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1 /DVLPLOLWXGLQH $OHVVDQGUR&RUGHOOL 3ROLJRQLVLPLOL Definiamo una importante relazione tra poligoni, si tratta della relazione introdotta nella prima definizione del VI libro degli (OHPHQWL, la relazione di VLPLOLWXGLQH. Intuitivamente, la similitudine esprime il fatto che due figure hanno la stessa forma ma dimensioni diverse (ad esempio, due quadrati aventi un lato doppio dell altro sono figure simili); sebbene tale concetto possa applicarsi ad una classe più generale di figure, noi ci limiteremo al caso dei poligoni. Diamo dunque la seguente definizione: 'XH SROLJRQL VRQR VLPLOL TXDQGR KDQQR JOL DQJROL XQR D XQR XJXDOL H L ODWL FRUULVSRQGHQWL FLRqFRPSUHVLWUDFRSSLHGLDQJROLXJXDOLLQSURSRU]LRQH Osserviamo che l uguaglianza è un caso particolare di similitudine. cioè due figure uguali sono anche simili, ma non il viceversa. Inoltre la similitudine è una relazione di equivalenza in quanto possiede le tre proprietà formali : 1. ULIOHVVLYD (un poligono è simile a sé stesso) 2. VLPPHWULFD (se un poligono è simile ad un altro anche il secondo è simile al primo); 3. WUDQVLWLYD (se un poligono è simile ad un altro e questo ad un terzo, allora anche il primo e il terzo poligono sono simili. )LJXUD3ROLJRQLVLPLOL In base alla definizione, per decidere se due poligoni sono simili abbiamo bisogno di conoscere tutti i lati e tutti gli angoli di entrambi. Tuttavia è auspicabile riuscire a stabilire delle condizioni meno stringenti per determinare l esistenza o meno della relazione di similitudine tra due poligoni dati. Tali FULWHULGLVLPLOLWXGLQH effettivamente esistono nel caso dei triangoli e sono tra i teoremi più celebri della geometria euclidea.,fulwhulglvlplolwxglqhshulwuldqjrol Il triangolo ha sei elementi: tre angoli e tre lati. Analogamente ai criteri di uguaglianza che richiedono solo tre di tali elementi (due lati e un angolo, un lato e due angoli, tre lati), anche per la similitudine abbiamo tre criteri. Il primo di essi stabilisce la similitudine a partire dall uguaglianza delle tre coppie di angoli (in realtà è sufficiente conoscere due angoli, dato che il terzo si può determinare per differenza da un angolo piatto); il secondo stabilisce la similitudine a partire dall uguaglianza di una coppia di angoli e dalla proporzionalità di due coppie di lati; il terzo stabilisce la similitudine a partire dalla proporzionalità delle tre coppie di lati. È curioso osservare che sebbene questo sia l ordine in cui i criteri vengono elencati nei testi moderni, negli (OHPHQWL venga presentato prima il primo criterio (proposizione VI, 4), poi il terzo (proposizione VI, 5) e infine il secondo (proposizione VI, 6). (*) I lati corrispondenti si dicono anche RPRORJKL.

2 ,OSULPRFULWHULRGLVLPLOLWXGLQHSHULWULDQJROL 1HL WULDQJROL DYHQWL JOL DQJROL ULVSHWWLYDPHQWH XJXDOL L ODWL FKH FRPSUHQGRQR JOL DQJROL XJXDOLVRQRSURSRU]LRQDOLHVVHQGRRPRORJKLLODWLRSSRVWLDJOLDQJROLXJXDOL Consideriamo i due triangoli $%& e &'( che per ipotesi hanno gli angoli uguali (vedi Figura 2) e disponiamoli con il vertice & in comune in modo che i segmenti %& e &( siano adiacenti (cioè consecutivi ed appartenenti alla stessa retta). Prolunghiamo i lati $% e '(, essi si incontreranno nel punto ). Che tale punto di incontro esista sempre indipendentemente dalle caratteristiche dei triangoli possiamo dirlo con certezza: infatti %&$ ˆ = &( ˆ' per ipotesi e quindi $ %& ˆ + &(' ˆ è uguale ad $ %& ˆ + %& ˆ $ che è minore di un angolo piatto in base ad un noto teorema, ma il quinto postulato asserisce proprio che due rette che tagliate da una trasversale formano angoli la cui somme è diversa da un angolo piatto si incontrano dalla parte in cui tale somma è minore di un angolo piatto. Osserviamo che, essendo $ %& ˆ = '& ˆ(, '& e %) sono paralleli (in base al criterio di parallelismo); poiché %&$ &( ˆ' parallelogramma in cui $) = &' e $& = ') ˆ = anche $& ed () sono paralleli. Il quadrilatero $&') risulta pertanto un. Consideriamo ora il triangolo )%(; la corda $& è parallela lato )( e quindi, in base al teorema di Talete, %$ : $) = %& : &(.Questa proporzione, poi, tenendo conto del fatto che $) = &', la si può riscrivere come: %$ : &' = %& : &( ; permutando i medi otteniamo %$ : %& = &' : &(. In maniera analoga consideriamo la corda '&, parallela al lato )% in quanto $ %& ˆ = '& ˆ(. Applicando il teorema di Talete otteniamo la proporzione: %& : &( = )' : '( e poiché )' = $& sarà anche %& : &( = $& : '(. Di nuovo, permutando otteniamo %& : $& = &( : '(. Unendo le due proporzioni otteniamo infine: %$ : %& : $& = &' : &( : '(, che è la tesi. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:,srwhvl: $ %& ˆ = '&( ˆ, %&$ ˆ = &(' ˆ, %$& ˆ = &' ˆ( $ %& ˆ + %& ˆ$ < π (ipotesi, teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo) %$ e '( si incontrano in ) (1, V postulato) '& e %) paralleli (criterio di parallelismo, ipotesi) $& e )( paralleli (criterio di parallelismo, ipotesi) $&') parallelogramma (3, 4) $) = &' e $& = ') (5, proprietà parallelogramma) %$ : $) = %& : &( (teorema di Talete, 4) %$ : &' = %& : &( (6, 7) %$ : %& = &' : &( (8, permutazione dei medi) %& : &( = )' : '( (teorema di Talete, 3) %& : &( = $& : '( (6, 10) %& : $& = &( : '( (11, permutazione dei medi) 7HVL: %$ : %& : $& = &' : &( : '( (9, 12) )LJXUD,O SULPR FULWHULR GL VLPLOLWXGLQH GHLWULDQJROL 2

3 ,OVHFRQGRFULWHULRGLVLPLOLWXGLQHSHULWULDQJROL 6HGXHWULDQJROLKDQQRXQDQJRORGHOO XQRXJXDOHDXQDQJRORGHOO DOWURHSURSRU]LRQDOLL ODWLFRPSUHQGHQWLGLGXHDQJROLXJXDOLDOORUDVRQRVLPLOL Consideriamo i due triangoli $%& e '() che per ipotesi hanno % $& (') ˆ vale inoltre la proporzione: $& : $% = ') : '(. Costruiamo sul lato ') il triangolo ')* avente gli angoli ')* %&$ ˆ e )'* %$ ˆ & poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto avremo anche )*' $%& ˆ (osserviamo che è )LJXUD,OVHFRQGRHWHU]RFULWHULRGLVLPLOLWXGLQHGHLWULDQJROL sempre possibile costruire il triangolo ')* in quanto ') ˆ * e )' ˆ * essendo uguali a due angoli interni di un triangolo hanno somma inferiore a un angolo piatto, ma il quinto postulato afferma proprio che due rette che tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti la cui somma è diversa da un angolo piatto si incontrano da quella parte in cui la somma degli angoli è minore). I due triangoli $%& e ')*, avendo gli angoli uguali, sono simili in base al primo criterio di similitudine. Vale pertanto la proporzione $& : $% = ') : '*. Confrontando questa proporzione con quella dell ipotesi ricaviamo che '( = '* in base all unicità del quarto proporzionale. Osserviamo quindi che i triangoli ')( e ')*, avendo ') in comune, '( = '* e )'( )' ˆ* in quanto entrambi uguali a % $ &, sono uguali in base al primo criterio di uguaglianza. Quindi in base al fatto che due poligoni uguali sono anche simili e alla transitività della relazione di similitudine possiamo affermare che i triangoli $%& e '() sono simili. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:,srwhvl: % $& (' ˆ) $& : $% = ') : '( e la costruzione di Figura 3 % $& + %& ˆ$ < π (ipotesi, teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo) '* ed )* si incontrano in * (1, V postulato) $%& e ')* sono simili (primo criterio di similitudine, ipotesi) $& : $% = ') : '* (3) '( = '* (ipotesi, 4, unicità del quarto proporzionale) ') = ') )'( ˆ = )'* ˆ = %$ ˆ& (ipotesi) ')( = ')* (primo criterio di uguaglianza, 5, 6, 7) 7HVL: $%& e '() simili (8, 3),OWHU]RFULWHULRGLVLPLOLWXGLQHSHULWULDQJROL 3

4 6HGXHWULDQJROLKDQQRWXWWLLODWLLQSURSRU]LRQHDOORUDVRQRVLPLOL Per la dimostrazione di questo teorema facciamo riferimento ancora una volta alla Figura 3. Sappiamo per ipotesi che valgono le proporzioni: $& : $% = ') : '(, $& : %& = ') : )( e $% : %& = '( : () ; vogliamo dimostrare che i due triangoli sono simili, cioè che gli angoli nei due triangoli sono uguali, in modo che a lati omologhi corrispondano angoli uguali (cioè che: $ %& '( ˆ) % $& (' ˆ ) e $ &% ') ˆ ( aver costruito sul lato ') il triangolo ')* avente gli angoli ')* %& ˆ$ )'* %$ ˆ & fatto che sia sempre possibile costruire un tale triangolo facciamo riferimento alle considerazioni sul V postulato sviluppate nella precedente dimostrazione). Avendo gli angoli uguali, i triangoli $%& e ')* sono simili (primo criterio di similitudine). Varrà dunque la proporzione: $& : $% = ') : '* che, confrontata con l ipotesi $& : $% = ') : '( ci permette di dedurre che '* = '( (unicità del quarto proporzionale). Analogamente, confrontando la proporzione $& : %& = ') : )* (che segue dalla similitudine tra $%& e ')*) con l ipotesi $& : %& = ') : )( otteniamo che )( = )*. Pertanto, avendo i due triangoli ')( e ')* anche il lato ') in comune, essi sono uguali per il terzo criterio di uguaglianza.. Quindi in base al fatto che due poligoni uguali sono anche simili e alla transitività della relazione di similitudine possiamo affermare che i triangoli $%& e '() sono simili. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:,srwhvl: $& : $% = ') : '(, $& : %& = ') : )(, $% : %& = '( : () e la costruzione di Figura 3 % $& + %& ˆ$ < π (ipotesi, teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo) '* ed )* si incontrano in * (1, V postulato) $%& e ')* sono simili (primo criterio di similitudine, ipotesi) $& : $% = ') : '* (3) '( = '* (ipotesi, 4, unicità del quarto proporzionale) $& : %& = ') : )* (3) )( = )* (ipotesi, 6, unicità del quarto proporzionale) ') = ') ')( = ')* (terzo criterio di uguaglianza, 5, 7, 8) 7HVL: $%& e '() simili (9, 3) $SSOLFD]LRQLGHLFULWHULGLVLPLOLWXGLQH La similitudine è uno strumento molto potente per dimostrare un gran numero di proprietà delle figure. Alcuni di questi risultati sono veri e propri teoremi che a loro volta hanno molteplici applicazioni. In particolare vogliamo vedere un gruppo di teoremi che applicano la similitudine alle proprietà delle corde di una circonferenza e dei segmenti di tangenza.,owhruhpdghoohgxhfrugh Il primo risultato che prendiamo in considerazione riguarda i triangoli che si formano unendo gli estremi di due corde di una circonferenza che in intersecano in un punto. &RQGRWWHGDXQSXQWRLQWHUQRDXQDFLUFRQIHUHQ]DGXHFRUGHHXQLWLJOLHVWUHPLGHOO XQD FRQJOLHVWUHPLGHOO DOWUDVLYHQJRQRDIRUPDUHGXHWULDQJROLVLPLOL 4

5 Siano $% e &' due corde di una circonferenza di centro 2 che si incontrano nel punto ( interno alla circonferenza (Figura 4). Uniamo l estremo $ della prima corda con l estremo ' della seconda e analogamente % con &. Vogliamo dimostrare che i triangoli $'( e %(& sono simili. Osserviamo infatti che: ' $% ˆ = '& ˆ% in quanto angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco '%, '($ ˆ = %( ˆ& poiché opposti al vertice e $ '( ˆ = &% ˆ ( per differenza (in quanto la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto). I triangoli $'( e %(& sono quindi simili in base al primo criterio. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:,srwhvl: le due corde $% e &' si incontrano nel punto (interno alla circonferenza ' $% ˆ = '& ˆ% (teorema sugli angoli alla circonferenza, ipotesi) '($ ˆ = %( ˆ& (angoli opposti al vertice, ipotesi) $ '( ˆ = &% ˆ( (teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo, 1, 2) 7HVL: $'( e &%( simili (primo criterio di similitudine, 1, 2, 3) Questo teorema ha un importante corollario: )LJXUD,OWHRUHPDGHOOHGXHFRUGH 'XHFRUGHGLXQDFLUFRQIHUHQ]DFKHVLLQFRQWUDQRLQXQSXQWRYHQJRQRGDTXHVWRGLYLVH LQPRGRFKHOHGXHSDUWLGHOO XQDIRUPLQRLPHGLHOHGXHSDUWLGHOO DOWUDJOLHVWUHPLGL XQDSURSRU]LRQH Per la dimostrazione facciamo riferimento ancora alla Figura 4; avendo dimostrato che i triangoli $'( e %&( sono simili, abbiamo '( : $( = %( : &(.,OWHRUHPDGHOOHGXHVHFDQWL Due corde non parallele che non si incontrano internamente alla circonferenza (ad esempio $' e %& nella Figura 4) si incontreranno comunque fuori di essa. Anche in questo caso possiamo individuare due triangoli simili stabilendo un risultato del tutto analogo al teorema delle due corde. &RQGRWWH GD XQ SXQWR HVWHUQR D XQD FLUFRQIHUHQ]D GXH VHFDQWL H XQLWL JOL HVWUHPLGHOOHFRUGHFKHFRVuVLYHQJRQRD IRUPDUH VL RWWHQJRQR GXH WULDQJROL VLPLOL Siano $% e &' due corde di una )LJXUD,OWHRUHPDGHOOHGXHVHFDQWL 5

6 circonferenza di centro 2 che si incontrano nel punto (, esterno alla circonferenza (Figura 5). Uniamo l estremo $ della prima corda con l estremo ' della seconda e analogamente % con &. Vogliamo dimostrare che i triangoli $'( e %(& sono simili. Osserviamo infatti che: ' $% ˆ = '&% ˆ in quanto angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco '%, l angolo '($ ˆ = %( ˆ& è in comune e $ '( ˆ = &% ˆ ( per differenza (in quanto la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto). I triangoli $'( e %(& sono quindi simili in base al primo criterio. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:,srwhvl: le due corde $% e &' si incontrano nel punto ( esterno alla circonferenza ' $% ˆ = '& ˆ% (teorema sugli angoli alla circonferenza, ipotesi) '($ ˆ = %( ˆ& $ '( ˆ = &% ˆ( (teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo, 1, 2) 7HVL: $'( e &%( simili (primo criterio di similitudine, 1, 2, 3) Analogamente al teorema delle due corde, anche per quello delle due secanti possiamo stabilire un corollario: 6HGXHVHFDQWLGLXQDFLUFRQIHUHQ]DVLLQFRQWUDQRLQXQSXQWRHVWHUQRDGHVVDXQDLQWHUD VHFDQWH H OD VXD SDUWH HVWHUQD IRUPDQR L PHGL PHQWUH O DOWUD VHFDQWH H OD VXD SDUWH HVWHUQDIRUPDQRJOLHVWUHPLGLXQDSURSRU]LRQH Infatti, essendo i triangoli $'( e %&( di Figura 5 simili, si ha '( : $( = %( : &(.,OWHRUHPDGHOODWDQJHQWHHGHOODVHFDQWH Dopo aver considerato due corde che si incontrano internamente alla circonferenza e due secanti che si incontrano fuori di essa, analizziamo il caso in cui si abbia una tangente e una secante. Anche in questo caso possiamo individuare due triangoli simili e quindi una relazione di proporzionalità tra i vari segmenti che formano la figura. )LJXUD,OWHRUHPDGHOODWDQJHQWHHGHOODVHFDQWH 6HXQDWDQJHQWHHXQDVHFDQWHDXQDFLUFRQIHUHQ]DVLLQFRQWUDQRLQXQSXQWRHVWHUQRDG HVVD LO VHJPHQWR GL WDQJHQ]D q PHGLR SURSRU]LRQDOH WUD O LQWHUD VHFDQWH H OD VXD SDUWH HVWHUQD Per la dimostrazione facciamo riferimento alla Figura 6; vediamo che i triangoli $%& e $%' sono simili in base al primo criterio. Infatti l angolo in $ è in comune, &'% ˆ = &% ˆ$ poiché angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco &% (in particolare, l angolo 6

7 &%$ ˆ rappresenta il caso particolare in cui uno dei lati è tangente in un estremo dell arco) e $ &% ˆ = $%' ˆ per differenza di angoli uguali in quanto la somma degli angoli interni in un triangolo è uguale a un angolo piatto. Considerando la posizione degli angoli, le coppie di lati corrispondenti nei triangoli $%& e $%' sono rispettivamente: $% con $', $& con $%, &% con &'. Possiamo quindi scrivere la proporzione $& : $% = $% : $', che è la tesi del teorema. Scriviamo formalmente i passaggi della dimostrazione:,srwhvl: $% segmento di tangenza, $' secante della circonferenza &'% ˆ = &% ˆ$ (teorema sugli angoli alla circonferenza, ipotesi) ' $% ˆ = &$ ˆ% $ &% ˆ = $% ˆ' (teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo, 1, 2) $%& e $%' simili (primo criterio di similitudine, 1, 2, 3) 7HVL: $& : $% = $% : $' (4) 9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQHHFRQRVFHQ]D 1. Qual è il significato intuitivo della similitudine? 2. Fai un esempio di poligoni simili. 3. Come viene definita la relazione di similitudine tra poligoni? 4. Che relazione vi è tra uguaglianza e similitudine? 5. Di quali proprietà formali gode la relazione di similitudine? 6. Che cos è un FULWHULRGLVLPLOLWXGLQH? 7. Enuncia e dimostra il primo criterio di similitudine per i triangoli. 8. Enuncia e dimostra il secondo criterio di similitudine per i triangoli. 9. Enuncia e dimostra il terzo criterio di similitudine per i triangoli. 10. Enuncia e dimostra il teorema delle due corde. 11. Enuncia e dimostra il corollario del teorema delle due corde. 12. Enuncia e dimostra il teorema delle due secanti. 13. Enuncia e dimostra il corollario del teorema delle due secanti 14. Enuncia e dimostra il teorema della tangente e della secante. 3UREOHPL 1. Dato un triangolo $%& e un segmento '( costruisci con riga e compasso il triangolo '(), simile ad $%& in tale che ai vertici $ e % del primo triangolo corrispondano ' ed ( nel secondo. (6XJJHULPHQWRDSSOLFDLOSULPRFULWHULR) 2. Dimostra che in due triangoli simili le bisettrici relative a due vertici corrispondenti stanno nello stesso rapporto di due lati omologhi. 3. Dimostra che in un triangolo le altezze sono inversamente proporzionali ai lati su cui cadono. 4. Dimostra che in due triangoli simili due mediane corrispondenti stanno nello stesso rapporto di due lati omologhi. 5. Dimostra che in due triangoli simili le altezze relative a due lati corrispondenti stanno nello stesso rapporto di due lati omologhi. 6. Dimostra che le diagonali di un trapezio si dividono in parti proporzionali. 7

8 7. Dato il triangolo $%& costruisci con riga e compasso il triangolo $ % & simile ad $%& ed avente perimetro uguale ad un segmento S assegnato. (6XJJHULPHQWR L SHULPHWULVWDQQRQHOORVWHVVRUDSSRUWRGHLODWL) 8. È data una circonferenza e un triangolo $%& inscritto in essa. Traccia la bisettrice dell angolo in& che incontra il lato $% in. e la circonferenza nell ulteriore punto '. Dimostra che i triangoli $.&, '.% e '%& sono simili. 9. In un rettangolo, l angolo che una diagonale forma con una delle basi è uguale al corrispondente angolo in un altro rettangolo; dimostra che i due rettangoli sono uguali. 10. Sono date due corde $% e %& di una circonferenza di centro 2. Sia W la tangente alla circonferenza in % e U una qualsiasi retta parallela a W che incontra le corde $% e %& in 3 e 4 rispettivamente. Dimostra che i triangoli $%& e 3%4 sono simili. (6XJJHULPHQWROHFRUGHIRUPDQRFRQODWDQJHQWHXQDQJRORDOODFLUFRQIHUHQ]D) 11. Sono dati i due triangoli $%& e '() dei quali si sa che $ ˆ = ' ˆ e che gli angoli in % ed ( sono supplementari (assumi che %ˆ sia acuto). Dimostra che vale la proporzione $& : &% = ') : )(.(6XJJHULPHQWRXQLVFLLOYHUWLFH& FRQXQSXQWR GHOODEDVH$%LQPRGRGDRWWHQHUHXQWULDQJRORVLPLOHD'()). 12. Dato un triangolo $%& qual è il luogo geometrico dei punti medi delle corde parallele ad $%? 13. Dato un triangolo isoscele $%& di base $% costruisci la circonferenza avente come centro 0, punto medio di $%, e tangente ai lati $& e %& in 5 ed 6 rispettivamente. Sul minore degli archi 56 prendi un punto 7 e traccia la tangente alla circonferenza in 7 che incontra i lati $& e %& in ' ed ( rispettivamente. Dimostra che i triangoli $0', '0( e (0% sono simili. (6XJJHULPHQWRODVRPPDGHJOLDQJROLLQWHUQLGHO TXDGULODWHUR$'(%YDOH). 14. Dimostra che in due triangoli simili i raggi delle circonferenze circoscritte stanno tra loro nello stesso rapporto di una coppia di lati omologhi. 15. Dimostra che in due triangoli simili i raggi delle circonferenze inscritte stanno tra loro nello stesso rapporto di una coppia di lati omologhi. 16. Date due semirette U ed V e detta 9 la loro comune origine traccia la semiretta X anch essa di origine 9, interna all angolo tra U ed V. Presi due punti $ e % su X traccia per $ la parallela ad V che incontra U in & e la parallela ad U che incontra V in '. Analogamente traccia per % la parallela ad V che incontra U in ( e la parallela ad U che incontra U in ). Dimostra che $& : %( = $' : %). 17. Dimostra che se due segmenti $% e &' si incontrano in un punto ( tale che $( : (& = '( : (% allora $, %, & e ' appartengono alla stessa circonferenza. 18. Sono date due circonferenze secanti in $ e %, sia U la retta per $ e % e 3 un qualsiasi punto di U esterno al segmento $%. Da 3 traccia le tangenti alle circonferenze. Dimostra che i quattro segmenti di tangenza sono tutti uguali tra loro. (6XJJHULPHQWRSURFHGLSHUDVVXUGR). 19. È dato il triangolo $%& in cui l angolo $ˆ è acuto. Traccia la semicirconferenza di diametro %& che incontra i lati $% e %& in 3 e 4. Dimostra che i triangoli $%& e $34 sono simili. 20. Dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinché due quadrilateri convessi siano simili è che abbiano ordinatamente tre angoli uguali e una coppia di lati consecutivi in proporzione. 8