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1 /H]LRQH,OWHRUHPDGL3LWDJRUD,OWHRUHPDSLIDPRVRGLWXWWDODJHRPHWULD Non c è dubbio che il teorema che porta il nome di Pitagora (anche se l attribuzione al grande matematico è molto discutibile) sia il risultato più celebre della storia della matematica. Esso era sicuramente noto a culture anteriori a quella greca classica, in particolare ad egizi, indiani, cinesi. La testimonianza più antica è però probabilmente quella di una tavoletta di argilla babilonese risalente a circa 3000 anni orsono. Sta di fatto che, anche se popoli più antichi avevano intuito la validità della relazione tra i lati di un triangolo rettangolo, furono i greci a darne la prima dimostrazione nota, che troviamo alla proposizione 47 del primo libro degli (OHPHQWL di Euclide, la quale letteralmente recita: 1HL WULDQJROL UHWWDQJROL LO TXDGUDWR GHO ODWR RSSRVWR DOO DQJROR UHWWR q XJXDOH >HTXLYDOHQWH@ DOODVRPPDGHLTXDGUDWLGHLODWLFKHFRPSUHQGRQRO DQJRORUHWWR 8QOHPPDLOSULPRWHRUHPDGL(XFOLGH Per rendere più chiara la dimostrazione, la suddivideremo in due parti: la prima è un lemma (tradizionalmente noto come primo teorema di Euclide), a partire dal quale segue facilmente la seconda, cioè il teorema di Pitagora vero e proprio. Enunciamo dunque e dimostriamo il seguente teorema:,q XQ WULDQJROR UHWWDQJROR LO TXDGUDWR FRVWUXLWR VX XQ FDWHWR q HTXLYDOHQWH DO UHWWDQJRORFKHKDSHUODWLODSURLH]LRQHGLTXHOFDWHWRVXOO LSRWHQXVDHWXWWDO LSRWHQXVD Per la dimostrazione facciamo riferimento alla Figura 1. Sopra il cateto $& costruiamo il quadrato $&'(, mentre sulla proiezione $+ costruiamo il rettangolo $+*) in cui $) = $%. Tracciamo poi i segmenti &) ed (% e consideriamo i triangoli $%( e $)&. Essi sono uguali per il primo criterio di uguaglianza dei triangoli. Infatti: $) = $% ; $& = $( ; ) $& )$% ˆ &$% ˆ π = + = &$% ˆ, ma anche ( $% ($& ˆ &$% ˆ π = + = + &$% ˆ. Ora, il rettangolo $+*) e il triangolo $)& hanno la stessa base ($)) e la stessa altezza (la distanza tra le due rette parallele $) e &*); il rettangolo è dunque equivalente al doppio del triangolo. Inoltre, il quadrato $&'( e il triangolo $%( hanno la stessa base (($) e la stessa altezza (la distanza tra le due rette parallele ($ e %'), pertanto il quadrato sarà equivalente al doppio del triangolo. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:,srwhvl: il triangolo $%& è rettangolo; la costruzione di Figura 1 $) = $% (ipotesi) )LJXUD,OSULPRWHRUHPDGL(XFOLGH 1

2 $& = $( (ipotesi) ) $& )$% ˆ &$% ˆ π = + = &$ ˆ% (ipotesi) ( $% ($& ˆ &$% ˆ π = + = &$ ˆ% (ipotesi) ( $% )$ ˆ& ($% = $)& (primo criterio di uguaglianza dei triangoli, 1,, 5) ($% $)& (primo postulato dell equivalenza, 6) ($% $&'( (teorema equivalenza triangoli e parallelogrammi, ipotesi) $)& $)*+ (teorema equivalenza triangoli e parallelogrammi, ipotesi) 7HVL $&'( $)*+ (Secondo postulato dell equivalenza, 7, 8, 9) Costruiamo lo schema logico della dimostrazione: )LJXUDSULPRWHRUHPDGL(XFOLGHVFKHPDGHOODGLPRVWUD]LRQH

3 ,OWHRUHPD La dimostrazione del teorema segue facilmente dal lemma. Consideriamo infatti la Figura 3. Nel triangolo $%& applichiamo il primo teorema di Euclide ad entrambi i cateti. Avremo quindi che il quadrato $&'( è equivalente al rettangolo $)*+, mentre il quadrato &%-. è equivalente al rettangolo +*,%. In base al terzo postulato dell equivalenza avremo quindi che la somma dei due quadrati $)*+ e &%-. è equivalente alla somma dei due rettangoli $)*+ e &%-., cioè al quadrato $),%. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:,srwhvl: il triangolo $%& è rettangolo; la costruzione di Figura 3 $&'( $)*+ (primo teorema di Euclide, ipotesi) &%-. +*,% (primo teorema di Euclide, ipotesi) 7HVL: $),% $&'( + &%-. (terzo postulato equivalenza, 1, ) )LJXUD,OWHRUHPDGL3LWDJRUD,OVHFRQGRWHRUHPDGL(XFOLGH Oltre al teorema di Pitagora, dal primo teorema di Euclide segue anche un altro importante corollario, universalmente noto come VHFRQGR WHRUHPD GL (XFOLGH. Esso afferma che:,q XQ WULDQJROR UHWWDQJROR LO TXDGUDWR FRVWUXLWR VXOO DOWH]]D UHODWLYD DOO LSRWHQXVD q HTXLYDOHQWHDOUHWWDQJRORDYHQWHSHUODWLOHSURLH]LRQLGHLFDWHWLVXOO LSRWHQXVD Ritroviamo questo risultato come costruzione geometrica (del quadrato equivalente ad un rettangolo dato) nella proposizione 14 del II libro, tuttavia la dimostrazione che ne daremo è semplificata rispetto a quella originale di Euclide. 3

4 Applicando il primo teorema di Euclide al cateto $& del triangolo rettangolo $%& della Figura 4 si ha che il quadrato $&'( è equivalente al rettangolo $)*+, in cui $) è uguale all ipotenusa $%. Il rettangolo $)*+ a sua volta è dato dalla somma del quadrato $-,+ (di lato la proiezione $+ del cateto $& sull ipotenusa) con il rettangolo -)*, (avente per dimensioni le proiezioni dei cateti sull ipotenusa). Ora, considerando il triangolo rettangolo $&+, il quadrato $&'( è anche equivalente in base al teorema di Pitagora alla somma dei quadrati $-,+ e +./&. Pertanto, in base alla transitività dell equivalenza: $-,+ + -)*, $-,+ + +./&, e quindi sottraendo la stessa figura $-,+ si ottiene la tesi. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:,srwhvl: il triangolo $%& è rettangolo; la costruzione di Figura 4 $&'( $)*+ (primo teorema di Euclide, ipotesi) $)*+ = $-,+ + -)*, (ipotesi) $&'( $-,+ + -)*, (1, ) $&'( $-,+ + +./& (teorema di Pitagora, ipotesi) $-,+ + -)*, $-,+ + +./& ( postulato equivalenza, 3, 4) 7HVL: -)*, +./& (3 postulato equivalenza, 5) )LJXUD,OVHFRQGRWHRUHPDGL(XFOLGH / LQYHUVRGHOWHRUHPDGL3LWDJRUD Il teorema di Pitagora ammette anche un teorema inverso. Si tratta della proposizione 48 (l ultima) del primo libro degli (OHPHQWL, in base alla quale: 6H LQ XQ WULDQJROR LO TXDGUDWR GL XQR GHL ODWL q XJXDOH >HTXLYDOHQWH@ DOOD VRPPD GHL TXDGUDWL GHL ULPDQHQWL GXH ODWL GHO WULDQJROR O DQJROR FKH q FRPSUHVR GDL GXH ULPDQHQWLODWLGHOWULDQJRORqUHWWR Per la dimostrazione facciamo riferimento alla Figura 5. Sia $%& un triangolo nel quale sappiamo che il quadrato costruito sul lato &% è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui lati $& e $%. Dal vertice $ tracciamo la retta U perpendicolare ad $& e su di essa prendiamo un segmento $' = $%. Per far vedere che l angolo & $ ˆ % è )LJXUD,QYHUVRGHOWHRUHPDGL3LWDJRUD retto consideriamo i triangoli $&' e $%&: essi sono uguali in base al terzo criterio di uguaglianza. Hanno infatti il lato $& in comune, $' = $% per costruzione e, quanto alla 4

5 rimanente coppia di lati, osserviamo che il quadrato costruito su &' è equivalente alla somma dei quadrati di $' e $& per il teorema di Pitagora, mentre il quadrato costruito su &% è equivalente alla somma dei quadrati di $& e $% per ipotesi. I quadrati di lato &' e &% rispettivamente sono quindi equivalenti, da ciò segue che sono uguali e che anche i lati lo sono. Ora, quest ultima parte della deduzione si basa su un risultato cioè che per il quadrato l equivalenza implichi l uguaglianza che nella trattazione originale di Euclide viene applicato senza ulteriori giustificazioni ma che in realtà non è ovvio. La dimostrazione è comunque molto semplice e viene lasciata per esercizio. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:,srwhvl: nel triangolo $%& vale la relazione * : 4 (&%) 4( $% ) + 4( $& ); la costruzione di Figura 5 $' = $% (ipotesi) 4 (&%) 4( $% ) + 4( $& ) (ipotesi) 4 (&') 4( $' ) + 4( $& ) (teorema di Pitagora, ipotesi) 4 ( $' ) = 4( $% ) (1) 4( &') 4 (&%) ( postulato equivalenza,, 3, 4) &' = &% (5) $& = $& $%& = $&' (3 criterio uguaglianza, 1, 6, 7) & $% ˆ = &$ ˆ' (E.C.T.U., 8) 7HVL: ˆ π & $% = (9, ipotesi) Lo schema logico della dimostrazione è il seguente: )LJXUD 6FKHPD ORJLFR GHOOD GLPRVWUD]LRQH GHOO LQYHUVR GHO WHRUHPDGL3LWDJRUD * Nota: per non appesantire troppo la scrittura, utilizziamo la notazione 4($%) per indicare il quadrato costruito su $%. 5

6 8QDGLPRVWUD]LRQHDOWHUQDWLYDGHOWHRUHPDGL3LWDJRUD Quella che viene data da Euclide nel primo libro degli (OHPHQWL non è l unica dimostrazione possibile del teorema di Pitagora. Uno studioso statunitense, E. S. Loomis, pubblicò nel 197 una raccolta di ben 370 dimostrazioni diverse di questo teorema. In particolare, noi vogliamo vederne una, molto elegante nella sua semplicità. )LJXUD8QDGLPRVWUD]LRQHDOWHUQDWLYDGHOWHRUHPDGL3LWDJRUD Consideriamo i due quadrati uguali $%&' e,-./ di Figura 7. Da ognuno di essi togliamo poi quattro triangoli rettangoli uguali ($)(, )%*, *&+ e +'( nel quadrato di sinistra e /03, 043, 1-4 e 4- in quello di destra); è immediato riconoscere che la figura rimanente è il quadrato ()*+ costruito sull ipotenusa di uno qualsiasi dei quattro triangoli rettangoli nel quadrato di sinistra, mentre è la somma dei quadrati,140 e 34. costruiti sui cateti nel quadrato di destra. In base al terzo postulato dell equivalenza le due figure devono essere equivalenti, e con ciò risulta dimostrato il teorema di Pitagora. 3UREOHPDVYROWR &RVWUXLUH FRQ ULJD H FRPSDVVR GXH VHJPHQWL VDSHQGR OD ORUR VRPPD H LO TXDGUDWR HTXLYDOHQWH DOOD VRPPD GHL ORUR TXDGUDWL. Si tratta di determinare due segmenti D e E sapendo che D + E = V (dove V è un segmento assegnato che rappresenta la loro somma) e che 4 ( D) + 4( E) = 4( F), essendo F il lato del quadrato assegnato come seconda condizione del problema. Quest ultima condizione, facendo riferimento al teorema di Pitagora, si traduce nel fatto che F deve essere l ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti D e E. La costruzione è riportata in )LJXUD3UREOHPDVYROWR Figura 8, dove $' = V, $& = F, le rette U e W sono perpendicolari al segmento $' ed V è una retta a 45 rispetto allo stesso segmento. La circonferenza, che ha centro in $ e raggio pari a F, incontra la retta V in ( (e in un altro punto). Osserviamo che il triangolo (%' è isoscele (n quanto rettangolo e con gli angoli alla base di 45 ) e quindi (% = %', cosicché $% + (% = $% + %' = V. Inoltre $% e (% sono anche i cateti di un triangolo rettangolo di ipotenusa F. Entrambe le condizioni del problema sono soddisfatte e pertanto $% e (% sono 6

7 due segmenti cercati. Osserviamo che se avessimo utilizzato come punto ( la seconda intersezione di V con la circonferenza si sarebbe trovata la stessa soluzione, in quanto il triangolo rettangolo così ottenuto ha gli stessi cateti di $%( (la dimostrazione è lasciata per esercizio). Scriviamo i vari passi della costruzione (in riferimento alla Figura 8): sul segmento $' = V riportare il segmento $& = F tracciare la retta U passante per ' e perpendicolare al segmento $' tracciare la retta V bisettrice dell angolo retto formato da $' ed V tracciare la circonferenza di centro $ e raggio $& il punto ( è l intersezione tra la circonferenza e la retta V tracciare la retta W passante per ( perpendicolare al segmento $' il punto %, intersezione tra W e $', determina i due segmenti cercati: $% e %' Riportiamo anche la formalizzazione della dimostrazione associata con questa costruzione geometrica:,srwhvl: la costruzione geometrica vista sopra (% = %' (teor. inverso triangolo isoscele, ipotesi) (% perpendicolare $% (ipotesi) 7HVLFRQGL]LRQH: 4 ( $% ) + 4( (%) = 4( $( ) = 4( F) (teor. Pitagora,, ipotesi) 7HVLFRQGL]LRQH: $% + (% = $' = V (1) 3UREOHPDVYROWR &RVWUXLUHFRQULJDHFRPSDVVRGXHVHJPHQWLVDSHQGROD ORUR VRPPD H LO TXDGUDWR HTXLYDOHQWH DOOD GLIIHUHQ]D GHL ORURTXDGUDWL. Si tratta di determinare due segmenti D e E sapendo che D + E = V (dove V è un segmento assegnato che rappresenta la loro somma) e che 4 ( D) 4( E) = 4( F), essendo F il lato del quadrato assegnato come seconda condizione del problema. Quest ultima condizione, facendo riferimento al teorema di Pitagora, si traduce nel fatto che D deve essere l ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti E e F. Per illustrare la costruzione facciamo riferimento alla Figura 9. Su due rette perpendicolari riportiamo i segmenti $& = F e $% = V. Tracciamo poi la retta U, asse del segmento %&. Sia ' il punto di intersezione di U con $%. Poiché ' appartiene all asse del segmento %& si ha '% = '& ; pertanto $'& è un triangolo rettangolo in cui '& è )LJXUD3UREOHPDVYROWR l ipotenusa e i cateti sono $' e $& = F. Inoltre $' + '& = $' + '% = V. Le due condizioni del problema sono quindi rispettate essendo '& = D e $' = E. Scriviamo i vari passi della costruzione (in riferimento alla Figura 9): su due semirette perpendicolari riportare i segmenti $% = V e $& = F tracciare la retta U, asse del segmento %& il punto ' è l intersezione tra la retta U e il segmento $% i segmenti cercati sono '& = D e $' = E Riportiamo anche la formalizzazione della dimostrazione associata con questa costruzione geometrica:,srwhvl: la costruzione geometrica vista sopra %' = '& (ipotesi) 7HVLFRQGL]LRQH: 4 ('&) 4( '$) = 4( $& ) = 4( F) (teor. Pitagora, ipotesi) 7

8 7HVLFRQGL]LRQH: $' + '& = $% = V (1) 9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQHHFRQRVFHQ]D 1. Quali notizie storiche abbiamo del teorema di Pitagora?. Enuncia il teorema di Pitagora. 3. Enuncia e dimostra il primo teorema di Euclide. 4. Dimostra il teorema di Pitagora. 5. Come viene presentato negli (OHPHQWL il secondo teorema di Euclide? 6. Enuncia e dimostra il secondo teorema di Euclide. 7. È possibile invertire il teorema di Pitagora? 8. Enuncia il teorema inverso del teorema di Pitagora. 9. Quale risultato sull equivalenza dei quadrati è necessario per dimostrare l inverso del teorema di Pitagora? 10. Dimostra l inverso del teorema di Pitagora. 11. Quante dimostrazioni diverse del teorema di Pitagora sono state catalogate? 1. Esponi una dimostrazione alternativa del teorema di Pitagora. 3UREOHPL 1. Dati due segmenti D e E, con D < E, costruisci con riga e compasso il rettangolo avente un lato pari a E e che sia equivalente al quadrato di lato D.. È data una circonferenza di centro, una sua corda $% di cui + è il punto medio. Consideriamo poi le tangenti alla circonferenza in $ e % che si incontrano in &. Dimostra che indipendentemente dalla posizione della corda $% il rettangolo di lati + e & è equivalente al triangolo rettangolo isoscele inscritto nella circonferenza. 3. Sia 3 un punto qualsiasi interno ad un rettangolo $%&'. Dopo avere unito 3 con i quattro vertici del rettangolo dimostra che: 4 ( $3) + 4( 3& ) 4( '3) + 4( 3% ). 4. Costruisci con riga e compasso il quadrato equivalente alla somma di tre quadrati dati. 5. Dato il rettangolo $%&', costruisci il triangolo $%3 esterno al rettangolo, con 3 più vicino ad $ che a %. Dimostra che: 4( 3% ) 4( 3$ ) 4( 3& ) 4( 3' ). 6. Nel triangolo $%&, &+ è l altezza relativa al lato $%. Dimostra che: 4( $& ) 4( $+ ) 4( %&) 4( %+ ). 7. Per un punto ( dell ipotenusa $% di un triangolo rettangolo $%& traccia la perpendicolare all ipotenusa che incontra in ) il cateto %&. Dimostra che: 4 ( $& ) + 4 (&)) 4( $( ) + 4( ()). 8. Dimostra facendo ricorso al teorema di Pitagora che il quadrato circoscritto è equivalente al doppio del quadrato inscritto in una stessa circonferenza. 9. Dimostra che se due quadrati sono equivalenti allora sono anche uguali. 10. Dato un rettangolo costruisci con riga e compasso il quadrato ad esso equivalente. 11. Costruisci con riga e compasso il quadrato equivalente alla metà di un quadrato dato. 1. Costruisci con riga e compasso il quadrato equivalente al triplo di un quadrato dato. 13. Dimostra che, dati due segmenti, la somma dei quadrati costruiti su di essi è sempre suvvalente rispetto al quadrato costruito sulla loro somma. 14. In riferimento alla Figura 8, dimostra che scegliendo la seconda intersezione della retta V con la circonferenza si ottiene un triangolo uguale ad $%(. 8

9 15. È data una circonferenza di diametro $%. Siano U ed V le tangenti in $ e % esia W una terza tangente che tocca la circonferenza in &. Dette 3 e 4 le intersezioni di W con U ed V, dimostra che il rettangolo di lati 3& e 4& è equivalente al quadrato avente per lato il raggio della circonferenza. 16. Costruisci con riga e compasso un rettangolo sapendo la somma V dei suoi lati e il lato A del quadrato ad esso equivalente. 9

10 17. 10