POLIEDRI IN NATURA. Albert Einstein

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1 POLIEDRI IN NATURA Come è possibile che la matematica, un prodotto del pensiero umano indipendente dall esperienza, corrisponda in modo così perfetto agli oggetti della realtà fisica? Albert Einstein I poliedri sono spesso presenti nel mondo che ci circonda: negli esseri viventi come i virus, le cui capsidi presentano simmetrie icosaedriche; nel campo della chimica, dove troviamo molecole, come il celebre C 60, che presentano simmetrie icosaedriche o come i reticoli di alcune molecole che hanno strutture tetraedriche o cubiche; nei cristalli, la cui classificazione è legata proprio alle simmetrie dei poliedri che ne rappresentano la struttura. Vediamo alcune di queste particolarità. POLIEDRI NELLE GEOMETRIE MOLECOLARI

2 Ricordiamo che si definisce molecola un insieme di almeno due atomi uniti da un legame chimico, che costituiscono la più piccola parte di un composto. In chimica e in fisica, saper riconoscere e distinguere le varie geometrie assume una rilevante importanza, perché con tali informazioni si possono spiegare alcune proprietà delle molecole, come la polarità o i punti di fusione ed ebollizione, e prevedere il loro comportamento. Le figure, qui sopra riportate, che abbiamo costruito e fotografato, mostrano alcune geometrie molecolari, con le loro simmetrie. Possiamo osservare come molecole con formula simile, come ad esempio il diossido di carbonio CO 2 e l acqua H 2 O, abbiano geometrie e quindi proprietà diverse; la prima ha una geometria lineare, con l angolo, per cui risulta essere una molecola apolare, in quanto i due dipoli sono opposti e perciò si annullano a vicenda; la seconda presenta una geometria piegata con l angolo, per cui risulta essere una molecola polare, in quanto la forma piegata non consente ai due dipoli opposti di annullarsi. Le formule di Lewis non danno alcuna informazione sulla geometria molecolare ma solo su come gli atomi sono connessi fra di loro da legami. La teoria di VSEPR (acronimo di VALENCE SHELL ELECTRON PAIR REPULSION, repulsione tra doppietti elettronici del guscio di valenza) permette invece di prevedere la geometria delle molecole a partire dalle formule di Lewis. Secondo questa teoria la migliore disposizione spaziale di un determinato numero di coppie elettroniche è quella che minimizza le repulsioni tra le coppie stesse. Infatti se immaginiamo due elettroni posti in un orbitale, poichè gli elettroni sono particelle con carica negativa, per minimizzare la forza di repulsione che si manifesta tra loro devono disporsi il più distante possibile l uno dall altro. Questa disposizione contribuisce anche alla stabilità della molecola. La VSEPR oltre a descrivere la struttura delle molecole, precisa l ampiezza degli angoli di legame e il numero sterico, che coincide con il numero di atomi che si legano con l atomo centrale. Sulla base di alcune considerazioni geometriche e al fatto che le coppie di valenza di un atomo devono disporsi alla massima distanza possibile, si possono definire diverse geometrie molecolari, che si differenziano l una dall altra proprio per il numero sterico e per l angolo di legame tra gli atomi. Vediamo le principali. LA GEOMETRIA LINEARE: AX 2. E la più semplice delle geometrie: la molecola è costituita generalmente da due atomi che si legano a un atomo centrale con angoli di legame di 180 e con una ibridazione sp. Abbiamo già visto che un esempio di questa geometria si trova nella molecola di anidride carbonica CO 2, che è formata da un atomo di carbonio al centro unito a due atomi di ossigeno, con due angoli di legame pari a 180 ( )

3 LA GEOMETRIA PLANARE: AX 3. La molecola è costituita da tre atomi uniti a quello centrale, con angoli di legame di 120 e generalmente con ibridazione sp 2. Questa struttura è presente, ad esempio nella molecola di trifluoruro di boro (BF 3 ), dove l atomo di boro, posto al centro, si lega con tre atomi di fluoro con ciascuna angolo di legame pari120 ( ) LA GEOMETRIA TETRAEDRICA: AX 4. La molecola di questo modello è costituita da quattro atomi legati a quello centrale con angoli di con ibridazione sp 3. Questa struttura è di particolare interesse perché ha la forma di un tetraedro, ovvero un poliedro regolare. In natura è possibile osservare questa struttura, ad esempio, nella molecole del metano CH 4, dove quattro atomi di idrogeno si legano con uno di carbonio posto al centro con un angolo di legame di ( )

4 LA GEOMETRIA TRIGONARE BIPIRAMIDALE: AX 5. Esempi di molecole caratterizzate da questo tipo di geometria è il pentacloruro di Fosforo PCl 5. Anche l ammoniaca NH 3, presenta una geometria trigonale piramidale. Vista la formula, ci si potrebbe aspettare che l atomo di azoto sia al centro di un triangolo equilatero circondato da tre atomi di idrogeno; invece analizzando la molecola si scopre che l azoto si trova circa al centro di un tetraedro distorto, che presenta infatti tre coppie di legame con un angolo e avente nel quarto vertice, apparentemente libero, una coppia elettronica non condivisa. LA GEOMETRIA OTTAEDRICA: AX 6. In questa struttura la molecola è formata da 6 atomi uniti all atomo centrale con una ibridazione dei legami pari a sp 3 d 2. Un esempio che rappresenti questa tipologia è la molecola dell esafluoruro di zolfo SF 6. Anche in questo caso la forma è quella di un poliedro regolare, l ottaedro.

5 RETICOLI : LA COORDINAZIONE DEGLI IONI Nel formare un legame ionico ciascun ione tende a raccogliere, coordinare, attorno a sé il maggior numero possibile di ioni di segno opposto; i centri degli ioni coordinati si trovano nei vertici di un poliedro, costruito attorno allo ione coordinante, le cui caratteristiche dipendono dai raggi atomici del catione e dell anione. Per esempio nel NaCl ciascun Na + ha sei Cl - come ioni primi vicini e perciò viene definito in coordinazione 6 con il Cl (N.C.6); ma anche gli anioni si possono considerare come centri coordinanti. Quindi, siccome sia rispetto al sodio che al cloro si ha N.C.6, si avrà allora lo stesso numero di ioni per le due specie, in accordo con la formula NaCl. I numeri di coordinazione possibili sono: Poichè in ogni caso il numero totale di ioni di tutte le specie in una struttura ionica stabile deve essere tale che il cristallo sia, considerato nel suo complesso, elettricamente neutro, nel NaCl i cationi e gli anioni formano ottaedri che condividono gli spigoli con ognuno dei dodici spigoli di un ottaedro condiviso con un ottaedro adiacente. Per spiegarlo ricordiamo la definizione di forza di un legame elettrostatico (v.e.): è la carica di valenza ionica (indicata con z) divisa per il suo numero di coordinazione (indicato con n): v.e. = z/n espressa in valore assoluto. Poiché in una struttura cristallina stabile, la forza totale dei legami di valenza che raggiungono un anione da tutti i cationi circostanti è uguale alla carica dell'anione, allora nell'nacl lo ione Cl - deve essere circondato da sei primi vicini Na + in coordinazione ottaedrica, in modo che ciascuno dei legami che raggiungono Na + abbia una forza (v.e.) di 1/6. In questo modo i sei Cl - coordinati ottaedricamente neutralizzano con i loro legami la carica dello ione Na +, posto al centro del poliedro di coordinazione. Ma anche Cl - ha sei ioni Na + primi vicini cosicché anche la v.e. per ciascuno dei legami che raggiungono Cl - è di 1/6;di conseguenza anche la carica sullo ione Cl - viene neutralizzata da sei legami di 1/6 dei sei ioni Na +, che risultano essere coordinati ottaedricamente con il Cl -. La figura mostra la neutralizzazione di uno ione centrale da parte dei legami con gli ioni primi vicini In modo analogo è spiegabile la struttura del CsCl; essa è costituita da cubi centrati che condividono le facce con sei altri cubi adiacenti. Gli ioni sono disposti secondo un reticolo cubico primitivo. Ciascun catione è circondato da otto primi vicini, e così ogni anione.

6 FORME ALLOTROPICHE DEL CARBONIO Il carbonio in natura si presenta con tre forme allotropiche: la grafite, i cui atomi generano degli strati a struttura esagonale, simile a quella delle celle delle api; il diamante, che si presenta con un reticolo cubico, che gli conferisce la sua caratteristica durezza; in esso ogni atomo di carbonio è legato a quattro altri atomi di carbonio disposti nei vertici di un tetraedro (un tetraedero si ottiene daun cubo congiungendo due suoi vertici non consecutivi); i fullereni, che sono una particolare tipologia di poliedri trivalenti, in quanto sono costituiti da un numero di facce 12. Tra i fullereni quello più stabile è il C 60 : è una molecola formata da 60 atomi di carbonio disposti in modo da formare 32 facce, 20 a forma di esagono e 12 a forma di pentagono, adiacenti tra loro; la forma è quella sferoidale cava, dove gli atomi di carbonio sono posizionati presso i vertici del poliedro, e i legami tra essi formano gli spigoli di uno dei 13 solidi semiregolari di Archimede, l icosaedro troncato. Sebbene l atomo di carbonio sia quadrivalente, il poliedro è trivalente, proprio perché ogni atomo è legato ad altri due da un legame singolo e ad un terzo da un doppio legame. Gli spigoli del poliedro risultano però uguali perché la differenza di lunghezza tra i legami singoli e quelli doppi si può considerare trascurabile. Il C 60 è anche il più noto tra i fullereni perché la sua forma assomiglia a quella di un pallone da calcio. Viene anche chiamato buckminsterfullerene, dal nome dell architetto americano Buckminster Fuller, che ha realizzato delle cupole geodetiche che ricordano proprio la forma di queste grandi molecole (come all Expo di Montreal, in figura) Esistono sostanzialmente due tipologie di fullereni: -i BUCKYBALL (o BUCKMINISTER-FULLERENE): le molecole hanno una forma sostanzialmente sferica e grandi dimensioni; all interno di questo gruppo troviamo il C 60, il C 36, con simmetria icosaedrale, e il C 70 ; - i BUCKYTUBE: le molecole hanno una forma tubolare allungata, formata da anelli esagonali di atomi di carbonio, chiusa all estremità da anelli pentagonali. I fullereni sono stati osservati anche nello spazio presso la nebulosa planetaria Tc1. Questa nebulosa è stata formata da stelle di media grandezza che nella loro fase finale di vita si trasformano in nane bianche; durante i processi di fusione nucleare che avvengono nel nucleo della stella vengono prodotti atomi fullerenici di carbonio, espulsi insieme a nubi di gas e polveri.

7 POLIEDRI NEGLI ESSERI VIVENTI Molti organismi microscopici si presentano con una forma poliedrale o presentano simmetrie poliedrali. Ad esempio i radiolari, protozoi ameboidi, che costituiscono parte del placton marino in tutti gli oceani, presentano uno scheletro siliceo caratterizzato da numerose simmetrie. Essi si presentano con la forma icosaedrica o geode. I virus sono parassiti delle cellule sia animali che vegetali. Le singole particelle dei virus, chiamate vironi, presentano al loro interno delle strutture poliedriche. All interno di questi agenti patogeni vi è il genoma composto da DNA e RNA; esso è contenuto all interno di un involucro proteico, detto capside, che ha proprio lo scopo di proteggere i geni al suo interno, costituito da subunità proteiche, chiamate capsometri. Vi sono due tipologie di capsidi aventi forme differenti: - capside con simmetria elicoidale: è una struttura formata da unità proteiche che formano una spirale avvolgendosi attorno all acido nucleico; - capside con simmetria icosaedrica: è una struttura formata da più capsometri che formano un icosaedro regolare; i capsometri che formano le venti facce dei poliedro sono chiamati esoni, mentre quelli che costituiscono i dodici vertici sono definiti pentoni. Nella figura in basso si vede un esempio di virus a geometria icosaedrica senza membrana. Sono indicati con (1) la capside, con (2) l acido nucleico e con (3) il capsometro di cui si riconosce la struttura icosaedrica. In natura troviamo dei virus definiti nudi, che sono costituiti solo da un nucleo capside e che possono avere simmetria elicoidale se di natura vegetale o simmetria icosaedrica se di origine animale. IInoltre ci sono dei virus detti rivestiti, perché hanno un rivestimento pericapsidrico, che hanno la capside con entrambe le simmetrie: per esempio il virus influenzali ha simmetria elicoidale, mentre quello dell HIV-1 ha simmetria icosaedrica.

8 NUOVE FRONTIERE DELLA RICERCA SCIENTIFICA: LE GABBIE DI ARCHIMEDE Anche nei settori più all avanguardia della ricerca in campo scientifico e farmaceutico, possiamo individuare strutture poliedriche. Il 22 luglio 2011, i ricercatori dell università italiana Milano-Bicocca in collaborazione con i colleghi della New York Univetsity (rispettivamente sotto la guida di Angolina Comotti e Michael Ward) hanno realizzato delle gabbie, formate da molecole, la cui struttura è tenuta insieme da atomi d idrogeno, che sono molto stabili e soprattutto possono assumere la forma geometrica di alcuni dei 13 poliedri archimedei (come si vede nella foto al microscopio elettronico); proprio per questo sono state chiamate con l appellativo di GABBIE DI ARCHIMEDE. Ad esempio, la struttura della gabbia avente la forma dell ottaedro troncato è tenuta insieme da legami idrogeno di esalfonatofenilbenzene e ione guanidinio e ha un volume di dimensioni nanometriche, pari a 2200 angstrom cubici. La peculiarità di questa scoperta, è la capacità delle gabbie di contenere altre molecole, cambiandone forma e proprietà, obbligandole a riprodurre esattamente i comandi decisi dai ricercatori: sono quindi controllabili. In natura esistono gabbie simili a quelle di Archimede, come per esempio le capsule dei virus, ma quest ultime, al contrario di quelle artificiali, sono incontrollabili e soprattutto non si può introdurre al loro interno altre molecole obbligandole a cambiare le loro funzioni. Le gabbie durano nel tempo, per cui le molecole ospiti sono protette dall ambiente esterno, così da non potersi degradare o ossidare; quando le gabbie vengono rimosse, le molecole cresciute al loro interno sono pronte per svolgere le loro nuove attività. Questa scoperta ha una rilevante importanza nel campo farmaceutico, perché queste molecole riprogrammate possono svolgere importanti funzioni, come il rilascio controllato dei farmaci, il miglior controllo della solubilità dei principi attivi o la maggior stabilità di nanoparticelle metalliche disperse. In medicina nucleare vengono inoltre utilizzate gabbie costituite da fullereni, le quali, unite ad atomi radioattivi, riescono ad eliminare le cellule tumorali, senza danneggiare quelle sane.