Così Mandelbrot nel suo libro The Fractal Geometry of Nature descrive l'inadeguatezza della geometria euclidea nella descrizione della natura.

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1 Geometria frattale

2 "Why is geometry often described as 'cold' and 'dry'? One reason lies in its inability to describe the shape of a cloud, a mountain, a coastiline or a tree. Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line" -- Benoit B. Mandelbrot Così Mandelbrot nel suo libro The Fractal Geometry of Nature descrive l'inadeguatezza della geometria euclidea nella descrizione della natura. Mandelbrot è il padre fondatore della teoria dei frattali e inventore del famoso insieme che porta il suo nome. Il termine frattale ha origine nel termine latino fractus, poichè la dimensione di un frattale non è intera.

3 Cos'è un frattale? La definizione più semplice e intuitiva: una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli. contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica un frattale invece di perdere dettaglio quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari.

4 I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta Si considera frattale un insieme F che abbia simili proprietà 1) Autosimilarità 2) Struttura fine 3) Irregolarità 4) Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica

5 1) Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.

6 2) Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.

7 3) Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche. (la funzione è ricorsiva: F = {Z Z = f(f(f(...)))}) 4) Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica Sebbene le figure frattali possano essere rappresentate (se non si pretende di rappresentare infinite iterazioni, cioè trasformazioni per le quali si conserva il particolare motivo geometrico) in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera. In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamente, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.

8 Insiemi e loro dimensione S (insieme) d dimensione punto linea superficie La dimensione d è il numero di coordinate necessarie per identificare un punto nell insieme S. Ciò implica che sia intera. Vi sono casi in cui una tale definizione non funziona. Dove + slide

9 -->la definizione classica di dimensione è assolutamente inefficace. L insieme di Cantor C Per p l'insieme C è costituito dagli estremi dei segmenti che si formano ad ogni iterazione è costituito da infiniti punti. La lunghezza dei segmenti asportati, alla p-esima iterazione è k p 2 k p L(C) = = k= 0 3 la lunghezza complessiva dell'insieme di Cantor è zero

10 Autosimilarità Un insieme è autosimile quando contiene piccole copie di sé stesso a tutte le scale. Se contraiamo un insieme autosimile di un fattore r,servono m=r d copie dell insieme ridotto per ottenere l insieme originale. m = r d logm d = logr dimensione di similarità m=r d d=2 r=2 m=4 r=3 m=9

11 .m=r d d= r=3, m=2, d=log(2)/log(3)=0.63 C la curva di Von Koch r=3, m=4, d=log(4)/log(3)=1.26

12 Nuvola, matrioska, corallo, sistema nervoso, broccoli, etc. albero costa Frattali autosimili presenti in natura sono il risultato a lungo termine di un sistema dinamico non lineare. Starni attrattori prodotti da modelli mostrano spesso autosimilarità.

13 Box dimension Dato un insieme S R n, consideriamo degli ipercubi di lato ε e determiniamo il numero minimo N(ε) necessario per ricoprire S. Per piccoli ε, vale N(ε) 1/ε d d box dimension Passando ai logaritmi log[n(ε)] =d log(1/ε ) d = log[n(ε)] / log(1/ε ) Si utilizza per insiemi frattali non autosimili Per sistemi autosimili coincide con la definizione precedente.

14 L ε N(ε) L/ε N(ε) L 2 /ε 2 ε L d=1 d=2 ε =1 N=1 ε =1/3 N=2 ε =(1/3) 2 N=2 2 C ε =(1/3) n N=2 n d = n log N log(2 ) nlog(2) log(2) lim = lim = lim = = n n n n log(1/ ε ) log(3 ) nlog(3) log(3) 0.6

15 Dimensione di correlazione Strani attrattori hanno tipicamente struttura frattale Come ne stimiamo la dimensione frattale? Dato un insieme frattale S R n, fisso un punto x S determino il numero di punti N X (ε) nella palla di raggio ε centrata in x. N x (ε) ε d x d x è la dimensione puntuale di S in x e misura quanto frequentemente una tipica traiettoria visita un ε-vicinato x

16 . C( ε ) k 1 = k i= 1 N( x i ) media su molti x Probabilità che la distanza tra 2 elementi di S sia <=ε Usualmente C( ε ) = αε dx d x è la dimensione di correlazione; tiene conto della densità dei punti nell attrattore. logc ( ε ) = logα + d d x <d box x log( ε ) Log C Inglobo tutto l attrattore saturazione Pendenza=d x logε C è solo x saturazione

17 Altre dimensioni Similarità Box dimension Hausdorff Informazione Entropia di Lyapunov /Kaplan Yorke