Caos e complessita in natura. Guido Boffetta Dipartimento di Fisica Generale Universita di Torino

Transcript

1 Caos e complessita in natura Guido Boffetta Dipartimento di Fisica Generale Universita di Torino

2 Fisica e sistemi complessi La fisica si e sviluppata seguendo la linea riduzionista: lo studio di un fenomeno e riconducibile allo studio dei costituenti MOLECOLE Conseguenza: ATOMI NUCLEI QUARK? Attualmente conosciamo meglio il nucleo atomico che il moto turbolento dell acqua in un bicchiere Le equazioni della fluidodinamica viscosa sono note da 50 anni ma ancora una teoria completa della turbolenza non esiste. Sistemi complessi: il passaggio dalle equazioni costituenti alla fenomenologia non e ovvio

3 Fisica e predicibilita Una teoria fisica deve essere in grado di fare previsioni (esempio: astronomia) Per i sistemi complessi e difficile fare previsioni * Sistemi complicati (schedina totocalcio) L impredicibilita e dovuta al gran numero di cause in gioco che non riusciamo a controllare (non conosciamo le equazioni) * Sistemi caotici L impredicibilita e dovuta alla dinamica intrinsecamente instabile (conosciamo le equazioni, ma non basta)

4 PROPRIETA DEI SISTEMI CAOTICI SENSIBILITA ALLE CONDIZIONI INIZIALI (impredicibilita, effetto farfalla) ATTRATTORE DI PERIODO INFINITO (la sequenza non si ripete: es. meteorologia vs. astronomia) STRUTTURA FRATTALE DEGLI ATTRATTORI (dettagli a tutte le scale) LE SEQUENZE GENERATE DAI SISTEMI CAOTICI SONO COMPLESSE

5 PROPRIETA DEI SISTEMI CAOTICI SENSIBILITA ALLE CONDIZIONI INIZIALI (impredicibilita, effetto farfalla) Per colpa di un chiodo si perse lo zoccolo per colpa di uno zoccolo si perse il cavallo per colpa del cavallo si perse il cavaliere per colpa di un cavaliere si perse il messaggio per colpa di un messaggio si perse la battaglia per colpa di una battaglia si perse il regno (G. Herbert)

6 SISTEMI NON CAOTICI Gli attrattori (=luogo geometrico su cui avviene il moto a tempi lunghi) dei sistemi non caotici sono SEMPLICI: Pendolo smorzato PUNTO FISSO STABILE CICLO LIMITE (quasi periodico) Il moto futuro e predicibile: nel primo caso e banale, nel secondo un po meno (es. eclissi) Sistema solare

7 Nei sistemi non caotici, l impredicibilita e limitata a particolari condizioni iniziali Esempio: PUNTO FISSO INSTABILE?

8 SISTEMI CAOTICI: l impredicibilita e intrinseca, cioe per (quasi) tutte le condizioni iniziali Sistema caotico = sensibilita alle condizioni iniziali Due traiettorie, arbitrariamente vicine al tempo iniziale t=0, si separano (esponenzialmente) nel tempo futuro. Edward Lorenz ( ) Il battito d ali di una farfalla in Brasile puo provocare un tornado in Texas. FLIPPER DI LORENZ

9 CAOS: un semplice esempio meccanico Biliardo classico Biliardo caotico D(t) = D(0) + A t D(t) = D(0) eλ t

10 Sistema caotico elementare: mappa a tenda x(t+) x(t + = [ ] Esempio di evoluzione (rappresentazione binaria) x(t) 0 x(0)= x(0)= D(0)= x()= x()= D()= x(5)=0.0 x(5)=0. D(5)= D(t)=D(0) elog(2) t /2 Errore cresce esponenzialmente!

11 Sistema caotico in 2 dimensioni: la mappa del fornaio La mappa del fornaio e una trasformazione del quadrato in se stesso che mantiene l area (non si perde informazione). stiramento 2. ripiegamento Punti inizialmente vicini vengono allontanati esponenzialmente nel tempo Altri punti, inizialmente lontani, si avvicinano (mixing)

12 Esempio di applicazione della mappa del fornaio t= t=20 t=0 t=5 t=4 t=3 t=2 t= t=0

13 Il moto della Terra attorno al Sole segue orbite regolari (ellittiche) previste da Newton Se consideriamo pero piu di 2 corpi (Sole, Terra, Giove) il sistema matematicamente non e piu trattabile (Poincare ) In linea di principio il moto di 3 o piu corpi puo essere caotico. Il sistema solare e caotico?

14 Effetti caotici nel sistema solare sono osservabili nei corpi piu piccoli La distribuzione degli assi maggiori degli asteroidi nella fascia principale (tra Marte e Giove) rivela dei buchi detti intervalli di Kirkwood (867). Questi buchi corrispondono a periodi (Kepler: T2 R3) in risonanza col periodo di Giove. La teoria del caos spiega l assenza di asteroidi come conseguenza della risonanza. Simulazioni numeriche recenti del sistema solare con calcolatori dedicati han mostrato che anche il moto dei pianeti e caotico (e quindi anche la Terra) ma l impredicibilita avviene su tempi dell ordine dei 00 milioni di anni (eccentricita ) 3: 5:2 7:3 2:

15 PROPRIETA DEI SISTEMI CAOTICI ATTRATTORE DI PERIODO INFINITO (la sequenza non si ripete: es. meteorologia vs. astronomia) STRUTTURA FRATTALE DEGLI ATTRATTORI (dettagli a tutte le scale)

16 Pendolo ideale Moto armonico (periodico) Suono puro x(t) = ω

17 Pendolo con attrito Moto armonico smorzato (punto fisso) x(t) = τ ω

18 Pendolo con attrito e forzato Moto caotico (rumore non periodico) x(t) =

19 Esempio di sistema caotico: modelli di popolazioni * Modello molto semplice senza predatori e con potere riproduttivo costante r: n(t) = numero di n(t+)=r n(t) individui nell`anno t la soluzione e semplice: n(t)=r*n(t-) = r*r*n(t-2) =... = r*r*... *r n(0) = rt n(0) t crescita esponenziale (esplosione demografica) * Modello piu realistico: dobbiamo tenere conto dei limiti ambientali (cibo, spazio):il potere riproduttivo descresce con la popolazione r r (N - n(t)) n(t+)=r n(t) (N - n(t)) N = numero massimo di individui Introduciamo le nuove variabili: x(t)=n(t)/n e λ =r*n e otteniamo la x(t+) = λ x(t) ( - x(t)) MAPPA LOGISTICA

20 Comportamento della mappa logistica al variare del parametro λ λ =2.8 Punto fisso (x=0.65) La popolazione tende ad un valore costante di equilibrio λ =3.4 Ciclo periodico (x [0.5,0.8]) Alteranza periodica di popolazione λ =3.9 Dinamica caotica (x [0,]) La popolazione e instabile ed oscilla casualmente da un anno all altro

21 Diagramma di biforcazione della mappa logistica Forma dell attrattore in funzione del parametro λ ciclo limite periodo 2 ciclo limite periodo 4 moto caotico periodo infinito x t x =3.56 λλλ =3.5 =3.6 =3.7 =3.847 =3.575 =3.4 t x t

22 Modelli piu realistici di dinamica delle popolazioni devono tenere conto della presenza di altre specie (esempio: prede-predatori) Modello di Lotka - Volterra (93) n(t+)=r n(t) - b n(t) n2(t) n2(t+)= - r2 n2(t) + b2 n(t) n2(t) equazioni di questo tipo mostrano comportamenti complessi simili a quelli osservati in natura (o in laboratorio, con batteri) prede predatori

23 PROPRIETA DEI SISTEMI CAOTICI LE SEQUENZE GENERATE DAI SISTEMI CAOTICI SONO COMPLESSE

24 Caos e complessita Le serie temporali caotiche sono complesse regolare caotica Come misurare la complessita?

25 Teoria dell'informazione Consideriamo due esempi di schedine del totocalcio: entrambe hanno la stessa probabilitá: p = (/3)3 = ma ovviamente quella a sx é inverosimile quella a dx sembra plausibile (tipica) (Shannon) 2 X X 2 X 2 X X La probabilitá di un evento non é una buona misura della sua complessitá

26 Complessita algoritmica (Kolmogorov, Chaitin) Consideriamo degli esempi di serie temporali binarie: (a) (b) (c) semplici complessa Sia K(N) la lunghezza (misurata in qualche modo) del piu corto programma (insieme di istruzioni) in grado di generare la sequenza di N simboli La complessita algoritmica e definita, per grandi N come K= (NB: non dipende dal linguaggio)

27 Complessita algoritmica degli esempi: (a) scrivi N volte K=0 (b) scrivi 00 N/3 volte K=0 (c) Se la sequenza (c) e casuale (esempio, lancio moneta), allora l unico modo e : scrivi K= Questo e il modo in cui viene usualmente trasmessa l informazione (esempio: risultati di partite di calcio, oppure tavole per p)

28 Un sistema caotico e complesso? Apparentemente no, perche basta trasmettere la regola che genera la sequenza, ad esempio: x(t+) = λ x(t) ( - x(t)) Se pero voglio generare una specifica sequenza, devo dare anche la condizione iniziale x(0) Se il sistema e caotico, la condizione iniziale deve essere molto precisa per riprodurre una sequenza lunga. In generale si trova che in un sistema caotico la condizione iniziale deve avere un numero di cifre proporzionale a N (errore cresce esponenzialmente) I sistemi caotici hanno complessita algoritmica non nulla

29 Predire e difficile, specialmente il futuro. Mark Twain

30 Bibliografia James Gleick, Caos - La nascita di una nuova scienza Rizzoli SuperBUR Scienza, 2000 Edward Lorenz, The essence of Chaos University of Washington Press, 996 Angelo Vulpiani, Determinismo e caos Carrocci editore, 2004 David Ruelle, Caso e caos Bollati Boringhieri, 992

31

32 Caos ed impredicibilita Sistema caotico: l errore con cui predico lo stato del sistema cresce esponenzialmente nel tempo: D(t) = D(0) e λ t λ : esponente di Lyapunov dato errore iniziale D0 e tolleranza Dmax, il tempo di predicibilita vale T= λ quantita intrinseca del sistema (dipende poco da D0)

33 Caos ed impredicibilita in un semplice modello atmosferico atmosfera previsione numerica QuickTime and a YUV420 codec decompressor are needed to see this picture. Integrazione numerica di semplice modello di atmosfera Due realizzazioni con D(0)=0-6

34 Frattali Gli insiemi frattali sono luoghi geometrici intermedi tra gli insiemi classici (punto, retta, piano,...) La dimensione frattale D misura il grado di frastaglietá dell insieme (per gli insiemi classici D é intera) Caratteristica fondamentale dei frattali e l autosimilarita (si ripete a tutte le scale)

35 Costruzione dell insieme di Cantor

36 Costruzione dell insieme di Koch e cosi via

37 Dimensione frattale Generalizzazione del concetto ordinario di dimensione ad insiemi di punti non lisci. Sia N(n) il numero di segmenti di lunghezza r necessari a ricoprire l insieme di punti all iterazione n. La dimensione frattale e data da D = Cantor Segmento Koch N(n)= 2n 3n D= log(2)/log(3)= n log(4)/log(3)= n r 2 /3 3 /9 n /3n