TERNE PITAGORICHE 02/04/15 SEZIONI

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1 SEZIONI 02/04/15 A cura di: Veronica Morellini Alessandro Granati 1. DEFINIZIONE DI TERNA PITAGORICA 2. SULLE TRACCE DELLE NELL ANTICHITA 3. PRIMITIVE E DERIVATE 4. DIMOSTRAZIONE CHE LE PRIMITIVE SONO INFINITE 5. DIMOSTRAZIONE DELLA VALIDITA DELL ULTIMO TEOREMA DI FERMAT 6.UTILIZZO DELLE NELLA STORIA

2 SEZIONE 1. DEFINIZIONE DI TERNA PITAGORICA Consideriamo una terna generica di numeri naturali a,b,c. Essa rappresenta una terna pitagorica nel caso in cui c^2= a^2+ b^2 Esistono Terne Pitagoriche Primitive quando il MCD(a,b,c,)=1 e Terne Derivate che ovviamente derivano dalle primitive quando esse sono multipli dello stesso fattore rispetto alla primitiva Cosa significa e che importanza riveste tutto ciò? Alla base di tutto c è da considerare che la terna fornisce la misura dei cateti (a,b) e della relativa ipotenusa di un triangolo rettangolo (c). Dunque dalle terne pitagoriche scaturiscono i calcoli e le soluzioni relative alla creazione degli angoli retti.

3 SEZIONE 2. SULLE TRACCE DI NELL ANTICHITA Se dovessimo seguire acriticamente l aggettivo assegnato alle terne, dovremmo pensare che il loro autore sia Pitagora di Samo, cui del resto è attribuito l omonimo teorema. Il periodo in cui visse Pitagora è riferibile al 550 a.c.; sono altri autori, come Platone ed Erodoto, che collocano questa figura quasi leggendaria in questo periodo, ponendosi come testimoni indiretti della vita, dei viaggi e delle scoperte di Pitagora. Tuttavia, altre testimonianze ci inducono a ritenere che non fosse un Pitagora l autore della scoperta e dello studio di queste terne particolari.. Pitagora di Samo

4 SEZIONE 2. SULLE TRACCE DI NELL ANTICHITA 2.1 TESTIMONIANZE BABILONESI Per quel che possiamo sapere, almeno fino ad oggi, la testimonianza più antica ed incontrovertibile di tecniche per la ricerca delle terne pitagoriche è dovuta ai Babilonesi Si tratta della tavoletta chiamata Plimpton 322: datata addirittura tra il 1900 ed il 1600 a.c. Essa riporta i numeri in base sessagesimale da cui si evincono senza dubbio terne pitagoriche: ma come sono arrivati i Babilonesi a ricavare tali terne? Esse sono il frutto di ragionamenti empirici, oppure seguono delle formule precompilate?

5 SEZIONE 2. SULLE TRACCE DI NELL ANTICHITA 2.1 TESTIMONIANZE BABILONESI Tavoletta Plimpton 322 (deve il suo nome all editore George Plimpton, che la comperò da un antiquario e la lasciò in eredità alla Columbia University: era l oggetto n.322 della sua collezione)

6 SEZIONE 2. SULLE TRACCE DI NELL ANTICHITA 2.2 STUDI GRECI E PRIME FORMULE Molto più prossimi a noi sono i tentativi generali di ricavare formule per terne pitagoriche. Chiaramente Proclo di Alessandria, successore di Platone?, attribuisce a Platone stesso, dunque nel periodo intorno al 400 a.c., le formule per terne pitagoriche. In particolare: a=2x; b= x^2-1; c=x^2+1 Ciò che si evince è che per x=2, otteniamo la terna primitiva a=4, b=3, c=5 ma per successivi valori di x, si trova che se x è dispari, otteniamo terne NON primitive, ma multiple, per x pari si ottengono terne PRIMITIVE, sempre con tali caratteristiche: a; b; b+2 ma tali caratteristiche non sono universali per rappresentare TUTTE le terne pitagoriche esistenti! Dunque il tentativo attribuito a Platone va senz altro nella giusta direzione di razionalizzare il procedimento, senza tuttavia essere ancora completo

7 SEZIONE 2. SULLE TRACCE DI NELL ANTICHITA 2.3 LA SOLUZIONE CINESE Seguendo un criterio cronologico, possiamo attribuire ad un testo cinese del periodo Han, tra il 200 ed il 220 d.c., una sistemazione definitiva della formula per scovare terne pitagoriche a^2+b^2= c^2 (c+b)(c-b)= a^2 Considerando un numero dispari, derivante dal prodotto di due fattori dispari: a=mn; per cui, a^2= (mxn)^2, ovvero c+b= m^2 et c-b=n^2 Da ciò deriva che c= ½(m^2+n^2) e b=1/2( m^2-n^2) In pratica da tale formula si ricavano infinite terne primitive

8 SEZIONE 2. SULLE TRACCE DI NELL ANTICHITA 2.3 LA SOLUZIONE DI DIOFANTO Successivamente al procedimento cinese, Diofanto di Alessandria, vissuto nel II sec. d.c. propone un procedimento che parte da un cateto (a) pari, mentre nel procedimento cinese, si partiva da un cateto (a) dispari. Partiamo da un numero (cateto) pari: a=2pq Dall equazione di partenza: (c+b)(c-b)= a^2 e ponendo a^2= 4(p^2)(q^2) Sostituiamo: c+b= 2p^2 c-b= 2q^2 ed infine c= p^2 + q^2 b= p^2 q^2 Diofanto di Alessandria (250 ca d.c ca. d.c.)

9 SEZIONE 3. PRIMITIVE E DERIVATE A questo punto viene spontaneo domandarsi se esista un metodo generale per determinare le terne pitagoriche e, in tal caso, se tale metodo permetta di determinarle tutte. Formalizziamo innanzitutto la distinzione tra terne primitive e terne derivate. Definizione 1. Una terna pitagorica T = (a, b, c) con a, b e c N + si dice primitiva se M CD(a, b, c) = 1. Una terna pitagorica T I si dice derivata di T se T I = (ka, kb, kc) con k N +. È facile notare che se abbiamo una terna primitiva, possiamo ottenere da essa infinite terne pitagoriche derivate: se prendiamo una terna T = (a, b, c), per ogni k N + otteniamo una terna T I = (ka, kb, kc) che soddisferà a sua volta il teorema di Pitagora. Infatti si ha (ka) 2 + (kb) 2 = k 2 a 2 + k 2 b 2 = k 2 (a 2 + b 2 ) ma dato che T è pitagorica, si ha che a 2 + b 2 = c 2 e dunque k 2 (a 2 + b 2 ) = k 2 c 2 = (kc) 2 dunque anche T I soddisfa l equazione.

10 SEZIONE 3. PRIMITIVE E DERIVATE Ma abbiamo di più: si ha che anche le terne pitagoriche primitive sono infinite. Questo risultato si ottiene tramite la formula che apparve per la prima volta negli Elementi di Euclide, e che permette di calcolare tutte le terne pitagoriche primitive. Teorema 1. Data una coppia di numeri naturali (m, n) che abbiano diversa disparità e tali che M CD(m, n) = 1 e m > n, la terna a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2 è pitagorica primitiva. Inoltre, ogni terna pitagorica primitiva (a, b, c) con a e b di diversa disparità può essere scritta in tal modo con opportuni (m, n) che soddisfino le proprietà sopra elencate. Per dimostrare questo teorema dobbiamo fare tre passaggi: 1. Dimostrare che ogni terna in questa forma è pitagorica. 2. Dimostrare che ogni terna in questa forma è primitiva. 3. Dimostrare che ogni terna pitagorica primitiva può essere scritta in questa forma.

11 SEZIONE 3. PRIMITIVE E DERIVATE Vediamo come procedere. Parte 1. Consideriamo la terna (a, b, c) = (m 2 n 2, 2mn, m 2 n 2 ); dobbiamo mostrare che a 2 + b 2 = c 2. Abbiamo D altra parte a 2 + b 2 = (m 2 n 2 ) 2 + (2mn) 2 = = (m 4 2m 2 n 2 + n 4 ) + 4m 2 n 2 = m 4 + 2m 2 n 2 + n 4. c 2 = (m 2 + n 2 ) 2 = m 4 + 2m 2 n 2 + n 4 e dunque ricaviamo a 2 + b 2 = c 2.

12 SEZIONE 3. PRIMITIVE E DERIVATE Parte 2. Dobbiamo mostrare che M CD(a, b, c) = 1. Supponiamo per assurdo che esista k N + che divida a, b e c. Possiamo supporre per comodità che sia un numero primo dispari (il caso del 2 si dimostra facilmente in maniera analoga). se k/a e k/c, allora divide anche la loro somma e la loro differenza. Allora k divide a + c = (m 2 n 2 ) + (m 2 + n 2 ) = 2m 2 e c a = (m 2 + n 2 ) (m 2 n 2 ) = 2n 2. Essendo k dispari, si ha che k/m 2 e k/n 2, e quindi k divide sia m che n. Ma allora m e n non sarebbero coprimi tra loro, contro l ipotesi del teorema.

13 SEZIONE 4. INFINITE Parte 3. Consideriamo ora una terna pitagorica primitiva: sappiamo che i primi due numeri non possono essere di stessa parità, dunque supponiamo che a sia dispari e b pari. Consideriamo poi k = M CD(c + a, c a), sappiamo che k è pari (perchè divide due numeri pari) e si può mostrare in particolare che k = 2. Consideriamo dunque due numeri interi e positivi u e v tali che si possa scrivere a + c = 2u e c a = 2v. a 2 + b 2 = c 2

14 SEZIONE 4. INFINITE Si ha che M CD(u, v) = 1 e inoltre b 2 = c 2 a 2 = (c + a)(c a) = 4uv ( b/2) 2 = uv. Ma allora u e v devono essere due quadrati, poniamo quindi u = m 2 e v = n 2. b 2 = 4m 2 n 2 b = 2mn. 2c = (c + a) + (c a) = 2(u + v) = 2(m 2 + n 2 ) c = m 2 + n 2. 2a = (c + a) (c a) = 2(u v) = 2(m 2 n 2 ) a = m 2 n 2. a 2 + b 2 = c 2

15 SEZIONE 4. INFINITE Ora che abbiamo mostrato che tutte le terne pitagoriche primitive possono essere scritte in questa forma, è facile notare che esse siano infinite; basta notare che sono in- finite le coppie (m, n) con le caratteristiche desiderate. Possiamo ad esempio considerare tutte le coppie (1, 2m), costituite dal numero 1 e dai numeri pari, oppure le cop- a 2 + b 2 = c 2 pie (2, 2m + 1), costituite dal numero 2 e tutti i numeri dispari, ma anche tutte le coppie (m, m + 1) dei numeri consecutivi.

16 SEZIONE 4. INFINITE Vediamo alcuni esempi di terne primitive generate da queste coppie particolari: (1, 2) (3, 4, 5) (1, 4) (15, 8, 17) (1, 6) (35, 12, 37). (2, 3) (5, 12, 13) (2, 5) (21, 20, 29) (2, 7) (45, 28, 53). (4, 5) (9, 40, 41) (5, 6) (11, 60, 61) (11, 12) (23, 264, 265). È interessante notare che le coppie di numeri consecutivi generano terne in cui b e c sono a loro volta due numeri consecutivi: infatti, se consideriamo una coppia (m, m + 1), si avrà che e b = 2m(m + 1) = 2m 2 + 2m c = (m) 2 + (m + 1) 2 = m 2 + (m 2 + 2m + 1) = = 2m 2 + 2m + 1 = (2m 2 + 2m) + 1 = b + 1 a 2 + b 2 = c 2

17 SEZIONE 5. DIMOSTRAZIONE DELLA VALIDITA DELL ULTIMO TEOREMA DI FERMAT Le terne pitagoriche assumono un aspetto ancor più interessante se si considerano in un piano più generale. Esse sono le terne di soluzioni intere dell'equazione diofantea a2 + b2 = c2; possiamo considerare l'equazione generale an + bn = cn; a; b; c; n 2 N+: Mentre abbiamo appena dimostrato che le soluzioni dell'equazione di Pitagora non solo esistono, ma sono infinite, si ha che non esistono terne di soluzioni per l'equazione precedente per n > 2.

18 SEZIONE 5. DIMOSTRAZIONE DELLA VALIDITA DELL ULTIMO TEOREMA DI FERMAT Questo è l'enunciato del famosissimo "Ultimo teorema di Fermat". Fermat era un matematico francese che visse nella prima metà del '600; egli, a proposito del teorema precedente, scrisse, sul margine di una pagina dell'arithmetica di Diofanto, le seguenti parole: Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina."

19 SEZIONE 5. DIMOSTRAZIONE DELLA VALIDITA DELL ULTIMO TEOREMA DI FERMAT Tale dimostrazione non fu mai trovata: così, da quel momento in poi, i matematici di tutto il mondo hanno cercato di dare risposta a questo problema, attraverso una storia molto travagliata durata quasi quattro secoli. Negli anni furono dimostrati diversi casi particolari: ad esempio Eulero riuscì a dimostrare il teorema per n = 3, Legendre per n = 5, ma non si arrivo ad una dimostrazione generale fino al 1994, grazie al matematico inglese Andrew Wiles.

20 SEZIONE 5. DIMOSTRAZIONE DELLA VALIDITA DELL ULTIMO TEOREMA DI FERMAT Wiles lavorò al teorema per anni, riuscendo a produrre una dimostrazione di 130 pagine che coinvolge i campi piu disparati della matematica, quali curve ellittiche, teoria di Galois e forme modulari. La dimostrazione è ovviamente molto complessa, ci accontenteremo di accennare i passaggi fondamentali, basati su alcune congetture formulate nel corso degli anni.

21 SEZIONE 5. DIMOSTRAZIONE DELLA VALIDITA DELL ULTIMO TEOREMA DI FERMAT Nel 1986 Ken Ribet dimostrò la congettura di Frey, la quale afferma che ogni eventuale soluzione dell'equazione di Fermat produrrebbe una curva ellittica di particolare tipo, che a sua volta darebbe un controesempio della congettura di Tanyama-Shimura. Wiles riuscì a dimostrare la congettura di Tanyama-Shimura, e dunque il teorema di Fermat.

22 SEZIONE 5. DIMOSTRAZIONE DELLA VALIDITA DELL ULTIMO TEOREMA DI FERMAT Dato che la dimostrazione originaria non e mai stata trovata, si presentano tre possibili spiegazioni: Fermat non dimostrò mai il teorema. Fermat dimostrò effetivamente il teorema, ma successivamente trovò un errore e non pubblicò mai il suo lavoro. Egli dimostrò il teorema ma i suoi scritti non furono mai ritrovati. Quest'ultima è l'ipotesi più affascinante, in quanto la dimostrazione di Wiles coinvolge degli argomenti matematici troppo recenti e avanzati per poter essere la stessa originaria di Fermat; in questo caso rimarrebbe il problema aperto della ricerca di una dimostrazione piu semplice ed elementare.

23 SEZIONE 5. DIMOSTRAZIONE DELLA VALIDITA DELL ULTIMO TEOREMA DI FERMAT Consigliamo a tutti di leggere il libro di Simon Singh L'ultimo teorema di Fermat, che racconta in maniera molto semplice ma accurata e appassionante l'incredibile storia di questo teorema.

24 SEZIONE 6. UTILIZZO DELLE, NELLA STORIA Non sappiamo con sicurezza se gli antichi egizi sapessero della validità generale delle terne pitagoriche, ovvero se sapessero che per tutti i triangoli rettangoli, l ipotenusa è la radice della somma dei quadrati dei cateti. Ciò che sappiamo è che essi usavano la terna primitiva 3,4,5 a volontà, per ricavare l angolo retto su grandi distanze, quelle necessarie alla costruzione delle piramidi

25 SEZIONE 6. UTILIZZO DELLE, NELLA STORIA La questione consiste in ciò: per mettere a squadro una tavola di legno è sufficiente un piccolo strumento, già pronto, che fa da guida durante il taglio del legno stesso. Ma quando si tratta di distanze di decine di metri, non è più attendibile pensare che basti proiettare lo «squadro» fino alla distanza voluta e pensare di aver mantenuto con buona precisione, l ortogonalità della nostra proiezione.come si fa? Scoperta la particolare proprietà della terna primitiva più semplice: 3,4,5 (la terna «sacra») di produrre un angolo retto, si annoda una grossa corda, in modo che tra i nodi ci siano 12 tratti equispaziati. E necessaria una unità di misura per questo procedimento? No!! Il bello è che non si ha bisogno di misurare con qualche unità di misura la distanza tra i nodi. Basta che la distanza prescelta tra i nodi, qualsiasi essa sia, resti costante!

26 SEZIONE 6. UTILIZZO DELLE, NELLA STORIA I TENDITORI DI FUNI I geometri egiziani venivano chiamati i «tenditori di funi», proprio perché, per misurare i terreni (qualche volta) o per costruire le piramidi (sempre) utilizzavano grosse corde «attraversate» da nodi equispaziati e chiuse a collana Fissavano poi la grossa fune a terra, con tre pioli che marcavano il 3 nodo, il 4 dal terzo, ed il 5 dal quarto. In tal modo erano sicuri di seguire lo squadro nella costruzione della piramide (tra i lati della base, nelle piramidi a base quadrata ad esempio)

27 SEZIONE 6. UTILIZZO DELLE, NELLA STORIA Agli indiani ed ai cinesi si attribuisce la scoperta della terna 5,12,13 ai Babilonesi quella con lati 18,24,30 (derivata dalla 3,4,5). Forse i babilonesi non avevano chiara la differenza tra terna primitiva e derivata, tuttavia erano molto avanti nelle conoscenze pratiche e nella sperimentazione, tanto che arrivano a classificare, già nel 1600 a.c. la terna 4961, 6480, Ciò stando alla Plimpton, ma chissà da quando erano pregresse tali conoscenze..

28 SEZIONE 6. UTILIZZO DELLE, NELLA STORIA GRAZIE PER LA VOSTRA ATTENZIONE! Alessandro Granati Veronica Morellini