I FRATTALI. Studente: Antonio Cozzetto, Classe IV B, a. s , Liceo Scientifico E. Siciliano Bisignano CS

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1 I FRATTALI Studente: Antonio Cozzetto, Classe IV B, a. s , Liceo Scientifico E. Siciliano Bisignano CS Referente: prof.ssa Franca Tortorella 1

2 Benoit Mandelbrot, il grande matematico del XX secolo, di origine polacca e francese di adozione, venuto a mancare nell ottobre del 2010 a Cambridge, ha sconvolto lo scenario della geometria classica. Egli nel 1967 pubblicò sulla prestigiosa rivista Science, l articolo How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension in cui sosteneva che ogni linea costiera possiede un perimetro che tenda all' infinito, pur essendo l'area sottesa certamente finita ed è dotata di auto-somiglianza: il grado di irregolarita' della costa, cambiando di scala (cioè prendendo riproduzioni della costa sempre più dettagliate, con foto sempre più ravvicinate) rimane essenzialmente immutato. Mandelbrot aveva scoperto nuove figure geometriche, caratterizzate da peculiari proprietà,che nel 1975 denominò frattali. Il termine frattale, coniato da Mandelbrot, deriva dall'aggettivo latino fractus che significa irregolare o frammentato ed è connesso con il verbo frangere che significa rompere. I frattali sono,infatti, figure strane,frastagliate, ramificate ed intricate. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi, un fulmine non viaggia in linea retta ~ Benoit Mandelbrot I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa è la definizione più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante ma che non hanno ancora una definizione 2

3 matematica precisa: l'atteggiamento corrente è quello di considerare frattale un insieme F che abbia proprietà simili alle quattro elencate qui di seguito: 1) Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti. Autosimiliarità nella curva di Koch Il fiocco di neve di Koch è una particolare curva frattale costruita dal matematico Koch a partire dal merletto di Koch. Si tratta di una curva costruita sui lati di un triangolo equilatero. Su ciascuno dei lati del triangolo viene costruito il merletto di Koch; questo deve il suo nome al matematico H. Von Koch che lo introdusse in un articolo pubblicato nel 1904, prima quindi che venisse introdotto il concetto di frattale come lo intendiamo oggi. All'epoca fu visto come una curva dalle proprietà curiose, per non dire patologiche. Fiocco di neve di Koch 3

4 Vediamo come viene costruito, facendo uso unicamente di tecniche di geometria elementare - Come figura di partenza, si considera l'intervallo; - L'intervallo viene diviso in tre parti di uguale ampiezza. La parte centrale viene soppressa ed al suo posto vengono inseriti due lati di un triangolo equilatero. Si ottiene così la figura accanto; - La stessa costruzione si ripete per ognuno dei quattro segmenti che formano la figura precedente; - Nello stesso modo si procede per ognuno degli 12 segmenti della figura del passo 2; - Andando avanti nella costruzione, la figura risulta sempre più frastagliata ed il numero dei lati cresce in maniera esponenziale. La lunghezza della curva, al crescere del numero delle iterazioni tende a diventare infinita, mentre l'area racchiusa tende ad un valore finito. 2) Struttura fine: ad ogni ingrandimento un frattale rivela dettagli; si arricchisce di nuovi particolari. 4

5 Ingrandimento microscopico del vetro 3) Ricorsività: gli oggetti frattali sono generati da funzioni ricorsive procedimenti ciclici, in cui l'output di un passo diventa l input del passo successivo; 5

6 4) Dimensione frattale: La caratteristica di queste figure, caratteristica dalla quale deriva il loro nome, è che, sebbene esse possano essere rappresentate (se non si pretende di rappresentare infinite iterazioni, cioè trasformazioni per le quali si conserva il particolare motivo geometrico) in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera. In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale. Vari esempi di frattali L uso dei frattali abbraccia tanti campi, tra i quali presenziano la Geometria, la Fisica e l Informatica, i quali hanno dimostrato una stretta parentela. Ciò che ne venne fuori è descrivibile da tre punti di vista: Analitico: l analisi matematica lavora con le formule, ad un livello molto astratto e poco intuitivo, ma descrive la Fisica reale. Nel primo ventennio del 900 Gaston Julia stava studiando l andamento di una particolare serie matematica ricorsiva per definirne i confini della rappresentazione grafica. Il risultato a cui pervenne fu che tale frontiera era frastagliata all infinito e che riproponeva sempre la stessa struttura a varie scale di grandezza. Il confine di questa rappresentazione grafica non poteva mai essere approssimato da un segmento di retta. Si è riusciti a rappresentare la scoperta di Julia solo con l avvento del computer. 6

7 Esempi di insiemi di Julia Negli anni 80 Mandelbrot definì l insieme che porta il suo nome e che altro non è che la somma di numerosi insiemi di Julia Esempi di insiemi di Mandelbrot Geometrico: in questo ambito il frattale è più intuitivo. Un esempio è quella che viene chiamata Curva di Von Koch: Questa proprietà è detta come già detto prima autosimilarità ed è tipica dei frattali. E per questa proprietà che i frattali, che sono delle curve (quindi unidimensionali), coprono una frazione di superficie del piano (quella che viene chiamata dimensione frattale). Fisico-dinamico: a questo punto di vista si giunge partendo dal problema del Caos. Ragionando su questo, negli anni 60, Lorenz scopre l attrattore strano che porta il suo nome. 7

8 Lorenz: stava lavorando ad un modello atmosferico quando notò che tale modello presentava delle configurazioni che sembravano casuali, caotiche. Ragionando sul problema si rese conto che la causa di questo effetto era la non linearità, giungendo a sostenere, dunque, l impossibilità pratica della previsione. Approfondendo i suoi studi scoprì un ordine in quel caos: un modulo fondamentale che si riproponeva ricorsivamente e di cui minime variazioni portavano a nuove evoluzioni. Per la forma a farfalla di tale modulo si denominò tale situazione effetto farfalla. Fu Lorenz stesso a definire quel modulo un Attrattore Strano. Attrattore di Lorenz Attrattore di Rossler Teoria del Caos: il Caos è un caso di determinismo con dipendenza temporale, ma che appare temporalmente irregolare, casuale e disordinato. Si tratta, dunque, di un determinismo talmente complicato da risultare imprevedibile. Si possono riconoscere andamenti caotici all interno del ciclo dell attività solare e nella propagazione delle onde sismiche. I frattali compaiono un po' ovunque, ma il luogo dove stupisce maggiormente la loro presenza è la natura. 8

9 La natura, come abbiamo detto, è ricca di tantissimi frattali, ad esempio in un albero comune come l'abete è facile notare come ogni singolo rametto riproduca in scala ridotta il proprio ramo e in miniatura l'albero nella sua grandezza! Questo perché la natura non si potrebbe mai sviluppare tramite la gelida geometria: come potremmo spiegare con forme geometriche un fiocco di neve? Una pianta grassa? Un girasole? Questo è impossibile perché la natura per sopravvivere si muove attraverso schemi non geometrici, le montagne non possono essere definite coni, le nuvole non sono sfere e un fiume non è una semplice linea. La natura quindi ha bisogno di un sistema non puramente geometrico per definirsi, ed è quello frattale. 9

10 Anche il nostro corpo è costituito da numerosissimi frattali; pensiamo al sistema vascolare o all'apparato respiratorio: la natura ha scelto di organizzarli così per ottimizzare il sistema! Prendiamo ad esempio i piccoli vasi sanguigni del cuore e le loro ramificazioni in vasi ancora più ridotti. Ma se vogliamo arrivare alla base pensiamo ai neuroni: cosa c'è di più frattale della loro struttura? A seguire sono illustrati altri esempi: 10

11 Sviluppo dei coralli Forma fulmini Forma nubi 11

12 Forma montagne Forma cervello 12