Geometria descrittiva

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1 Geometria descrittiva metodo insiemistico sulla proiezione ortogonale di Monge LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E RELAZIONE BIUNIVOCA DI CONTENENZA O INCLUSIONE Istituto Tecnico Industriale G.Galilei Livorno Tecnologia e Disegno - Prof. Luigi Davide

2 Geometria Descrittiva è la scienza che permette di rappresentare in modo inequivocabile su uno o più piani, oggetti bidimensionali e tridimensionali, attraverso determinate costruzioni geometriche

3 L omologia Il termine Omologia, dal greco homoios ("simile, uguale") e logos ("discorso"); significa "uguale logica, uguale discorso". L'omologia è la corrispondenza logica tra due entità, per cui ciò che accade in una, accade anche nell'altra a motivo della stessa logica. Omologo è quindi sinonimo di analogo, pur significando non solo una somiglianza, ma un'identità. Nella geometria descrittiva l'omologia è il prodotto di due prospettività nello spazio. In altri termini, è la relazione di corrispondenza biunivoca tra punti di due figure generiche Δ1 e Δ2, nella condizione in cui, tali figure, sono state ottenute come proiezioni, sullo stesso piano e da due centri distinti, di una stessa figura Δ.

4 Il concetto di prospettività (I) Sono gia stati introdotti i concetti di proiezione e sezione. Ciò posto, si definisce prospettività (o proiettività) di centro C, la corrispondenza biunivoca tra i punti di due piani e tali punti si chiameranno omologhi (o corrispondenti). a, a ; piani omografici D, D ; punti omologhi LT; linea di terra AºA ; punti uniti La prospettività si realizza con l applicazione delle due operazioni geometriche fondamentali: la proiezione e la sezione

5 Il concetto di omologia Una prospettività particolare è l omologia piana che definisce la corrispondenza che intercorre tra i punti di un piano quando sono soddisfatte le seguenti condizioni: ad ogni punto A corrisponde un solo punto A e viceversa (corrispondenza biunivoca); ü se A descrive una retta a anche A descrive una retta a omologa di a; ü i punti omologhi A ed A sono allineati con il punto O centro dell omologia; ü rette omologhe si incontrano in un punto di una retta fissa chiamata asse dell omologia. Poiché A ed A si possono pensare come proiezione di un punto A* (situato in un piano diverso da quello contenente A ed A ) da due diversi centri di proiezione, ne consegue che l omologia piana è una prospettività;

6 Considerazioni generali ed introduttive 1 L appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione 2 Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta 3 Indagine esplicativa e deduttiva 4 Procedura applicativa o impositiva

7 L appartenenza e relazione biunivoca di contenenza o inclusione (1) Poiché le leggi dell appartenenza e della contenenza vanno riferite agli elementi geometricorappresentativi degli enti fondamentali, ricordiamo, anzitutto, la seguente Tabella A- riassuntiva degli elementi fondamentali e delle rispettive caratteristiche geometriche e fisiche degli elementi rappresentativi e descrittivi Tabella A- Quadro sinottico degli elementi rappresentativi degli enti fondamentali Punto, Retta, Piano Ente o elemento geometrico Didascalia ente Didascalia elemento rappresentativo Nomenclatura elemento rappresentativo Caratterizzazione geometrica elemento rappresentativo Caratterizzazione fisica elemento rappresentativo Punto P P P 1 a proiezione o 1 a immagine 2 a proiezione o 2 a immagine Punto Punto Virtuale Virtuale T 1r 1 a traccia Punto Reale Retta r T 2r r r 2 a traccia 1 a proiezione o 1 a immagine 2 a proiezione o 2 a immagine Punto Retta Retta Reale Virtuale Virtuale Piano t 1 t 2 1 a traccia 2 a traccia Retta Retta Reale Reale

8 L appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione (1) Dati gli enti geometrici di cui sopra ed i relativi specifici elementi geometricorappresentativi, come sopra caratterizzati, è necessario stabilire le leggi geometriche dell'appartenenza e contenenza o inclusione tra le seguenti combinazioni elementari. Punto e retta Retta e piano Punto e piano P r r P Il punto P appartiene alla retta r se e solo se la retta r contiene il punto P r a a r La retta r appartiene al piano a se e solo se il piano a contiene la retta r P a a P Il punto P appartiene al piano a se e solo se il piano a contiene il punto P Reciprocamente Reciprocamente Reciprocamente Se il punto P appartiene alla retta r allora, biunivocamente, la retta r contiene il punto P Se la retta r appartiene al piano a allora, biunivocamente, il piano a contiene la retta r Se il punto P appartiene al piano a allora, biunivocamente, il piano a contiene il punto P

9 Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (2) Indagine esplicativa e deduttiva (3) Prendiamo in esame il punto e la retta definendone la relativa legge di appartenenza e/o contenenza come sintetizzata dalla seguente espressione P r r P Le due rappresentazioni di fig. 01 e fig. 02 (punto e retta) hanno in comune un solo elemento: la linea di terra lt si ricorda che la lt è costituita dal luogo geometrico dei punti uniti- per cui è possibile far traslare la rappresentazione del punto P sulla rappresentazione della retta r o viceversa facendo in modo che la lt del punto P coincida con la lt della retta r Poiché dobbiamo stabilire, leggi geometriche valide in ogni caso e situazione, tra enti diversi, per prima cosa è necessario analizzare e conoscere quali elementi geometrico-descrittivi prendere in considerazione per la ricerca della specifica legge

10 Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (2) Indagine esplicativa e deduttiva (3) In questo caso possiamo prendere in considerazione le proiezioni del punto P(P'; P'') e le proiezioni della retta r(r'; ) retta punteggiata in quanto si caratterizzano, fisicamente, con le stesse caratteristiche, come si evince dalla Tabella A - Ricordando l espressione insiemistico-descrittiva della retta, perché il punto P appartenga alla retta r - Pr - è necessario accertare che P(P'; P'') sia un punto di questo insieme e quindi delle relative espressioni delle proiezioni della retta r P W! r - P P r Pertanto è necessario verificare la sussistenza delle seguenti formalizzazioni relative alle proiezioni della retta r = r' - - P' P' r' P'' P'' r' ' Le formalizzazioni esposte esplicitano il rapporto tra le proiezioni del punto e le proiezioni della retta chiarendo che la proiezione r' è formata dalla sommatoria orientata, dell insieme di tutte le prime proiezioni del punto P in movimento definito, così come anche è formata dalla sommatoria dell insieme di tutte le seconde proiezioni del punto P in movimento definito ed orientato nello spazio del diedro

11 Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (2) Indagine esplicativa e deduttiva (3) Passando all analisi grafica, sovrapponendo le due rappresentazioni, può accadere che si presenti la situazione di cui alla fig.03, ed alla fig.04, rispettivamente nei diedri I e II In questi casi accade che P sta su r, quindi verifica la sommatoria P'' P'' r' ' - Mentre P non stando su r non verifica la sommatoria r' P' P' r' - r = Pertanto si ha: r' - - P' P' r' P'' P'' r' ' Data la posizione di P' non può affermarsi che P sia un punto dell insieme sommatoria che determina la retta r, per cui in questo caso P non appartiene alla retta r: P r e, reciprocamente, la retta r non contiene il punto P,: r P L espressione sintetica si esplicita come di seguito P r r P

12 Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (2) Indagine esplicativa e deduttiva (3) Traslando ulteriormente il punto P e facendo coincidere, sempre, le due linee di terra può accadere che si presenti la situazione grafica delle figg. 05 e 06 riferite ai diedri I e II. In questi casi accade che P sta su r, quindi verifica la sommatoria r' P' P' r' - Mentre P non stando su r non verifica la sommatoria P'' P'' r' ' - r = r' Pertanto si ha: - - P' P' r' P'' P'' r' ' Data, la posizione di P'' non può affermarsi che P sia un punto della sommatoria che determina la retta r, per cui, il punto P non appartiene alla retta r ossia: Pr e, reciprocamente la retta r non contiene il punto P, cioè: r L espressione sintetica si esplicita come di seguito P r r P P

13 Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (2) Indagine esplicativa e deduttiva (3) Infine, può accadere che continuando a traslare la proiezione del punto sulle proiezioni della retta, o viceversa, le proiezioni della retta su quelle del punto, si presenti la situazione grafica della fig.07 e della fig. 08 sempre riferita ai diedri I e II. In questi casi accade che P sta su r, quindi verifica la sommatoria r' P' P' r' - Ed anche P sta su r verificando completamente la sommatoria P'' P'' r' ' - Possiamo affermare, quindi, che esiste un legame completo tra le proiezioni del punto e le proiezioni della retta per cui, in questo caso, il punto P appartiene alla retta r, cioè P r e, reciprocamente, la retta r contiene il punto P, cioè: r P

14 Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (2) Indagine esplicativa e deduttiva (3) In conclusione possiamo definire la seguente legge geometrico-rappresentativa dell'appartenenza tra punto e retta che, esplicitandola negli elementi geometrico descrittivi, assume la seguente forma esplicativa e deduttiva. P r r' - P' P' r' P r r - P P r P r - P'' P'' r' ' La reciproca legge della contenenza si esprime, nella forma esplicativa e deduttiva, come di seguito r P r' P' P' r' - r P r - P P r r P - P'' P'' r' ' Per la condizione di appartenenza si ha: Se le proiezioni di un punto appartengono alle rispettive omonime proiezioni di una retta allora, e solo allora, il punto appartiene alla retta. Per la reciproca legge di inclusione si ha: Se le proiezioni di una retta contengono le rispettive omonime proiezioni di un punto allora, e solo allora la retta contiene il punto.

15 Procedura applicativa o impositiva (4) Se la condizione deve essere imposta è necessario operare in modo tale che si verifichino le graficizzazioni di cui si è discusso Pertanto, data una retta r rappresentata mediante le sue proiezioni r ed r, volendo che sia Pr dovrà costruirsi (quindi imporre) P r e P r in quanto è necessario imporre che le proiezioni del punto siano elementi geometrici delle seguenti formalizzazioni Se il dato iniziale, invece, è un punto P e si vuole che esso appartenga ad una retta r è necessario imporre, graficamente, che le proiezioni della retta passino (cioè contengano e includano) per le proiezioni del punto. Così operando il punto sarà elemento delle formalizzazioni r = r' - - P' P' r' P'' P'' r' ' Poiché per un punto passano infinite rette (fascio di rette nel piano o stella di rette nello spazio), è chiaro che, infinite saranno le proiezioni delle rette che passeranno per le proiezioni del punto in relazione al tipo di forma fondamentale (fascio di rette o stelle di rette)

16 Procedura applicativa o impositiva (4) Allora la formalizzazione applicativa assumerà la forma esposta di seguito P r P r r' P' P' r' P r r - - P P r - P'' P'' r' ' la reciproca legge di contenenza o inclusione sarà espressa dalla seguente formalizzazione r P r P r' P' P' r' r P r - - P P r - P'' P'' r' ' Per la condizione di appartenenza si ha: Un punto appartiene ad una retta se, e solo se, le proiezioni del punto appartengono alle rispettive omonime proiezioni della retta Per la reciproca legge di inclusione si ha: Una retta contiene un punto se, e solo se, le proiezioni della retta contengono le rispettive proiezioni del punto Pr P r e P r rp r P e r P