La forza e le leggi di Newton di Daniele Gasparri

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1 La forza e le leggi di Newton di Daniele Gasparri Abbiamo visto come si comporta un corpo su una circonferenza e, in precedenza come si comportano i corpi in moto rettilineo uniforme ed uniformemente accelerato, ora invece ci poniamo la domanda: chi mette in moto questi corpi? Cioè, quale è la causa del moto? Dall esperienza comune sappiamo che se lanciamo un sasso o spingiamo un carrello della spesa, questi corpi si mettono in moto, cioè subiscono un accelerazione poiché partono da fermi e si ritrovano, dopo la spinta, con una certa velocità; in questi casi diciamo che sul corpo è stata applicata una forza, in questo caso dal nostro braccio, cioè il corpo ha interagito con un altro corpo che lo ha messo in moto. Cosa succede se non vi è interazione? Bè, la risposta è semplice: se non spingo il carrello o non lancio un sasso essi restano fermi nella posizione in cui si trovano. Siamo giunti allora ad una conclusione semplice ma efficace: se al corpo applico una spinta, una forza, esso si muove, altrimenti no. Possiamo approfondire meglio questo discorso con altri esempi; in altre parole potremmo chiederci se l applicazione di una forza faccia variare solamente la velocità del corpo (ad esempio il sasso lanciato) oppure serva una forza anche per mantenere il corpo a velocità costante, come ad esempio il carrello della spesa trasportato per la strada. In effetti in questo caso se lo smetto di spingere esso dopo un po di tempo si ferma; allora serve una forza anche per mantenere un corpo a velocità costante? Sembrerebbe di si, ma è meglio approfondire. Consideriamo ad esempio la situazione in cui stiamo pattinando sul ghiaccio e una persona ci da una spinta. La spinta ci fa muovere, cioè ci fa subire un accelerazione poiché la nostra velocità passa da 0 all instante iniziale ad un valore arbitrario dopo qualche secondo, ma quando essa finisce con essa finisce anche la nostra accelerazione; tuttavia, contrariamente al caso del carrello, noi continuiamo a muoverci per molti metri prima di fermarci (a meno di non incontrare qualche ostacolo!). Ancora più strano è il comportamento di un corpo che si muove su un cuscinetto d aria, come ad esempio il disco posto su un tavolo di Hockey su aria come se ne trovano in molte sale giochi. Una piccola spinta al disco fermo lo mette in moto, provocando un accelerazione che finisce quando finisce la spinta; in questo caso però il corpo non sembra rallentare, piuttosto sembra avere velocità costante e, contrariamente al carrello e al pattinatore, esso non si ferma affatto, se non quando incontra un ostacolo! Perché le nostre 3 esperienza sono diverse? Perché non abbiamo considerato un effetto chiamato attrito, una specie di attrazione che ogni corpo esercita sull altro, come ad esempio le ruote del carrello che rotolano sulla strada. L attrito è una

2 forza a tutti gli effetti che agisce in modo contrario al moto di ogni oggetto, frenandolo fino a farlo frenare. Se ci mettiamo nelle situazioni in cui l attrito è quasi inesistente, come il tavolo di hockey su ghiaccio, possiamo vedere il vero comportamento di un corpo sottoposto ad una sola forza: essa, per il tempo in cui è applicata, produce un accelerazione; quando termina, termina anche l accelerazione ma il corpo non si ferma, piuttosto prosegue il suo percorso di moto rettilineo uniforme, cioè a velocità costante; in assenza di attrito un corpo sul quale non agiscono forze si muove di moto rettilineo uniforme o è in quiete. Queste due possibilità non sono in contraddizione, ma dipendono dal sistema di riferimento scelto: se osservo fermo il disco di scivolare sul cuscinetto d aria, lo vedrò muoversi a velocità costante, ma se mi muovo con la stessa velocità del disco lo vedrò perfettamente fermo rispetto al mio punto di vista. Sotto il punto di vista fisico gli stati di velocità costante e quiete sono la stessa cosa solamente visti sotto diversi punti di vista, o meglio, sistemi di riferimento. D altra parte, quando applico una forza, sia se sto seguendo il moto del disco, sia se invece lo vedo muovere a velocità costante, l accelerazione che esso subisce è sempre la stessa per ognuno dei due punti di vista. Questi sistemi di riferimento sono detti inerziali. Abbiamo praticamente detto quasi tutto sulle leggi di Newton; adesso occorre andare più in profondità e trasformare le parole in relazioni matematiche che ci permettano di effettuare i calcoli. Prima Legge di Newton: se su un corpo agisce una forza netta nulla esso, se in quiete vi rimane; se invece è in moto (rispetto all osservatore) continuerà a procedere con velocità costante Seconda Legge di Newton: Se ad un corpo in queste o in moto (uniforme) applico una forza (ad esempio lo spingo o lo trattengo) esso subisce un accelerazione, cioè varia la sua velocità. Di quanto viene accelerato?l accelerazione dipende da quanta forza applico e da quanto è massiccio il corpo. Applicando una forza X su un pallone da calcio, posso imprimergli un accelerazione elevata e scagliarlo molto lontano; applicando la stessa forza X su una montagna non avrò lo stesso effetto: essa non si muoverà neanche di 1 mm e probabilmente mi romperò il piede! L accelerazione quindi dipende anche dalla massa dell oggetto. La seconda legge di Newton afferma che F = ma. La relazione scritta ci dice che ogni forza produce un accelerazione e viceversa un accelerazione è il risultato di qualche forza. Questa semplice legge è la base della dinamica e regola il funzionamento dell intero universo, dal moto di un sasso a quello dei pianeti, delle stelle e delle galassie. Questa semplice relazione è stata la scoperta più importante per almeno 300 anni, fino a quando è stata corretta (leggermente) dalla relatività di Einstein. Il significato della massa,

3 nella seconda legge di Newton è semplice: essa è una costante, che dipende dal corpo, che quantifica la resistenza che lo stesso oppone alla forza impressa, o in alternativa, al moto. La amssa che compare nell equazione di Newton è detta massa inerziale. Terza legge di Newton: detta anche legge di azione-reazione è probabilmente la meno intuitiva da capire. Essa prende in considerazione due corpi in interazione (cioè che esercitano delle forze l uno sull altro) ed afferma che se il corpo A esercita una forza sul corpo B allora anche il corpo B esercita una forza uguale e contraria sul corpo A. Per capirla consideriamo un libro tenuto su una mano. Se lo lasciamo andare, esso cade in terra con una certa accelerazione; poiché esso accelera la prima legge di Newton ci dice che deve essere presente una forza netta, la seconda ci dice che l intensità della forza è data da F = ma dove m è la massa del libro ed a è l accelerazione con cui cade. Ma a cosa è dovuta questa forza? Essa la forza di gravità della Terra che tende ad attrarre verso di se ogni oggetto. Qualsiasi corpo sulla sua superficie è soggetto alla forza di gravità e quindi ad un accelerazione, uguale per ogni corpo, detta accelerazione di gravità, chiamata g 2, che vale 9,81m / s. Il libro che sollevato viene poi fatto cadere, è sottoposto alla forza di gravità che produce un accelerazione pari a g, cioè F = Terra mlibro g : la Terra esercita sul libro una forza la cui intensità è data dalla relazione appena scritta. La terza legge di Newton ci dice che allora che possiamo cambiare l ordine di causa-effetto: il libro esercita sulla Terra una forza della stessa intensità ma di verso opposto: FLibro = mterra g. Le due forze sono uguali, ma di segno discorde. Naturalmente, date le enormi differenze di massa, il risultato finale è che l accelerazione del libro è migliaia di miliardi di volte maggiore di quella che subisce la Terra per questo vedrò solo il libro cadere. Qualche forza in natura Una forza generica può essere esercitata da chiunque, sia un essere umano che lancia un sasso o traina un oggetto, sia dall ambiente circostante. Ci sono delle forze che agiscono sempre allo stesso modo e per questo sono più semplici da studiare ed analizzare; in particolare ne possiamo individuare 4: 1) Forza peso: è la forza che agisce su ogni corpo posto in prossimità della superficie terrestre a causa della gravità terrestre. Se lasciamo cadere qualsiasi corpo, possiamo osservare che esso cade verso il basso con un accelerazione costante ed uguale per ognuno; questa è chiamata 2 accelerazione di gravita, e si indica con g; il suo valore è 9,81m / s. La forza che produce questa accelerazione è detta anche forza peso, e secondo la legge di Newton è data da: F = mg diretta verso il centro della Terra.

4 2) Forza elastica: è la forza esercitata da una molla compressa o allungata su un corpo. Quando una molla è compressa essa esercita su un corpo una forza. Quanto vale questa forza? E considerazione comune vedere che maggiore è la compressione della molla, maggiore sarà la forza esercitata sul corpo (perché maggiore è l accelerazione con cui esso viene lanciato quando la molla si rilassa). In effetti, per ogni molla, la forza segue un andamento ben definito che dipende da quando è stata compressa. Prendiamo un sistema di riferimento, con l asse x positivo verso destra; la molla compressa ha quindi uno spostamento (o deformazione) negativo, ma la forza da essa prodotta è positiva poiché diretta nel verso delle x positive. A causa di questo gioco di segni, l espressione della forza diventa: F = k x. Il segno meno indica proprio quello appena detto. Supponiamo infatti che la molla subisca una deformazione di -5 cm; la forza da essa prodotta sarà quindi: F = ( 5) k = + 5k dove k indica la costante elastica, un valore positivo proprio di ogni molla (materiale di cui è fatta, dimensioni delle sue spire..). La forza, come predetto, poiché è diretta verso le x positive, è positiva. Quando invece una molla invece di essere compressa, è allungata, essa tende a ritornare alla sua posizione originale ed esercita sul corpo una forza negativa, poiché diretta in direzione contraria allo spostamento. In questo caso, x è positivo, è la forza è quindi negativa. La figura in alto a destra ci fa vedere questi due casi: inizialmente la molla è nella posizione di riposo, poi viene allungata ed essa produce una forza contraria al verso dello spostamento; nel terzo caso, quando è compressa, produce una forza nella direzione dello spostamento, quindi positiva. Il segno nella formula serve a compensare il fatto che lo spostamento x è negativo. Questa analisi può essere fatta anche cambiando il corpo in oggetto; fino ad ora abbiamo visto la forza prodotta da una molla compressa o allungata, ma il discorso può essere fatto anche per la persona che provvede ad allungare o comprimere la molla, poiché di sicuro essa non lo farà spontaneamente; in questo caso le considerazioni sono simili ma i versi delle forze sono invertiti.

5 Se la molla è nella posizione di riposo, per essere compressa richiede l intervento di un corpo-evento estraneo, come una persona che la comprime nel verso delle x negative. Questa persona, per comprimere la molla, dovrà esercitare una forza uguale e contraria a quella che produce la molla; in altre parole esso dovrà applicare una forza: F = ( kx). 3) Forza centripeta: nel moto circolare uniforme abbiamo visto che, poiché il corpo percorre una circonferenza, la direzione e il verso della sua velocità tangenziale, cambiano in continuazione, e questo produce un accelerazione diretta verso il centro, detta accelerazione centripeta. Ora, conoscendo le leggi di Newton, sappiamo che ogni accelerazione è prodotta da una forza e viceversa, quindi, dovrà esistere una forza centripeta; essa infatti esiste e si ricava con la legge di Newton e 2 v l espressione dell accelerazione centripeta trovata in precedenza a c = ; R la seconda legge di Newton è: F = ma ; sostituendo il valore 2 v dell accelerazione troviamo: F c = m, questa è la forza centripeta, R diretta nello stesso verso dell accelerazione centripeta. 4) Attrito: Nelle situazioni reali l attrito è una forza sempre presente ed è quella resistenza che ogni corpo incontra nella direzione del moto, come ad esempio on oggetto che striscia su un tavolo o le ruote di una macchina che rotolano sull asfalto. L attrito pur opponendosi al moto è in realtà ciò che lo permette: immagina per un attimo un mondo senza attrito: i nostri piedi scivolerebbero sulla strada senza fare presa e non potremmo muoverci, così come ogni macchina non potrebbe spostarsi di un centimetro ed ogni corpo, che

6 casualmente possiede un moto, non potrà mai fermarsi. Esistono 2 tipi di attrito: statico e dinamico. L attrito statico è la forza che un corpo fermo su una superficie oppone al moto; quello dinamico è la resistenza incontrata durante il moto. Per cause di natura principalmente elettrostatica, questi due attriti sono diversi, in particolare la forza d attrito è minore quando il corpo è in moto. In ogni caso la forza è sempre diretta lungo la direzione del moto con verso contrario ad esso. L attrito, a prescindere dai due casi, dipende sostanzialmente da 2 fattori: prima di tutto un coefficiente che in qualche modo tiene conto della forma e composizione chimica delle due superfici a contatto, e l altro è il peso del corpo stesso, espresso secondo una forza, detta normale (N) che è uguale e contraria alla forza peso che il corpo esercita sulla superficie: Fa, s µ s N. Il segno minore o uguale sta ad indicare che la forza di attrito varia con l aumentare della forza con cui il corpo è spinto. Quando la spinta è sul punto di muoverlo, la forza di attrito statico è massima ed ha valore di: Fa, s = µ s N. Un aumento ulteriore della forza impressa al corpo provocherà il suo spostamento e l attrito diventerà dinamico. L attrito dinamico ha un espressione simile ma cambia il coefficiente, detto coefficiente di attrito dinamico che è minore del rispettivo statico: F = N L attrito volvente è caratteristico invece della famiglia di corpi che rotolano. Per questi in effetti non si può parlare dei due casi visti fino ad ora ma occorre considerare un nuovo tipo di attrito. In questa situazione la forza di attrito dipende sempre da un coefficiente di attrito, questa volta volvente e dal raggio del N corpo che rotola: Fa, v = µ v R a, D µ D Diagramma di corpo libero. Il cosiddetto diagramma di corpo libero è lo studio di tutte le forze che agiscono su un determinato corpo. Abbiamo visto le leggi di Newton e qualche tipo

7 particolare di forza; in effetti su un corpo possono essere applicate più forze contemporaneamente. La legge di Newton, F = ma nel caso di più forze, deve essere riscritta nel seguente modo: F i = ma ; questa formula ci dice che bisogna prendere in esame la somma vettoriale di tutte le forze in gioco, cioè la forza netta; è quest ultima responsabile dell accelerazione del corpo. Il diagramma di corpo libero serve a studiare e capire proprio il contributo di tutte le forze ed eventualmente capire dove è diretta e quanto è intensa la forza netta. In presenza di più corpi, si può considerare ogni corpo indipendente e costruire il diagramma delle forze su ciascuno di essi.

8 Il lavoro Le leggi di Newton ci dicono cosa succede ad uno o più corpi che interagiscono. Ogni forza produce un accelerazione e quindi sposta il corpo, se lo consideriamo inizialmente in una posizione di quiete. Quando applichiamo una forza su un carrello della spesa lo mettiamo in moto e spendiamo energia per farlo; l energia che spendiamo è tanto maggiore quanto maggiore è lo spostamento che dobbiamo far fare al corpo. Il prodotto della forza applicata per lo spostamento compiuto dal corpo è definito come lavoro ed è l energia spesa da chi applica la forza, per spostare il corpo su cui è applicata. Il concetto di lavoro fisico benché apparentemente simile al concetto di lavoro comune si differenzia però da esso e non deve essere confuso. Una qualsiasi forza che provoca lo spostamento di un corpo compie lavoro, di una quantità pari a: L = FS dove F è la forza ed S è lo spostamento. In realtà questa definizione è valida solamente se la direzione del corpo e dello spostamento è la stessa, cioè, in termini più fisici, se il vettore forza e il vettore spostamento sono paralleli.

9 Nei casi generali in cui la forza non è parallela allo spostamento, occorre modificare la formula. In effetti, in un caso generico, il lavoro è definito come il prodotto dello spostamento per la componente della forza ad esso parallela. Può succedere infatti che la forza che provoca lo spostamento non sia parallela ad esso e di questo bisogna tenere conto quando calcoliamo il lavoro. La relazione generale quindi è la seguente: L = W = F S = FS cosϑ ; in effetti se lo spostamento e la forza sono paralleli, l angolo tra essi compreso (ϑ ) è nullo e quindi la formula si riconduce alla versione: L = FS ; se in vettori forza e spostamento sono perpendicolari, allora il coseno è zero e il lavoro compiuto da quella forza è nullo. Il lavoro è una quantità scalare (non è un vettore) e la sua unità di misura è il Joule, composta dal prodotto per un Newton (la forza) ed 1 metro (lo spostamento): Joule = J = N m. Lavoro prodotto dalla forza peso: la relazione trovata per il lavoro: W = F S = FS cosϑ è generale e applicabile in ogni situazione a qualsiasi forza; possiamo in effetti vedere da cosa è dato il lavoro nel caso della forza peso; sappiamo che essa è F = mg e quindi, sostituendo questo valore nell espressione generica del lavoro, troviamo il lavoro compiuto dalla forza peso: W = mgs = mgh dove al posto di S abbiamo sostituito h, che indica l altezza alla quale si trova il corpo: su ogni oggetto posto ad un altezza h la forza peso compie lavoro che dipende solo dall altezza sulla superficie: ad esempio per un corpo che scivola lungo un piano inclinato, il lavoro compiuto dalla forza peso prende in esame l altezza del piano, non la sua lunghezza.