Università del Piemonte Orientale. Corsi di laurea triennale di area tecnica. Corso di Statistica Medica. Elementi di calcolo delle probabilità

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1 Università del Piemonte Orientale Corsi di laurea triennale di area tecnica Corso di Statistica Medica Elementi di calcolo delle probabilità Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 1

2 In questa lezione parleremo di: Probabilità: definizione e stima Dominio della variabile e spazio campionario Eventi e probabilità di un evento Probabilità del verificarsi di due eventi Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 2

3 Probabilità: valutazione della possibilità che accada (o sia accaduto) un evento. Esempi: 1. La probabilità di incontrare una persona conosciuta ieri 2. La probabilità che domani piova 3. La probabilità che la Juventus batta il Perugia alla prima partita di campionato 4. La probabilità di lanciare una moneta ed ottenere testa 5. La probabilità che un bambino nato oggi viva almeno 80 anni 6. La probabilità che un campione di sangue presenti una concentrazione di emoglobina di 14,456 g/100ml Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 3

4 Evento, che può verificarsi o non verificarsi Probabilità che l evento si verifichi Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 4

5 Evento Incontro di... Pioggia Vittoria della J sulla P alla prima partita Testa 80 compleanno Campione ematico con Hb= 14,456 g/100ml Probabilità La probabilità di incontrare una persona conosciuta ieri La probabilità che domani piova La probabilità che la Juventus batta il Perugia alla prima partita di campionato La probabilità di lanciare una moneta ed ottenere testa La probabilità che un bambino nato oggi viva almeno 80 anni La probabilità che un campione di sangue presenti una concentrazione di emoglobina di 14,456 g/100ml Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 5

6 Queste affermazioni appartengono a due categorie diverse: Le affermazioni 1-3 indicano la propensione soggettiva a valutare la possibilità che l evento accada (giudizio di un esperto). Le affermazioni 4-6 consentono la risposta in base alla definizione di uno spazio campionario ed alla misura della probabilità associata all evento. Noi parleremo di probabilità limitatamente a questa seconda accezione. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 6

7 A priori: La stima della probabilità: Simmetria (geometria): lancio di moneta o di dado, estrazione del lotto Logica¹ se x è vero allora consegue che y deve essere pari a. A posteriori: Frequenza di un evento osservata in un numero molto alto di prove Limite della frequenza di un evento osservata per un numero di prove tendente all infinito ¹ Corrisponde alla stima della probabilità conseguente alla formulazione di un ipotesi. L argomento sarà ripreso nelle prossime lezioni Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 7

8 probabilità di ottenere croce 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 prob. 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0, n. lanci Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 8

9 La variabile risultato del lancio di un dado può assumere solo alcuni valori in un intervallo, nel caso i valori 1,2,3,4,5,6 (variabile discreta); la variabile stato all età di 80 anni può assumere due soli valori (vivo, morto) (variabile binaria); la variabile concentrazione di emoglobina può assumere tutti i valori in un intervallo (variabile continua). Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 9

10 L intervallo in cui sono compresi i valori che possono essere assunti da una variabile è detto dominio della variabile o spazio campionario. Approfondiremo dapprima il caso delle variabili discrete e delle variabili binarie. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 10

11 Probabilità di un evento P = r/n Dove r = frequenza dell evento N = Numero di possibili eventi Evento = estrazione di un asso di cuori r = 1 (c è un asso di cuori nel mazzo) N = 40 (il mazzo è di 40 carte) P=1/40=0,025 Evento = estrazione di un topo maschio dalla gabbia r = 10 (numero di topi di sesso maschile) N = 20 (numero totale di topi) P=10/20=0,5 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 11

12 Alcune ulteriori definizioni e regole: Spazio Campionario (S): l insieme di tutte le possibili evenienze. P(S) = 1 La probabilità di un evento è compresa nell intervallo 0 (evento impossibile) - 1 (evento certo) 0 <= P(A) <= 1 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 12

13 Eventi e probabilità complementari Dato un evento, le due condizioni "evento che si verifica" ed "evento che non si verifica" esauriscono tutte le possibilità. Pertanto: P(evento che si verifica) + P(evento che non si verifica) = 1 e P(evento che si verifica) = 1 - P(evento che non si verifica) Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 13

14 Parliamo in questo caso di probabilità complementari. NON A A Cosa possiamo dire relativamente alla probabilità di due eventi? Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 14

15 Dati due eventi possiamo essere interessati al verificarsi di uno qualsiasi dei due. oppure al verificarsi di entrambi. oppure al verificarsi di uno solo se un altro si è già verificato. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 15

16 l verificarsi di entrambi gli eventi è indicato come intersezione ( A B) e la probabilità è la probabilità dell intersezione P ( A B) Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 16

17 Il verificarsi di uno qualsiasi dei due è indicato come unione ( A B) e la probabilità è la probabilità dell unione P ( A B) Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 17

18 La probabilità del verificarsi di un evento solo se un'altro si è già verificato è definita Probabilità Condizionata. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 18

19 Quando due eventi non possono mai verificarsi contemporaneamente parliamo di eventi mutuamente esclusivi o disgiunti. P ( A B) = 0 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 19

20 Nel caso di eventi mutuamente esclusivi la probabilità del verificarsi di uno o l'altro dei due (probabilità dell'unione) è data da: ( A B) = P( A) P( B) P + La probabilità di uno o l'altro tra due eventi mutuamente esclusivi è data dalla somma delle probabilità di ciascuno dei due eventi Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 20

21 Es. la probabilità di avere testa o croce ad un lancio di una moneta è: P (testa o croce) = P (testa) + P (croce) = 0,5 + 0,5 La stessa regola si può estendere alla probabilità di uno (o più) tra n eventi mutuamente esclusivi. P(A o B o C) = P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 21

22 La probabilità del realizzarsi di uno o l altro tra due eventi non mutuamente esclusivi è la somma delle probabilità di ciascuno dei due eventi sottratta della probabilità di entrambi (che altrimenti verrebbe conteggiata due volte) P(A o B) = P(A) + P(B) P(A e B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 22

23 Es. la probabilità di estrarre una carta di segno (cuori) o (figura) da un mazzo di 40 carte: P (cuori o figura) = P(cuori) + P(figura) P(cuori e figura) = 10/ /40-3/40 = 19/40 = 0,475 Es. la probabilità di avere un numero <=3 o un pari ad un lancio di dado è: P (<=3 o pari) = P (<=3) + P (pari) P(<=3 e pari) = 3/6 + 3/6 1/6=5/6 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 23

24 La regola precedente del calcolo della probabilità di due eventi esclusivi si ricava dalla regola generale considerando che, se gli eventi sono esclusivi, la probabilità che si verifichino entrambi è 0 Es. la probabilità di avere un numero che sia <=3 o >=5 ad un lancio di dado: P (<=3 o >=5) = P (<=3) + P (>=5) P(<=3 e >=5) = 3/6 + 2/6 0/6 = 5/6 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 24

25 Verifichiamo queste regole nel caso di uno spazio campionario di dimensioni limitate e composto da elementi discreti, ad es. dato dal lancio di una moneta e dal lancio di un dado. Lo spazio campionario è definito come l insieme di tutti i possibili risultati. Nel caso dato N = 12. DADO Moneta T X X X X X X C X X X X X X Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 25

26 Iniziamo considerando la probabilità di uno dei due eventi. Ev. 1. Estrazione di un 3 al lancio del dado DADO Moneta T X X X X X X C X X X X X X Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 26

27 r=2; N=12 P(dado=3) = 2/12 = 1/6 Si noti che in questo caso la probabilità non tiene conto del lancio della moneta (viene definita probabilità marginale ). Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 27

28 Ev. 2. Testa al lancio della moneta DADO Moneta T X X X X X X C X X X X X X r=6; N=12 P(testa) = 6/12 = 1/2 Si noti che in questo caso la probabilità non tiene conto del lancio del dado (probabilità marginale). Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 28

29 Passiamo quindi a valutare l'estensione dello spazio campionario corrispondente al verificarsi dei due eventi (uno o l'altro). strazione di 3 al lancio del dado o testa al lancio della moneta. DADO Moneta T X X X X X X C X X X X X X Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 29

30 dado = 3 r = 2 ; N = 12; P(dado = 3) = 2/12 moneta = testa r=6 ; N = 12; P(testa) = 6/12 sia 3 sia testa = 1/12 p(dado = 3 o moneta = testa) = p(dado = 3) + p(testa) - p(dado = 3 e moneta = testa) = 1/6 + 1/2 1/12 = 2/12 + 6/12-1/12 = 7/12 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 30

31 La probabilità del realizzarsi congiunto di due eventi è data dal prodotto della probabilità del primo evento per la probabilità del secondo essendosi verificato il primo: P(A e B) = P(A) P(B A) P(A B) = P(A) P(B A) P(B A) è la probabilità del verificarsi di B quando A si è verificato (probabilità condizionata) Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 31

32 Se due eventi sono indipendenti P(B A) = P(B) e quindi la probabilità che si verifichino entrambi è data dal prodotto delle probabilità di ciascuno dei due eventi. P(A B) = P(A) P(B) se P(B A) = P(B) Due eventi sono indipendenti quando la probabilità che accada primo non cambia la probabilità che accada il secondo. P(A B) = P(A nonb) = P(A) Esempio: La probabilità che sia estratto un numero del lotto non è influenzata dal fatto che sia stato estratto la settimana precedente. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 32

33 La probabilità del realizzarsi congiunto di due eventi secondo lo spazio campionario Es. Estrazione di 3 al lancio del dado e croce al lancio della moneta I due eventi sono indipendenti: i due lanci non si influenzano reciprocamente. DADO Moneta T X X X X X X C X X X X X X Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 33

34 Possiamo verificare che la probabilità congiunta dei due eventi occupa 1 / 12 dello spazio campionario. Cosa accade dall'applicazione delle regole del calcolo della probabilità? Dado =3 r=2 ; N=12; P(dado=3) = 2/12 = 1/6 Moneta = testa r=6 ; N=12; P(testa) = 6/12 = 1/2 p(dado=3 testa) = p(dado=3) * p(testa dado=3) = = p(dado=3) * p(testa) = 1/6 * 1/2 = 1/12 Si verifica che nel caso di eventi indipendenti la probabilità dei due eventi è il prodotto delle probabilità marginali. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 34

35 Un metodo per valutare empiricamente se due variabili sono associate è quello di confrontare la distribuzione di probabilità osservata con quella che ci si attenderebbe se le due variabili fossero indipendenti. L argomento sarà ripreso nelle lezioni sull inferenza statistica. Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 35

36 Esercizi consigliati da: Fowler et al, ed Edises. Cap 9 (p 225) es 5 Cap 9 (p 225) es 6 Cap 9 (p 225) es 8 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 36

37 Applicazione della Probabilità 1 il calcolo della probabilità di due eventi complementari p e q rappresentano le probabilità di due eventi complementari tali cioè che p + q =1 allora p = 1-q Questa considerazione è utile per risolvere numerosi problemi Es. La probabilità (p) di sopravvivere 5 anni ad un tumore polmonare è0.10 Quindi:La probabilità di morire entro 5 anni dalla diagnosi di un tumore polmonare è 1-0,10 = 0,90 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 37

38 Applicazione della Probabilità 2 probabilità di evento favorevole in una serie di prove indipendenti Caso 1: La probabilità è costante per le diverse prove Un problema che si pone spesso riguarda il calcolo della probabilità che accada almeno 1 evento in una serie di prove (ad esempio: almeno 1 esame positivo in una sequenza di 3 ripetizioni dello stesso esame, come nel caso del test Haemoccult per la ricerca del sangue occulto nelle feci) Il problema prevede una soluzione complessa perchè almeno 1 vuol dire: successo oppure 2 successi oppure 3 successi Inoltre i successi possono verificarsi in diversa sequenza: aax axa xaa axx xax xxa xxx Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 38

39 Applicazione della Probabilità 3 Nel caso di eventi indipendenti una soluzione abbreviata si ottiene considerando che: p (almeno 1 positivo) = 1 p(nessuno positivo) = 1 p(es. negativo in tutte le prove) p(es. negativo in tutte le prove) = p(1 es. neg.) x p(2 neg) x.. x p(n neg.) quindi: p (almeno 1 positivo) = 1 p(no pos) Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 39

40 Applicazione della Probabilità 4 probabilità di evento favorevole in una serie di prove indipendenti Caso 2: La probabilità varia per le diverse prove Considerate tre tecniche radiografiche (es. Rx addome, ecografia addominale, TAC addome) ad ognuna delle quali è associata la probabilità di diagnosticare una determinata malattia (es. tumore del pancreas) Tali probabilità sono: Per l Rx addome=0.05 Per l ecografia=0.65 Per la TAC addome=0.90 Se si effettuassero queste 3 tecniche successivamente su un paziente affetto da tumore al pancreas quale sarebbe la probabilità di diagnosticare la malattia? Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 40

41 Applicazione della Probabilità 4b (attenzione! Equivale a chiedere quale sia la probabilità che si ottenga almeno un esame positivo. Per un malato corrisponde alla probabilità che venga effettuata almeno una diagnosi corretta) P (rx_neg)= 0.95 P (eco_neg)= 0.35 P(TAC_neg)=0.10 P(tutte_neg)= 0.95 * 0.35 * 0.10 = 0,03325 P(almeno1 positivo)=1-0,03325 = 0,96675 Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 41

42 La Probabilità condizionata I concetti relativi allo studio delle probabilità condizionate sono illustrati nel contesto di test diagnostici I due parametri principali, associati ai test diagnostici sono la sensibilità e la specificità Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 42

43 Processo diagnostico Il processo diagnostico consiste nel trarre dall osservazione di un individuo gli elementi che permettano di giudicare se un individuo è affetto o meno da una determinata patologia e quindi determinare la linea terapeutica da seguire Caratteristiche dell individuo sintomi, esami strumentali e di laboratorio Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 43

44 Test diagnostici In ambito sanitario vengono comunemente utilizzati esami diagnostici (test di laboratorio, radiografie, esame obiettivo, altri). Questi esami hanno l obiettivo di riconoscere i soggetti malati e quelli sani Mi posso chiedere: 1. Qual è la probabilità che il test fornisca risultati positivi se la malattia è presente? 2. Qual è la probabilità che il test fornisca risultati negativi se la malattia è assente? Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 44

45 Test diagnostici I risultati di un esame possono quindi essere riassunti in una tabella con due righe (per il risultato dell esame) e due colonne (per indicare se il soggetto era malato o no) Malattia Malato Sano Totale Test Positivo Veri positivi (VP) a Falsi positivi (FP) b a+b Negativo Falsi negativi (FN) c Veri negativi (VN) d c+d Totale a+c b+d Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 45

46 Test diagnostici un campione di individui certamente affetti dalla malattia viene sottoposto al test e quindi i soggetti vengono classificati in positivi o negativi Malattia Malato Sano Totale Test Positivo Negativo Totale a c a+c Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 46

47 Test diagnostici Un campione di individui certamente esenti dalla malattia in esame si classificano in base ai risultati del test stesso Malattia Malato Sano Totale Test Positivo Negativo Totale b d b+d Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 47

48 Test diagnostici sensibilità (SE): la capacità di un test di individuare una malattia quando essa sia presente, è calcolata come a / (a+c) SE: a / (a+c) Malattia Malato Sano Totale Test Positivo Negativo Totale a c a+c Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 48

49 Test diagnostici specificità (SP): la capacità di un test di individuare l assenza di una malattia quando la malattia non è presente, è calcolata come SP = D/(b+D) Malattia Malato Sano Totale Test Positivo Negativo Totale b d b+d Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 49

50 Scelta del test Un test ideale dovrebbe essere caratterizzato da sensibilità e specificità pari al 100%. Ma purtroppo questo non è possibile quindi di solito: Si sceglie un test molto sensibile quando: la mancata diagnosi comporterebbe gravi rischi per lo stato di salute del paziente nel caso di malattie gravi ma trattabili Si sceglie un test molto specifico quando: errori diagnostici comporterebbero gravi danni psicologici e materiali per i pazienti ad esempio nel caso di malattie gravi ma non curabili o per le quali non esistano evidenze che la diagnosi precoce ne migliori la storia naturale Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 50

51 Test diagnostici Quando il risultato del test è disponibile ci possiamo chiedere: qual è la probabilità che la malattia sia presente se il risultato del test è positivo? qual è la probabilità che la malattia sia assente se il risultato del test è negativo? Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 51

52 Test diagnostici Si sottopone al test un campione di individui positivi al test stesso e li si classifica in base alla presenza o all assenza della malattia Malattia Malato Sano Totale Test Positivo a b a+b Negativo Totale Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 52

53 Test diagnostici Si definisce valore predittivo positivo (VPP) la proporzione dei soggetti risultati positivi al test che ha realmente la malattia VPP= (a/(a+b)) Malattia Malato Sano Totale est Positivo a b a+b= P(T + ) Negativo Totale Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 53

54 Test diagnostici Si sottopone al test un campione di individui negativi al test stesso e li si classifica in base alla presenza o all assenza della malattia Malattia Malato Sano Totale Test Positivo Negativo c d c+d Totale Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 54

55 Test diagnostici Si definisce valore predittivo negativo (VPN) la proporzione dei soggetti risultati negativi al test che sono esenti da malattia VPN=(d/(c+d)) Malattia Malato Sano Totale Test Positivo Negativo c d c+d= P(T - ) Totale Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 55

56 Esempio 1 80 pazienti vengono ricoverati in un reparto endocrinologico e per ognuno di essi si considera il livello di calcio sierico per determinare lo stato di funzionalità paratiroidea. Il valore soglia al di sopra del quale il risultato del test viene considerato positivo è 11 mg/dl. I 15 pazienti risultati positivi al test sono stati sottoposti ad ulteriori controlli e in 3 casi non sono riscontrate patologie paratiroidee; tra i pazienti negativi al test 8 risultano affetti da patologie paratiroidee. Riportate i risultati in una in una tabella 2x2, completando i dati mancanti. Indicate il numero di veri positivi, falsi positivi, veri negativi e falsi negativi. Calcolate sensibilità, specificità, valore predittivo positivo e valore predittivo negativo Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 56

57 Malattia Malato Sano Totale Test Positivo 12 (VP) 3 (FP) 15 Negativo 8 (FN) 57 (VN) 65 Totale Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 57

58 Sensibilità = a /(a+c) = 12 / 20 = 60% Specificità = d/(d+b) = 57/ 60 = 95% Valore predittivo del risultato positivo = a / (a+b) = 12/15=80% Valore predittivo del risultato negativo = d / (c+d) =57/65=88% Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 58

59 Accuratezza e precisione Immaginiamo di ripetere un certo numero di volte le misurazioni di una certa quantità sullo stesso paziente e nelle stesse condizioni L errore è sistematicamente rivolto in una precisa direzione es. misura pressione arteriosa - strumento non ben tarato o stato emotivo del paziente: errore sistematico condiziona l accuratezza della misura la media dei valori differisce dal valore vero (distanza: distorsione o bias) θ θ Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 59

60 Accuratezza e precisione Può accadere, in secondo luogo, che i tiri (le misurazioni) fluttuino intorno al valore vero in maniera non prevedibile Gli errori di questo tipo vengono definiti casuali: valori che fluttuano intorno al valore vero in maniera imprevedibile. Gli errori casuali sono legati al concetto di precisione di una misura θ Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 60

61 Validità e riproducibilità Validità: proprietà di un giudizio clinico di dimostrarsi in accordo con quello derivante da evidenze più probanti, quale un più attento esame obiettivo o strumentale del paziente, o la sua osservazione nel corso del tempo Riproducibilità: proprietà di un giudizio clinico di dimostrarsi in accordo con quello derivante da altre osservazioni dello stesso fenomeno (ad esempio una seconda visita da parte dello stesso clinico o altre visite dello stesso paziente da parte di altri clinici) Corsi di laurea triennale di area tecnica - Corso di Statistica Medica - Probabilità 61