Introduction to Econometrics - (Gretl Lab 2)

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1 Introduction to Econometrics - (Gretl Lab 2) Roberto Casarin Ca Foscari Summer School Venice, July 11, 2012

2 Introduzione Analisi dei residui Abbiamo discusso delle assunzioni alla base del modello di regressione e delle proprietà di cui godono gli stimatori OLS sotto queste assunzioni. In questa lezione vediamo come verificare che le ipotesi sui termini di errore siano rispettate nel campione di dati in esame. Normalità dei residui (test JB) Eteroschedasticità (Goldfeld-Quandt, Breusch-Pagan, White, ARCH-LM) Autocorrelazione (Breusch-Godfrey, Durbin-Watson, Box-Pierce, Lijung-Box) Corretta specificazione (AIC, BIC, RESET) Stabilità del modello (Chow, CUSUM) Capitoli 6 ed 8.

3 Eteroschedasticità Eteroschedasticità

4 Eteroschedasticità Motivazioni Quando è presente eteroschedasticità nelle serie gli stimatori ML e FWLS sono più efficienti rispetto allo stimatore OLS. Ma si perde efficienza se applichiamo ML e FWLS quando in realtà la serie è omoschedastica. Vediamo quindi alcuni test diagnostici per verficare l ipotesi di omoschedasticità: Goldfeld-Quandt, ARCH, Breusch-Pagan e White.

5 Eteroschedasticità-GQ Goldfeld-Quandt test Richiede che i dati siano ordinati in modo che la varianza dei termini di errore sia non descrescente. L ipotesi nulla è varianza costante per tutte le osservazioni contro l alternativa che la varianza cresca. Per verificare questa ipotesi il campione ordinato è diviso in tree gruppi. Il primo costitutito dalla prime T 1 osservazioni ha varianza σ1 2 il secondo costituito dalle ultime T 2 osservazioni ha varianza σ2 2 ed il sottocampione rimanente di dimensione T 3 = T T 1 T 2 escluso dall analisi. H 0 : σ 2 2 = σ 2 1 (1) H 0 : σ 2 2 > σ 2 1 (2)

6 Eteroschedasticità-GQ Siano RSS 1 ed RSS 2 la somma del quadrato dei residui della regressione OLS rispettivamente nel primo e nel secondo sottocampione e s 2 1 = RSS 1/(T 1 k) ed s 2 2 = RSS 2/(T 2 k) le corrispondenti varianze. Allora la seguente statistica test F = RSS 2/((T 2 k)σ 2 2 ) RSS 1 /((T 1 k)σ 2 1 ) = s2 2 /σ2 2 s 2 1 /σ2 1 (3) sotto l ipotesi nulla H 0 (e sotto le ipotesi OLS) diventa F = s 2 2 /s2 1 e si distribuisce come una F T2 k,t 1 k. L ipotesi nulla è rifiutata in favore dell alternativa per valori elevati di F. Non esiste una regola generale per la scelta del numero di osservazioni T 3 da escludere, ma osserviamo che se il cambiamento di varianza è in corrispondenza di una punto di rottura strutturale allora è ottimale scegliere due sottocampioni e quindi T 3 = 0. Se c e una variazione non improvvisa si esclude generalmente T 3 = n/5 per campioni piccoli e T 3 = n/3 per campioni grandi.

7 Eteroschedasticità-LR Likelihood-ratio test Alcune volte i dati possono essere separati in più gruppi dove la varianza è assunta costante nei gruppi e diversa tra gruppi distinti. Se ci sono G gruppi con varianza σ 2 j, e numerosità campionaria n j, con j = 1,...,G, sotto l ipotesi nulla con alternativa che la statistica test H 0 : σ 2 1 = σ2 2 =... = σ2 G (4) G LR = T log(sml 2 ) T j log(sj,ml 2 ) (5) si distribuisce asintoticamente come χ 2 (G 1), dove s 2 ML = u u/n è la varianza stimata su tutto il campione di dati e s 2 j,ml = u j u j/n j è la varianza stimata sul gruppo j-esimo. j=1

8 Eteroschedasticità-BP Breusch-Pagan (LM) test Il test Breusch-Pagan è basato su un modello di eteroschedasticità del tipo σ 2 t = h(z t γ) con z t = (1,z 2t,...,z pt ) set di variabili che spiegano le differenze di varianza tra le osservazioni. L ipotesi nulla di varianza costante corrisponde a p 1 restrizioni sui parametri, il test corrisponde al test LM LM = con θ = (β,γ ) e ( ) L ( ( )) L 1 ( ) L E θ θ θ θ (6) L(β,γ) = n 2 log(2π) 1 2 T log(h(z tγ)) 1 2 t=1 T t=1 (y t x t β)2 h(z tγ) (7) (Nota 1: legame con ML, WLS e 2SFWLS o FWLS iterati. Nota 2: modelli moltiplicativi e additivi per σ 2 t).

9 Eteroschedasticità-BP Per valutare il test dovremmo calcolare il gradiente e l Hessiano della verosimiglianza del modello senza vincoli e poi valutare la statistica LM in corrispondenza dei parametri stimati sotto l ipotesi nulla. Si può dimostrare che questo equivale alla seguente costruzione del test 1 : stima OLS: y = Xβ +u e calcolo dei residui û = y X ˆβ 2 : Regressione ausiliaria: û 2 t = γ 0 +γ 1 z 2t +...+γ p 1 z pt +e t e calcolo di R 2 3 : LM = TR 2. LM è distribuito asintoticamente come una χ 2 (p 1) sotto l ipotesi nulla di omoschedasticità

10 Eteroschedasticità-W White test Il vantaggio del test Breusch-Pagan è che la funzione h sulla forma funzionale della varianza può essere non specificata. Comunque è necessario conoscere quali sono le variabili z t che influenzano la varianza. Se le variabili sono non note allora si possono utilizzare le variabili esplicative: x 2t,...,x kt e x2t 2,...,x2 kt, in tal caso p = 2k 2. Il test LM con questa particolare scelta delle variabili esplicative è detto test di White (senza cross term ). Una estensione è il test di White con termini incrociati: x jt x is con j i.

11 Eteroschedasticità-ARCH Test ARCH LM Anche il test ARCH è un test LM che è fondato su una struttura di eteroschedasticità del tipo ARCH(q) (Autoregressive Conditional Heteroschedasticity di ordine q): σ 2 t = γ 0 +γ 1 u 2 t γ qu 2 t q. Il test LM si costruisce con i seguenti passi 1 : stima OLS: y = Xβ +u e calcolo dei residui û = y X ˆβ 2 : Regressione ausiliaria: û 2 t = γ 0 +γ 1 û 2 t γ qû 2 t q +e t e calcolo di R 2 3 : LM = TR 2. LM è distribuito asintoticamente come una χ 2 (q) sotto l ipotesi nulla di omoschedasticità

12 Eteroschedasticità - Esempio 1 Esempio 1 Consideriamo dati cross section sul salario dei dipendenti di 474 banche. Ci sono tre categorie di lavoratori: custodi, manager e amministrativi. Consideriamo il seguente modello di regressione y i = β 1 +β 2 x 2i +β 3 x 3i +β 4 x 4i +β 5 D 2i +β 6 D 3i +u i (8) y i : log of the salary x 2i : education x 3i : gender (dummy, 1 se maschio, 0 femmina) x 4i : minority (dummy, 1 se minoranza e 0 altrimenti) D 2i : dummy (1 lavoro come custode, 0 altrimenti) D 3i : dummy (1 lavoro come manager, 0 altrimenti) con i = 1,...,n.

13 Eteroschedasticità - Esempio 1 Model 1: OLS, using observations Dependent variable: LOGSALARY Coefficient Std. Error t-ratio p-value const EDUC GENDER MINORITY DUMJCAT DUMJCAT Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R Adjusted R F(5, 468) P-value(F) 7.9e 143 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn

14 Eteroschedasticità - Esempio 1 12 Y = X LOGSALARY versus JOBCAT (with least squares fit) 11.5 LOGSALARY JOBCAT

15 Eteroschedasticità - Esempio resid JOBCAT

16 Eteroschedasticità - Esempio 1 Test Goldfeld-Quandt Dallo scatter plot dei residui contro la variabile di comodo JOBCAT osserviamo che la varianza dei residui varia a seconda della categoria. Osserviamo che i tre sottocampioni sono: 363 JOBCAT=1, 27 JOBCAT=2 e 84 JOBCAT=3. Ora consideriamo tre modelli di regressione distinti per i tre sottocampioni. Ovviamente esclusiamo le due varibili dummy D 2i e D 3i. Per il sottocampione in cui JOBCAT=2 escludiamo GENDER dato che nel sottocampione ci sono solo maschi. Osserviamo dai seguenti risultati che la seconda regressione non è significativa (test F), probabilmente anche a causa dei pochi dati. Quindi escludiamo il secondo sottocampione e testiamo l ipotesi che σ1 2 = σ2 2 contro l alternativa σ2 2 > σ2 1 utilizzando la satistica F = (s2 2/s2 1 ) = ( / )2 = che ha distribuzione F 84 4, Il p-value è pari a quindi rifiutiamo l ipotesi nulla.

17 Eteroschedasticità - Esempio 1 Test Goldfeld-Quandt Utilizziamo Sample>Restrict, based on criterion... per determinare i diversi sottocampioni Utilizziamo Tools>p-value finder>f... per trovare il p-value associato al valore della statistica test

18 Eteroschedasticità - Esempio 1 Model 3: OLS, using observations Dependent variable: LOGSALARY Coefficient Std. Error t-ratio p-value const EDUC GENDER MINORITY Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R Adjusted R F(3, 359) P-value(F) 4.63e 42 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn

19 Eteroschedasticità - Esempio 1 Model 4: OLS, using observations 1 27 Dependent variable: LOGSALARY Coefficient Std. Error t-ratio p-value const EDUC MINORITY Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R Adjusted R F(2, 24) P-value(F) Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn

20 Eteroschedasticità - Esempio 1 Model 5: OLS, using observations 1 84 Dependent variable: LOGSALARY Coefficient Std. Error t-ratio p-value const EDUC GENDER MINORITY Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R Adjusted R F(3, 80) P-value(F) 1.56e 06 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn

21 Eteroschedasticità - Esempio 1 Model 9: OLS, using observations Dependent variable: sq resid Coefficient Std. Error t-ratio p-value const DUMJCAT DUMJCAT Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R Adjusted R F(2, 471) P-value(F) Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn

22 Eteroschedasticità - Esempio 1 Breusch-Pagan Vogliamo verificare la seguente struttura di eteroschedasticità (modello moltiplicativo): σ 2 i = e γ 0+γ 1 D 2i +γ 2 D 3i. Il primo passo della procedura consiste nel regredire il guadrato dei residui (attenzione non il logaritmo del quadrato!) sulle due varibili dummy ottenendo R 2 = (vedi figura pagina precedente). Da cui LM = = che sotto l ipotesi nulla γ 1 = γ 2 = 0 ha distribuzione χ 2 (3 1). Il p-value è pari a Quindi rifiutiamo l ipotesi nulla.

23 Eteroschedasticità - Esempio 1 Test LR Dividendo il campione in tre gruppi in funzione del valore dalla variabile JOBCAT otteniamo per i tre sottocampioni: s1 2 = , s2 2 = e s3 2 = Da cui otteniamo s1,ml 2 = = , 27 3 = s2,ml 2 s3,ml 2 27 = e 84 4 = = Osserviamo inoltre che s 2 1 = e quindi s 2 ML = = La statistica test: LR = 474 log(0.0377) 363 log(0.0350) 27 log(0.0045) 84 log(0.0493) = 61.2, sotto l ipotesi nulla, ha distribuzione asintotica χ 2 (3 1). Il p-value è pari a 0. Quindi l ipotesi di omoschedasticità è rifiutata.

24 Eteroschedasticità - Esempio 1 White Il test di White senza cross-products e con cross-products porta a rifiutare l ipotesi nulla di omoschedasticità con p-values pari a e rispettivamente (vedi figure seguenti).

25 Eteroschedasticità - Esempio 1 Dependent variable: uhat 2 Coefficient Std. Error t-ratio p-value const EDUC GENDER MINORITY DUMJCAT DUMJCAT sq EDUC e Unadjusted R-squared = Test statistic: TR 2 = , with p-value = P(Chi square(6) > ) =

26 Eteroschedasticità - Esempio 1 Dependent variable: uhat 2 Omitted due to exact collinearity: X3 X5 Coefficient Std. Error t-ratio p-value const EDUC GENDER MINORITY DUMJCAT DUMJCAT sq EDUC X 2 X X 2 X X 2 X X 2 X X 3 X X 3 X X 4 X X 4 X Unadjusted R-squared = Test statistic: TR 2 = , with p-value = P(Chi square(14) > ) =

27 Eteroschedasticità - Esempio 2 Esempio 2 Sia y t il tasso di rendimento delle obbligazioni con rating AAA e sia x t il tasso di rendimento dei titoli di stato (Treasury Bill) a 3-mesi, rilevati mensilemente tra gennaio 1950 e dicembre Vogliamo stimare y t = α+β x t +u t (9)

28 Eteroschedasticità - Esempio 2 Model 1: OLS, using observations 1948: :12 (T = 623) Dependent variable: DAAA Coefficient Std. Error t-ratio p-value const DUS3MT Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R Adjusted R F(1, 621) P-value(F) 2.66e 64 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn ˆρ Durbin Watson

29 Eteroschedasticità - Esempio Regression residuals (= observed - fitted DAAA) residual

30 Eteroschedasticità - Esempio usq

31 Eteroschedasticità - Esempio 2 1 DUS3MT versus DAAA (with least squares fit), sub-sample: 1948: :12 Y = X 0.5 DUS3MT DAAA

32 Eteroschedasticità - Esempio DUS3MT versus DAAA (with least squares fit), sub-sample 1975: :12 Y = X 1 DUS3MT DAAA

33 Eteroschedasticità - Esempio 2 Vogliamo verificare l ipotesi di omoschedasticità, utilizzando i seguenti modelli di eteroschedasticità i σ 2 t = σ2 ( x t ) 2 (White) ii σ 2 t = γ 1 +γ 2 u 2 t (ARCH LM) iii σ 2 t = γ 1 +γ 2 x t (Breusch-Pagan LM) iv σ 2 t = γ 1 +γ 2 D t, (D t = 1 se t > 1974 : 12) (Breusch-Pagan LM)

34 Eteroschedasticità - Esempio 2 White s test for heteroskedasticity OLS, using observations 1948: :12 (T = 623) Dependent variable: uhat 2 Coefficient Std. Error t-ratio p-value const e-016 DUS3MT e sq DUS3MT Unadjusted R-squared = Test statistic: TR 2 = , with p-value = P(Chi square(2) > ) =

35 Eteroschedasticità - Esempio 2 Test for ARCH of order 2 Coefficient Std. Error t-ratio p-value alpha(0) e-07 alpha(1) e-05 alpha(2) e-08 Null hypothesis: no ARCH effect is present Test statistic: LM = with p-value = P(Chi square(2) > ) = e-013

36 Eteroschedasticità - Esempio 2 Breusch-Pagan test for heteroskedasticity OLS, using observations 1948: :12 (T = 623) Dependent variable: scaled uhat 2 Coefficient Std. Error t-ratio p-value const e-019 DUS3MT Explained sum of squares = Test statistic: LM = , with p-value = P(Chi square(1) > ) =

37 Eteroschedasticità - Esempio 2 Breusch-Pagan test for heteroskedasticity Model 2: OLS, using observations 1948: :12 (T = 623) Dependent variable: usq1a Coefficient Std. Error t-ratio p-value const du Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R Adjusted R F(1, 621) P-value(F) 8.27e 11 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn ˆρ Durbin Watson

38 Eteroschedasticità - Esempio 2 Il test White, ARCH-LM e Breusch-Pagan (iii) portanto a rigettare l ipotesi nulla di omoschedasticità (vedi p-value). Per il test di Breusch-Pagan (iv) osserviamo che LM = nr 2 = = che sotto l ipotesi nulla si distribuisce come una χ 2 (1). Il p-value è pari a 0. Quindi rigettiamo l ipotesi nulla di omoschedasticità. Confrontiamo ora gli effetti dei tre modelli di eteroschedasticità sui residui e vediamo come utilizzare uno dei modelli di eteroschedasticità per ottenere una stima 2SFWLS.

39 Eteroschedasticità - Esempio 2 Esempio: regimi di volatilità (variabile dummy) e stima 2SFWLS stima OLS y t = α+β x t +u t generiamo la serie σ 2 t = û 2 t (denominata usq1) costruiamo il modello di regressione ausiliario: σ 2 t = γ 1 +γ 2 D t +ε t, (Add>time trend e poi Add>define new variable> du80=time>380) determiniamo i fitted ˆσ 2 t e li salviamo con nome yhat8 Definiamo i pesi 1/ˆσ t Add>define new variable> sigmainv=1/sqrt(yhat8) stima WLS con pesi 1/ˆσ t Models>Other Linear Models>Weighted Least Squares...

40 Eteroschedasticità - Esempio 2 Model 8: OLS, using observations 1948: :12 (T = 623) Dependent variable: usq1 Coefficient Std. Error t-ratio p-value const du Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R Adjusted R F(1, 621) P-value(F) 2.26e 14 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn ˆρ Durbin Watson

41 Eteroschedasticità - Esempio fitted actual Actual and fitted usq1 0.8 usq

42 Eteroschedasticità - Esempio 2 Model 9: WLS, using observations 1948: :12 (T = 623) Dependent variable: DAAA Variable used as weight: sigmainv Coefficient Std. Error t-ratio p-value const DUS3MT Statistics based on the weighted data: Sum squared resid S.E. of regression R Adjusted R F(1, 621) P-value(F) 5.10e 57 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn ˆρ Durbin Watson Statistics based on the original data:

43 Eteroschedasticità - Esempio 2 Confronto: WLS è più efficiente di OLS quando gli errori sono eteroschedastici. Si veda anche il p-value dell intercetta. WLS Coefficient Std. Error t-ratio p-value const DUS3MT OLS Coefficient Std. Error t-ratio p-value const DUS3MT

44 Autocorrelazione Autocorrelazione

45 Autocorrelazione Una delle assunzioni del modello di regressione è che i termini di errore siano indipendenti. E quindi necessario verificare che i residui di una regressione siano indipendenti attraverso dei test (Durbin-Watson, Bresusch-Godfrey, Box-Pierce e Ljiung-Box). In particolare diremo che i termini di disturbo del modello di regressione y t = x tβ +u t (10) sono serialmente correlati se esistono s t tali che E(u t,u s ) 0. In questo caso la matrice di varianza covarianze di u non è diagonale. Questo significa che y t ed y s oltre ai regressori hanno in comune altri elementi e che il modello di regressione dato sopra con le ipotesi OLS viste a lezione non è soddisfacente.

46 Autocorrelazione Potrebbe trattarsi di problemi di omissione di variabili, non corretta specificazione della forma funzionale, mancata inclusione di variabili dipendenti (o indipedenti) ritardate. Primi a di presentare questi test vediamo se è possibile intuire anche graficamente la presenza di correlazione seriale (autocorrelazione) e che in alcuni casi è possibile dare un interpretazione economica.

47 Autocorrelazione Tassi di Interesse Consideriamo il dataset xm722ibr.wk1 relativo a tassi su obbligazioni con rating AAA y t e dei tassi su obbligazioni pubbliche (Treasury Bill a 3 mesi), x t. Consideriamo le differenze prime di tali variabili: x t e y t. dal modello di regressione y t = α+β x t +u t otteniamo i residui û t. Il coefficiente di correlazione tra û t e û t 1 è pari a Dal diagramma di dispersione si può osservare la presenza di una relazione lineare tra le due variabili. E ragionevole pensare che a seguito di una deviazione da una relazione di equilibrio tra y t e x t l aggiustamento di y t non sia immediato, ma sia progressivo nel tempo. Per questo motivo una relazione statica tra y t e x t può non essere adeguata con conseguente evidenza di correlazione seriale nei residui.

48 Autocorrelazione uhat uhat versus uhat 1 (with least squares fit) Y = 9.65e X uhat 1

49 Autocorrelazione Coefficienti di autocorrelazione Test sulla correlazione seriale richiedono che le osservazioni possano essere naturalmente ordinate. Per series storiche l ordine è dato dall indice temporale. Nei dati cross-section le osservazioni possono essere ordinate in base ad una delle variabili esplicative. L indice di correlazione è r = T t=2ûtû t 1 T T 1 t=2û2 t t=1 û2 t di cui si utilizza una versione asintoticamente equivalente (11) r 1 = T t=2ûtû t 1 T t=1û2 t (12) Elevati valordi di r 1 possono indicare errata specificazioine nella dinamica per dati di tipo timeseries oppure errata forma funzionale per dati cross-section.

50 Autocorrelazione Si può costruire l autocorrelogramma valutando per ogni ritardo k con k =...,K il seguente coefficente di correlazione di ordine k r k = T t=k+1ûtû t k T t=1û2 t (13) Il grafico generato da (k,r k ) può dare un idea della presenza di autocorrelazione

51 Autocorrelazione Test Durbin-Watson Il test DW è basato sulla seguente idea. Siano σ 2 e la varianza dei termini di disturbo ed la correlazione tra u t e u t 1 allora E(u t u t 1 ) 2 = 2σ 2 (1 ). Così se i due termini di errore consecutivi sono correlati la differenza (u t u t 1 tenderà ad essere piccola. La statistica DW è definita come segue T (u t u t 1 ) 2 d = t=2 T ut 2 t=1 (14) La statistica soddisfa: 0 d 4 e d 2(1 r 1 ). Valori di d vicini allo zero indicano autocorrelazione positiva mentre valori prossimi a 4 indicano autocorrelazione negativa. I valori critici della statistica test dipendono dalla matrice X di regressori. Le bande di confidenza esistono per regressori deterministici e termini di errore gaussiani. DW è utilizzata in modo informale come strumento di diagnosi per indicare la presenza di autocorrelazione

52 Autocorrelazione Test Breusch-Godfrey LM Il modello di riferimento è y t = x tβ +u t (15) u t = γ 1 u t γ p u t p +η t (16) con η t iid e gaussiano con varianza σ 2 η per ogni t. Considerando il caso AR(1), cioè p = 1 segue che y t = γ 1 y t 1 +x tβ γx t 1β +η t (17) in cui si vuole valutare l ipotesi che γ 1 = 0. Si può dimostrare che il test è equivalente alla seguente procedura a due passi in cui si utilizza un modello di regressione ausiliario.

53 Autocorrelazione stima OLS y = Xβ +u generiamo i residui û = y X ˆβ regressione ausiliaria (stima OLS): û t = x tδ +γ 1 û t γ p û t p +ω t determinare LM = TR 2 che è distribuita asintoticamente come χ 2 (p) sotto l ipotesi nulla di assenza di correlazione seriale H 0 = γ 1 =... = γ p = 0

54 Autocorrelazione Tests Box-Pierce e Ljiung-Box Le statistiche test sono BP = T LB = T p rk 2 (18) k=1 p k=1 T +2 T k r2 k (19) Sotto l ipotesi nulla di assenza di autocorrelazione la statistica BP ha distribuzione asintotica χ 2 (p) mentre la statistica LB (detta anche Q-test) ha distribuzione asintotica χ 2 (p) (sotto l ipotesi aggiuntiva che i regressori siano deterministici, nel caso siano stocastici è consigliabile utilizzare il test Breusch-Godfrey).

55 Autocorrelazione Rimedi Possibili Per dati cross-section è necessario variare le forma funzionale. Per dati timeseries è necessario considerare le proprietà dinamiche dei dati. Per esempio considerando y t = β 1 +β 2 x t +u t (20) la correlazione tra u t = y t β 1 β 2 x t e u t 1 = y t 1 β 1 β 2 x t 1 può essere dovuta al legame tra y t e x t 1 e y t 1 che può essere considerata con il modello y t = γ 1 +γ 2 x t +γ 3 x t 1 +γ 4 y t 1 +η t (21) con η t iid. (Si veda nota su modelli ADL).

56 Autocorrelazione Rimedi Possibili Modello di regressione con errori AR(1). da cui segue che corrisponde a u t = γu t 1 +η t (22) u t = y t β 1 β 2 x t (23) y t = β 1 (1 γ)+β 2 x t β 2 γx t 1 +γy t 1 +η t (24) y t = γ 1 +γ 2 x t +γ 3 x t 1 +γ 4 y t 1 +η t (25) con γ 1 = β 1 (1 γ), γ 2 = β 2, γ 3 = β 2 γ e γ 4 = γ e con il vincolo γ 2 γ 4 +γ 3 = 0 (26)

57 Autocorrelazione Rimedi Possibili Se i termini di errore η t sono distribuiti normalmente è possibile stimare i parametri γ e β 1 e β 2 utilizzando NLS (nonlinear least square) altrimenti si può utilizzare una procedura a due passi (procedura di Cochrane-Orcutt). Si osserva che: da cui: y t γy t 1 = β 1 (1 γ)+β 2 (x t γx t 1 )+η t (27) Consideriamo γ = 0 e stimiamo con OLS β 1 e β 2 : y t = β 1 +β 2 x t +u t. Lo stimatore sarà consistente (se 1 < γ < 1) ma non efficiente. Regrediamo û t su û t 1 ottenendo ˆγ e y t ˆγy t 1 su x t ˆγx t 1 ottenendo dei nuovi residui η t. Una nuova stima di γ può essere ottenuta utilizzando i nuovi residui.

58 Autocorrelazione Esempio Consideriamo l esempio sui tassi di interesse La statistica DW = quindi r Il coefficiente di autocorrelazione del primo ordine è significativo (Q-test) Il test Breusch-Godfrey con p = 1 e p = 2 ritardi indica la presenza di autocorrelazione

59 Autocorrelazione OLS, using observations 1948: :12 (T = 623) Dependent variable: DAAA Coefficient Std. Error t-ratio p-value const DUS3MT Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R Adjusted R F(1, 621) P-value(F) 2.66e 64 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn ˆρ Durbin Watson

60 Autocorrelazione Residual ACF lag Residual PACF /T lag /T 0.5

61 Autocorrelazione Residual autocorrelation function LAG ACF PACF Q-stat [p-value] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000]

62 Autocorrelazione Breusch-Godfrey test for autocorrelation up to order 12 OLS, using observations 1948: :12 (T = 623) Dependent variable: uhat Coefficient Std. Error t-ratio p-value const DUS3MT uhat e-017 uhat e-07 uhat uhat uhat Unadjusted R-squared = , Test statistic: LMF = , with p-value = P(F(12,609) > 8.183) = 2.24e-014 Alternative statistic: TR 2 = , with p-value = P(Chi square(12) > ) = 2.34e-013 Ljung-Box Q = , with p-value = P(Chi square(12) > ) = 1.05e-009

63 Autocorrelazione Cochrane Orcutt, using observations 1948: :12 (T = 622) Dependent variable: DAAA ρ = ˆρ = Coefficient Std. Error t-ratio p-value const DUS3MT Statistics based on the rho-differenced data: Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R Adjusted R F(1, 620) P-value(F) 1.80e 56 ˆρ Durbin Watson