Macchine di Turing. Valerio Perticone, Settimo Termini

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1 Macchine di Turing Valerio Perticone, Settimo Termini

2 Calcolabilità Avevamo già introdotto il concetto di calcolabilità quando si parlava di complessità degli algoritmi Non tutte le funzioni matematiche ben poste sono calcolabili Esistono problemi indecidibili Non esiste un modo per trovare un algoritmo che sia in grado di decidere per quali valori il predicato sia vero o falso Teorema della fermata

3 (Turing, 1936) On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem Articolo pubblicato su Proceedings of the London Mathematical Society Entscheidungsproblem = problema della decisione Posto dal matematico David Hilbert nel 1928 Risolto nel 1936 in maniera indipendente da Alan Turing e Alonzo Church

4 Numeri calcolabili? I numeri calcolabili sono numeri reali la cui espansione decimale può essere calcolata usando risorse finite Per Turing un numero è calcolabile se il suo decimale può essere scritto da una macchina La sua giustificazione è che l essere umano ha una memoria limitata

5 Computing is normally done by writing certain symbols on paper. "We may suppose this paper is divided into squares like a child's arithmetic book. In elementary arithmetic the two-dimensional character of the paper is sometimes used. But such a use is always avoidable, and I think that it will be agreed that the two-dimensional character of paper is no essential of computation. I assume then that the computation is carried out on one-dimensional paper, i.e. on a tape divided into squares. I shall also suppose that the number of symbols which may be printed is finite. If we were to allow an infinity of symbols, then there would be symbols differing to an arbitrarily small extent j. The effect of this restriction of the number of symbols is not very serious. It is always possible to use sequences of symbols in the place of single symbols. Thus an Arabic numeral such as

6 17 or is normally treated as a single symbol. Similarly in any European language words are treated as single symbols (Chinese, however, attempts to have an enumerable infinity of symbols). The differences from our point of view between the single and compound symbols is that the compound symbols, if they are too lengthy, cannot be observed at one glance. This is in accordance with experience. We cannot tell at a glance whether and are the same. The behaviour of the computer at any moment is determined by the symbols which he is observing, and his " state of mind " at that moment. We may suppose that there is a bound B to the number of symbols or squares which the computer can observe at one moment. If he wishes to observe more, he must use successive observations. We will also suppose that the number of states of mind which need be taken into account is finite. The reasons for this are of the same character as those which restrict the

7 The reasons for this are of the same character as those which restrict the number of symbols. If we admitted an infinity of states of mind, some of them will be '' arbitrarily close " and will be confused. Again, the restriction is not one which seriously affects computation, since the use of more complicated states of mind can be avoided by writing more symbols on the tape. Let us imagine the operations performed by the computer to be split up into "simple operations" which are so elementary that it is not easy to imagine them further divided. Every such operation consists of some change of the physical system consisting of the computer and his tape. We know the state of the system if we know the sequence of symbols on the tape, which of these are observed by the computer (possibly with a special order), and the state of mind of the computer. We may suppose that in a simple operation not more than one symbol is altered. Any other changes [ ]

8 Sintesi L idea è quindi quella di avere: Processi di base il più elementari possibili Numero finito di simboli Numero finito di stati Possiamo ridurre le operazioni alle due seguenti:

9 (A) A possible change (a) of symbol together with a possible change of state of mind. (B) A possible change (6) of observed squares, together with a possible change of state of mind. The operation actually performed is determined, as has been suggested on p. 250, by the state of mind of the computer and the observed symbols. In particular, they determine the state of mind of the computer after the operation is carried out. We may now construct a machine to do the work of this computer. To [ ] q a

10 Macchina di Turing Nella macchina di Turing (MT) abbiamo: un nastro (potenzialmente) infinito diviso in quadrati (celle) di eguale dimensione ogni cella può contenere un simbolo scelto da un alfabeto finito una testa che è in grado di osservare un simbolo alla volta una memoria che è in grado di immagazzinare un insieme finito di regole

11 Formalmente Sia M la nostra macchina di Turing Siano q1, q2,, qn gli stati di M Siano s0, s1,, sm i simboli dell alfabeto In particolare assumiamo che s0 = B (blank) indichi una cella dove non vi è scritto nulla La MT può osservare solamente una cella per volta trovandosi in uno degli stati disponibili

12 Quadruple Descriviamo le operazioni precedenti in termini di quadruple qi sj sk ql qi sj R ql qi sj L ql Per comodità più avanti assumeremo un alfabeto binario in cui s0 = B e s1 = Analizziamo la forma della prima quadrupla qi sj sk ql!

13 Quadruple qi sj sk ql! Se la MT si trova nello stato qi e legge il simbolo sj scrive il simbolo sk nella cella che sta osservando passando nello stato ql Nel nostro caso abbiamo un alfabeto composto da soli due simboli (B e ) quindi la quadrupla può assumere una delle seguenti forme:

14 ! qi B B ql qi B ql qi ql qi B ql qi sj R ql L qi sj ql lascia la cella vuota scrivi lascia la cella con cancella il contenuto spostati a destra spostati a sinistra N.B. in tutti i casi cambiamo stato da qi a ql

15 Quadruple Possiamo definire una MT usando un insieme finito di quadruple Se nessuna quadrupla ha i primi due simboli identici ad un altra quadrupla, la MT è deterministica Conveniamo che q1 è lo stato iniziale L MT si ferma se, trovandosi nello stato qi e leggendo il simbolo sj, non è presente una quadrupla che cominci con qi sj

16 Codifica Utilizziamo l MT per calcolare alcune semplici funzioni Rappresentiamo sul nastro i numeri naturali utilizzando le barrette Per evitare di usare B per rappresentare lo zero poniamo: 0, 1, 2 e così via

17 Codifica Quando la MT si ferma leggiamo i simboli presenti nel nastro come risultato del calcolo Se abbiamo più variabili d ingresso, rappresentiamo i valori separati da uno spazio bianco (B) All avvio della MT, la macchina si troverà nello stato q1 e leggerà la prima cella con simbolo

18 Esempi Funzione successore: f(n) = n + 1 È rappresentata dalla quadrupla q 1 B B q 1 Questo perché in ingresso abbiamo n + 1 barrette, mentre in uscita leggiamo il numero di barrette Se scriviamo 3 sul nastro abbiamo 3, quindi il nastro sarà B B che ha esattamente 4 barrette Non eseguiamo nessuna operazione perché è assente la quadrupla che comincia con q 1

19 Esempi Funzione identità: f(n) = n In questo caso, per come abbiamo definito la codifica, ci serve eliminare un simbolo (poiché noi rappresentiamo n + 1, mentre ci serve solo n) Anche in questo caso basta una sola quadrupla: q1 B q1

20 Considerazioni Se è così semplice, perché non utilizziamo le MT? Perché le cose iniziano a complicarsi per operazioni meno banali! Somma: q1 B q1 q1 B R q2 q2 R q2 q2 B R q3 q3 B q3 La sottrazione richiede 17 quadruple, utilizzando ben 9 stati (sempre con i due simboli B e )

21 MT che raddoppia 0:1 1:L 0:R 1:L 1:R 0:R 0:L 0:L 1:L 0:L :L 0:L 0:L 0:1 0:1 1:R 1:R 1:0 1:L 1:L 11 1:L 0:R 12 f(n) = 2n MT con 12 stati