Capitolo 4. Trasformate Integrali. 4.1 Trasformata di Fourier

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1 Capitolo 4 Trasformate Integrali 4. Trasformata di Fourier Nel capitolo abbiamo imparato a risolvere l eq. (3.) nel caso in cui il termine noto sia periodico e abbiamo dovuto poi allargare il discorso per dare un senso preciso alla convergenza puntuale della serie (trigonometrica) di Fourier. Ma come possiamo risolvere l eq. (3.) quando il termine noto non è periodico? Come fare a scriverlo come somma di termini della forma e iωnt che sono invece periodici? Il modo migliore è di considerare una funzione non periodica come caso limite di una periodica con periodo L che tende a infinito. A questo scopo scriviamo i coefficienti di Fourier a n L L/2 L/2 e iknx f(x)dx, con k n n L (4.) nella forma dove e a n F (k n ) k, (4.2) F (k n ) L/2 L/2 e iknx f(x)dx, (4.3) k k n k n L. (4.4) Allora la serie trigonometrica di Fourier (3.58) si può riscrivere come 97

2 f(x) n e iknx F (k n ) k. (4.5) A questo punto effettuiamo il limite L, nel quale k 0 e la serie a secondo membro della (4.5) può riguardarsi come una somma integrale alla Riemann per la funzione e ikx F (k), estesa all intervallo (, + ), diviso in infiniti intervalli parziali di ampiezza k 0. Pertanto la (4.5) diventa dove, per la (4.3), f(x) F (k)e ikx dk, (4.6) F (k) f(x)e ikx dx. (4.7) La funzione F (k) si chiama trasformata di Fourier (T.F.) della funzione f(x) e la funzione f(x) antitrasformata di Fourier della funzione F (k). Come è evidente allo studente più attento, i passaggi che abbiamo fatto per giungere alle (4.6) e (4.7) sono un po disinvolti. Per essere precisi dobbiamo dimenticare le operazioni di limite e assumere la (4.7) come definizione della Trasformata di Fourier, sotto la condizione che la f(x) sia sommabile sull asse reale; la (4.6) va invece scritta più correttamente come f(x) R lim F (x)e ikx dk (4.8) R R sotto la condizione (sufficiente) che nell intorno del punto x la funzione f(x) sia di classe C ; naturalmente se l integrale (4.6) esiste la (4.8) è equivalente alla (4.8). 4.. Esempi Esempio 98

3 La trasformata di Fourier della funzione è f(x) x 2 + a 2, a R + F (k) e ikx (x + ia)(x ia) dx. Se k > 0 chiudiamo il cammino di integrazione nel semipiano Imz < 0 e otteniamo: F (k) e ikz π e ka i Res. (z + ia)(z ia) z ia 2 a Se k < 0 chiudiamo invece nel semipiano Imz > 0 e otteniamo: Pertanto F (k) e ikz π i Res (z + ia)(z ia) zia 2 π F (k) 2 e k a a. e ka a. La verifica della (4.6) è immediata e coinvolge solo un integrale elementare. Esempio 2 La trasformata di Fourier della funzione f(x) { x < a 0 x > a (4.9) è F (k) + f(x)e ikx dx +a e ikx dx e ika e ika ik 2 sin ka π k a. (4.0) 99

4 Per verificare che l antitrasformata di (4.0) sia effettivamente la (4.9) dobbiamo calcolare l integrale I(x) +R lim R i lim R F (k)e ikx dk π lim R [ +R e ik(x+a) R k eik(x a) k R ] +R R sin(ka) e ikx dk k dk (4.) deformando il cammino di integrazione come nell esempio 4 del paragrafo.6.4, aggirando per esempio l origine nel semipiano immaginario positivo. Se x > a entrambi gli integrali in (4.) ricadono nel caso α > 0 del lemma di Jordan e pertanto si può chiudere il cammino d integrazione con una semicirconferenza nel semipiano superiore; all interno del cammino d integrazione l integrando è regolare e pertanto: I(x) 0 se x > a. Analogamente, se x < a conviene aggirare l origine nel semipiano immaginario negativo, perché entrambi gli integrali in (4.) ricadono nel caso α < 0 del lemma di Jordan e pertanto si può chiudere il cammino d integrazione con una semicirconferenza nel semipiano inferiore, ottenendo di nuovo zero: I(x) 0 se x < a. Se invece x < a, e si aggira l origine nel semipiano immaginario positivo, il primo integrale, che si può chiudere nel semipiano superiore, dà zero, mentre il secondo, che va chiuso nel semipiano inferiore, dà: I(x) eik(x a) ( i)res i k. k0 Abbiamo così dimostrato che I(x) f(x) per ogni x a. Per x a I(a) +R [ e 2ika lim ] dk. (4.2) i R k k R Deformando di nuovo il cammino come prima, il primo integrale si chiude nel semipiano immaginario positivo e si annulla per il teorema di Cauchy, mentre il secondo dà: [ I(a) ɛ dk R ] lim i R R k + dk +ɛ k + dz, (4.3) γ ɛ z dove γ ɛ è una semicirconferenza di raggio ɛ e centro k 0 che giace nel semipiano Im k > 0. I primi due integrali si elidono perché la funzione integranda è dispari, e il terzo si calcola passando a coordinate polari: I(a) i 0 π iɛe iθ ɛe iθ dθ f(a ) + f(a+) (4.4)

5 Questo mostra che nei punti di discontinuità di prima specie la situazione è analoga a quella vista per le serie di Fourier: l antitrasformata dà il valor medio tra i limiti destro e sinistro della funzione. Esempio 3 La trasformata di Fourier della funzione gaussiana è F (k) f(x) e x2 /a 2 + e (x/a)2 ikx /4 + dx e (ka)2 e (x/a ika/2)2 dx /4 e (ka)2 a + e t2 dt a 2 e a2 k 2 /4, (4.5) cioè ancora una gaussiana, di larghezza inversamente proporzionale a quella della funzione trasformanda. La verifica della (4.6), che dà l antitrasformata di F (k), è immediata: non si tratta che di rifare lo stesso conto con a A 2/a Proprietà della trasformata di Fourier Elenchiamo alcune importanti proprietà delle trasformate di Fourier. Per comodità introduciamo il simbolo F k (f) per indicare la trasformata di Fourier della funzione f(x): Linearità: F k (f) + f(x)e ikx dx. (4.6) F k (a f + a 2 f 2 ) a F k (f ) + a 2 F k (f 2 ), a, a 2 C. (4.7) Con il cambiamento di variabile x t x/a ika/2, il cammino di integrazione nel piano complesso di t non è più l asse reale ma è diventato una retta ad esso parallela; tuttavia, usando la teoria dell integrazione in campo complesso, è facile mostrare che ciò non fa differenza. 0

6 Trasformata di Fourier di funzioni a parità definita Così come la serie trigonometrica di Fourier di una funzione pari (dispari) contiene solo coseni (seni), le trasformate di Fourier di funzioni a parità definita si possono semplificare come segue: F (k) 2 π f(x)[cos(kx) i sin(kx)]dx { 0 f(x) cos(kx)dx se f( x) f(x) i (4.8) 0 f(x) sin(kx)dx se f( x) f(x). Una ovvia conseguenza delle (4.8) è che la Trasformata di Fourier di una funzione pari (dispari) è una funzione pari (dispari). La trasformata di Fourier della derivata f (x) (ammesso che f (x) esista e sia sommabile) è legata alla trasformata di f(x) dalla relazione: Infatti integrando per parti si ottiene: F k (f ) ikf k (f) (4.9) F k (f ) f(x) e ikx ik f (x)e ikx dx + ik f(x)e ikx dx f(x)e ikx dx ikf k (f), dove il termine integrato deve essere nullo affinché la trasformata di Fourier esista. La relazione (4.9) può essere iterata per ottenere le trasformate delle derivate successive: F k (f ) ikf k (f ) (ik) 2 F k (f) (4.20) F k [f (n) ] (ik) n F k (f), (4.2) ovviamente supponendo che la funzione f(x) ammetta derivate fino all ennesima e che f (n) (x) sia sommabile sull asse reale. 02

7 Moltiplicando ambo i membri della (4.9) per i e usando la linearità della Trasformata di Fourier si può simbolicamente stabilire la corrispondenza: i d dx k (4.22) fra l operatore derivata nello spazio delle funzioni f(x) e la semplice moltiplicazione per k nello spazio delle funzioni F (k); tale corrispondenza è di grande importanza in Meccanica Quantistica. Dalla disuguaglianza F k (f) + f(x) dx cost. (4.23) segue che la T.F. di una funzione sommabile è sempre una funzione limitata. Dalla (4.2) segue quindi che la T.F. di una funzione n volte derivabile è O ( ) k per k ; in breve, quanto più una funzione n è liscia tanto più velocemente la sua T.F. va a zero all infinito. Se l argomento della funzione f(x) viene traslato di una costante reale a, per la F vale la seguente relazione: Infatti F k [f(x + a)] e ika F k [f(x)]. (4.24) F k [f(x + a)] e ika F k (f). f(x + a)e ikx dx f(x )e ik(x a) dx eika f(x )e ikx dx Se si moltiplica la funzione f(x) per un esponenziale, la trasformata di Fourier è: F k [ e iαx f(x) ] F k+α [f(x)], α R come si può facilmente verificare a partire dalle definizioni di F. Se si moltiplica la funzione f(x) per x, le trasformata di Fourier diventa: 03

8 F k [xf(x)] i d dk F k[f(x)] (4.25) come si può facilmente verificare derivando sotto il segno, nell ipotesi che la funzione xf(x) sia ancora sommabile sull asse reale. Come la (4.9), anche la (4.25) si può iterare, ottenendo F k [x n f(x)] ( i d ) n F k [f(x)] (4.26) dk sempre nell ipotesi che la funzione x n f(x) sia ancora sommabile sull asse reale. La (4.25) stabilisce la corrispondenza, duale della (4.22), x i d dk, (4.27) fra moltiplicazione per x nello spazio delle f(x) e la derivata nello spazio delle F (k). L equazione (4.26) mostra che quanto più rapidamente una funzione decresce all infinito, tanto più la sua T.F. è liscia. Se chiamiamo S lo spazio lineare delle funzioni di prova, rapidamente decrescenti e infinitamente derivabili: S {f C ; x n f(x) limitata su R, n N}, (4.28) le (4.2) e (4.26) implicano che la T.F. manda le funzioni di prova (nella variabile x) in funzioni di prova (nella variabile k): F k (f) S, f S. (4.29) Teorema di convoluzione. Definiamo la convoluzione g f f 2 di due funzioni f e f 2 : g(x) f (x )f 2 (x x )dx. (4.30) 04

9 È immediato vedere che il prodotto convolutivo è commutativo e associativo: f f 2 f 2 f (4.3) f (f 2 f 3 ) (f f 2 ) f 3. (4.32) Il teorema di convoluzione afferma che la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è (a parte una costante moltiplicativa) il prodotto delle trasformate di Fourier delle due funzioni: Dimostrazione. F k (g) F k (f )F k (f 2 ). (4.33) F k (g) dxg(x)e ikx dx dx dx f (x )f 2 (x x )e ikx dx f (x )e ikx f 2 (x x )e ik(x x ). Se ora passiamo dalle variabili (x, x ) alle variabili (z x x, x ) e scambiamo l ordine di integrazione usando il Teorema di Fubini Tonelli (vedi eq.(e.5) in Appendice E), otteniamo: F k (g) dx f (x )e ikx dzf 2 (z)e ikz F k (f )F k (f 2 ). [q.e.d.] 4..3 Soluzione di equazioni differenziali mediante la trasformata di Fourier La proprietà (4.22) trasforma un equazione differenziale a coefficienti costanti in un elementare equazione algebrica lineare; chiamando U(k) e F (k) 05

10 le Trasformate di Fourier dell incognita u(x) e del termine noto f(x), l equazione differenziale diventa semplicemente: au (x) + bu (x) + cu(x) f(x), (4.34) ak 2 U(k) + ibk U(k) + c U(k) F (k), (4.35) da cui è immediato ricavare U(k); infine antitrasformando si ricava la funzione incognita u(x). Notare come questo procedimento per risolvere equazioni differenziali a coefficienti costanti mediante la trasformata di Fourier sia l esatto parallelo di quello illustrato nel Capitolo 2, dopo l eq.(3.37), per l uso della Serie trigonometrica di Fourier; allora richiedevamo che termine noto e soluzione fossero funzioni periodiche, ora abbiamo lasciato cadere questa richiesta; va tuttavia osservato che la procedura appena descritta per risolvere l equazione (4.34) ha senso solo se il termine noto e la soluzione sono sommabili e ciò è molto restrittivo. Torneremo su questo punto quando parleremo della Trasformata di Laplace; per ora limitiamoci a illustrare un esempio di soluzione di un equazione differenziale (alle derivate parziali) mediante la trasformata di Fourier. Esempio: l equazione del calore Risolviamo l equazione di diffusione del calore con la condizione iniziale 2 T (x, t) x 2 T (x, t) κ t (4.36) T (x, 0) f(x). Fisicamente T (x, t) rappresenta la distribuzione di temperatura al tempo t in una sbarra di lunghezza infinita, se la temperatura iniziale è f(x) 2. La costante κ è la conducibilità termica. Moltiplicando l equazione (4.36) per e ikx e integrando su x da a si ottiene: 0. 2 È ovvio che lo zero della scala delle temperature va scelto in modo che lim x± f(x) 06

11 e ikx 2 T (x, t) x 2 dx κ ikx T (x, t) e t dx. Chiamando F (k, t) la trasformata di Fourier rispetto a x della T (x, t), ovvero F (k, t) + e ikx T (x, t) dx, e ricordando la (4.20) si ottiene k 2 F (k, t) F (k, t). κ t Questa è un equazione differenziale del prim ordine in F (k, t), la cui soluzione è Dalle condizioni iniziali si ha F (k, 0) F (k, t) F (k, 0)e κk2t. T (x, 0)e ikx dx f(x)e ikx dx F (k) da cui F (k, t) e κk2 t f(x)e ikx dx. Per ricavare T (x, t) antitrasformiamo secondo Fourier integriamo su k T (x, t) dk F (k, t)e ikx dk dke κk2 t dx f(x )e ikx e ikx e κk2 t dx f(x )e ik(x x), dke κk2 t ik(x x) e (x x) 2 4κt [ ] dke κk 2 t+ik(x x) (x x) 2 + (x x) 2 4κt 4κt π κt e (x x) 2 4κt, [ dke k ] κt+ i x 2 x 2 κt 07

12 e giungiamo finalmente al risultato: T (x, t) f(x )e (x x) 2 4κt dx. 4πκt Si può arrivare più facilmente allo stesso risultato osservando che e κk2t è la T.F. di 2κt e x2 /(4κt) ; quindi F (k, t) è il prodotto di due T.F. e l antitrasfor- mata è la convoluzione di f(x) e 2κt e x2 /(4κt). La funzione 3 G(x, x (x, t) x) 2 4πκt e 4κt θ(t), (4.37) detta nucleo del calore (heat kernel), è la funzione di Green o propagatore dell eq. (4.36) ed è tale che la T (x, t) G(x, x, t)f(x )dx (4.38) descrive la propagazione del calore dal punto x al punto x al tempo t > 0. Se, per esempio, la sorgente è puntiforme (cioè diversa da zero solo nell origine): f(x) δ(x) (per la definizione della delta di Dirac δ(x), vedi più avanti, paragrafo 5.2.2) allora il calore si propaga in modo che la temperatura assume una distribuzione gaussiana di larghezza proporzionale a t: T (x, t) G(x, x, t)δ(x )dx G(x, 0, t) 4πκt e x 2 4κt. È anche interessante notare che per t 0+ il nucleo del calore (4.37) tende alla delta di Dirac (vedi eq. (5.69)): lim G(x, t 0+ x, t) δ(x x ), (4.39) come deve essere affinché la (4.38) riproduca le condizioni iniziali per t Con θ(t) { 0 t < 0 t > 0 denotiamo la funzione a gradino di Heaviside. È necessario introdurla perché tutto il discorso fatto perde completamente senso per t < 0: e κk2t da gaussiana diventa furiosamente crescente per k ± se t < 0. 08