UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE Facoltà di Scienze M.F.N. Corso di Laurea in Matematica. Prof. Andrea Stefanini

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE Facoltà di Scienze M.F.N. Corso di Laurea in Matematica Prof. Andrea Stefanini Appunti aggiuntivi al corso di LABORATORIO DI FISICA 2 STRUMENTAZIONE E MISURE ELETTRICHE Anno Accademico

2 1 Introduzione In questo capitolo verrà presentata la strumentazione disponibile in laboratorio e verranno illustrate le misure in corrente continua e in alternata. Verranno elencate le caratteristiche dei singoli strumenti e le operazioni necessarie per il loro corretto utilizzo nelle esperienze di laboratorio. Verranno infine menzionate le più importanti fonti di incertezza, delle quali si deve tenere conto nella determinazione del risultato delle misure. 2 Alimentatore di tensione L alimentatore di tensione disponibile in laboratorio, mostrato in fig.1, è un alimentatore digitale regolabile stabilizzato. La tensione continua fornita ai terminali di uscita è ottenuta tramite il raddrizzamento della tensione alternata di rete. Tale raddrizzamento non è mai perfetto e quindi la tensione d uscita non è esattamente costante ma presenta una residua oscillazione, il cosiddetto ripple. Tramite un pomello (indicato con COURSE) posto sul frontale dello strumento è possibile variare con continuità, all interno della portata, la tensione fornita ai terminali di uscita. Il valore di tale tensione viene mostrato sul display digitale frontale; sullo stesso display è anche possibile leggere la corrente erogata dall alimentatore. A Figura 1: Alimentatore di tensione tal fine sul pannello frontale è posizionato un interruttore che permette di passare dall una all altra modalità di lettura. Nella successiva tabella sono riportate le principali caratteristiche dell alimentatore. Tensione uscita Corrente massima Ripple Protezione uscita 1-15 V DC 5 A 20 mv elettronica La protezione elettronica di uscita impedisce eventuali danneggiamenti dello strumento in caso di fortuiti corto circuiti esterni. In tabella sono riportati, sotto la voce Tensione di uscita, il valore minimo e quello massimo della tensione che il generatore può fornire. Si noti che il valore minimo è pari a 1 V e quindi il generatore, una volta acceso, fornisce sempre ai suoi terminali di uscita una tensione diversa da zero. La polarità della tensione di uscita è tale che il terminale di colore rosso abbia sempre potenziale maggiore di quello nero. La tensione e la corrente fornite dall alimentatore sono mostrate sul display, rispettivamente in volt e in ampère, utilizzando tre cifre. Ne consegue una incertezza sul loro valore pari a 0.1 V per la tensione, e di 0.01 A per la 2

3 corrente. Un circuito interno al alimentatore assicura la costanza della tensione di uscita, indipendentemente dalla corrente erogata, e quindi rende praticamente nulla la resistenza interna dell alimentatore. 3 Multimetro Il multimetro disponibile in laboratorio, mostrato in fig.2, è un multimetro analogico. Il multimetro può effettuare, tramite l utilizzo dei puntali disponibili, una volta che i corrispondenti spinotti, rosso e nero, siano stati inseriti nelle appropriate boccole, le seguenti misure: valore di una tensione continua (V DC) valore di una corrente continua (I DC) valore efficace di una tensione sinusoidale (V AC) valore efficace di una corrente sinusoidale (I AC) valore di una resistenza valore di una capacità Figura 2: Multimetro Il valore misurato viene indicato sulla scala circolare del quadrante frontale corrispondente alla funzione prescelta tramite la rotazione di un indice che scorre su di essa. Prima di iniziare le misure è bene accertarsi che l indice dello strumento sia in corrispondenza dello zero posto a sinistra dell arco del quadrante. Se ciò non si verifica, si può portare l indice a coincidere con lo zero ruotando con un piccolo cacciavite il piolino con testa tagliata posto sulla parte inferiore del frontale. Per ridurre i possibili errori di parallasse nelle misure, la scala circolare è provvista di uno specchietto ad essa parallelo; l operatore dovrà quindi realizzare la misura guardando la posizione dell indice con un solo occhio e avendo cura che l immagine dell indice riflessa nello specchietto non sia visibile. 3.1 Misura di una tensione in continua Come mostrato schematicamente in Fig.3, la misura si realizza introducendo lo spinotto nero dei puntali nella boccola contrassegnata con la dicitura = e quello rosso in una delle boccole contrassegnate dalle diciture nere 100 mv =, 2 V =, 10 V =, 50 V =, 200 V = e 1000 V =, a seconda della portata prescelta e applicando i puntali al circuito in esame. Quando il valore della tensione non è conosciuto, 3

4 Figura 3: Misura di tensione in DC conviene iniziare le misure usando la portata massima e ridurre gradualmente la portata fino a raggiungere quella ottimale. La lettura della tensione viene effettuata sulla scala DC nera. Nella successiva tabella sono riportate le caratteristiche di precisione delle misure realizzabili, in funzione della portata prescelta. Portata 100 mv 2 V 10 V 50 V 200 V 500 V 1000 V Risoluzione 2 mv 0.04 V 0.2 V 1 V 4 V 10 V 20 V Precisione ± 2 % f.s. Il Voltmetro è inoltre caratterizzato da un valore di Ω/V ; questo vuol dire che per ottenere una deflessione fondo scala (f.s.) dell indice è necessaria una corrente di 50 µa (1 Volt diviso Ω dà 50 µa). Moltiplicando tale valore per la portata scelta si ottiene la resistenza interna dello strumento nelle condizioni di utilizzo. 3.2 Misura di una intensità di corrente in continua Come mostrato schematicamente in Fig.4, la misura si realizza introducendo lo spinotto nero dei puntali nella boccola contrassegnata con la dicitura = e quello rosso in una delle boccole contrassegnate dalle diciture nere 50 µa =, 500 µa =, 5 ma =, 50 ma =, 500 ma = e 5 A =, a seconda della portata prescelta e applicando i puntali al circuito in esame. Quando il valore della corrente non è conosciuto, conviene iniziare le misure Figura 4: Misura di corrente in DC usando la portata massima e ridurre gradualmente la portata fino a raggiungere quella ottimale. La lettura della corrente viene effettuata sulla scala DC nera. Nella successiva tabella sono riportate le caratteristiche di precisione delle misure realizzabili, in funzione della portata prescelta. Portata 50 µa 500 µa 5 ma 50 ma 500 ma 5 A Risoluzione 1 µa 10 µa 0.1 ma 1 ma 10 ma 0.1 A Precisione ± 2 % f.s. c.d.t. 100 mv 294 mv 318 mv 320 mv 4

5 Nella tabella è anche riportata la caduta di tensione (c.d.t.) di fondo scala nelle varie portate: da essa è immediatamente ricavabile il valore della resistenza interna dello strumento. 3.3 Misura del valore efficace di una tensione sinusoidale Come mostrato schematicamente in Fig.5, la misura si realizza introducendo lo spinotto nero dei puntali nella boccola contrassegnata con la dicitura rossa e quello rosso in una delle boccole contrassegnate dalle diciture rosse 10 V, 50 V, 250 V, 750 V, a seconda della portata prescelta e applicando i puntali al circuito in esame. Quando il valore della tensione non è conosciuto, conviene iniziare le misure selezionando la portata Figura 5: Misura di tensione in AC massima e ridurre gradualmente la portata fino a raggiungere quella ottimale. La lettura della tensione viene effettuata sulla scala AC rossa. Nella successiva tabella sono riportate le caratteristiche di precisione delle misure realizzabili, in funzione della portata prescelta. Portata 10 V 50 V 250 V 750 V Risoluzione 0.2 V 1 V 5 V 20 V Precisione 20Hz 1kHz : ±2% f.s. Risposta in fino a 1 MHz fino a 30 khz fino a 1.5 khz fino a 1.5 khz frequenza ±0.5dB ±1dB ±1dB ±1dB Nella tabella è riportata anche la risposta in frequenza del multimetro che differisce a seconda della portata selezionata. La risposta in frequenza indica l ambito di frequenze nel quale lo strumento può essere utilizzato in maniera affidabile e l incertezza di fondo scala nelle varie regioni di frequenza permesse. Se si è effettuata una misura con fondo scala 10 V, il valore misurato avrà una incertezza relativa di ± 2% se la frequenza del segnale è tra 20 Hz e 1 khz, mentre sarà di ± 6% (pari a ± 0.5 db) se la frequenza è tra 1 khz e 1 MHz. Il Voltmetro è inoltre caratterizzato da un valore di 4000 Ω/V, il che vuol dire che per ottenere una deflessione fondo scala dell indice è necessaria una corrente di 250 µa (1 volt diviso 4000 Ω dà 250 µa). Moltiplicando tale valore per la portata scelta si ottiene la resistenza interna dello strumento nelle condizioni di utilizzo. 5

6 3.4 Misura del valore efficace di una corrente sinusoidale Come mostrato schematicamente in Fig.6, la misura si realizza introducendo lo spinotto nero dei puntali nella boccola contrassegnata con la dicitura rossa e quello rosso in una delle boccole contrassegnate dalle diciture rosse 250 µa, 2.5 ma, 25 ma, 250 ma e 2.5 A, a seconda della portata prescelta e applicando i puntali al circuito in esame. Quando il valore della tensione non è conosciuto, Figura 6: Misura di corrente in AC conviene iniziare la misura nella portata massima e ridurre gradualmente la portata fino a raggiungere quella ottimale. La lettura della tensione viene effettuata sulla scala AC rossa. Nella successiva tabella sono riportate le caratteristiche di precisione delle misure realizzabili, in funzione della portata prescelta. Portata 250 µa 2.5 µa 25 ma 250 ma 2.5 A Risoluzione 5 µa 0.05 ma 0.5 ma 5 ma 0.05 A c.d.t. 2 V 1.5 V 1.6 V 1.6 V 1.9 V Precisione 20Hz 1kHz : ±2% f.s. Risposta in fino a 5 khz fino a 20 khz fino a 50 khz fino a 5 khz fino a 2 khz frequenza ±1dB ±1dB ±1dB ±1dB ±1dB Nella tabella è anche riportata la caduta di tensione (c.d.t.) di fondo scala nelle varie portate: da essa è immediatamente ricavabile il valore della resistenza interna dello strumento. Anche in questo caso la tabella riporta la risposta in frequenza del multimetro, ovvero l ambito di frequenze in cui è possibile effettuare la misura e l incertezza relativa sui valori ottenuti. 3.5 Misura di una resistenza Lo strumento permette di misurare resistenze nell ambito di valori tra 0 e 10 MΩ; per ottenere una maggiore precisione, ha due modalità diverse di misura a seconda del valore della resistenza da misurare. Misura di una resistenza superiore a 500 Ω Come mostrato schematicamente in Fig.7, la misura si realizza introducendo uno spinotto dei puntali nella boccola contrassegnata con la dicitura AUTO Ω ZERO e l altro in 6

7 una delle boccole contrassegnate dalle diciture nere Ω x 1, Ω x 10, Ω x 100 e Ω x 1000 a seconda della portata prescelta e applicando i puntali agli estremi del resistore in esame. La lettura della resistenza viene effettuata sulla scala superiore dello strumento relativa alle misure ohmetriche moltiplicandola per la portata scelta. Nella successiva tabella sono riportate le caratteristiche delle misure realizzabili, in funzione della portata prescelta (con c.c.c. viene indicata la corrente di corto circuito). Figura 7: Misura di resistenza Portata Ω x 1 Ω x 10 Ω x 100 Ω x 1000 c.c.c. 55 ma 5.5 ma 0.55 ma 55 µa Precisione ± 2 % ampiezza angolare scala Scala iperbolica 50 Ω centro scala Misura di una resistenza inferiore a 500 Ω Figura 8: Misura di resistenza Come mostrato schematicamente in Fig.8, prima di eseguire la misura è necessario cortocircuitare con il ponticello dato in dotazione le due boccole ohm e ohm x 1 ; successivamente si devono inserire gli spinotti dei puntali nelle boccolle contrassegnate Low ohm. La lettura della resistenza viene effettuata sulla scala nera (iperbolica, 50 Ω centro scala) indicata con Low ohm ; per effettuare una misura accurata bisogna ricordarsi di sottrarre il valore resistivo dei puntali, misurato mettendoli tra loro in corto circuito. 3.6 Misura di una capacità Lo strumento permette di misurare capacità nell ambito di valori tra 0 e 50 mf utilizzando il metodo balistico. Come mostrato schematicamente in Fig.9, la misura si realizza introducendo uno spinotto dei puntali nella boccola contrassegnata con la dicitura AU- 7

8 TO Ω ZERO e l altro in una delle boccole contrassegnate dalle diciture nere Ω x 1, Ω x 10, Ω x 100 e Ω x Dopo aver verificato l azzeramento dello strumento, cortocircuitando i puntali, si effettua la misura collegando i puntali al condensatore e invertendoli più volte fino a quando l indice non tende a posizionarsi stabilmente sullo 0; a questo punto si inverte le polarità dei puntali e si effettua la lettura. La misura è comunque una indicazione veloce, perché subito dopo l indice ritorna ancora a 0. Nella Fig.10 è riportato il pettine di raffronto tra la scala 0-50 e i diversi valori di capacità a seconda delle Figura 9: Misura di capacità varie portate ohmetriche impiegate. Figura 10: Scala per misure di capacità 8

9 4 L oscilloscopio L oscilloscopio, di cui è mostrata una foto in Fig.11, è uno strumento di misura elettronico che consente di visualizzare, su un grafico bidimensionale, l andamento temporale di segnali elettrici. Sull asse orizzontale del grafico solitamente viene riportato il tempo, rendendo l oscilloscopio adatto ad analizzare segnali variabili col tempo, dalle grandezze Figura 11: Oscilloscopio analogico a due canali periodiche agli eventi casuali e non ripetitivi. Sull asse verticale è riportata la tensione del segnale che si vuole visualizzare. La banda passante dello strumento (100MHz nel mod. 2235) indica la frequenza massima dei segnali visualizzabili, così come la risoluzione temporale, ovvero la più rapida variazione rilevabile. Sul pannello frontale si trovano sia lo schermo di visualizzazione dei segnali sia tutti i pannelli di comandi. Allo schermo è sovrapposto un reticolo allo scopo di favorire la lettura dei dati. Ogni intervallo del reticolo è chiamato divisione, sull asse orizzontale le divisioni sono solitamente 10, sull asse verticale 8. Ciascuna divisione è ulteriormente divisa in 5 intervalli. A destra dello schermo c è il pannello della scala delle ampiezze, mostrato in Fig.12 che gestisce due canali (CH1 e CH2). A fianco si trova il pannello base dei tempi che è comune a entrambi i canali e a destra il pannello del trigger, di cui spiegheremo successivamente l utilità. Il segnale da misurare viene introdotto attraverso un apposito connettore (tipo coassiale BNC). In modalità semplice, un punto luminoso percorre lo schermo da sinistra a destra a velocità costante, ridisegnando ripetutamente una linea orizzontale. La velocità di scansione è selezionabile per mezzo di una manopola presente sul pannello, la quale comanda il circuito base dei tempi. Questo circuito genera precisi intervalli di tempo, che possono variare da pochi secondi a qualche nanosecondo; i valori, espressi in unità di tempo per divisione, sono riportati sulla manopola e permettono di selezionare la portata temporale dello strumento. In assenza di segnale, la traccia è solitamente al centro dello schermo, e l applicazione di un segnale all ingresso, provoca la deflessione verso l alto o verso il basso, in funzione della polarità del segnale. La scala verticale è espressa in volt per divisione, e può essere regolata da decine a millesimi di volt. L altezza iniziale del grafico (offset) può comunque essere decisa dall utente, così come è possibile escludere 9

10 la componente in corrente continua presente nel segnale in esame. In questo modo si ottiene la visualizzazione di un grafico di tensione in funzione del tempo. Se il segnale è periodico, è possibile ottenere una traccia stabile regolando la base dei tempi in modo che la frequenza di scansione coincida con la frequenza del segnale o con un suo sottomultiplo. L oscillatore della base dei tempi, non essendo sincronizzato con il segnale in analisi, impedisce di avere una traccia stabile e ferma, questa fluttuerà lentamente da destra a sinistra o viceversa. Per ottenere una traccia stabile gli oscilloscopi dispongono di una funzione chiamata trigger (innesco); questo circuito fa partire la scansione solo in corrispondenza del verificarsi di un evento sul segnale in ingresso, per esempio il superamento di una soglia di ten- Figura 12: Pannello con la scala verticale e i connettori di ingresso (CH1 e CH2) (blu); sione positiva o negativa. Dopo avere pannello con la base dei tempi (rosso) e completato la scansione da sinistra a destra, l oscilloscopio rimane in attesa di pannello del trigger (verde) un nuovo evento. In questo modo la visualizzazione rimane sincronizzata al segnale e la traccia è perfettamente stabile. La soglia di sensibilità del trigger, così come altri parametri, è regolabile. Il circuito del trigger può essere configurato per mostrare una sola scansione di un segnale non periodico, come un singolo impulso o sequenze di impulsi non ripetitivi. 10

11 5 Misure di laboratorio in DC Le misure in continua richieste in laboratorio possono essere schematizzate in tre passi successivi: la misura delle resistenze fornite con un multimetro analogico, la misura della resistenza interna del multimetro analogico utilizzato come misuratore di corrente e come misuratore di tensione e la misura precisa di una resistenza utilizzando un ponte di Wheatstone. Descriveremo nel seguito ciascuno di questi passi. 5.1 Misure di resistenza con il multimetro analogico Allo studente vengono fornite 4 scatoline a due terminali ai quali sono collegati 4 diversi resistori. Lo studente dovrà misurare la resistenza di ciascuno di essi, selezionando la scala del multimetro più opportuna e dando una stima dell incertezza di misura. Ogni misura dovrà essere ripetuta più volte in modo da valutarne la sua riproducibilità. 5.2 Misure della resistenza interna del multimetro utilizzato come misuratore di corrente La resistenza interna del multimetro dipende dalla portata di corrente selezionata nello strumento. Il costruttore dichiara la d.d.p ai capi del multimetro quando questo viene attraversato dalla corrente di fondo-scala. La misura dovrà quindi essere ripetuta per ogni fondo-scala. Il metodo più diretto per misurare la resistenza interna sarebbe quello di collegare il multimetro direttamente ad un generatore di tensione, misurando poi la corrente che scorre nel circuito. Questo semplice schema di misura contrasta sia con le caratteristiche dell alimen- Figura 13: Circuito di misura tatore, che non può fornire tensioni inferiori ad 1 V, sia con la precisione con la quale si riesce a misurare la tensione fornita dal generatore. Per ovviare a questi inconvenienti, si può misurare la resistenza interna collegando il multimetro in serie ad una resistenza nota e all alimentatore di tensione (vedi fig.13). La tensione applicata dall alimentatore (V 0 ± V 0 ) dovrà essere impostata a circa 2.0 V e misurata con il multimetro stesso, valutandone anche l incertezza (lo studente, a conclusione dell esperienza, dovrebbe giustificare la scelta di questo valore). Si dovrà poi scegliere la resistenza R opportuna tra quelle disponibili da collegare in serie al multimetro. Esamineremo i singoli casi al fine di evidenziare i criteri utilizzati per la scelta di R. a) portata 50 µa Il costruttore dichiara 100 mv di caduta per corrente a fondo scala; ciò corrisponde ad una resistenza interna 100 mv/50 µa Ω. Per avere una corrente di 50 µa con una tensione applicata di 2 V è necessaria una resistenza R di circa 40 kω. Si monta quindi l alimentatore in serie con il multimetro (in portata 50 µa) e la 11

12 resistenza da 20 kω fornita, riducendo corrispondentemente la tensione applicata dal generatore (V 0 ) in modo da ottenere una corrente misurabile con la massima precisione. Noto il valore di R e misurati i valori della corrente i e della tensione V 0 con il multimetro, si può ottenere il valore di R i dalla relazione R i = V 0 i b) portata 500 µa Il costruttore dichiara 294 mv di caduta per corrente a fondo scala; ciò corrisponde a 294 mv/500 µa 588 Ω. Per avere una corrente di 500 µa con una tensione applicata di 2 V è necessaria una resistenza di 4 kω. Si monta quindi l alimentatore in serie con il multimetro (in portata 500 µa) e la resistenza da 2 kω fornita, riducendo corrispondentemente la tensione applicata dal generatore (V 0 ) in modo da ottenere una corrente misurabile con la massima precisione. Dalla misura di R, i e V 0 si ricava il valore di R i. c) portata 5 ma Il costruttore dichiara 318 mv di caduta per corrente a fondo scala; ciò corrisponde a 318 mv/5 ma 64 Ω. Per avere una corrente di 5 ma con una tensione applicata di 2 V è necessaria una resistenza di 400 Ω. Si monta quindi l alimentatore in serie con il multimetro (in portata 5 ma) e la resistenza da 200 Ω fornita, riducendo corrispondentemente la tensione applicata dal generatore (V 0 ) in modo da ottenere una corrente misurabile con la massima precisione. Dalla misura di R, i e V 0 si ricava il valore di R i. d) portata 50 ma Il costruttore dichiara 320 mv di caduta per corrente a fondo scala; ciò corrisponde a 320 mv/50 ma 6 Ω. Per avere una corrente di 50 ma con una tensione applicata di 2 V è necessaria una resistenza di 40 Ω. Si monta quindi l alimentatore in serie con il multimetro (in portata 50 ma) e la resistenza da 20 Ω fornita, riducendo corrispondentemente la tensione applicata dal generatore (V 0 ) in modo da ottenere una corrente misurabile con la massima precisione. Dalla misura di R, i e V 0 si ricava il valore di R i. In ogni caso lo studente dovrà determinare, oltre alla miglior stima di R i anche la miglior stima dell incertezza su R i, propagando quelle ottenute sulle grandezze misurate direttamente. 5.3 Misure della resistenza interna del multimetro utilizzato come misuratore di tensione Il misuratore di tensione ha Ω/V e quindi ci si aspetta che in portata 100 mv presenti una resistenza da 2 kω, in portata 2 V una R v da 40 kω, in portata 10 V una R 12

13 Figura 14: Circuito di misura R v da 200 kω e in portata 50 V una R v da 1 MΩ. Il circuito utilizzato per la misura di R v è quello mostrato in Fig. 14. In esso la tensione V 0 fornita dall alimentatore si ripartisce tra le due resistenze R e R v e quindi per ottenere una variazione significativa sulla tensione misurata dal multimetro, rispetto a quella (V 0 ) misurata connettendo il multimetro direttamente all alimentatore, dovranno essere utilizzate resistenze R confrontabili con R v. Avendo a disposizione resistenze che arrivano al massimo a valori di 20 kω sarà quindi possibile effettuare la misura solo in portata 100 mv, 2 V e, con precisione minore, 10 V. In ciascuna delle tre portate le operazioni da eseguire saranno le seguenti: misurare la tensione fornita dall alimentatore V 0 con il multimetro collegato direttamente all alimentatore e regolarla in modo da ottenere un valore vicino a quello del fondo scala prescelto; montare il multimetro in serie all alimentatore e alla resistenza R, scelta in modo da avere un valore confrontabile con quello di R v dichiarato dal costruttore; registrare la tensione V m misurata dal multimetro; determinare la resistenza interna del multimetro tramite la relazione determinare l incertezza su R v. V m R v = R V 0 V m 5.4 Misura di una resistenza con ponte di Wheatstone La misura si basa sull utilizzo del ponte di Wheatstone nella configurazione mostrata in Fig.15, dove P è un generatore di tensione, R la sua resistenza interna, R 1, R 2 e R 3 sono resistenze di valore noto, R x la resistenza incognita. Con G viene indicato il misuratore di corrente (nel nostro caso il multimetro) e con R G la sua resistenza interna. Per poter misurare la resistenza R x è necessario trovare la condizione in cui il misuratore di corrente dà una indicazione nulla. La condizione di corrente misurata nulla corrisponde a quella per cui V AB = 0, ovvero a quella per cui V AC = V BC. Si ricava quindi V AC = V R 2 R 1 + R 2 = V BC = V R x R 3 + R x dalla quale, con semplici passaggi, si ottiene Figura 15: Ponte di Wheatstone 13 R x = R 2R 3 R 1 (1)

14 Nella realizzazione pratica R 1 e R 2 sono due resistenze di valore circa uguale e noto (non interessa che sia noto con molta precisione, come vedremo in seguito), mentre R 3 è una cassetta campione a più decadi. Prima di montare il ponte è necessario controllare la massima potenza dissipabile sulle resistenze per evitare al momento dell accensione dell alimentatore esse vengano attraversate da una corrente troppo elevata e si danneggino. Fatta questa verifica e controllato lo zero del multimetro in assenza di segnale di ingresso, si accende il generatore P e si procede all azzeramento della corrente misurata dal multimetro agendo sulla resistenza R 3 e partendo inizialmente dalla portata massima del multimetro, riducendola poi man mano che ci si avvicina alla condizione finale. La procedura si conclude quando il multimetro, messo nella minima portata, indica zero. L incertezza relativa sul valore di R x ricavato dalla eq.(1) sarà data dalla somma delle incertezze relative delle singole resistenze utilizzate; per quanto riguarda la resistenza R 3 il costruttore fornisce l incertezza relativa su ciascuna delle decadi utilizzate e quindi per ottenere l incertezza su R 3 sarebbe necessario sommare i contributi dovuti a ogni decade, ottenuti moltiplicando il valore di ogni decade per la corrispondente incertezza relativa. Per semplicità nelle esperienze realizzate in laboratorio verrà utilizzata una incertezza relativa di La presenza nella eq.(1) del rapporto tra R 1 e R 2 suggerisce una procedura che rende ancora più preciso il metodo. Infatti, dopo aver realizzato la prima misura ed aver ottenuto l azzeramento con un certo valore di R 3, che indichiamo con R, potremo realizzarne una seconda invertendo tra di loro R 1 e R 2 e azzerando il multimetro per un valore R di R 3. R x può allora essere determinata dalla media geometrica delle due misurazioni R x = R R e l incertezza relativa su R x è allora data da R x = 1 R + 1 R (2) R x 2 R 2 R che non dipende più dall incertezza sulle resistenze R 1 e R 2. E chiaro che questa procedura è applicabile solo se R 1 R 2 ; in caso contrario infatti si dovrebbe avere a disposizione una cassetta di resistenza R 3 con un numero elevato di decadi e le due condizioni di azzeramento corrisponderebbero a correnti nei rami del circuito molto diverse tra loro, evidenziando possibili effetti spuri. La eq.(2) permette di determinare l incertezza su R x una volta che siano note le incertezze relative su R e R. Queste ultime possono essere determinate tenendo conto di due contributi: il primo è quello dovuto all incertezza sulla cassetta campione (10 3 ), mentre il secondo è quello legato alla sensibilità della misura. Per dare una stima del questo contributo all incertezza, lo studente, una volta raggiunta la condizione di minimo, determini sperimentalmente quali sono le variazioni, in eccesso e in difetto, di R 3 che producono una variazione sensibile nell indicazione del misuratore di corrente. 14

15 6 Misure in AC sul circuito CR Il circuito utilizzato in laboratorio è mostrato in Fig.16, dove con V si è indicato il generatore sinusoidale di tensione, con C il condensatore e con R il resistore disponibili. Si richiede di montare il circuito nella configurazione passa alto e di misurare con l oscilloscopio l andamento in funzione della frequenza sia del rapporto tra il segnale ai capi della resistenza R e quello di ingresso fornito dal generatore che dello sfasamento temporale tra di essi. Il rapporto tra il segnale di uscita e quello di ingresso (che indicheremo con A) è infatti un numero complesso il cui modulo è dato da Figura 16: Circuito CR Se si esprime A in decibel si ha 1 A = 1 + ( f l f ) 2 dove f l = 1/(2πRC) e l argomento θ è A db = 20 log A = 10 log θ = arctan 1 + ( fl f ) 2 ( ) fl f che per f = f l dà A db = 3 db, corrispondente ad una riduzione di un fattore 2 (pari al 70.8%) del segnale di uscita rispetto a quello in ingresso. La misura dovrà essere effettuata variando la frequenza del segnale di ingresso in un ambito che va a 0.01 a 100 volte f l. Riportando in carta semilogaritmica A db in funzione di f e determinando le rette che meglio si adattano ai dati nella regione di basse e di alte frequenze, sarà possibile determinare graficamente la loro intersezione che rappresenta la miglior stima di f l. Una ulteriore misura di f l sarà possibile ottenerla riportando in grafico (sempre in carta semilogaritmica) θ in funzione di f e andando a determinare il valore di f l corrispondente a quello di f per cui θ = π/4. Dalle misure di f l così ottenute sarà poi possibile dedurre, noto il valore di R (misurato con un multimetro), il valore della capacità C. Un ulteriore misura di C può essere ottenuta utilizzando la forma d onda quadra selezionabile sul generatore. Il passaggio della forma d onda attraverso il circuito provoca una differenziazione dell onda quadra in ingresso, producendo un segnale impulsivo ai capi della resistenza R con fronte di discesa del segnale, con una costante di tempo pari a RC. Se quindi RC è circa 0.2 ms, sarà sufficiente selezionare un onda quadra di periodo 2-5 ms (o frequenza tra 200 e 500 Hz) per osservare bene l effetto della differenziazione. Impostando l oscilloscopio in modo da mettere bene in evidenza il fronte di discesa del 15

16 segnale di uscita, si dovrà misurare la distanza in tempo ( t) tra l istante in cui il segnale assume un valore pari al 90% del valore iniziale e quello in cui assume un valore pari al 10% del valore iniziale. Dividendo t per 2.2 si otterrà così una nuova stima della costante di tempo RC e, conseguentemente, di C. 16

17 7 Misure in AC sul circuito LR Il circuito utilizzato in laboratorio è mostrato in Fig.17, dove con V si è indicato il generatore sinusoidale di tensione, con L l induttore e con R il resistore disponibili. Si richiede di montare il circuito nella configurazione passa basso e di misurare con l oscilloscopio l andamento in funzione della frequenza sia del rapporto tra il segnale ai capi della resistenza R e quello di ingresso fornito dal generatore che dello sfasamento temporale tra di essi. Il rapporto tra il segnale di uscita e quello di ingresso (che indicheremo con A) è infatti un numero complesso il cui modulo è dato da Figura 17: Circuito LR Se si esprime A in decibel si ha 1 A = 1 + ( ) f 2 f h dove f h = R/(2πL)e l argomento θ è ( ) f θ = arctan f h ( ) 2 f A db = 20 log A = 10 log 1 + f h che per f = f h dà A db = 3 db, corrispondente ad una riduzione di un fattore 2 (pari al 70.8%) del segnale di uscita rispetto a quello in ingresso. La misura dovrà essere effettuata variando la frequenza del segnale di ingresso in un ambito che va a 0.01 a 100 volte f h. Riportando in carta semilogaritmica A db in funzione di f e determinando le rette che meglio si adattano ai dati nella regione di basse e di alte frequenze, sarà possibile determinare graficamente la loro intersezione che rappresenta la miglior stima di f h. Una ulteriore misura di f h sarà possibile ottenerla riportando in grafico (sempre in carta semilogaritmica) θ in funzione di f e andando a determinare il valore di f h corrispondente a quello di f per cui θ = π/4. Dalle misure di f h così ottenute sarà poi possibile dedurre, noto il valore di R (misurato con un multimetro), il valore della induttanza L. Un ulteriore misura di L può essere ottenuta utilizzando la forma d onda quadra selezionabile sul generatore. Il passaggio della forma d onda attraverso il circuito provoca un arrotondamento dell onda quadra in ingresso, producendo un segnale ai capi della resistenza R con fronti di discesa e di salita caratterizzati da una costante di tempo pari a L/R. Se quindi L/R è circa 0.2 ms, sarà sufficiente selezionare un onda quadra di periodo 2-5 ms (o frequenza tra 200 e 500 Hz) per osservare bene l effetto dell arrotondamento. Impostando l oscilloscopio in modo da mettere bene in evidenza il fronte di salita del 17

18 segnale di uscita, si dovrà misurare la distanza in tempo ( t) tra l istante in cui il segnale assume un valore pari al 10% del valore finale e quello in cui assume un valore pari al 90% del valore finale. Dividendo t per 2.2 si otterrà così una nuova stima della costante di tempo L/R e, conseguentemente, di L. 18