TASSELLATURA DEL PIANO

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1 MATh.en.JEANS TASSELLATURA DEL PIANO Liceo Scientifico Statale E. Curiel Caterina Alessi, Eleonora Filira, Matteo Forin, Lorenzo Gamba, Mircea Muntean, Stefano Pietrogrande, Emanuele Quaglio, Marco Venuti, Federico Vettore. Prof. Giorgio Ciociano, Prof. Alberto Zanardo, Prof. Riccardo Colpi. Padova, 01/05/16

2 Come si può piastrellare un piano nel caso di piastrelle quadrate identiche? E con piastrelle esagonali? Pentagonali? Come si può ricoprire la superficie più ampia possibile nell ultimo caso? 1

3 1. Poligoni regolari Quadrati: Copertura: 100% Pentagoni: Disponendo i pentagoni come in figura, si nota che a ciascuno di essi corrisponde un area non coperta (una delle quali è evidenziata in giallo). Spostando il punto di contatto tra vertice del pentagono e lato di quello adiacente si può minimizzare l area gialla (situazione descritta nella seconda figura). In tale configurazione la copertura delle piastrelle è 92,13%. Esagoni: Copertura: 100% 2

4 2. Numero massimo di lati di un poligono convesso per copertura totale Sia L il numero di lati, uguale ad A, numero di angoli. Si ricorda la somma degli angoli interni di un poligono: Si considera un punto in cui concorrono 3 lati (difatti vogliamo che in ogni vertice del poligono concorrano esattamente 3 lati). La media degli angoli che si formano in ogni vertice è Dividendo la somma degli angoli interni del poligono per 120 si ottiene il numero di vertici in cui possono concorrere 3 lati. Questo numero deve essere minore o uguale al numero di vertici del poligono ( ). Il numero massimo possibile di lati è dunque 6. 1 Si è considerata la media degli angoli poiché la riduzione dell ampiezza di un angolo di un poligono comporta l aumento dell ampiezza di un altro angolo concorrente nello stesso punto (la media rimarrà dunque invariata). La media degli angoli massima che si può avere è. 3

5 Angoli piatti Sia X il numero di vertici in cui concorrono angoli di media 120, e Y il numero di angoli piatti: { ; ; ; { Si può notare che nel caso di un poligono convesso con più di 6 angoli (che hanno una media di 120 e 180 ) il poligono degenera sempre in un esagono. 4

6 3. Tassello autosimile Si consideri il pentagono irregolare a fianco: Esso presenta la proprietà di potersi replicare con 4 tasselli simili a quello di partenza. Numero di tasselli: N n = 4 n N 0 = 1 N 1 = 4 N 2 = 16 N 3 = 64 5 N 4 = 256

7 Il processo di suddivisione può essere ripetuto applicandolo ai sottotasselli appena creati. In figura, n indica il numero di iterazioni di suddivisione. Il metodo di divisione qui utilizzato per dividere il tassello in tasselli più piccoli, può essere utilizzato per crearne di più grandi, andando verso l esterno e tassellando così tutto il piano. Intendendo come periodica una tassellatura in cui ogni tassello può essere sovrapposto perfettamente ad un altro tramite una traslazione di un vettore fissato, si può dimostrare che la tassellatura descritta è aperiodica. Dimostrazione: La suddetta costruzione si può formalizzare come segue: A partire dal pentagono P 0 si costruisce P 1 con 4 tasselli: 1. P 0 riflesso rispetto all'asse della base; 2. Tassello 1. traslato verso destra di una base; 3. Tassello 2. ruotato di 180 e traslato; 4. P 0 ruotato di 120 in verso orario e traslato. Definiamo ora ricorsivamente P n applicando gli stessi punti a P n-1. Definiamo macropentagono un qualunque P n (n > 0). Con riferimento alla figura iniziale, si indica con C il vertice collocato più in alto, con A l'estremo sinistro della base e con B l'estremo destro. Notiamo che, poiché il primo passo della costruzione consiste in una riflessione, I punti A e B della base vengono scambiati di posizione ad ogni iterazione. 6

8 La fila di tasselli che incontrano la linea di base è costituita dall'alternanza di tasselli con base giacente sulla linea, tasselli che la toccano con C e da altri che la toccano con vertici A o B. La sequenza m di punti A e B giacenti sulla base così individuati (trascurando i punti C) risponde alla seguente ricorsione: m 2 = A m r = m r 1 + A + m r 1 se r = 2n; m r = m r 1 + B + m r 1 se r = 2n + 1. Inoltre la sequenza dei vertici dei P n è una alternanza di A e B. In particolare essi sono punti B se n è pari e A se n è dispari. Ciò si può dimostrare per induzione: Passo base: Il vertice C di P 1 è A di P 0 per il punto 4. della costruzione; tale punto a sua volta diventa A nella base di P 2 per il punto 3. della costruzione. Il vertice A di P 1 è B di P 0 per punto 1.; questo a sua volta diventa vertice C di P 2 per punto 4.. Passo induttivo: r pari: il vertice C del macrotassello precedente è una A per ipotesi di induzione e diventa e diventa l'elemento centrale della stringa per punto 3. della costruzione. La stringa precedente l'elemento centrale coincide con quella ad esso seguente per punti 1. e 2. della costruzione. r dispari: analogo a r pari. Le stringhe m r sono aperiodiche, perché costituite dalla concatenazione di due stringhe m r-1 con la frapposizione, alternativamente, di A e B. 7

9 Se una tassellatura è periodica, si può sempre individuare un parallelogramma modulo con cui costruire tutta la tassellatura tramite due traslazioni. La retta s delle basi di P n è genericamente inclinata di un angolo α rispetto alla base del parallelogramma modulo. Parallelogramma modulo Si danno tre casi: (1) La retta s interseca lati consecutivi del modulo in segmenti commensurabili tra loro, pertanto esiste un macroparallelogramma di base m moduli e lato n moduli tale che la retta s stacchi segmenti congruenti in macroparallelogrammi consecutivi. Dunque, esiste un periodo nei segmenti individuati dai macroparallelogrammi su s e quindi un periodo delle stringhe m r, il che è assurdo. (2) La retta s Interseca lati consecutivi del modulo in segmenti non commensurabili tra loro, quindi non esiste un macroparallelogramma come quello del caso (1). 8

10 Il parallelogramma mostrato in figura è un periodo per ipotesi, pertanto ad ogni punto di intersezione tra s ed un lato del modulo corrisponde sul lato opposto l'inizio di una nuova retta di base di macropentagono parallela ad s. Ciò si ripete per ognuna di queste parallele, che a causa dell'ipotesi iniziale di incommensurabilità saranno infinite, tutte distinte fra loro; questo implica che l'altezza dei tasselli sia nulla, il che è assurdo. (3) La base del parallelogramma modulo giace sulla retta s, ma questo implica che gli m r sono periodici: assurdo. Quindi la tassellatura è aperiodica. 9

11 Regole di produzione del tassello autosimile A A - A - A + A 120 A - A + AAA 180 A 60 + A 180 A 180 A A 60 - A 120 A 60 + A 60 + A 60 - A 120 A 180 A + A + A - A 60 A 60 + A 60 - A 120 A 120 A 60 A 60 + A 60 A 60 A 120 A 60 - LEGENDA A tassello di base; A - tassello riflesso rispetto l asse delle y; A + tassello riflesso rispetto l asse delle x; A α tassello ruotato in senso orario di un angolo α; A α tassello ruotato in senso antiorario di un angolo α. A 60 + A 120 A 120 A 60 A - A 60 - A 60 A 60 A 120 A + A 120 A 60 + A 60 + A 60 - A A 60 A 60 - A 60 - A 60 + A 60 A 60 A 60 - A 60 - A 60 + A 180 Dimostrazioni A A - A + y=f(x) y=f(-x) y=-f(x) A - A -- =A y=f(-x) y=f(x) A + A ++ =A y=-f(x) y=f(x) A +- =A 180 y=-f(-x) { Simmetria rispetto l origine quindi rotazione di 180 A 60 - = A =A A =A

12 4. Esagoni irregolari Ipotesi: Tesi: (1) (1) (2) (2) (3) AB è opposto a DE (3) (4) ABCDEF è un esagono convesso (4) (5) (5) Costruzione: si tracci una retta passante per i punti D e B. (6) Dimostrazione: (1) per somma di angoli interni di un triangolo; (2) per ipotesi (5); (3) per ipotesi (5); (4) per punti (1), (2), (3); (5) per ipotesi (2) e costruzione (coniugati interni di parallele tagliate da trasversale); (6) per ipotesi (5); (7) per punti (5), (6); (8) per somma dei punti (4) e (7). Analogamente si dimostrano le altri tesi. 11

13 5. Quadrilateri irregolari convessi Ipotesi: Tesi: (1) (1) (2) è un quadrilatero convesso (2) (3) Dimostrazione (1) per ip. (1) (2) per ip. (1) (3) per (2) e per angoli alterni interni congruenti. Pertanto si può sempre tassellare un piano partendo da un quadrilatero irregolare convesso costruendo un esagono con due lati opposti congruenti e paralleli (vedi sezione 4.). 12

14 6. Pentagoni irregolari convessi Ipotesi: Tesi: (1) (1) (2) (2) (3) (4) è un pentagono convesso. Dimostrazione (1) per angoli coniugati interni e ip. (2). (2) per ip. (1). (3) per punti (1) e (2). (4) Analogamente:. (5) per (2), (3), (4). (6) perché somme di segmenti congruenti. Pertanto si può sempre tassellare un piano partendo da un pentagono irregolare convesso con due lati paralleli costruendo un esagono con due lati opposti congruenti e paralleli (vedi sezione 4.). 13