A.A. 2012/2013 Scienza delle Finanze Esercitazione Sistema Pensionistico TESTO e SOLUZIONI

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1 A.A. 2012/2013 Scienza delle Finanze Esercitazione Sistema Pensionistico TESTO e SOLUZIONI Esercizio 1 a) Qual è la differenza tra sistema pensionistico a ripartizione con metodo contributivo e sistema pensionistico a capitalizzazione? b) Si supponga che in un economia in ogni periodo siano presenti 2 generazioni: ciascuna generazione vive per 2 periodi: nel primo lavora e versa contributi previdenziali, nel secondo cessa di lavorare e percepisce una pensione. Ipotizzando che nel paese il monte salari W t del primo periodo sia pari a 1000, che l aliquota contributiva α sia del 30%, il tasso di crescita della produttività m sia 3%, quello dell occupazione n 1% e il tasso di interesse corrente i sia del 2%, si calcolino, a seconda che venga applicato un sistema pensionistico a ripartizione o a capitalizzazione: i contributi versati in t e in t+1 (C t e C t+1 ) il monte pensioni in t+1 e in t+2 (P t+1 e P t+2 ) il rendimento ottenuto dalle generazioni che vanno in pensione in t+1 e in t+2: qual è la relazione fra le due quantità calcolate? La risposta al punto precedente sarebbe stata la stessa se il sistema pensionistico fosse stato introdotto nell anno t+1? (si risponda senza effettuare calcoli) a) In un sistema pensionistico a ripartizione i contributi riscossi in ogni periodo sono destinati al finanziamento delle prestazioni pensionistiche erogate nello stesso periodo. Il metodo contributivo prevede, in particolare, che la pensione annuale sia determinata uguagliando il montante contributivo individuale (MC) al valore attuale delle pensioni future (VA), dove il montante contributivo è ottenuto capitalizzando i contributi versati ad un tasso prefissato r. Nel sistema pensionistico a capitalizzazione i contributi che ogni lavoratore versa nel periodo di attività sono investiti sul mercato dei capitali e destinati a finanziare la pensione del lavoratore stesso. Il calcolo delle prestazioni pensionistiche è analogo a quello del sistema a ripartizione con metodo contributivo, con la differenza che il MC è determinato sulla base del rendimento effettivamente ottenuto sui contributi investiti sul mercato dei capitali. b) Monte salari W t = 1000 α = 0,3 m = 0,03 n = 0,01 i = 0,02 In un sistema pensionistico a ripartizione si avrà che: Contributi versati in t = C t = α W t = 0,3*1000 = 300 Contributi versati in t+1 = C t+1 = α W t+1 = α W t (1+m)(1+n) = 0,3*1000*1,03*1,01 = 312,09 Monte pensioni in t+1 = P t+1 = C t+1 = 312,09 Monte pensioni in t+2 = P t+2 = C t+2 = α W t (1+m) 2 (1+n) 2 = 0,3*1000*(1,03) 2 *(1,01) 2 = 324,667 Rendimento implicito ottenuto dalla generazione che lavora e versa i contributi nell anno t: (P t+1 / C t )-1 = [α W t (1+m)(1+n)/ α W t ]-1 m + n = 0,03 + 0,01 = 4%

2 Rendimento implicito ottenuto dalla generazione che lavora e versa i contributi nell anno t+1: (P t+2 / C t+1 )-1 = [α W t (1+m) 2 (1+n) 2 / α W t (1+m)(1+n)]-1 m + n = 0,03 + 0,01 = 4% Il rendimento implicito si mantiene costante di anno in anno: il sistema a ripartizione, una volta avviato, garantisce a tutte le generazioni lo stesso tasso di rendimento, pari al tasso di crescita del sistema (dato da crescita della produttività e dell occupazione). Se il sistema pensionistico fosse stato introdotto nell anno t+1, la generazione che smette di lavorare in t+1 percepirebbe la pensione P t+1, senza aver però pagato alcun contributo durante la propria vita lavorativa: il rendimento ottenuto da questa generazione sarebbe dunque infinito, mentre la generazione che va in pensione in t+2 continuerebbe a ottenere il rendimento del 4% calcolato al punto precedente. In un sistema pensionistico a capitalizzazione si avrà che: Contributi versati in t = C t = α W t = 300 Contributi versati in t+1 = C t+1 = α W t+1 = α W t (1+m)(1+n) = 0,3*1000*1,03*1,01 = 312,09 Il monte pensioni in ciascun periodo è pari ai contributi versati nel periodo precedente, capitalizzati al tasso di interesse corrente i: P t+1 = C t (1+i) = α W t (1+i) = 300 (1,02) = 306 P t+2 = C t+1 (1+i) = α W t (1+m)(1+n) (1+i) = 312,09 (1,02) = 318,332 Il rendimento ottenuto dalla generazione che lavora e versa i contributi nell anno t è pari al tasso di interesse corrente i = 0,01 = 1%. Infatti abbiamo (P t+1 / C t )-1=[ α W t (1+i)/ α W t ]-1=i Lo stesso vale per la generazione che lavora e versa i contributi nell anno t+1 (P t+2 / C t+1 )-1=[ α W t (1+m)(1+n) (1+i)/ α W t (1+m)(1+n)]-1=i Il rendimento implicito si mantiene costante di anno in anno: il sistema a capitalizzazione garantisce a tutte le generazioni lo stesso tasso di rendimento, pari al tasso di interesse sul mercato. Se il sistema pensionistico fosse stato introdotto nell anno t+1, le conclusioni raggiunte al punto precedente non cambierebbero, perché la pensione ricevuta da ciascuna generazione dipende esclusivamente dai contributi versati dalla generazione stessa e capitalizzati sul mercato.

3 Esercizio 2 Un individuo ha lavorato per 40 anni percependo per i primi 10 anni uno stipendio annuo di 30, nei successivi 25 di 40 e negli ultimi 5 di Si calcolino la pensione cui ha diritto il lavoratore ed il tasso di sostituzione con metodo di calcolo retributivo nei casi sguenti a) coefficiente di rendimento 2%, retribuzione pensionabile pari alla media delle retribuzioni dell intera vita lavorativa, nessuna rivalutazione delle retribuzioni; b) coefficiente di rendimento 2%, retribuzione pensionabile pari alla media delle retribuzioni degli ultimi cinque anni, nessuna rivalutazione delle retribuzioni; 2. Si consideri ora un metodo di calcolo contributivo, con nessuna rivalutazione dei contributi e tasso di sconto del valore futuro delle pensioni pari a 0. Se la speranza di vita del lavoratore al momento del pensionamento è di 20 anni, qual è l aliquota contributiva che l individuo dovrebbe versare per ottenere una pensione pari a quella calcolata al punto a)? Nel caso in esame si ha: numero di anni di contribuzione: L = 40 anni; salario primi 10 anni: w 1 = 30; salario successivi 25 anni: w 2 = 40; salario ultimi 5 anni: w 3 = 50; coefficiente di rendimento: = 2%. 1. Metodo retributivo Le formule per calcolare la pensione e il tasso di sostituzione sono rispettivamente: P = R P L; s = P / R L ; dove R P = retribuzione pensionabile e R L = ultima retribuzione percepita a) La pensione a cui il lavoratore ha diritto è: P = 0,02*{[(30 * * * 5) / 40] *40} = 31 Il tasso di sostituzione è: s= P / R L = 31 / 50 = 62% b) P = 0,02*{[(50 *5) / 5] * 40 } = 40 s = P / R L = 40 / 50 = 80% 2. Metodo contributivo Poiché il tasso di sconto del valore futuro delle pensioni r Z è pari a 0, la pensione è data da: P = MC/e(L) dove MC è il montante contributivo individuale e e(l) è la speranza di vita del lavoratore al momento del pensionamento. Dati: δ = aliquota contributiva ; r = tasso di rivalutazione dei contributi = 0; e(l) = 20 anni, si ha: P = [δ (30 * * * 5)] / 20 Ponendo P = 31, otteniamo un equazione di primo grado in δ: 31 = [δ (30 * * * 5)] / 20, la cui soluzione è δ 40%

4 Esercizio 3 Il Sig. A vive nel Paese X dove è in vigore un sistema pensionistico a ripartizione con metodo di calcolo retributivo; egli lavora per tre periodi percependo rispettivamente un salario di 100, 105 e 110. a) Calcolate la pensione del Sig. A, sapendo che la retribuzione pensionabile è pari alla media delle retribuzioni dell intera vita lavorativa rivalutate al tasso r pari al 2% e che il coefficiente di rendimento è il 20%. b) Come cambierebbe la pensione percepita dal Sig. A se nell ambito del sistema a ripartizione venisse applicato il metodo di calcolo contributivo? Si risponda utilizzando un aliquota contributiva del 30%, un tasso di rivalutazione dei contributi del 3%, una speranza di vita al momento del pensionamento pari a 3 anni e un tasso di sconto r z pari all 1%. a) Con il metodo retributivo la pensione è pari a una percentuale (uguale al coefficiente di rendimento) della retribuzione pensionabile moltiplicata per il numero di anni di contribuzione: P R L p Nel caso in esame R p è la media delle retribuzioni percepite durante l intera vita lavorativa. Nell ipotesi che le retribuzioni crescano al tasso m e che siano rivalutate al tasso r, la retribuzione pensionabile si può esprimere in generale come: dove R 1 (1+m)=R 2, R 1 (1+m) 2 =R 3, R 1 (1+m) L-1 =R L. 1 L j L j R1 (1 m) (1 r) j 1 R p L Date le retribuzioni ricevute dal sig. A nei due periodi di attività lavorativa, la retribuzione pensionabile sarà semplicemente: La pensione sarà quindi: A P = 0.2 * * 3 = b) Con il metodo contributivo, si costituisce un montante contributivo attraverso la capitalizzazione, ad un tasso fissato convenzionalmente pari a r, dei contributi versati dal lavoratore. Ovvero: MC L j 1 R ( j 1) ( L j ) 1 (1 m ) (1 r ) dove è l aliquota contributiva, r il tasso di rivalutazione dei contributi, m è il tasso di crescita delle remunerazioni e R 1 (1+m)=R 2, R 1 (1+m) 2 =R 3, R 1 (1+m) L-1 =R L. La pensione annua si ottiene poi uguagliando il montante contributivo al valore attuale al momento del pensionamento del flusso delle pensioni, a sua volta pari a: Dove P è l importo della pensione, e(l) è la speranza di vita al momento del pensionamento e tasso di sconto applicato al flusso di pensioni. è il P, dunque, risolve l equazione MC=VA(P)

5 Nel caso in esame, applicando un aliquota contributiva pari al 30% e un tasso di rivalutazione dei contributi r pari al 3%, il montante contributivo è: MC = 0.3*100*(1.03) *105*(1.03) + 0.3*110 = Considerando un tasso di sconto r z pari all 1%, invece, il valore attuale delle pensioni è La pensione del Signor A si calcola dunque ponendo MC=VA(P), cioè = P*2.94, da cui si ricava P = Esercizio 4 Si consideri un paese in cui esiste un sistema pensionistico a ripartizione. In questo paese, il salario medio pro-capite dei lavoratori attivi è w=100; a) Sapendo che nel paese ci sono N p =5000 pensionati e N L = lavoratori, e che l'aliquota contributiva di equilibrio del sistema è pari a 0.4, si calcoli a quanto ammonta la pensione media pro-capite in rapporto al salario medio pro-capite. b) Si immagini che nel paese arrivino 1000 giovani immigrati, che lavorano percependo un salario pari a 50 e pagano contributi (i pensionati continuano ad essere 5000 e il rapporto tra la pensione media pro-capite e il salario medio pro-capite rimane invariato). Qual è la nuova aliquota contributiva di equilibrio? c) Se volessimo mantenere la stessa aliquota contributiva relativa al punto a) anche dopo l'arrivo dei 1000 immigrati, a quanto ammonterebbe il rapporto tra la pensione media pro-capite e il salario medio procapite? a) L equilibrio finanziario del sistema pensionistico (a ripartizione) richiede che: w N L = P N P. Sostituendo i dati dell esercizio otteniamo: 0.4*100*10000 = P*5000, da cui si ricava P=80 Il rapporto fra pensione media e salario medio è dunque pari a 80/100=80% b) Con l arrivo degli immigrati, il nuovo salario medio è pari a L equilibrio finanziario del sistema, a parità di numero di pensionati e di rapporto tra la pensione media procapite e il salario medio pro-capite ma con un nuovo salario medio w 1 e numero di lavoratori N 1 L, richiede: 1 w 1 N 1 L = P 1 N P, ( P 1 =0.8 w 1 ), cioè 1 *95.45*11000=0.8*95.45*5000, da cui si può calcolare 1 =0.36

6 L aliquota contributiva diminuisce, perché aumenta il numero dei lavoratori che pagano contributi a parità di numero di pensionati e di rapporto tra pensione media pro-capite e salario medio pro-capite. c) Mantenendo =0.4, l equazione per l equilibrio finanziario diventa w 1 N 1 L = P 1 N P, dove P 1 rappresenta il nuovo valore medio delle pensioni. Ne consegue che il rapporto fra pensione media e reddito medio si può calcolare come P 1 / w 1 = ( N 1 L) / N P = (0.4 * 11000)/ 5000 = 0.88 Il rapporto tra pensione media pro-capite e salario medio pro-capite aumenta, perché aumenta il numero dei lavoratori che pagano contributi a parità di numero di pensionati e di aliquota contributiva. Esercizio 5 (Tratto da tema d esame) a) Che cosa si intende per sistema pensionistico a ripartizione e a capitalizzazione? b) Derivate la condizione di equilibrio finanziario di un sistema pensionistico a ripartizione, descrivendo sinteticamente le variabili da cui dipende. c) Come rappresentereste, utilizzando la formula del punto precedente, il rischio demograficooccupazionale? A quali condizioni tale rischio ricade solo sui pensionati? A quali condizioni ricade solo sui lavoratori? d) Con riferimento al rischio demografico-occupazionale, quale è la principale novità introdotta nel sistema pensionistico italiano dalla riforma Dini? a) In un sistema a ripartizione il gettito contributivo annuale (a carico delle generazioni attive) è destinato al finanziamento delle pensioni pagate nello stesso anno alle classi demografiche che hanno cessato l attività lavorativa. Non si ha dunque alcuna necessità di accumulare riserve per far fronte al pagamento delle pensioni, né esiste alcun fondo intitolato ai singoli soggetti da utilizzare per il calcolo della pensione. In un sistema a capitalizzazione i contributi che ogni lavoratore versa nel periodo di attività sono investiti sul mercato dei capitali. Nel periodo di pensionamento la pensione percepita dallo stesso lavoratore è pari ai contributi versato aumentati del rendimento ottenuto dal loro impiego. Si ha dunque accumulazione di riserve nel periodo che per ogni individuo intercorre fra il versamento dei contributi e il pagamento della pensione. b) L equilibrio finanziario si realizza quando le entrate contributive sono uguali alle pensioni erogate. Facendo riferimento alla definizione di sistema pensionistico a ripartizione data al punto precedente, in tale sistema la condizione di equilibrio finanziario è la seguente: MP W PNp RlNl dove: MP monte pensioni, W monte salari, PNp α aliquota contributiva (o di equilibrio per ), RlNl P pensione media pro capite, Np numero di percettori di pensione, Rl salario medio pro capite, Nl numero degli attivi (percettori di salario e contribuenti).

7 c) Nella condizione di equilibrio finanziario precedentemente indicata il rischio demograficooccupazionale può essere valutato tramite il rapporto tra la popolazione pensionata e quella attiva (Np/Nl). Riscriviamo la condizione di equilibrio finanziario: Np Rl. Nl P Supponiamo che si verifichi un invecchiamento della popolazione, per cui il rapporto Np/Nl aumenti. Affinché si abbia equilibrio finanziario, anche il rapporto αrl/p deve aumentare. Supponendo che il salario medio pro capite sia esogeno e non modificabile, è possibile agire o sull aliquota contributiva o sulla pensione media pro capite. Il rischio demografico-occupazionale ricade solo sui pensionati se, a parità di aliquota contributiva, la pensione media diminuisce, per cui percepiscono minori rendite pensionistiche. Al contrario, tale rischio ricade solo sugli occupati se l aliquota aumenta, a parità di P, in quanto dovranno versare maggiori contribuzioni. Il rischio demografico dato dall invecchiamento della popolazione, per cui il mantenimento della generazione inattiva, in crescita, è a carico della generazione attiva, può essere neutralizzato riducendo il numero dei pensionati attraverso il controllo del flusso d ingresso nella generazione dei pensionati. Nella riforma Dini, l entità della pensione si riduce quando l età di pensionamento è più precoce, perché, a parità di altri requisiti, questo fa aumentare l aspettativa di vita. Attraverso l aggiornamento dell aspettativa di vita è possibile, in un sistema contributivo, trasferire sui pensionati il rischio di invecchiamento della popolazione.