I COMPITI DELLA GEOMETRIA DESCRITTIVA DELINEATI DAL MATEMATICO GASPARD MONGE ( ) SONO:

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Sabina Farina
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1 I COMPITI DELLA GEOMETRIA DESCRITTIVA DELINEATI DAL MATEMATICO GASPARD MONGE ( ) SONO: FORNIRE I METODI PER RAPPRESENTARE SU UN FOGLIO DA DISEGNO CHE HA DUE DIMENSIONI TUTTI I CORPI DELLA NATURA CHE NE HANNO TRE, CURANDO TUTTAVIA CHE QUESTI POSSANO ESSERE DEFINITI RIGOROSAMENTE; CONSENTIRE DI RICONOSCERE, DA UNA DESCRIZIONE ESATTA, LE FORME DEI CORPI, E DI DEDURNE TUTTE LE PROPRIETA CHE RISULTANO SIA DALLA LORO FORMA CHE DALLE LORO POSIZIONI RECIPROCHE.

2 I METODI DI RAPPRESENTAZIONE DELLA GEOMETRIA DESCRITTIVA SI BASANO SUI PRINCIPI TEORICI DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA, ED IN PARTICOLARE SULLE OPERAZIONI DI PROIEZIONE E SEZIONE. LA GEOMETRIA PROIETTIVA SI OCCUPA DELLE PROPRIETA PROIETTIVE E GRAFICHE DELLE FIGURE, OSSIA DI QUELLE PROPRIETA CHE RIMANGONO INALTERATE PER OPERAZIONI DI PROIEZIONE E SEZIONE. QUESTE PROPRIETA NON DIPENDONO SOLO DAI PRINCIPI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA, MA COMPORTANO CONCETTI PIU GENERALI, CHE FANNO DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA UNA SCIENZA PIU AMPIA, CHE NEL SUO INTERNO RACCHIUDE ANCHE QUELLA EUCLIDEA.

3 OPERAZIONI DI PROIEZIONE E SEZIONE s Dato un centro di proiezione S ed un punto P, si definisce proiezione la costruzione della retta passante per il centro di proiezione S e per il punto P. P Raggio proiettante

4 OPERAZIONI DI PROIEZIONE E SEZIONE s p Si definisce sezione l intersezione del raggio proiettante con un piano p, da cui si ottiene il punto di intersezione P. P Ogni operazione di proiezione e sezione stabilisce una corrispondenza biunivoca tra il punto oggettivo e la sua immagine. P Raggio proiettante

5 POSTULATI Secondo la GEOMETRIA EUCLIDEA: Rette parallele non hanno alcun punto in comune Piani paralleli non hanno alcun punto in comune Secondo la GEOMETRIA PROIETTIVA: Due rette parallele hanno in comune un punto improprio che ne rappresenta la direzione. Due piani paralleli hanno in comune una retta impropria che ne rappresenta la giacitura.

6 S r s r a b

7 DEFINIZIONE DEGLI ENTI GEOMETRICI Secondo la GEOMETRIA EUCLIDEA: PUNTO Elemento geometrico privo di dimensione e peso. Secondo la GEOMETRIA PROIETTIVA: PUNTO Il punto assume anche il significato di direzione, quando è posto all infinito.

8 DEFINIZIONE DEGLI ENTI GEOMETRICI Secondo la GEOMETRIA EUCLIDEA: RETTA Insieme infinito di punti allineati. Ha una lunghezza infinita ed è priva di spessore. Definisce nello spazio una direzione, che costituisce la caratteristica comune ad un fascio di rette parallele. Secondo la GEOMETRIA PROIETTIVA: RETTA La retta è costituita da infiniti punti propri e da un unico punto improprio o all infinito, che ne rappresenta la direzione.

9 POSTULATI Ampliando i concetti della GEOMETRIA EUCLIDEA, i postulati possono essere riformulati secondo le regole della GEOMETRIA PROIETTIVA: Due rette in un piano hanno sempre un punto in comune (proprio se incidenti, improprio se parallele) Due piani nello spazio hanno sempre una retta in comune (propria se incidenti, impropria se paralleli)

10 NOMENCLATURA PUNTI: lettere maiuscole RETTE: lettere minuscole PIANI: lettere greche minuscole A B C a b c a b g ELEMENTI IMPROPRI: infinito P ELEMENTI PROIETTATI: apice P ELEMENTI RIBALTATI: asterisco P*

11 I METODI DELLA GEOMETRIA DESCRITTIVA Nelle operazioni di proiezione, la diversa posizione del centro di proiezione può determinare delle variazioni nel risultato della proiezione. A Quando il centro di proiezione è un punto proprio, tutti i raggi proiettanti convergono in esso. B A B S Siamo nel caso della proiezione centrale o conica. C C

12 I METODI DELLA GEOMETRIA DESCRITTIVA Nelle operazioni di proiezione, la diversa posizione del centro di proiezione può determinare delle variazioni nel risultato della proiezione. A A S Quando il centro di proiezione è all infinito, i raggi proiettanti sono paralleli e hanno in comune il punto improprio. B Siamo nel caso della proiezione parallela o cilindrica. C C B In una proiezione parallela rette parallele conservano, dopo la proiezione, il loro parallelismo.

13 I METODI DELLA GEOMETRIA DESCRITTIVA CENTRO DI PROIEZIONE A DISTANZA FINITA Proiezioni centrali (prospettiva) CENTRO DI PROIEZIONE A DISTANZA INFINITA Proiezioni ortogonali Proiezioni assonometriche Proiezioni quotate

14 I METODI DELLA GEOMETRIA DESCRITTIVA Proprietà comuni ai metodi di rappresentazione: Tutti i metodi consentono di rappresentare oggetti a tre dimensioni su uno o più piani di proiezione. Tra l oggetto e la sua rappresentazione intercorre una corrispondenza biunivoca. Tutti i metodi utilizzano le due operazioni fondamentali della geometria proiettiva, cioè quelle di proiezione e sezione. Proprietà distintive: Il centro di proiezione può essere situato a distanza finita rispetto al piano di rappresentazione, oppure a distanza infinita. Il piano o i piani di quadro possono assumere diverse posizioni nello spazio, sia rispetto al centro di proiezione, sia rispetto all oggetto da rappresentare.

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