Teoria dei segnali e basi di telecomunicazioni

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1 Corso per tecnico superiore per i sistemi e le tecnologie informatiche Teoria dei segnali e basi di telecomunicazioni Gabriella Trucco Università degli Studi di Milano Dipartimento di tecnologie dell informazione Codogno, 15 Novembre 2006

2 Argomenti della lezione L informazione Il trasmettitore Campionamento Quantizzazione Codifica Di sorgente Di linea Di canale Modulazione Modulazione analogica Modulazione digitale

3 L informazione

4 Teoria dell informazione Si parla di: sistemi di comunicazione per trasferire informazione segnali di informazione Shannon: Il problema centrale della comunicazione è riprodurre, in maniera esatta o approssimata, in un punto un messaggio composto in un altro punto. Necessità di trasmettere un messaggio, che ha un contenuto di informazione Ma che cos è l informazione?

5 Informazione Il termine informazione è usato in molti contesti e con molte accezioni. Portano informazione: una certa distribuzione di gocce di inchiostro su un foglio; una certa sequenza di lettere dell alfabeto; una certa sequenza di parole della lingua italiana.

6 Misura dell informazione Poniamo il caso di dover comunicare se un determinato evento è o non è accaduto. Consideriamo le seguenti modalità per comunicare l evento: organizziamo un falò da qualche decina di metri cubi di legna; accendiamo un cerino. Quale modalità trasferisce più informazione? Risposta: sia chi vede il cerino, sia chi vede il falò hanno la stessa informazione. Conclusione: la quantità di informazione dipende dall evento, non dal mezzo di comunicazione!

7 Misura dell informazione Consideriamo ora le seguenti domande: Quanti sono i sette nani? Quale lato della moneta che ho appena lanciato è uscito? Quale risposta fornisce più informazione? La risposta alla prima domanda è conosciuta. La risposta alla seconda domanda toglie un dubbio. Conclusione: l informazione è legata all incertezza.

8 Definizione di informazione In una comunicazione, che avviene attraverso un dato alfabeto di simboli, l'informazione viene associata a ciascun simbolo trasmesso e viene definita come la riduzione di incertezza che si poteva avere a priori sul simbolo trasmesso. La presenza di informazione è condizionata dal fatto che uno stesso simbolo sia in grado di assumere una varietà di configurazioni differenti Se la nostra incertezza circa l effettiva configurazione del simbolo viene ridotta accedendo/leggendo il simbolo, allora tale azione ci ha portato dell informazione. Quantità di informazione definita come differenza tra il grado di incertezza prima e dopo la lettura del contenuto del simbolo

9 Informazione Quanto più è numeroso l insieme delle possibili configurazioni, tanto maggiore sarà l informazione portata dalla lettura In altre parole, quanto meno è probabile che si presenti una configurazione, tanto maggiore è l informazione che essa porta

10 Proprietà dell informazione Ipotizziamo un messaggio che contenga un simbolo x scelto da un insieme X di n simboli (alfabeto). Attraverso una funzione I( ), vorremmo misurare l informazione contenuta nel messaggio, I(x). Quali proprietà deve avere la funzione I( )? L informazione portata da una sequenza di simboli deve essere la somma dell informazione portata dai singoli simboli che compongono la sequenza stessa: I(x i x j ) = I(x i ) + I(x j ) Se il simbolo x i è meno frequente (o meno probabile) del simbolo x j, l informazione portata da x i deve essere maggiore dell informazione portata da x j :

11 Proprietà dell informazione Se due simboli sono equiprobabili, l informazione da essi portata deve essere la stessa: Se è certo che un dato simbolo apparirà sul messaggio, allora l informazione portata dal messaggio è nulla: Meno probabile è un simbolo, maggiore è l informazione da esso portata:

12 Proprietà dell informazione Una funzione che gode delle precedenti proprietà è: Questa funzione ha il vantaggio di valere 1 se l insieme di simboli che il messaggio può contenere è costituito da soli due simboli equiprobabili. In tal caso, ogni messaggio porta 1 bit!

13 Unità di misura dell informazione La quantità di informazione che si ottiene selezionando una configurazione da un insieme che ne contiene due ha il ruolo di unità fondamentale di informazione, ed è chiamata bit La risposta sì o no ad una domanda porta 1 bit di informazione La risposta a due domande di tal genere porta due bit di informazione

14 Esempio Alfabeto: A, C, G, T Probabilità associate: p(a)=0.5, p(c)=0.25, p(g)=0.125, p(t)=0.125 Quantità di informazione I(A) = - log 2 (0.5) = log 2 (2) = 1 bit I(C) = 2 bit I(G) = 3 bit I(T) = 3 bit

15 Livelli di informazione Sintattico: selezione di una specifica configurazione da un insieme di configurazioni possibili Relazioni tra segni Semantico: quale significato attribuire ad una certa configurazione Pragmatico: quale valore attribuire ad una certa configurazione

16 Esempio Trasmissione telegrafica che utilizza il codice Morse Porta informazione sintattica: la sintassi del codice È un informazione oggettiva Porta informazione semantica: definita anche come il contenuto del messaggio Solo se il destinatario è in grado di associare un significato al messaggio che riceve, quindi conosce l alfabeto Morse, e ha concordato una semantica comune con il mittente Porta informazione pragmatica, la cui quantità varia in base all importanza che il destinatario attribuisce al messaggio La quantità di informazione semantica e pragmatica sono soggettive: dipendono dalla capacità del destinatario di leggere il messaggio, attribuendogli un significato ed un valore

17 Caratterizzazione della sorgente I messaggi che la sorgente di un sistema di comunicazione può inviare sono i più diversi, e utilizzano supporti fisici di vario genere Esempi: comunicazione verbale Supporto: aria, che consente la propagazione di onde sonore Comunicazione di successioni di bit tra pc Supporto: rete locale Nonostante queste differenza, si può assumere che ogni messaggio sia costituito da una successione di lunghezza finita di simboli, scelti da un insieme chiamato alfabeto della sorgente.

18 Esempi di alfabeti Alfabeti Usuale alfabeto della lingua italiana, a cui si aggiungono i caratteri di spaziatura e interpunzione per la comunicazione di messaggi testuali Colori assunti da ogni punto di un disegno; tale alfabeto permette la comunicazione di disegni, espressi come successione di colori

19 Entropia Se I è una funzione i cui valori si riferiscono ad ogni singolo simbolo, la sorgente può essere caratterizzata mediante il valore medio della quantità I(x i ) Tale valore, indicato con H(X), è chiamato entropia della sorgente H(X) = P n i=1 p(x i )I(x i ) L entropia della sorgente, misurata in bit/simbolo, esprime la quantità di informazione media portata dai simboli emessi dalla sorgente.

20 Campionamento

21 Introduzione Segnale digitale: campionamento + quantizzazione L elaborazione digitale permette di sfruttare in modo ottimale le risorse di calcolo e di memoria informazione digitalizzata semplice da memorizzare, elaborare e trasmettere. Svantaggi: il campionamento (discretizzazione) fa perdere informazioni sulla frequenza dei segnali la quantizzazione fa perdere informazioni sull ampiezza dei segnali

22 Campionamento Da un segnale x(t) vengono estratti i campioni presi agli istanti 0, ±T s, ±2T s,... (campionamento uniforme nel tempo). Si ottiene la SUCCESSIONE DI CAMPIONI..., x( 2T s ), x( T s ), x(0), x(t s ), x(2t s ),... Il campionamento consiste nell estrarre il valore che una funzione continua assume in un singolo istante t 0

23 Traslazione nel tempo Se il segnale x(t) o la funzione di campionamento s(t) sono traslati nel tempo, la sequenza di dati campionati è diversa il campionamento non è tempo-invariante!!!

24 Dipendenza dalla frequenza La sequenza di dati campionati non corrisponde ad un unico segnale x(t): segnali a diversa frequenza possono dare la stessa successione di campioni!

25 Teorema del campionamento (Shannon) Il campionamento fa perdere informazioni sulla frequenza del segnale esistono condizioni da rispettare affinché la successione di campioni sia una rappresentazione adeguata del processo che viene campionato. Teorema del campionamento (di Shannon): un segnale x(t) continuo nel tempo, la cui trasformata di Fourier X(f) è limitata in banda (cioè X(f) = 0 per f al di fuori dell intervallo (f 0, f 0 +B)), può essere ricostruito in maniera univoca senza errori da una successione di campioni equispaziati nel tempo x(kt s ), a condizione che la frequenza di campionamento F s = 1/T s sia maggiore o uguale alla frequenza di Nyquist del segnale 2B.

26 Aliasing Fenomeno per il quale due segnali diversi possono diventare indistinguibili una volta campionati; questo costituisce un serio problema che si riflette direttamente sull'uscita del sistema in esame, alterandone la veridicità.

27 Campionamento senza aliasing

28 Campionamento con aliasing

29 Filtraggio anti-aliasing aliasing Per evitare il fenomeno dell aliasing, è necessario usare un filtro di anti-aliasing che rimuova le componenti (volute o non volute) del segnale x(t) che si trovano a frequenze superiori alla frequenza di Nyquist. x(t) Filtro x (t) Campionamento x (nt s )

30 Quantizzazione

31 Quantizzazione I valori estratti dal processo di campionamento x(nt s ) vengono convertiti in numeri (a precisione finita)

32 Quantizzazione Se vengono rispettate le condizioni del teorema di Shannon, il campionamento non fa perdere informazioni sul segnale: i campioni di un segnale analogico sono (idealmente) a precisione infinita. L elaborazione numerica richiede di codificare i campioni con NUMERI interi. Avendo a disposizione una parola digitale di D bit per codificare un numero, ci sono 2 D possibili codici: da 0 a 2 D 1. La quantizzazione consiste nel dividere l insieme dei possibili valori analogici in 2 D intervalli, e nell associare ad ogni intervallo un codice. Ogni codice digitale rappresenta un intervallo di valori analogici.

33 Risoluzione del quantizzatore Il passo di quantizzazione è la variazione minima dell ampiezza del segnale analogico per cui cambia il codice in uscita di un quantizzatore ideale. Il passo di quantizzazione è detto anche LSB (Least Significant Bit).

34 Errore di quantizzazione Per un quantizzatore ideale, assumendo che il codice i-esimo corrisponda al segnale analogico a metà dell intervallo i-esimo, l errore massimo è compreso tra 1/2V LS B e +1/2V LS B x c [n]: valore quantizzato x(nt s ): valore campionato q[n]: errore di quantizzazione

35 Codifica

36 Codifica di sorgente La sorgente rappresenta l informazione da trasmettere che può essere di vario tipo. L informazione è convertita tramite una codifica di sorgente, in una sequenza di bit, o in generale di simboli. Esempio: pagina di un libro. Chi deve trasmetterlo, deve digitarlo alla tastiera del computer effettuando una prima CODIFICA DI SORGENTE, convertendo il testo alfanumerico in una sequenza di byte costituiti da otto bit ciascuno per mezzo del codice ASCII. Bit rate: cadenza dei bit Più elevato è il bit-rate, più il sistema di comunicazione sarà dispendioso in termini di banda e potenza richiesta Importante scegliere un modo per codificare i simboli che minimizzi il bit-rate del segnale, senza alterare le caratteristiche.

37 Sorgenti correlate (con memoria) Sorgenti con simboli fortemente correlati tra loro sono detti con memoria La riduzione di bit-rate per questo tipo di sorgenti si ottiene tenendo conto del tasso di occorrenza dei simboli della loro correlazione Ipotesi: un simbolo è predicibile da quelli che lo precedono; allora il simbolo è ridondante può essere eliminato senza ridurre il contenuto informativo del segnale Una buona codifica tende ad eliminare ogni ridondanza, eliminando i simboli predicibili

38 Sorgenti correlate: esempi Nella lingua italiana, la lettera q è sempre seguita dalla u Legame deterministico tra queste due lettere: non si perde informazione se si elimina sistematicamente la u quando è preceduta dalla q Riusciamo a capire il contenuto informativo del testo: tuti van a mre qado fa cldo Combinare tra loro più simboli correlati, creando dei simboli di livello superiore Esempio: se i simboli della sorgente con memoria sono le lettere dell alfabeto italiano, i simboli di livello superiore possono essere le parole della lingua italiana, che tra loro hanno una correlazione minore

39 PKZIP Metodo di codifica della sorgente usato per la compressione dati da memorizzare sul PC Elimina la correlazione tra i simboli e tiene conto del loro tasso di occorrenza Tale metodo è basato su un idea introdotta da Lempel e Ziv, che hanno chiamato LZ77. Si esplora la sequenza di simboli che costituiscono il segnale numerico e si cerca la ripetizione di gruppi di simboli Quando si trova un gruppo di simboli già incontrato, questo viene sostituito con un puntatore, di pochi bit, che rimanda alla posizione del primo gruppo.

40 Metodo di codifica di Lempel e Ziv (1) a b b a c c b a c b b Leggo il primo simbolo: a. Incontrato per la prima volta. Simbolo riportato nella sequenza codificata, preceduto da un puntatore costituito da due numeri (d,l) il simbolo attuale è preceduto da un gruppo di l simboli già presenti nella sequenza codificata, che inizia d simboli prima di quello attuale Sequenza codificata al primo passo: Secondo simbolo, b, che non ha alcun precedente (0,0)a (0,0)b (0,0)a

41 Metodo di codifica di Lempel e Ziv (2) Leggo il terzo simbolo: b gia presente nella sequenza codificata non lo scrivo Quarto simbolo: a. Cerco se nella sequenza finora codificata è presente la copia ba. Non è presente (0,0)a (0,0)b (1,1)a Proseguendo si ottiene: (0,0)a (0,0)b (1,1)a (0,0)c (1,1)b (3,3)b

42 Codifica di canale La codifica di canale è volta a garantire che i bit da trasmettere arrivino a destinazione senza errori durante l attraversamento del mezzo trasmissivo Questo si realizza per mezzo della CODIFICA DI CANALE con l aggiunta di bit ridondanti, che non contengono informazione, ma che consentono, una volta giunti a destinazione, di verificare se ci sono stati errori. Si hanno così i CODICI AD INDIVIDUAZIONE DI ERRORE e, se si vuole anche correggerli, i CODICI A CORREZIONE DI ERRORE.

43 Codici a correzione di errore (1) I codici a correzione di errori consentono, una volta individuata la presenza di un errore in un blocco di bit, anche di correggerlo. Esempio: CODICI A RIDONDANZA DI BLOCCO Sequenza di bit da trasmettere suddivisa in blocchi. In ogni riga ed in ogni colonna, il numero di bit pari a 1 deve essere pari

44 Codici a correzione di errore (2) Si conta poi il numero di bit 1 per ogni riga e, se sono in numero dispari, si aggiunge un bit di parità 1, se invece sono pari, si aggiunge un bit di parità 0. Si procede poi analogamente per le colonne aggiungendo un bit di parità per ogni colonna, compresa quella venutasi a formare e costituita dai bit di parità. Si trasmettono poi i nuovi caratteri, così arricchiti dei bit di parità, in forma sequenziale al destinatario che, dopo averli ricevuti, li riordina ricostituendo la matrice di partenza. A questo punto vengono effettuati i controlli di parità per ogni riga e per ogni colonna. Se i bit risultano in numero pari, il ricevitore elimina tutti i bit ridondanti di riga, di colonna e di blocco aggiunti e rimette in ordine sequenziale i bit rimanenti, che contengono l informazione, inviandoli al decodificatore.

45 Codici a correzione di errore (3) Se invece uno dei bit trasmessi è pervenuto errato, allora i bit della colonna e della riga cui esso appartiene, risulteranno dispari invece che pari. La decodifica di canale, individuato il bit errato dall incrocio della riga e della colonna con bit in numero dispari, procederà allora alla sua correzione automatica che è sempre possibile in quanto il bit può assumere solo i valori 1 ovvero 0

46 Codici a individuazione di errore (1) I codici a individuazione di errore, come ad esempio i codici ciclici, una volta individuata la presenza di un bit errato all interno di un blocco di bit trasmessi, non potendo individuarne esattamente la posizione, provvedono alla segnalazione di errore nella ricezione di dati, ovvero alla ritrasmissione di tutto il blocco. In presenza di molti errori la trasmissione sarà notevolmente rallentata Esempio: nei codici ciclici la sequenza di bit da trasmettere è considerata come un polinomio ed è divisa per un altro particolare polinomio, detto generatore, noto sia al trasmettitore che al ricevitore, dopo avere aggiunto in coda al dato di partenza un numero di zeri uguale al numero di bit del polinomio generatore.

47 Codici a individuazione di errore (2) Il resto della divisione viene sostituito agli zeri aggiunti prima della trasmissione e trasmesso, quale elemento ridondante, insieme al dato informativo. In ricezione si effettua per prima cosa la divisione tra il polinomio ricevuto, comprensivo del resto ridondante, ed il polinomio generatore Se il resto è zero, allora vuol dire che il dato ricevuto è identico a quello trasmesso; In caso contrario, si è verificato un errore, che viene corretto ritrasmettendo il dato errato.

48 Codifica di linea Questo tipo di codifica è necessario per adattare il segnale al tipo di linea in cui deve transitare. Nelle centrali numeriche e nei computer i dati transitano in codice NRZ dove all 1 logico corrisponde il livello alto e allo 0 logico il livello basso. Nelle linee di trasmissione, siano esse il DOPPINO TELEFONICO che arriva a casa dell utente, siano i CAVI COASSIALI o le FIBRE OTTICHE, non è possibile usare questo codice, perché non consente la rigenerazione della portante comprendendo una componente continua, non è in grado di attraversare le centrali di commutazione. Il problema della rigenerazione della portante si risolve talora con il codice RZ, con una transizione a metà periodo, in quanto il suo spettro contiene la frequenza della portante, ma comprende ancora una componente continua. Quando il mezzo trasmissivo prevede lungo il suo percorso dei trasformatori che non consentono il passaggio della componente continua, allora bisogna modificare la forma del segnale in modo tale che esso non comprenda la componente continua cosa che si risolve con i codici AMI o HDB3

49 Codici RZ, AMI, HDB3 I dati sono generati dai computer in codice NRZ, che viene poi trasformato in RZ perché questo contiene nel suo spettro la portante consentendo, in ricezione, la sua rigenerazione Nella codifica di linea, invece, uno dei codici più usato è il codice AMI a tre livelli al bit 0 corrisponde sempre il livello 0, al bit 1 corrispondono alternativamente i livelli +1 e -1, in modo che il valore medio del segnale sia sempre zero. HDB3, anch esso a tre livelli. Si fa corrispondere alternativamente +1 e 1 al bit 1 di partenza, come nel codice AMI Se sono presenti più di tre zeri consecutivi, il quarto bit zero viene rappresentato da un +1 o 1 (detto violazione) in modo da garantire la possibilità, in ricezione, di ricostruire il clock di partenza.

50 Codici RZ, AMI, HDB3

51 Modulazione

52 Modulazione di segnali Per inviare un segnale con una trasmissione a radiofrequenza, occorre traslarlo dalla banda base ad una frequenza idonea alla trasmissione. m(t) è il segnale da trasmettere (modulante), che occupa una banda di frequenze B p(t) è il segnale fondamentale a radiofrequenza (portante); di solito una sinusoide ad una frequenza molto maggiore di quella del segnale da trasmettere Il segnale a radiofrequenza è una combinazione della modulante e della portante; di solito si usa la modulante per far variare l'ampiezza, o la frequenza, o la fase della portante.

53 Vantaggi della modulazione Multiplexing in frequenza: usando portanti a frequenze diverse, si possono trasmettere diversi segnali contemporaneamente senza che questi interferiscano gli uni con gli altri. Antenne di dimensioni contenute: un'antenna è tanto più efficiente quanto più le sue dimensioni geometriche sono dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d'onda dei segnali. Poiché il prodotto tra frequenza e lunghezza d'onda è la velocità di propagazione c, all'aumentare della frequenza diminuisce la lunghezza d onda e quindi diminuiscono le dimensioni dell'antenna :

54 Modulazioni analogiche Il segnale modulato y(t) è una funzione della modulante m(t) e della portante p(t) = cos2πf c t; i casi più semplici sono: modulazione di ampiezza: modulazione di frequenza: modulazione di fase:

55 Modulazione d ampiezzad

56 Modulazioni d angolod Nella modulazione di ampiezza, l'ampiezza (istantanea) del segnale modulato è proporzionale all'ampiezza della modulante. Nelle modulazioni di frequenza e di fase, l'ampiezza del segnale modulato è costante; variano o la frequenza (istantanea) o la fase (istantanea) del segnale modulato. In entrambi i casi, la modulante cambia l'argomento (cioè l'angolo) della sinusoide portante. Modulazione di frequenza: Modulazione di fase:

57 Modulazione di frequenza

58 Modulazione di fase La fase è proporzionale all'ampiezza istantanea della modulante Il segnale modulato cos(2πf c t+k ϕ m(t)) è anticipato o ritardato rispetto alla portante.

59 Modulazione di fase

60 Relazione tra fase e frequenza Una variazione istantanea della fase comporta anche una variazione della frequenza, che è la derivata della fase. È impossibile modulare la fase senza modulare contemporaneamente anche la frequenza, e viceversa!

61 Modulazione di frequenza vs modulazione di ampiezza Modulazione di frequenza: poiché il segnale modulante fa variare frequenza (e fase) del segnale FM, le fluttuazioni dell'ampiezza dovute a ostacoli non peggiorano la qualità del segnale adatta alle telecomunicazioni mobili Usata per trasmissioni radiofoniche FM, con frequenze tra 88 e 108 MHz Usata per il segnale audio per la televisione analogica Modulazione di ampiezza: poiché il segnale modulante fa variare il valore di picco del segnale AM, esso viene attenuato dalla distanza e da eventuali ostacoli poco adatta alle telecomunicazioni mobili usata nelle trasmissioni radiofoniche AM, con frequenze comprese tra i 500 e i 1600 khz

62 Modulazioni numeriche Un segnale è modulato in modo digitale quando la modulante è un segnale digitale. In ogni caso, la portante è una sinusoide alla frequenza f c, quindi il segnale modulato è analogico. Modulazione di ampiezza: l'ampiezza (istantanea) è proporzionale al valore digitale della modulante. Modulazioni di frequenza e di fase: l'ampiezza del segnale modulato è costante; la frequenza o la fase dipendono dal valore digitale della modulante. Modulazioni miste (ampiezza e frequenza o fase): sia l'ampiezza, sia la frequenza o la fase dipendono dal valore digitale della modulante.

63 Modulazione di ampiezza (PAM) (pulse amplitude modulation) PAM: detta anche ASK (Amplitude Shift Keying) L ampiezza della portante viene moltiplicata per il valore numerico della modulante

64 PSK: phase shift keying

65 FSK: frequency shift keying

66 Modulazione in fase e quadratura Chiamata anche modulazione IQ Basata sul fatto che due segnali x 1 (t) e x 2 (t), se moltiplicati rispettivamente per un coseno (modulazione in fase) e per un seno (modulazione in quadratura) alla stessa frequenza f 0, rimangono distinguibili anche se sommati fra loro Il termine modulazione in fase e quadratura nasce dal fatto che seno e coseno sono sfasati tra loro di 90. La frequenza f 0 del termine modulante coseno prende il nome di portante in fase La frequenza f 0 del termine modulante seno prende il nome di portante in quadratura

67 QAM: quadrature amplitude modulation Combinazione della modulazione in fase e in ampiezza Usata nei modem ADSL Tecnica di modulazione basata sull ampiezza di due onde portanti Le due portanti, in genere sinusoidali, sono sfasate tra loro di 90 PM e PSK possono essere considerate casi particolari di QAM, in cui l ampiezza della modulante è costante, e varia solo la fase Stesso discorso per la FM e FSK, essendo queste casi particolari di modulazione di fase a m =Acosθ b m A b m =Asinθ θ a m

68 Esempio: 16-QAM N.B. Distanza di Hamming unitaria per codici adiacenti!!!

69 Effetto del rumore di canale I valori misurati formano delle nuvole di punti che si addensano intorno ai valori nominali dei simboli trasmessi