie laterale (4 facce) (si ricorda che una faccia del cubo è interna al solido e coincide con la base della piramide), e della superficie laterale della piramide costituita da 4 triangoli isosceli, di base l = 10 cm e lati uguali l = 14 cm. Per determinare l area dei triangoli isosceli bisogna determinarne l altezza, che si può calcolare applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che si ottiene tracciando l altezza relativa alla base l e che divide la base in due parti uguali. Il triangolo rettangolo così ottenuto ha come cateti l altezza h del triangolo isoscele e metà della base l/ del triangolo isoscele e come ipotenusa lo spigolo laterale della piramide l ; si ha dunque h = l ( ) l = 196 cm 5 cm = 171 cm, e quindi l area di ciascuna faccia della superficie laterale della piramide è data da: S t = l h = 10 cm 171 cm In definitiva, la superficie totale è data da: = cm. S T OT = 5 S q +4 S t = 5 (10 cm) cm = ( ) cm e la risposta esatta è la d). 117

120 3.6.3 Geometria analitica 1. A quanto è uguale la distanza del punto P = (3, 4) dall origine? a) 7 b) 5 ( ) c) 1 d) 1 Svolgimento. Ricordando la formula della distanza d(a, B) di punti A = (x A, y A ) e B = (x B, y B ) che è: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ), la distanza del punto P dall origine O = (0, 0) è data da: d(o, P ) = (3 0) + (4 0) = = = 5 = 5, e la risposta esatta è la b).. Dati i punti A = (7, 8) e M = (, 3), quali sono le coordinate del punto B tale che M sia il punto medio del segmento di estremi A e B? a) ( 3, ) ( ) ( 9 b), 11 ) ( 5 c), 5 ) d) (3, ) Svolgimento. Ricordando che dati punti A = (x A, y A ) e B = (x B, y B ), le coordinate del loro punto medio M = (x M, y M ) sono date da: x M = x A + x B, y M = y A + y B, se sostituiamo nella formula le coordinate dei punti A e M, otteniamo le relazioni: = 7 + x B 118, 3 = 8 + y B ;

121 moltiplichiamo ambo i membri di entrambe per si ha = 7 + x B, 3 = 8 + y B 4 = 7 + x B, 6 = 8 + y B,, da cui, ricavando x B dalla prima e y B dalla seconda, si ottiene: e la risposta esatta è la a). x B = 4 7 = 3, y B = 6 8 =, 3. Dato il punto P = (, 3) e la retta r di equazione x y + 1 = 0, quanto misura la distanza dell origine dalla retta condotta per P e perpendicolare ad r? a) b) c) 5 d) 5 ( ) Svolgimento. Prima di poter calcolare la distanza della retta dall origine, è necessario dedurre l equazione della retta. Tale retta passa per il punto P ed è perpendicolare ad r, cioè ne conosciamo il coefficiente angolare. Ricordando che il coefficiente angolare della retta di equazione ax + by + c = 0, con b 0, è m = a b, il coefficiente angolare della retta r è: m r = 1 1 = 1, e quindi, il coefficiente angolare dell altra retta, che chiameremo r, dovrà verificare la condizione di ortogonalità e cioè: m r = 1 m r = 1 1 =

122 A questo punto, se richiamiamo l equazione di una retta passante per un punto P = (x P, y P ) e di noto coefficiente angolare, m r, e cioè: y y P = m r (x x P ), l equazione della retta r si ottiene dalla equazione precedente sostituendo il valore di m r e le coordinate di P : y 3 = 1 (x ), y 3 = x +, y 3 + x = 0, x + y 5 = 0. Ricordiamo infine che la distanza di un punto P = (x P, y P ) da una retta r di equazione ax + by + c = 0 è data da: d(p, r) = ax P + by P + c a + b, e quindi la distanza dall origine O = (0, 0) della retta r di equazione x + y 5 = 0 è data da: d(p, r) = = = 5 = 5 e la risposta esatta è la d). 4. Qual è la parallela alla retta 3x + y = 5 condotta per il centro della circonferenza: x + y 6x + y 3 = 0? a) x + 3y = 10 b) 3x + y = 10 c) 3x + y = 7 ( ) d) x 3y = 7 Svolgimento. Per poter dedurre l equazione della retta, che chiamiamo r, dobbiamo usare il suo passaggio per il punto C = (x C, y C ), centro della circonferenza data, ed il suo parallelismo alla retta, che 10

123 chiamiamo r di equazione 3x + y = 5. Ricordando che il coefficiente angolare della retta di equazione ax + by + c = 0, con b 0, è m = a b, il coefficiente angolare della retta r è: m r = 3, e quindi, il coefficiente angolare della retta r, dovrà verificare la condizione di parallelismo tra rette e cioè: m r = m r = 3. Ricordando inoltre che data la circonferenza di equazione x +y +ax+ by + c = 0, le coordinate del suo centro sono date da: le coordinate di C sono: x C = a, y C = b, x C = 6 = 3, y C = = 1. A questo punto, se richiamiamo l equazione di una retta passante per un punto C = (x C, y C ) e di noto coefficiente angolare, m r, e cioè: y y C = m r (x x C ), l equazione della retta r si ottiene dalla equazione precedente sostituendo il valore di m r e le coordinate di C: y ( 1) = 3 (x 3), moltiplicando ambo i membri per, si ha: e la risposta esatta è la c). (y + 1) = 3 (x 3), y + = 3 (x 3), y + = 3x + 9, y + + 3x 9 = 0, 3x + y 7 = 0 11

124 5. Qual è l equazione della circonferenza che passa per il punto (, 5) e taglia l asse x nei punti di ascissa 4 e? a) 5x + 5y 10x 17y = 0 b) 5x + 5y 10x 17y 40 = 0 ( ) c) 5x + 5y x y 40 = 0 d) 5x + 5y 40 = 0 Svolgimento. Per poter dedurre l equazione della circonferenza bisogna utilizzare il suo passaggio per 3 punti noti, uno dato esplicitamente, (, 5), e gli altri che sono i punti in cui la circonferenza interseca l asse x e cioè (4, 0) e (, 0). Se la generica circonferenza di equazione x + y + ax + by + c = 0 (3.1) deve passare per i 3 punti suddetti, le loro coordinate devono soddisfare identicamente l equazione, e quindi sostituendo opportunamente le coordinate dei 3 punti nell equazione della circonferenza si ottiene il seguente sistema di 3 condizioni nelle incognite a, b e c, che sono i coefficienti che caratterizzano l equazione richiesta: cioè: a + b 5 + c = 0, a 4 + b 0 + c = 0, ( ) a ( ) + b 0 + c = 0, a + 5b + c = 0, a + c = 0, 4 a + c = 0; utilizziamo la terza equazione per esplicitare c in funzione di a e sostituiamo l espressione di c ottenuta nelle altre equazioni: 9 + a + 5b + a 4 = 0, a + a 4 = 0, c = a 4, da cui 4a + 5b + 5 = 0, 6a + 1 = 0, c = a 4, 1

125 e quindi 4a + 5b = 5, 6a = 1. c = a 4; ricavando a dalla seconda equazione e sostituendo la sua espressione nella prima e nella terza, si ha: 4 ( ) + 5b = 5 a = 1 6 = c = ( ) 4 5b = 17 a = c = b = 5 a = c = 4 4 = 8 b = 17 5 a = c = 8 Sostituendo i valori a =, b = 17/5 e c = 8 nell equazione della circonferenza (3.1) otteniamo la seguente equazione: x + y x 17 5 y 8 = 0. La risposta esatta è la b) e si vede moltiplicando per 5 ambo i membri dell equazione. 6. Data la parabola di equazione y = x 3x +, quali sono i punti di intersezione con gli assi? a) A = (1, 0), B = (, 0) b) A = (1, 0), B = (0, ) c) A = (1, 1), B = (, ) d) A = (1, 0), B = (, 0), C = (0, ) ( ) Svolgimento. Per poter determinare i punti di intersezione tra curve, bisogno risolvere il sistema costituito dalle loro equazioni nelle incognite x e y che rappresentano le coordinate (x, y) dei loro punti di intersezione (se esistono). I punti di intersezione con l asse x, la cui equazione è y = 0, sono dati dalle soluzioni del sistema { y = x 3x + y = 0 { 0 = x 3x + y = 0 { x = 1 x = y = 0 13

126 che fornisce i punti A = (1, 0) e B = (, 0). La parabola data, avendo asse di simmetria parallelo all asse y, ha sempre un punto di intersezione con l asse y, la cui equazione è x = 0, che sarà dato dal seguente sistema: { { { y = x 3x + y = y = x = 0 x = 0 x = 0 L esistenza di un ulteriore punto di intersezione C = (0, ) stabilisce che la risposta esatta è la d). 7. Qual è l equazione della parabola con asse parallelo all asse y, passante per l origine e avente il vertice nel punto (, 4)? a) x = y 4y + b) x = y 4y c) y = x 4x ( ) d) y = x 4x + 1 Svolgimento. L equazione della generica parabola avente asse di simmetria parallelo all asse y è: y = ax + bx + c, (3.) con a, b, c, R, a 0. Se sappiamo, inoltre, che tale parabola passa per l origine, deve necessariamente essere c = 0, per cui l equazione della parabola richiesta deve avere la forma: y = ax + bx, (3.3) Se ricordiamo che le coordinate del vertice V di una parabola con asse parallelo all asse y sono date da: x V = b a, y V = 4a, = b 4ac (3.4) otteniamo le seguenti equazioni nelle incognite a e b che sono i coefficienti che caratterizzano l equazione richiesta; sostituendo le coordinate del vertice nelle relazioni (3.4) si ottiene: = b a 4 = 4a 14

127 Moltiplichiamo ambo i membri della prima equazione per a, ottendo b in funzione di a; contemporaneamente, moltiplichiamo ambo i membri della seconda equazione per 4a (osserviamo che tali fattori sono non nulli perché a 0): ( a) = b a ( a) 4 4a = b 4a 0 4a 4a { b = 4a 16a = ( 4a) { b = 4a 16a = 16a { 4a = b 16a = b { b = 4a 1 = a { b = 4a 16a = b { b = 4 a = 1 Sostituendo i valori a = 1 e b = 4 nell equazione della parabola (3.3), in cui si è già tenuto conto del fatto che c = 0, si ottiene l equazione richiesta, e cioè: y = x 4x e la risposta esatta è la c). 8. Qual è l equazione della parabola avente il vertice nel punto V = (5, ) e come direttrice la retta di equazione y = 4? a) x = 1 8 y 5 4 y b) x = 1 8 y 5 4 y c) y = 1 8 x 5 4 x ( ) d) y = 1 8 x 5 4 x Svolgimento. Se osserviamo che la direttrice è una retta parallela all asse x, la parabola richiesta ha asse parallelo all asse y e quindi, la sua equazione sarà della forma: y = ax + bx + c. Come nell esercizio precedente, se ricordiamo che le coordinate del vertice V di una parabola con asse parallelo all asse y sono date da: x V = b a, y V = 4a, = b 4ac 15

128 otteniamo le seguenti equazioni nelle incognite a, b e c che sono i coefficienti che caratterizzano l equazione richiesta; sostituendo le coordinate del vertice nelle relazioni (3.4) si ottiene: 5 = b a = 4a Se ricordiamo inoltre che l equazione della direttrice è data da: y = 1 + 4a alle condizioni precedenti si aggiunge quella che il secondo membro dell equazione precedente deve essere uguale a 4, e quindi: 5 = b a = 4a 4 = 1 + 4a 5 = b a = b 4ac 4a 4 = 1 + b 4ac 4a che è un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite a, b e c. Moltiplicando la prima equazione per a, la seconda e la terza per 4a, si ha: 5 ( a) = b a ( a) ( 4a) = b 4ac 4a ( 4a) 4 ( 4a) = 1 + b 4ac ( 4a) 4a b = 10a 8a = ( 10a) 4ac 16a = 1 + ( 10a) 4ac 16 10a = b 8a = b 4ac 16a = 1 + b 4ac b = 10a 8a = 100a 4ac 16a = a 4ac

129 b = 10a = 5a c 16a = a 4ac b = 10a c = 5a 16a = a 4a(5a ) b = 10a c = 5a 8a = 1 b = = 10 8 = 5 4 b = 10a c = 5a 16a = a 100a + 8a c = = = 8 8 = 9 8 a = 1 8 Sostituendo i valori a = 1/8, b = 5/4 e c = 9/8 nella generica equazione della parabola y = 1 8 x 5 4 x + 9 8, si vede facilmente che la risposta esatta è la c). 3.7 Esercizi proposti Geometria piana In un triangolo isoscele la base misura 8 dm e l altezza ad essa relativa misura 3 dm. Quanto misura il perimetro? a) 38 dm b) 18 dm ( ) c) 13 dm d) 8 dm In un triangolo rettangolo un cateto è 4 5 è 96 cm. Quanto misura l ipotenusa? dell ipotenusa ed il perimetro a) 40 cm ( ) 17

130 b) 3 cm c) 4 cm d) 48 cm Un rettangolo ha il perimetro di 14 cm e un lato di 4 cm. Quanto misura la sua diagonale? a) 5 cm ( ) b) 6 cm c) 7 cm d) 9 cm 3.7. Geometria solida Siano C 1 e C due cubi i cui spigoli sono, rispettivamente, l 1 ed l. Se C 1 ha volume V = 64m 3 e C ha superficie totale S t = 4m, quanto vale il rapporto l 1 l? a) 4 3 b) 1 c) 8 3 d) ( ) Le tre dimensioni di un parallelepipedo rettangolo sono misurate, in centimetri, da tre numeri interi consecutivi. Sapendo che l area della superficie totale è 94 cm, quanto misura il volume del solido? a) 70 cm 3 b) 60 cm 3 ( ) c) 30 cm 3 d) 10 cm 3 18

131 Sia dato un parallelepipedo avente per base un rettangolo. Sapendo che l area di base è 48 cm, che un lato del rettangolo misura 6 cm e che l altezza del prisma è 15 cm, quanto misura la superficie totale del prisma? a) 516 cm ( ) b) 96 cm c) 180 cm d) 40 cm Un rettangolo ha il perimetro di 14 cm e un lato di 4 cm. Quanto misura la sua diagonale? a) 5 cm ( ) b) 6 cm c) 7 cm d) 9 cm In un triangolo rettangolo un cateto è 4 5 è 96 cm. Quanto misura l ipotenusa? dell ipotenusa ed il perimetro a) 40 cm ( ) b) 3 cm c) 4 cm d) 48 cm In un triangolo isoscele la base misura 8 dm e l altezza ad essa relativa misura 3 dm. Quanto misura il perimetro? a) 38 dm b) 18 dm ( ) c) 13 dm d) 8 dm 19

132 In un triangolo isoscele la misura di ciascuno dei due lati uguali misura 35 cm, mentre l altro lato (base) misura 15 cm. Quanto misura ciascuno dei due lati uguali di un triangolo isoscele simile a quello dato e la cui base misura 9 cm? a) 8 cm b) 1 cm ( ) c) 4 cm d) 0 cm Geometria analitica Quali sono le coordinate del punto medio del segmento AB con A = (5, 4) e B = (3, )? a) (5, 3) b) (3, 3) c) (4, 4) d) (4, 3) ( ) Qual( è il punto medio M del segmento di estremi A = ( 1, ) e B =, 1 )? ( a) M = 3, 3 ) ( b) M = 1, 5 ) ( 1 c) M =, 5 ) ( 1 d) M =, 5 ) ( ) 4 Quanto misura la distanza del punto P = ( 5, 1) dalla retta di equazione x 3y + 1 = 0? 130

133 a) b) c) d) ( ) Sia P il punto di intersezione delle rette di equazioni x+y = 1 e x y = 1. Qual è l equazione della retta passante per P e perpendicolare alla bisettrice del primo e terzo quadrante? a) x y = 0 b) x y 1 = 0 c) x = 1 d) x + y 1 = 0 ( ) Quali sono le coordinate dei punti di intersezione della retta x + y = 1 con la circonferenza di equazione: x + y 6x + 3y 4 = 0? ( ) 4 a) A = (0, 1), B = 5, 9 5 ( ) 4 b) A = (1, 1), B = 5, 9 5 ( ) 16 c) A = (0, 1), B = 5, 7 ( ) 5 ( ) 16 d) A = (0, 0), B = 5, 7 5 Quali sono le coordinate del vertice della parabola di equazione y = x + 5? a) ( 5, 0) b) ( 5, 0) c) (0, 0) d) (0, 5) ( ) 131

134 Data la parabola P di equazione y = x 3 e la retta r di equazione x y = 1, quali sono i punti di intersezione tra P e r? a) A = (, 1) e B = (1, ) b) A = (, 1) e B = (1, ) c) A = (, 1) e B = ( 1, ) ( ) d) A = (, 1) e B = ( 1, ) 13

135 Capitolo 4 MATEMATICA DI BASE MODULO 4 Relazioni tra Insiemi Funzioni Grafici di Funzioni 4.1 Relazioni Dati due insiemi non vuoti A e B, una relazione R tra essi è una legge qualsiasi che associa ad elementi dell uno elementi dell altro. Da un punto di vista matematico, una relazione R tra due insiemi non vuoti A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A B. I due insiemi possono anche coincidere. Esempio 43 A = {uva, casa, tavolo, gatto} B = {1,, 3, 4, 5, 6} La relazione associa ad ogni parola il numero di lettere. Le coppie di elementi in relazione, {(uva, 3), (casa, 4), (tavolo, 6), (gatto, 5)}, costituiscono un sottoinsieme (proprio) del prodotto cartesiano A B. Esempio 44 A = {3, 4, 5, 6, 7}, B = {, 3, 4}. 133

136 Definiamo la relazione R dicendo che x A è in relazione con y B se x è un multiplo di y. R = {(3, 3), (4, ), (4, 4), (6, ), (6, 3)}, che è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A B = {(3, ), (3, 3), (3, 4), (4, ), (4, 3), (4, 4), (5, ), (5, 3), (5, 4), (6, ), (6, 3), (6, 4), (7, ), (7, 3), (7, 4)}. Da notare che gli elementi 5 e 7 sono single (non hanno alcun elemento di B con cui essere in relazione). Esempio 45 Poiché una relazione è un insieme, si può definire enunciando una proprietà caratteristica. Dati gli insiemi A = {1,, 3, 4}, B = { 1, 0, 1} definiamo la relazione tra x A e y B se risulta x + y = 3 R = {(x, y) A B : x + y = 3}. R = {((, 1), ((3, 0), (4, 1)} Proprietà delle relazioni su un insieme A Una relazione R A A si dice: Riflessiva: se x A, (x, x) R; Simmetrica: se (x, y) R anche (y, x) R; Antisimmetrica: se (x, y) R e (y, x) R allora x = y; Transitiva: se (x, y) R e (y, z) R allora (x, z) R. 134

137 Relazione di Equivalenza Una Relazione si dice di Equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva (ad es., la relazione di parallelismo tra rette del piano, o la relazione di uguaglianza). Relazione di Ordine Una Relazione si dice di Ordine se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva (ad es., la relazione tra i numeri reali). Esercizio 1 Nell insieme N dei numeri naturali sia definita la relazione R = {(x, y) x + y è pari}. Quale delle seguenti affermazioni corretta? 1. La relazione è riflessiva.. La relazione è simmetrica. 3. La relazione è transitiva. 4. Le precedenti affermazioni sono tutte corrette. Risposta corretta: Le precedenti affermazioni sono tutte corrette. Esercizio Nell insieme N dei numeri naturali sia definita la relazione R = {(x, y) x y è pari}. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? 1. La relazione R non è riflessiva, ma è simmetrica.. La relazione R è riflessiva e simmetrica. 3. La relazione R non è né riflessiva né simmetrica. 4. La relazione R è riflessiva ma non simmetrica. Risposta corretta: La relazione R non è riflessiva, ma è simmetrica. 135

138 Esercizio 3 Nell insieme N dei numeri naturali definita la relazione R = {(x, y) x, y divisi per 3 danno lo stesso resto}. Quale delle seguenti affermazioni corretta? 1. È una relazione d equivalenza perché è riflessiva, simmetrica, transitiva.. È una relazione d ordine perché è riflessiva, antisimmetrica, transitiva. 3. Non è né d ordine né di equivalenza perché non è né simmetrica né antisimmetrica. 4. Nessuna delle precedenti affermazioni è corretta. Risposta corretta: È una relazione d equivalenza. 4. Funzioni Le funzioni da un insieme A ad un insieme B sono particolari relazioni. In una relazione ci possono essere elementi di A che non sono in relazione con nessun elemento di B, o che sono in relazione con più elementi di B. Una funzione f : A B, x y = f(x) è una relazione che associa ad ogni elemento x A un unico elemento y B. l insieme A si dice dominio della funzione; l insieme B si dice codominio della funzione; x è la variabile indipendente, e y = f(x) è la variabile dipendente; y si dice anche immagine di x tramite la funzione f. Esempio 46 Siano A = {Leonardo, Michelangelo, De Chirico, Van Gogh}, B = {La Gioconda, Le muse inquietanti, I girasoli, L uomo di Vitruvio, Urlo}; la Relazione che associa ad un artista una sua opera non è una Funzione. Infatti: 136

139 a Leonardo corrispondono due immagini: La Gioconda e L uomo di Vitruvio ; (Problema) a Michelangelo non corrisponde alcuna immagine (!); (Problema) a De Chirico corrisponde Le muse inquietanti ; (OK) a Van Gogh corrisponde I girasoli ; (OK) Urlo non è l immagine di alcun artista. (OK) 4..1 Funzioni reali di variabile reale Si ha una funzione reale di variabile reale se A e B sono sottoinsiemi di R. Esempio 47 Funzioni Una funzione si definisce indicando il dominio, il codominio e la legge che fa passare da un generico elemento del dominio al corrispondente elemento del codominio: Ad esempio, le funzioni f : R R, x x 7x + 9; f : R R +, x e x / ; f : R + {0} R, x log x 5x; f : R R, f : R R, f : R [ 1, 1], x sin(x ) 3 cos(x). x sin(x), x sin(x) sono diverse in quanto differiscono per il codominio. 4.. Rappresentazione grafica Le funzioni reali di variabili reali si rappresentano graficamente in un sistema di assi cartesiani. 137

140 4..3 Grafici Si definisce Grafico di una funzione f : A B l insieme G di tutte le coppie ordinate (x, y) che si ottengono prendendo un valore di x A e trovando il corrispondente valore di y = f(x) B. Un punto P (x 0, y 0 ) è un punto del grafico della funzione f se y 0 = f(x 0 ). Grafico di una Funzione Grafico di una Relazione 4..4 Funzioni iniettive Una funzione f : A B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. Esempio 48 La funzione 138

141 f : R + {0} R, x log(x) è iniettiva perché non esistono valori reali positivi distinti che hanno lo stesso logaritmo. Invece, la funzione f : R R +, x x 4 + x non è iniettiva perché numeri opposti hanno la stessa immagine (ad es., x = 1 e x = 1 hanno come immagine y = ) Grafici e iniettività Grafico di una Funzione Iniettiva Grafico di una Funzione Non Iniettiva 4..6 Funzioni suriettive Una funzione f : A B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Esempio 49 La funzione f : R R, x x è suriettiva perché per ogni y R esiste un x R, x = 3 y 1, tale che y = x Viceversa, la funzione f : R R, x sin(x) non è suriettiva perché solo i numeri reali dell intervallo [ 1, 1] sono il seno di un angolo. 139

142 Nota 10 Ogni funzione può essere resa suriettiva restringendo il suo codominio all insieme delle sue immagini. Ad es., f : R [ 1, 1], x sin(x) è suriettiva Grafici e suriettività Grafico di una Grafico di una Funzione f : R R Funzione f : [ 1, 1] [ 1, 1] Suriettiva Non Suriettiva 4..8 Funzioni biettive o biunivoche Una funzione f : A B si dice biettiva se ogni elemento di B è immagine di uno e uno solo elemento di A. Una funzione f : A B è biettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Esempio 50 Le funzioni f : R R, x x 3 è biettiva perché numeri diversi hanno terze potenze diverse (iniettività) e ogni numero reale ha una radice cubica (suriettività). Anche la funzione f : R R, x e x e x è biettiva. 140

143 4..9 Grafici e biettività Grafico di una Funzione da R in R Biettiva Nota 11 È possibile restringere dominio e codominio di una funzione per renderla biunivoca. f : R R f : R + R + non è né Iniettiva né Suriettiva Suriettiva è Biettiva Funzione composta Siano date due funzioni f : A B, x y = f(x); g : B C, y z = g(y). La funzione definita da A in C che associa all elemento x A l elemento z = g(f(x)) è la funzione composta mediante f e g: g f : A C, x z = g(f(x)). 141

144 Esempio 51 Siano date le funzioni f : R R, x y = x g : R R, y z = y Possiamo costruire le funzioni composte g f : R R, x (x) = 4x, f g : R R, x (x) = x. La composizione di funzioni non è in generale commutativa: g f f g Funzione inversa Sia f : A B, x y = f(x) una funzione biunivoca da A in B. Ad ogni elemento di A corrisponde un unico elemento di B, e viceversa. Se con f si passa dall elemento x A all elemento y = f(x) B, possiamo definire una funzione, f 1 : B A, y f 1 (y) = x, che dall elemento y B fa ritornare all elemento x A. La funzione f 1 è detta funzione inversa della f. Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca. Se la funzione f non è biunivoca si può tentare di restringere il dominio e/o il codominio per renderla biunivoca e calcolare l inversa. 14

145 Componendo una funzione f con la sua inversa f 1 si ottiene la funzione identità: f : A B, x f(x), f 1 : B A, y f 1 (y), f f 1 : A A, x f f 1 (x) x, f 1 f : B B, y f 1 f(y) y. Esempio 5 La funzione esponenziale f : R R + {0}, x y = exp(x) = e x (dove e è il numero di Nepero) è biunivoca. È tale che 1 exp(0) = 1, exp( x) = exp(x), exp(x 1 + x ) = exp(x 1 ) exp(x ). Ammette quindi funzione inversa, la funzione logaritmo naturale: f 1 : R + {0} R, x ln(x). ln(1) = 0, ln e = 1, ln(x 1 x ) = ln(x 1 ) + ln(x ), ln ( x1 x ) = ln(x 1 ) ln(x ). Esempio 53 La funzione seno f : R R, x y = sin(x) non è biunivoca. Infatti non è né iniettiva (la funzione è periodica di periodo π) né suriettiva (i valori della funzione seno sono compresi nell intervallo [ 1, 1]). Restringendo dominio e codominio troviamo una funzione [ g : π, π ] [ 1, 1], x sin(x) che è biunivoca. Essa ammette quindi un inversa, la funzione arcoseno: [ g 1 : [ 1, 1] π, π ], y arcsin(y). 143

146 Esempio 54 La funzione coseno f : R R, x y = cos(x) non è biunivoca. Infatti non è né iniettiva (la funzione è periodica di periodo π) né suriettiva (i valori della funzione coseno sono compresi nell intervallo [ 1, 1]). Restringendo dominio e codominio troviamo una funzione g : [0, π] [ 1, 1], x cos(x) che è biunivoca. Essa ammette quindi un inversa, la funzione arcocoseno: g 1 : [ 1, 1] [0, π], y arccos(y) Funzioni notevoli Funzione costante f : R R, x k (k costante) Funzione Lineare f : R R, (a, b costanti) x ax + b 144

147 Funzione quadratica f : R R, x ax + bx + c (a, b, c costanti, a 0) Funzione potenza f : R R, (n N) x x n n pari n dispari Funzione potenza con esponente negativo f : R \ {0} R, (n N) x x n n pari n dispari 145

148 Funzione radice quadrata f : R + R +, x x Funzione radice cubica f : R R, x 3 x 146

149 Funzione Valore Assoluto (Modulo) f : R R +, x x Funzione esponenziale f : R R +, x a x, a > 0 a > 1 0 < a < 1 Funzione logaritmo f : R + \ {0} R, x log a (x), a > 0 147

150 Funzioni trigonometriche a > 1 0 < a < 1 Le funzioni trigonometriche, utili nella risoluzione dei triangoli, si possono definire a partire dalla circonferenza unitaria, cioè una circonferenza il cui raggio è 1. La circonferenza unitaria è usualmente centrata nell origine (0, 0) in un sistema di coordinate cartesiane nel piano euclideo. Se (x, y) è un punto della circonferenza unitaria del primo quadrante, allora x e y sono le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa ha lunghezza 1. Quindi, per il teorema di Pitagora, x e y soddisfano l equazione x + y = 1 Poiché x = ( x) per ogni x, e poiché la riflessione di ogni punto della circonferenza unitaria sull asse x (o y) appartiene ancora alla circonferenza unitaria, l equazione precedente vale per ogni punto (x, y) della circonferenza unitaria, non solo nel primo quadrante. Le funzioni trigonometriche coseno e seno possono essere definite sulla circonferenza unitaria come segue. Se (x, y) è un punto della circonferenza unitaria, e se il raggio dall origine (0, 0) a (x, y) forma un angolo θ con l asse x positivo, (l angolo misurato nel versio antiorario), allora cos(θ) = x sin(θ) = y, cioè, l ascissa x è il coseno dell angolo θ, cos(θ), e l ordinata y è il seno dell angolo θ (sin(θ)) Per definizione delle funzioni seno e coseno, l equazione x + y = 1 fornisce la relazione fondamentale cos (θ) + sin (θ) = 1 148

151 che è vera per ogni θ. t è definito come un angolo orientato, che cioè assume un segno positivo in un verso e negativo nell altro, a seconda della convenzione oraria o antioraria adottata. Solitamente si adotta la convenzione antioraria, e si suppone che l angolo sia positivo spostandosi dall asse delle ascisse in senso antiorario. Una circonferenza con tale angolo orientato è detta circoferenza goniometrica. Nota 1 Gli angoli, oltre che in gradi sessagesimali (angolo giro: ; angolo piatto: ; angolo retto: 90 0 ) si misurano in radianti. Un radiante è la misura di un angolo che spazza un arco di circonferenza di lunghezza pari al raggio della circonferenza stessa (angolo giro: π radianti; angolo piatto: π radianti; angolo retto: π radianti). Per angoli maggiori di π radianti o minori di π radianti, si può semplicemente immaginare di compiere più giri intorno al cerchio. In questo modo, il seno ed il coseno diventano funzioni periodiche di periodo π. sin(θ) = sin (θ + πk), cos(θ) = cos (θ + πk) per ogni angolo θ e per ogni k intero. A partire dal seno e dal coseno si introducono le altre funzioni trigonometrice: tangente: tan(θ) = sin(θ) cos(θ), 149

152 cotangente: cot(θ) = cos(θ) sin(θ), secante: sec(θ) = 1 cos(θ), cosecante: csc(θ) = 1 sin(θ), la cui interpretazione geometrica (insieme ad altre funzioni derivate) è visibile nella figura precedente. La tangente e la secante di un angolo non sono definite per θ = π + kπ (k Z), mentre la cotangente e la cosecante non sono definite per θ = kπ, (k Z). Proprietà delle funzioni trigonometriche Le seguenti relazioni sono valide qualunque sia il valore di θ per cui le funzioni si possono calcolare: ( π ) sin(θ) = cos θ tan(θ) = cot sin( θ) = sin(θ), tan( θ) = tan(θ), sin(θ) = sin(π θ), tan(θ) = tan(π θ), sin(θ) = sin(π + θ), tan(θ) = tan(π + θ), ( π ), cos(θ) = sin θ ( π θ ), cot(θ) = tan cos( θ) = cos(θ),, ( π ) θ, cot( θ) = cot(θ), cos(θ) = cos(π θ), cot(θ) = cot(π θ), cos(θ) = cos(π + θ), cot(θ) = cot(π + θ). 150

153 Formule di addizione, sottrazione e di Werner Valgono le seguenti formule per la somma o differenza di angoli: sin(θ + φ) = sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ), sin(θ φ) = sin(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ), cos(θ + φ) = cos(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ), cos(θ φ) = cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ), tan(θ) + tan(φ) tan(θ + φ) = 1 tan(θ) tan(φ), tan(θ) tan(φ) tan(θ φ) = 1 + tan(θ) tan(φ), cot(θ) cot(φ) 1 cot(θ + φ) = cot(θ) + cot(φ), cot(θ) cot(φ) + 1 cot(θ φ) = cot(θ) cot(φ), cos(θ φ) cos(θ + φ) sin(θ) sin(φ) =, cos(θ φ) + cos(θ + φ) cos(θ) cos(φ) =, sin(θ φ) + sin(θ + φ) sin(θ) cos(φ) =, In particolare, dalle formule di addizione, se φ = θ si ottengono le formule per la duplicazione dell angolo: sin(θ) = sin(θ) cos(θ), cos(θ) = cos (θ) sin (θ) = cos (θ) 1 = 1 sin (θ), tan(θ) = tan(θ) 1 tan (θ), cot(θ) = cot (θ) 1, cot(θ) sin (θ) = 1 cos(θ), cos (θ) = 1 + cos(θ), sin(θ) cos(θ) = sin(θ). 151

154 Dalle formule di duplicazione dell angolo, ponendo θ = x, si ricava: ) Ponendo ( x ) sin(x) = sin cos = tan ( ) x 1 + tan ( x ), ( x ) = sin ( ( x ) cos x sin ( ) ( x + cos x ( x ) ( x ) ( ) ( ) cos(x) = cos sin = cos x sin x sin ( ) ( ) x + cos x = 1 ( ) tan x 1 + tan ( ), x ( x ) t = tan, si hanno le formule parametriche in funzione della tan ( x ) : sin(x) = t 1 + t, cos(x) = 1 t 1 + t, tan(x) = t 1 t, l ultima delle quali si ricava dalle due precedenti. Queste ultime sono importanti nella risoluzione di alcune equazioni e disequazioni trigonometriche. Funzione seno ) f : R [ 1, 1], x sin(x) 15

155 Funzione coseno f : R [ 1, 1], x cos(x) Funzione tangente { π } f : R \ + kπ : k Z R, x tan(x) Funzione cotangente f : R \ {kπ : k Z} R, x cot(x) Esercizio 4 Considerando i seguenti grafici di due funzioni f e g, 153

156 quanto vale la differenza f( ) g( )? Esercizio 5 Se il punto P (c, 3) appartiene al grafico della funzione y = x, quanto vale c? Deve essere 3 = c c = log (3). Esercizio 6 Sia f(x) = mx + q; verificare che vale la relazione: f(x + ) f(x + 1) + f(x) = 0. f(x + ) f(x + 1) + f(x) = = [m(x + ) + q] [m(x + 1) + q] + [mx + q] = = mx + m + q mx m q + mx + q = 0. Esercizio 7 Sapendo che un cilindro ha volume V = 3, scrivere il raggio di base r in funzione dell altezza h. Il volume di un cilindro di raggio r e altezza h è Nel nostro problema è V = πr h. 3 = πr h r = 3 πh r = 3 πh. 154

157 Esercizio 8 Date le seguenti funzioni dire per quali valori del parametro il relativo grafico passa per il punto scritto a lato: 1. y = x + a, P (3, 1);. y = (k 1)x + 3, P (0, 1); 3. y = (m 1)x + 3 m, P (1, ). Risposta: 1. 1 = 3 + a a = 5;. 1 = 3: Contraddizione! Quindi MAI. 3. = (m 1) + 3 m = per qualsiasi valore di m. Esercizio 9 Date le seguenti funzioni, determinare il dominio in cui sono definite. 1. y = x 5 7x ;. y = x 1 x 4 ; 3. y = x + 5; 4. y = x 1 ; 5. y = 3 x 5 + 1; 6. y = 3 x +5x 1 ; 7. y = Risposta: 1. x R; ( ) 1/(1 x 1 ).. x R, x ±, perché deve essere x 4 0; il dominio è quindi: [, [ ], [ ], + [; 155

158 3. x 5, perché deve essere x + 5 0; il dominio è quindi: [ 5, + [; 4. x R; 5. x R; 6. x R; 7. x R, x ±1 perché deve essere 1 x 0; il dominio è quindi: [, 1] ] 1, 1[ [1, + [. 4.3 Esercizi svolti Funzioni 1. Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione x + y + 5x + y 1 = 0 aventi per ordinata 3? a) 6, 1 b) 6, 1 ( ) c) 4, 3 d) la curva non ha alcun punto di ordinata 3 Svolgimento. Il punto è determinare i valori di x, se esistono, tali che i punti di coordinate (x, y = 3) soddisfino identicamente l equazione della curva; se si sostituisce il valore y = 3 nell equazione della curva, si ottiene un equazione di secondo grado nell incognita x del problema e cioè: x +( 3) +5x+( 3) 1 = 0 x +9+5x 15 = 0 x +5x 6 = 0 che fornisce le soluzioni x = 6 e x = 1, e quindi la risposta esatta è la b). x. Per quali valori di x R il numero y = x 1 è reale? a) x < 1 x 0 b) x 0 x 1 156

159 c) x < 0 d) x 0 ( ) Svolgimento. Le uniche condizioni di esistenza da imporre sono quelle del rapporto e della radice quadrata, che forniscono il seguente sistema: { x 0 x 1 0 e la risposta esatta è dunque la d). { x 0 x 1 x 0 3. Per quali valori di x R il numero y = 1/ x 6x+9 è reale? a) per ogni valore reale di x b) per ogni x 3 ( ) c) mai d) nessuna delle precedenti Svolgimento. Le uniche condizioni di esistenza da imporre sono quelle del rapporto e della radice quadrata, che forniscono il seguente sistema: { x 6x x 6x che equivalgono all unica condizione x 6x + 9 > 0 che è una disequazione di secondo grado con = 0, che ammette come soluzioni tutti i numeri reali x 3 e la risposta esatta è dunque la b). 4. Per quali valori di x R, y = log 7 (x 8x + 8) è reale? a) x 1, x 7 ( ) b) per ogni valore reale di x c) 0 x 7 d) x > 0 157

160 Svolgimento. Le uniche condizioni di esistenza da imporre sono quelle del logaritmo e della radice quadrata, che forniscono il seguente sistema: { x 8x + 8 > 0 log 7 (x 8x + 8) 0 la prima è una disequazione di secondo grado con = 3 > 0, che è soddisfatta per x < 4 x > 4 +. La seconda è una disequazione logaritmica che, tenuto conto della proprietà: 0 = log a 1, a > 0, a 1, e quindi 0 = log 7 1, si può scrivere nella forma equivalente: log 7 ( x 8x + 8 ) log 7 1 ; tale disequazione, se si utilizza la proprietà: log a b log a c b c a, b, c > 0, a 1, fornisce la seguente disequazione di secondo grado: che è soddisfatta per x 8x x 8x x 1 x 7. Abbiamo ottenuto che la disequazione data è soddisfatta se { x < 4 x > 4 + x 1 x 7 Per poter riportare le soluzioni delle due disequazioni del sistema su un unico diagramma, è necessario stabilire la relazione d ordine che intercorre tra i numeri 4, 4 +, 1 e 7. Dal momento che 1.41, dalla relazione 1.4 < < 1.5, 158

161 moltiplicando ciascun membro per, si ottiene: che, cambiando di segno.8 < < 3, 3 < <.8, e sommando 4 a ciascun membro, fornisce da cui è chiaro che: 1 < 4 < 1., 1 < 4 < 4 +. Mediante analoghe considerazioni, ci occupiamo di stimare il numero 4 + : dalla relazione 1.4 < < 1.5, moltiplicando ciascun membro per,.8 < < 3, e sommando 4 a ciascun membro, si ha: da cui è chiaro infine che: 6.8 < 4 + < 7, 1 < 4 < 4 + < 7. Riportando su un unico diagramma le soluzioni ottenute (S indica che la disequazione è soddisfatta, N che non lo è) 1 7 SSS NNN NNN NNN NNN NNN SSS SSS SSS NNN NNN NNN NNN SSS possiamo concludere che le soluzioni della disequazione data sono: x 1 x 7, e che quindi la risposta esatta è la a). 159

162 ( ) 3 5. Per quali valori di x R, y = log10 sin x è reale? a) 0 x π 6, 5 π x π ( ) 6 b) x π c) 0 x π d) mai Svolgimento. Le uniche condizioni di esistenza da imporre sono quelle del logaritmo e della radice quadrata, che forniscono il seguente sistema: { 3 sin x > 0 log 10 ( 3 sin x) 0 La prima è una disequazione trigonometrica la cui risoluzione è banale, se si isola la funzione sin al primo membro, e cioè tenendo conto della proprietà: possiamo concludere che: sin x < 3 ; 1 sin x 1 x R, sin x 1 < 3 x R. La seconda è una disequazione logaritmica che, come nell esercizio precedente, tenuto conto della proprietà: e quindi 0 = log a 1, a > 0, a 1, 0 = log 10 1, si può scrivere nella forma equivalente: log 10 ( 3 sin x ) log 10 1 ; 160

163 tale disequazione, se si utilizza la proprietà: log a b log a c b c a, b, c > 0, a 1, fornisce la seguente disequazione trigonometrica: che è soddisfatta per 3 sin x 1 sin x 1 0 x π π x π. Abbiamo ottenuto che la disequazione data è soddisfatta se { x R 0 x π π x π da cui segue immediatamente che le soluzioni della disequazione data sono: 0 x π 6 e che quindi la risposta esatta è la a). 5 6 π x π, 6. Data la funzione y = 3 x 1, con x 1, qual è la sua funzione inversa? a) x = 3 y b) x = + 3y c) x = 3 y 1 d) x = y ( ) Svolgimento. Per determinare l espressione della funzione inversa, dobbiamo trattare l espressione y = 3 x 1 161

164 come un equazione nell incognita x e dedurre x in funzione della variabile y; a tale scopo, moltiplichiamo per x 1 ambo i membri della precedente espressione (osservando che certamente x 1 0) y(x 1) = 3 (x 1) y(x 1) = 3 xy y = 3 x 1 isolando x al primo membro e trattando l espressione come un equazione di primo grado nell incognita x, si ottiene: xy = 3 + y x = 3 + y y = 3 y + y y = 3 y + 1 in cui abbiamo dovuto porre y 0. La la risposta esatta è pertanto la d). 7. Data la funzione y = (x + 1) 1, qual è la sua funzione inversa? a) x = (y + 1) 1 b) x = (y 1) 1 c) x = y 1 1 ( ) d) nessuna delle precedenti Svolgimento. Per determinare l espressione della funzione inversa, dobbiamo trattare l espressione y = (x + 1) 1 come un equazione nell incognita x, che va determinata in funzione della variabile y; a tale scopo, se osserviamo che x appare nell argomento di una funzione potenza con esponente 1, è chiaro che per esplicitare x bisogna applicare ad ambo i membri dell espressione predente ancora la funzione potenza con esponente 1, in quanto inversa della funzione che opera su x (più precisamente su x + 1); eleviamo quindi a 1 ambo i membri (osservando che deve essere x x 1 e bisogna porre y 0), ed otteniamo: y 1 = [ (x + 1) 1] 1 y 1 = (x + 1) ( 1) ( 1) y 1 = x + 1 trattando l espressione come un equazione di primo grado nell incognita x ed isolando quindi x al primo membro e si ottiene: La risposta esatta è pertanto la c). x = y

165 8. Data la funzione y = e x, qual è la sua funzione inversa? a) x = ln y b) x = ln (y ) c) x = (ln y) ( ) d) nessuna delle precedenti Svolgimento. Cominciamo con l osservazione squisitamente teorica che l espressione data ha senso in R solo se x 0. Per determinare l espressione della funzione inversa, dobbiamo trattare l espressione y = e x come un equazione nell incognita x, che va determinata in funzione della variabile y; a tale scopo, se osserviamo che x appare nell argomento di una funzione esponenziale in base e, è chiaro che per esplicitare x bisogna applicare ad ambo i membri dell espressione predente la funzione logaritmo in base e, in quanto inversa della funzione che opera su x (più precisamente su x); applicando quindi la funzione ln = log e ad ambo i membri (osservando che deve essere y > 0, mentre il secondo membro è senz altro positivo), otteniamo: ln y = ln e x ln y = x. Anche quast ultima espressione va interpretata come un equazione nell incognita x, che deve ancora essere determinata in funzione della variabile y; se osserviamo che x appare nel radicando di una radice quadrata, è chiaro che per esplicitare x bisogna elevare al quadrato ambo i membri dell espressione predente (applicare la funzione potenza con esponente, in quanto inversa della funzione che opera su x), per ottenere così: (ln y) = ( x ) e la risposta esatta è pertanto la c). 9. Se x = 9, allora x è uguale a a) + log 9 ( ) b) + log (ln y) = x

166 c) log 9 d) 0 Svolgimento. Per determinare x, l espressione data x = 9 va trattata come un equazione esponenziale nell incognita x; se osserviamo che x appare nell argomento di una funzione esponenziale in base, è chiaro che per esplicitare x bisogna applicare ad ambo i membri dell espressione predente la funzione logaritmo in base, in quanto inversa della funzione che opera su x (più precisamente su x ); applicando quindi la funzione log ad ambo i membri (osservando che ambo i membri sono senz altro positivi), otteniamo: log x = log 9 x = log 9 x = log 9 + e la risposta esatta è pertanto la a). 10. Data la funzione y = log (x 1), qual è l ascissa del punto del grafico di ordinata y =? a) x = 1 b) x = c) x = 5 4 ( ) d) non esiste alcun punto di ordinata Svolgimento. Per determinare x, dobbiamo risolvere l equazione = log (x 1), da cui = x = x 1 x =

167 4.4 Esercizi proposti Funzioni Per quali valori di x R, y = a) x < 1, 1 < x b) per nessun valore di x ( ) c) x d) 1 < x < 1 Per quali valori di x R, y = x 4 1 x è reale? x 9 5 x è reale? a) 3 < x < 3 b) per ogni valore reale di x c) 5 < x < 5 d) 5 < x 3, 3 x 5 ( ) Per quali valori di x R, y = 4 (x 16) x 16 a) x < 4, x > 4 b) x ±4 ( ) c) 4 < x < 4 d) per ogni x R è reale? Per quali valori di x R il numero y = 3 x 1 x+1 è reale? a) x 1 ( ) b) x > 1 c) x < 1 d) 1 < x < 1 Per quale dei seguenti valori di x il numero y = log x non è reale? 165

168 a) x = ( ) b) x = 4 c) x = 1 d) x = Per quale dei seguenti valori di x R il numero y = ln 3x + 1 x è reale? a) x > 0 ( ) b) x < 1 3, x > 0 c) 1 3 < x < 0 d) nessuna delle precedenti Per quali valori di x R, y = 3 + cos x cos x è reale? a) π 3 x 5 3 π b) 0 < x < π c) 1 x 3 d) per ogni x R ( ) Data la funzione y =, con x, qual è la sua funzione inversa? x a) x = y b) x = 1 y c) x = y d) x = y ( ) Data la funzione y = 1 x + 3, x 3, qual è la sua funzione inversa? 166

169 a) x = 1 y 3 b) x = 1 y + 3 ( ) c) x = 1 y d) x = y 1 y + 3 Se 3 x+1 = 7, allora x è uguale a a) 0 b) log c) log 3 7 d) log ( ) Se 5 x 1 = 10, allora x èuguale a a) 3 b) 1 + log 5 10 ( ) c) 3 d) 1 + log

170 168

171 Capitolo 5 MATEMATICA DI BASE MODULO 5 Calcolo Combinatorio Calcolo delle Probabilità 5.1 Calcolo Combinatorio Il Calcolo Combinatorio ha per oggetto lo studio delle proprietà dei diversi gruppi che si possono formare, in base a leggi assegnate, con un numero finito di dati elementi di natura qualunque. In particolare, si propone la ricerca di metodi che permettano di formare tutti questi gruppi e di calcolarne il loro numero Cenni storici Le origini di questo ramo dell Analisi risalgono a B. Pascal (Traité du triangle arithmetique) scritto nel 1654; G. W. Leibniz, al quale si deve la denominazione di Ars Combinatoria; J. Wallis; B. Frénicle de Bessy; J. Bernoulli; A. De Moivre. 169

172 5.1. Definizioni Consideriamo un insieme finito di n (n numero intero positivo!) elementi di natura qualunque che si denotano con una sola lettera munita di indice (a 1, a, a 3,..., a n ), oppure con gli indici stessi (1,, 3,..., n). I gruppi più importanti che si possono formare sono: le disposizioni, le permutazioni e le combinazioni. Le disposizioni e le combinazioni potranno essere semplici o con ripetizione Disposizioni semplici di n elementi a k a k Tutti i gruppi di k elementi distinti, tratti da un insieme di n elementi distinti, che si distinguono o per almeno un elemento o per l ordine in cui gli elementi sono considerati formano le disposizioni di n elementi a k a k e si indicano con D n,k : D n,k = n(n 1)(n ) (n k + 1) Esempio 55 Le disposizioni degli elementi dell insieme {1,, 3} a a sono e precisamente: D 3, = 3 = 6, (1, ), (1, 3), (, 1), (, 3), (3, 1), (3, ) Permutazioni di n elementi Tutti i gruppi di n elementi distinti, tratti da un insieme di n elementi distinti che si distinguono esclusivamente per l ordine in cui gli elementi sono considerati, formano le permutazioni di n elementi e si indicano con P n ; P n = D n,n = n(n 1)(n ) (n n + 1) = n(n 1) 1 = n! Esempio 56 Le permutazioni degli elementi dell insieme {1,, 3} sono e precisamente: P 3 = 3! = 6, (1,, 3), (1, 3, ), (, 1, 3), (, 3, 1), (3, 1, ), (3,, 1). 170

173 5.1.5 Inversioni sulle permutazioni Dati n elementi distinti, si fissi ad arbitrio una delle loro n! permutazioni, chiamandola permutazione principale. Si dice allora che in una permutazione qualsiasi due elementi, consecutivi o no, presentano una inversione quando in essa si seguono in ordine opposto a quello in cui si trovano nella permutazione principale. Una permutazione si dice di classe pari o di classe dispari secondo che contiene un numero pari o dispari di inversioni. Due permutazioni che appartengono ad una medesima classe, oppure a classi diverse, mantengono questa proprietà se si cambia la permutazione principale. Esempio 57 Fissata la permutazione principale (1,, 3), la permutazione (1, 3, ) è di classe dispari; la permutazione (, 3, 1) è di classe pari Combinazioni di n elementi a k a k Tutti i gruppi di k elementi distinti, tratti da un insieme di n elementi distinti che si distinguono per almeno uno degli elementi (ma non per l ordine!) formano le Combinazioni di n elementi a k a k e si indicano con C n,k ; C n,k = D n,k P k = n(n 1) (n k + 1) k! = n! k!(n k)! = ( ) n, k dove ( n k) è detto coefficiente binomiale (interviene nello sviluppo della potenza n esima di un binomio). Esempio 58 Le combinazioni degli elementi dell insieme {1,, 3} a a sono ( ) 3 C 3, = = 3 = 6,! e precisamente; (1, ), (1, 3), (, 3). 171

174 5.1.7 Proprietà del coefficiente binomiale Binomio di Newton Ad es., (a + b) 4 = ( ) 4 a ( ) ( ) n n = k n k ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + k k k 1 ( ) n = n k + 1 ( ) n k k k 1 (a + b) n = n k=0 ( ) 4 a 3 b + 1 ( ) n a n k b k k ( ) 4 a b + = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4. ( ) 4 ab ( ) 4 b 4 = 4 5. Calcolo delle probabilità, cenni storici Gerolamo Cardano (Pavia 4/9/1501, Roma 0/9/1576) è il primo intellettuale nel mondo occidentale a considerare il Calcolo delle Probabilità degno di attenzione (prima di lui esistono solo sporadici accenni ad alcuni problemi sul gioco dei dadi, come nella Summa di Luca Pacioli). Cardano raccoglie le sue riflessioni sull argomento in quello che può riguardarsi come il primo trattato della storia sul calcolo delle probabilità (Liber de ludo aleae, 154 ). Non si tratta solo di riflessioni teoriche; Cardano, di umili origini, usò nel gioco d azzardo le sue scoperte riuscendo a finanziare i propri studi alla scuola medica di Pavia. Egli ebbe chiare le quattro nozioni basilari di quella che stata poi chiamata la teoria classica della probabilità: 1. la frequenza con cui si verifica ognuno dei possibili esiti di un esperimento, non esattamente prevedibile ma ripetuto in condizioni controllate (com è il lancio di un dado), può essere prevista a priori con buona approssimazione ricorrendo ad un calcolo matematico che sfrutti accortamente le simmetrie implicite nelle modalità dell esperimento; 17

175 . il risultato di questo calcolo è un numero fra 0 e 1, definito probabilità del dato evento, che allo stesso tempo esprime il grado di fiducia che riponiamo nel verificarsi del dato evento e fornisce una buona stima della frequenza per un numero elevato di prove; 3. il passo essenziale per eseguire con successo il calcolo di una probabilità è individuare correttamente il novero degli esiti possibili equiprobabili di un dato esperimento; per esempio, nel lancio di due dadi gli esiti possibili della somma sulle due facce sono undici (, 3, 4,..., 1), ma Cardano sapeva che non si tratta di eventi equiprobabili, mentre tali sono i 36 eventi definiti dalle coppie ordinate dei risultati che compaiono sulle facce dei due dadi (1, 1), (1, ),..., (1, 6), (, 1),..., (, 6), (3, 1),..., (6, 6); 4. la probabilità di un evento è il rapporto fra il numero dei casi ad esso favorevoli e il numero totale dei casi possibili (purché tutti equiprobabili, o, meglio, egualmente possibili) Giochi di dadi e calcolo delle probabilità Intorno al 1654, uno sfaccendato francese dedito al gioco, si accorge che certi eventi, da lui ritenuti più probabili di altri, si verificano in realtà meno spesso di quanto egli si aspetta. Egli conosce un giovane di talento, Blaise Pascal (un genio precoce che a 16 anni pubblica un Trattato sulle sezioni coniche, a 18 inventa una macchina calcolatrice, intorno ai 0 pone le basi della statica dei fluidi), un genio destinato tuttavia ad un altrettanto precoce decadenza psicofisica (poco dopo i 3 anni sprofonderà nella melassa delle disquisizioni teologiche. A Pascal il nostro cavaliere invia il seguente quesito: Se si lanciano 3 dadi, è un fatto che la somma 11 tende a uscire più spesso del 1. Invece, secondo il cavaliere, i due eventi hanno le stesse chances, dal momento che entrambi si possono formare in sei soli diversi modi: 11 = = = = = = = = = = = = Allora perché l esperienza al tavolo da gioco mostra che conviene scommettere sull uscita del numero 11 piuttosto che sul 1? La risposta è semplice se si 173

176 tiene conto che la somma è commutativa e quindi, ad esempio, la combinazione può verificarsi in 6 modi diversi (tutte le possibili permutazioni), mentre la combinazione si può totalizzare in 3 modi diversi ( 6!! ), e la combinazione si può realizzare in un solo modo. Quindi, 11 si può totalizzare in = 7 modi diversi, mentre 1 si può totalizzare in = 5 modi diversi. Circa 40 anni dopo, la storia sembra ripetersi. Un altro nobile sfaccendato, dedito al gioco d azzardo, con idee ancor più erronee sul calcolo delle probabilità, ma altrettanto coscienzioso nell annotare i fatti al tavolo da gioco, un certo Samuel Pepys, noto nei circoli londinesi dell epoca, ha la fortuna di conoscere Newton, sicché nell anno 1693 gli sottopone un altro paradosso : È più facile ottenere un 6 (almeno uno) lanciando 6 dadi o due 6 (almeno due) lanciandone 1? Newton, con un calcolo semplice, diede la risposta giusta. Ma Mr. Pepys non accettò la conclusione e sfidò Newton a fornire argomenti. Allora Newton gli mostrò i calcoli, ma neanche questo servì a convincerlo; questo ci consente ancora oggi di additarlo ad esempio di testarda ottusità. A sua parziale discolpa, si deve riconoscere che questa ostinazione nel perseverare nei propri errori è tipica nell ambito del calcolo delle probabilità, la cui storia è costellata di abbagli clamorosi presi anche da personalità insigni (è recente il caso del Paradosso di Monty Hall). La maggior parte di questi errori sono dovuti o all ambiguità delle formulazioni o all incapacità di riconoscere la non equiprobabilità degli eventi elementari posti alla base del calcolo; la parte restante a fraintendimenti del significato della cosiddetta legge dei grandi numeri o alla confusione fra probabilità a priori e probabilità a posteriori. Per calcolare la probabilità di ottenere almeno un 6 lanciando 6 dadi è meglio calcolare la probabilità che non esca neanche un 6. Con un dado ci sono cinque casi su sei che non esca fuori il 6 e quindi la probabilità che non esca alcun 6 è 5. Lanciando sei dadi, trattandosi di eventi indipendenti, la 6 probabilità che non esca neanche un 6 è: ( ) 6 5 = , 6 174

177 e quindi la probabilità che esca almeno un 6 è: = La formula che fornisce questa probabilità si può scrivere anche come 6 ( ) ( ) k ( ) 6 k k 6 6 k=1 che fornisce la probabilità che esca un 6, oppure due 6,..., oppure sei 6. Analogamente, lanciando 1 dadi, la probabilità che escano almeno due 6 sarà data da: 1 ( ) ( ) k ( ) 1 k = k 6 6 k= Quindi, è più facile fare almeno un 6 con sei dadi che almeno due 6 con dodici dadi! 5.3 Teoria della probabilità Esistono vari approcci alla teoria della probabilità. Classica Definizione di probabilità di carattere aprioristico, come rapporto fra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi totali equiprobabili [P. S. Laplace, Théorie analytique des probabilités, Paris, 181]. Frequentista Definizione di probabilità basata sul concetto di frequenza relativa, cioè la probabilità di un evento ripetibile non è altro che il rapporto tra il numero di volte che l evento si è verificato diviso per il numero di esperimenti [R. von Mises, Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit, Springer-Verlag, Vienna, 1936]. Soggettivista Definizione di probabilità come misura di una opinione (simile ai ragionamenti di carattere induttivo del mondo delle scommesse) [B. De Finetti, Logos, organo della Biblioteca filosofica di Palermo, anno XIV (1931) p ]. Assiomatico Definizione assiomatica di probabilità [A. Kolmogorov, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ergebn. Math., vol, N.3, 1933]. 175

178 5.3.1 Teoria assiomatica Nella teoria assiomatica della probabilità si rinuncia all inizio a dire come calcolare la probabilità e si elencano solo le proprietà che deve avere una qualche misura di probabilità. La probabilità attinente ad un evento A è quindi un numero P (A) assegnato a questo evento. Tale numero, peraltro non meglio specificato, obbedisce ai tre seguenti postulati (assiomi): 1. P (A) 0.. La probabilità dell evento certo S : P (S) = Se A e B si escludono a vicenda P (A + B) = P (A) + P (B) Notazioni abbreviate AB corrisponde al verificarsi simultaneo di A e B (A B); A + B corrisponde al verificarsi di A o di B o di entrambi (A B); A B corrisponde al verificarsi di A ma non di B; A B corrisponde al verificarsi di A, ammesso che si sia già verificato B; A evento contrario di A (A = S A). corrisponde all evento impossibile. Corollari Dagli assiomi del calcolo delle probabilità discendono subito delle semplici conseguenze. Corollario 1 Infatti, poiché deve essere P ( ) = 0. P (A) = P (A + ) = P (A) + P ( ), P ( ) =

179 Corollario si ha: Infatti, poiché P (A) = 1 P (A). A + A = S e AA = P (A + A) = P (A) + P (A) = 1 P (A) = 1 P (A). Corollario 3 Per ogni evento A si ha: P (A) 1 Infatti, poiché deve essere P (A) = 1 P (A) 0 segue che P (A) 1. Corollario 4 Per ogni coppia di eventi A e B risulta: P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB) P (A) + P (B). Infatti: da cui segue A + B = A + AB e B = AB + AB, P (A + B) = P (A) + P (AB) e P (B) = P (AB) + P (AB); eliminando P (AB), si ottiene: P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB), da cui, essendo P (AB) 0, si ha: P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB) P (A) + P (B). 177

180 5.3.3 Probabilità condizionata Assegnato un evento M con probabilità non nulla P (M) > 0 si definisce probabilità dell evento A, condizionata dall evento M, e si indica con P (A M), il rapporto fra la probabilità dell evento AM e quella dell evento M. In formule: P (A M) = P (AM) P (M) La quantità P (A M) soddisfa gli assiomi della teoria della probabilità e cioè: 1. P (A M) [0, 1];. P (S M) = 1; 3. Se AB = allora P ((A + B) M) = P (A M) + P (B M). Dimostrazione 1. Dalla definizione di probabilità condizionata come rapporto di quantità positive si deduce che P (A M) 0;. Essendo SM = M si ha: P (S M) = P (SM) P (M) = 1; 3. P ((A + B) M) = P ((A + B)M) P (M) = = P (AM) P (M) + P (BM) P (M) Probabilità totale P (AM + BM) P (M) = = P (A M) + P (B M). P (AM) + P (BM) P (M) Dati n eventi A 1, A,..., A n tali che A i A j = i j = 1,,..., n e A 1 + A A n = S e sia B un evento arbitrario, allora: P (B) = P (B A 1 )P (A 1 ) + P (B A )P (A ) P (B A n )P (A n ). Infatti, essendo B = BS = B(A A n ) = BA BA n, (BA i )(BA j ) = i j 178

181 si può scrivere da cui, essendo si ottiene la probabilità totale. Teorema 3 Teorema di Bayes P (A i B) = P (B) = P (BA 1 ) + P (BA ) P (BA n ), P (BA i ) = P (B A i )P (A i ), P (B A i )P (A i ) P (B A 1 )P (A 1 ) + P (B A )P (A ) P (B A n )P (A n ) Essendo gli A i disgiunti a coppie e formanti un insieme completo di eventi. Infatti, dalla definizione di probabilità condizionata si ha: P (A i B) = P (A i B)P (B) = P (B A i )P (A i ) da cui si ricava che P (A i B) = P (B A i)p (A i ) P (B) e ricordando la probabilità totale si ottiene il teorema di Bayes Eventi indipendenti Due eventi A e B si dicono indipendenti se e solo se: da cui segue che P (AB) = P (A)P (B) P (A B) = P (A); P (B A) = P (B). 5.4 Paradossi nel calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità fornisce semplici esempi di risultati paradossali e controintuitivi. Due classici esempi sono forniti dal problema del compleanno e dal problema di Monthy Hall Paradosso del compleanno Ad una festa (in cui non ci sono 4 gatti, ma neanche tantissime persone) conviene scommettere sul fatto che ci sono almeno due persone che fanno il compleanno lo stesso giorno? 179

182 Il problema collegato a questa scommessa prende il nome di paradosso del compleanno, posto nel 1939 da Richard von Mises. Il paradosso afferma che la probabilità che almeno due persone in un gruppo compiano gli anni lo stesso giorno è largamente superiore a quanto potrebbe dire l intuito: infatti già in un gruppo di 3 persone la probabilità è circa 0.51; con 30 persone essa supera 0.70, con 50 persone tocca addirittura 0.97, anche se per arrivare all evento certo occorre considerare un gruppo di almeno 367 persone (per il principio dei cassetti e la possibilità di anni bisestili: se abbiamo n cassetti ed n + 1 oggetti, almeno due oggetti devono stare nello stesso cassetto!). Per effettuare il calcolo, usiamo la formula per la probabilità degli eventi indipendenti: per rendere più semplice il calcolo assumiamo che gli anni siano tutti di 365 giorni e che i compleanni siano equiprobabili, anche se ciò non è esatto. Aggiungere il giorno bisestile peggiora leggermente la probabilità, ma in compenso il fatto che i compleanni non siano equiprobabili la alza. Il modo più semplice per calcolare la probabilità P (n) che ci siano almeno due persone appartenenti ad un gruppo di n persone che compiano gli anni lo stesso giorno è calcolare dapprima la probabilità P 1 (n) che ciò non accada. Data una qualunque persona del gruppo (indipendentemente dalla data del suo compleanno), vi sono 364 casi su 365 in cui il compleanno di una seconda persona avvenga in un giorno diverso; se si considera una terza persona, ci sono 363 casi su 365 in cui compie gli anni in un giorno diverso dalle prime due persone e così via. Esprimendo in formule quanto sopra, la probabilità che tutti i compleanni cadano in date diverse è: P 1 (n) = (n 1) = 365! 365 n (365 n)!. L evento che ci interessa ha quindi probabilità P (n) = 1 365! 365 n (365 n)!. Nella seguente tabella calcoliamo il valore di P (n) per vari valori di n: 180

183 n P (n) (%) Problema di Monty Hall Il problema di Monty Hall è un famoso problema di teoria della probabilitè, legato al gioco a premi americano Let s Make a Deal. Prende il nome da quello del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall. Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad una si trova un automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l ha ancora aperta, il conduttore dello show, che conosce ciò che si trova dietro ogni porta, apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre 181

184 al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all unica porta restante. Che fare? Cambiare porta migliora le possibilità del giocatore di vincere l automobile? La risposta è contrariamente all intuizione, sì: infatti, cambiando porta, le probabilità di successo raddoppiano passando da 1 3 a 3. Il problema è anche noto come paradosso di Monty Hall, poiché la soluzione può apparire controintuitiva, sebbene non si tratti di una vera antinomia, non generando nessuna contraddizione logica. La seguente figura mostra in maniera semplice perché conviene cambiare porta. 5.5 Esercizi svolti Calcolo combinatorio 1. In quanti modi si possono sedere 6 persone nei 6 posti di uno scompartimento ferroviario? Svolgimento. La prima persona può scegliere uno qualunque dei 6 posti, la seconda uno qualunque dei 5 posti rimanenti, la terza uno qualunque dei 4 posti rimanenti, e così via. Dunque il numero dei modi in cui si possono sedere le 6 persone nei 6 posti è dato dalle permutazioni di 6 elementi: 6! =

185 . Calcolare quanti anagrammi (anche senza significato) si possono formare con la parola CASSA. a) 10 b) 30 (*) c) 480 d) nessuna delle risposte precedenti Svolgimento. Se tutte le lettere fossero distinte i possibili anagrammi sarebbero le permutazioni di 5 elementi, P 5 = 5! = 10. Poiché ci sono lettere ripetute, una permutazione di lettere ripetute non cambia l anagramma; bisogna quindi dividere le permutazioni di 5 elementi per le permutazioni di elementi (per la lettera A ripetuta due volte) e per le permutazioni di elementi (per la lettera S ripetuta due volte). Il risultato è quindi P 5 = 5! P P!! = 10 = Tra tutti i numeri di 10 cifre diverse tra loro, quanti sono quelli le cui prime 5 cifre sono dispari? Svolgimento. Poiché le cifre sono tutte diverse e le prime 5 sono dispari, le ultime 5 cifre devono essere pari. Tutti i possibili gruppi di 5 cifre dispari sono 5! e così tutti i possibili gruppi di 5 cifre pari. Dunque, la risposta è 5! 5! = Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA? Svolgimento. Le permutazioni di 10 elementi sono 10!. Poiché ci sono delle lettere ripetute (3 A, M e T ) il numero di anagrammi è 10! 3!!! = = In un autobus vi sono 1 posti numerati. In quanti modi diversi 5 persone possono occuparli? Svolgimento. La prima persona può scegliere uno qualunque dei 1 posti, la seconda uno qualunque degli 11 posti rimanenti,..., la quinta 183

186 persona uno qualunque degli 8 posti rimanenti. La risposta è quindi data dalle disposizioni di 1 elementi a 5 a 5: D 1,5 = = Tra tutti i numeri di 3 cifre, tutte dispari e diverse tra loro, quanti sono i multipli di 5? Svolgimento. I numeri di 3 cifre con le cifre dispari e diverse tra loro sono = 60. Infatti, la prima cifra può essere scelta in 5 modi diversi, la seconda cifra in 4 modi diversi e l ultima cifra in 3 modi diversi. I multipli di 5 sono quelli che hanno l ultima cifra uguale a 5. Dunque, la prima cifra può essere scelta in 4 modi diversi e la seconda in 3 modi diversi (la cifra 5 è vincolata ad essere l ultima cifra). La risposta è quindi 4 3 = Quanti ambi, terni, quaterne si possono formare con i novanta numeri del lotto? Svolgimento. Il numero di ambi diversi sono le combinazioni di 90 elementi a a, il numero di terni le combinazioni di 90 elementi a 3 a 3, il numero di quaterne le combinazioni di 90 elementi a 4 a 4: ( ) 90 C 90, = = 4005, Numero di ambi; ( ) 90 C 90,3 = = , Numero di terni; 3 ( ) 90 C 90,4 = = , Numero di quaterne Dodici amici, dopo una cena, si salutano ed ognuno di essi stringe la mano a tutti gli altri. Quante sono le strette di mano? Svolgimento. La risposta è data dalle combinazioni di 1 elementi a a : ( ) 1 C 1, = = Si mescolano 10 carte e se ne distribuiscono 5 al giocatore A e 5 al giocatore B. In quanti modi diversi può avvenire la distribuzione? 184

187 Svolgimento. Le combinazioni di 10 elementi a 5 a 5 caratterizzano le carte che riceve il giocatore A; le carte che rimangono sono del giocatore B. La distribuzione può quindi avvenire in ( ) 10 C 10,5 = = 5 5 modi diversi. 10. Si mescolano 1 carte e se ne distribuiscono 3 al giocatore A, 3 a B, 3 a C e 3 a D. In quanti modi diversi può avvenire la distribuzione? Svolgimento. Le combinazioni di 1 elementi a 3 a 3 caratterizzano le carte che riceve il giocatore A, le combinazioni di 9 elementi 3 a 3 le carte che riceve il giocatore B, le combinazioni di 6 elementi a 3 a 3 le carte che riceve il giocatore C. Al giocatore D vanno le carte rimanenti. La distribuzione può quindi avvenire in modi diversi. C 1,3 C 9,3 C 6,3 = ( ) 1 3 ( ) 9 3 ( ) 6 = In quanti modi diversi si possono sistemare in una fila di sedie 5 ragazzi e 6 ragazze, con la condizione che i ragazzi stiano tutti vicini tra loro così come anche le ragazze? a) 5! 6! (*) b) C 11, c) D 11, d) 11! Svolgimento. Il numero di modi di sistemazione dei 5 ragazzi è dato dalle permutazioni di 5 elementi, mentre il numero di modi di sistemazione dei 6 ragazzi è dato dalle permutazioni di 6 elementi. INfine, poiché si possono sistemare prima i ragazzi e poi le ragazze, o viceversa, il numero dei modi di sistemazione dei 5 ragazzi e delle 6 ragazze è quindi P 5 P 6 = 5! 6! = =

188 1. Quante stringhe diverse di 10 lettere si possono costruire anagrammando la parola PIANOFORTE (si è interessati a tutti gli anagrammi a prescindere dal fatto che si abbia un significato) a) 10! b) 10! 3! c) 10!! ( ) d) nessuna delle risposte precedenti Svolgimento. Se tutte le lettere fossero distinte i possibili anagrammi sarebbero le permutazioni di 10 elementi, P 10 = 10! = Poiché ci sono due O ripetute, bisogna dividere per le permutazioni di elementi. Il risultato è quindi P 10 = 10! P! = = Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli di cui il primo è una lettera dell alfabeto italiano e il secondo è una cifra da 0 a 7? a) 1 7 b) 9 c) 168 ( ) d) 15 Svolgimento. Il primo simbolo si può scegliere in 1 modi diversi e il secondo in 8 modi diversi. Le possibili targhe sono quindi 1 8 = palline rosse, bianche, 3 azzurre devono essere sistemate in fila, se tutte le palline dello stesso colore sono indistinguibili, quante sistemazioni sono possibili? a) 5!! 3! b) D 10,5 186

189 c) 10! d) 10! 5!! 3! ( ) Svolgimento. In tutto si hanno 10 palline che possono essere sistemate in 10! modi diversi. Poiché le palline dello stesso colore sono indistinguibili, bisogna dividere tale numero per 5!! 3!. La risposta è quindi 10! 5!! 3! = Calcolo delle probabilità 1. Qual è la probabilità di fare ambo, terno, quaterna e cinquina in una estrazione del lotto? Svolgimento. Il numero di possibili giocate è ( ) 90 C 90,5 = = Poiché si giocano 5 numeri, il numero possibile di giocate con un ambo sono C 88,3 = La probabilità di fare un ambo è quindi C 88,3 = C 90, = 801 Analogamente, la probabilità di fare terno è = C 87, C 90,5 = = = , la probabilità di fare quaterna è 86 C 90,5 = e la probabilità di fare cinquina è = = , 1 C 90,5 = = , 187

190 . Giocando a poker con 3 carte, qual è la probabilità di vedersi servire un poker d assi? Svolgimento. Tutte le combinazioni di 5 carte estratte da 3 sono ( ) 3 C 3,5 = = Tutte le combinazioni di poker d assi sono 8: 4 assi e una carta qualunque tra le rimanenti 8. Dunque, la probabilità di vedersi servire un poker d assi è = Si lanciano 10 monete. Qual è la probabilità che escano 5 teste? Svolgimento. Gli esiti possibili sono le 10 = 104 stringhe di 10 simboli scelti nell insieme {T, C}. Di queste, le stringhe che contengono 5 teste sono ( ) 10 = 5. 5 Infatti, c è una sola stringa con 10 T, 10 = ( ) 10 1 stringhe con 9 T, 45 = ( ) ( 10 stringhe con T,..., 10 ) k stringhe con k T. La probabilità è quindi ( 10 ) 5 5 = = = Si lancia due volte un dado. Calcolare la probabilità che nei due lanci si presenti la stessa faccia. Svolgimento. Nel primo lancio la faccia che esce non è importante. Nel secondo lancio una sola faccia garantisce il successo. Dunque, la probabilità è Calcolare la probabilità che lanciando 4 volte una coppia di dadi si realizzi, almeno una volta, il doppio sei. Svolgimento. La probabilità che in un lancio si presenti il doppio sei è p = 1 35 mentre la probabilità che non esca il doppio sei è q = Per semplicità di calcolo conviene calcolare la probabilità dell evento complementare, cioè che nei quattro lanci non esca mai il doppio sei. 188

191 Poiché i quattro lanci sono eventi indipendenti, la probabilità che nei quattro lanci non esca mai il doppio sei è: ( ) 4 35 = Dunque, la probabilità che esca nei quattro lanci almeno un doppio sei è ( ) = studenti su 10 vengono esaminati dal docente gli altri dall assistente. La probabilità di superare l esame sono 0.6 e 0.8 rispettivamente. Uno studente ha superato l esame. Qual è la probabilità che sia stato esaminato dal docente? Svolgimento. Se A è l evento esame, B è l evento esame sostenuto con il docente, e C l evento esame sostenuto con l assistente, si ha: P (A B) = 0.6, P (B) = 0.4, P (A C) = 0.8, P (C) = 0.6. Applicando il teorema delle probabilità totali, si ha: P (A) = P (A B) P (B) + P (A C) P (C) = = = Un urna contiene venti palline numerate da 1 a 0. Si estrae una pallina. Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 5 o di 7: a) 0.3 (*) b) 0.4 c) 0.1 d) nessuna delle precedenti risposte Svolgimento. I multipli di 5 sono 4 (5, 10, 15 e 0), mentre i multipli 6 di 7 sono (7 e 14). La probabilità è quindi = 3 = Su 65 alunni di un istituto 5 sono iscritti al centro sportivo e 150 seguono un corso di informatica. Calcolare la probabilità che un alunno sia iscritto al centro sportivo o al corso di informatica nell ipotesi che nessun alunno svolge entrambe le attività: 189

192 a) 0.36 b) 0.4 c) 0.6 (*) d) 0.1 Svolgimento. Poiché nessun alunno svolge entrambe le attività, il numero di alunni che svolge almeno un attività è = 375. La probabilità che un alunno svolga almeno un attività è quindi = 3 5 = Qual è la probabilità di estrarre un asso oppure un 10 di cuori oppure un di picche da un mazzo di 5 carte? a) 3 5 b) 3 6 ( ) c) 3 13 d) nessuna delle risposte precedenti Svolgimento. I casi favorevoli sono 6 (4 assi, il 10 di cuori e il di 6 picche) su un totale di 5 casi. La probabilità è quindi, cioè quella 5 della risposta b). 10. In un urna vi sono 8 palline bianche e 7 nere. Quante palline nere devo aggiungere affinché la probabilità di estrarre una pallina bianca scenda a 0, 4? a) 8 15 b) 7 c) 5 ( ) d)

193 Svolgimento. Il numero x di palline nere da aggiungere perché la probabilità di estrarre una pallina bianca sia pari a 0.40 è tale da soddisfare la seguente condizione: 8 x + 15 = 4 10, da cui si ricava che deve essere x = 5, cioè la risposta c). 11. Si effettuano due lanci di una moneta. Qual è la probabilità che si presenti testa almeno una volta? a) b) c) d) ( ) Svolgimento. I risultati possibili dei due lanci sono TT, TC, CT e CC ; in tre casi su quattro si presenta almeno una volta T e quindi la risposta esatta è la c). 5.6 Esercizi proposti Calcolo combinatorio Ad una gara partecipano 0 concorrenti. In quanti modi potrebbe essere formata la classifica finale dei 0 concorrenti? a) C 0, b) D 0, c) 0! 19! d) 0! (*) Quante partite di scacchi diverse possono essere giocate da sei giocatori? a) 6! 191

194 b) D 6, c) 6 d) C 6, ( ) In quanti modi si possono trovare disposte le carte di un mazzo da 40? a) 5! b) 40! ( ) c) d) nessuna delle risposte precedenti Quante stringhe diverse di 1 lettere si possono costruire anagrammando la parola CALTANISETTA (si è interessati a tutti gli anagrammi a prescindere dal fatto che si abbia un significato) a) 1! b) 1! 3! 3! c) 1!! 3! d) nessuna delle risposte precedenti ( ) 7 palline rosse, 5 bianche, 4 azzurre devono essere sistemate in fila, se tutte le palline dello stesso colore sono indistinguibili, quante sistemazioni sono possibili? a) 7! 5! 4! b) 16! 7! 5! 4! c) 16! ( ) d) D 16,5 Si consideri una data estrazione in una determinata ruota del lotto. Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90. a) C 88,3 ( ) b) D 90,5 19

195 c) C 90,5 d) D 88,3 L alfabeto italiano contiene 16 consonanti e 5 vocali. Quante stringhe di 6 lettere si possono formare con lettere tutte diverse in modo tale che contengano a e b? a) C 6, D 19,4 b) D 19,4 c) C 19,4 0 0 d) C 6, ( ) Quattro giocatori di tennis vogliono giocare un doppio. Quante coppie distinte si possono formare? a) C 4, ( ) b) D 4, c) C4, r d) 4!! In quanti modi diversi possono essere collocati in una libreria 7 libri scelti tra 0? a) 0! 7! b) D 0,7 ( ) c) 7 0 d) C 0,7 Quante stringhe diverse di 7 lettere si possono costruire anagrammando la parola MESSINA (si è interessati a tutti gli anagrammi a prescindere dal fatto che si abbia un significato) a) 50 ( ) b) 7! c) 7!! d) 5 193

196 Supponiamo che il menu di un ristorante consista di 5 antipasti, 6 primi, 6 secondi e 4 dolci: quanti pasti completi (di quattro piatti) possiamo ordinare? a) C 1,4 b) D 1,4 c) 70 ( ) d) 5! 6! 6! 4! Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli di cui il primo è una lettera dell alfabeto italiano e il secondo è una cifra da 0 a 9? a) 31 b) 189 c) 00 d) 10 ( ) 5.6. Calcolo delle probabilità Qual è la probabilità di estrarre un asso oppure un 10 da un mazzo di 5 carte? a) /13 ( ) b) /5 c) 5/5 d) nessuna delle risposte precedenti Un urna contiene 10 palline bianche, 15 nere, 0 blu e 5 rosse. Qual è la probabilità che una pallina estratta sia bianca, nera o blu: a) 5/14 b) 9/14 ( ) c) 1/ d) nessuna delle risposte precedenti 194

197 Un urna contiene 1 palline numerate da 1 a 1. Si estrae una pallina. Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 3 o di 7. a) 0, 4 b) 1/10 c) 1/4 d) 5/1 ( ) Un urna contiene 15 palline numerate da 1 a 15. Si estrae una pallina. Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 4 o 5. a) 0, 4 b) /3 ( ) c) 6/5 d) nessuna delle risposte precedenti Un urna contiene 0 palline numerate da 1 a 0. Si estrae una pallina. Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 4 o 5. a) 0, 4 ( ) b) 1 10 c) 1 4 d) 1 5 Si estragga un numero della tombola (da 1 a 90). Qual è la probabilità che sia un multiplo di 7? a) b) c) d) ( ) 195

198 Un urna contiene 10 palline bianche, 15 nere, 0 blu e 5 rosse. Qual è la probabilità che una pallina estratta sia bianca o nera? a) b) c) d) ( ) 196