Destagionalizzazione

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1 Destagionalizzazione Scomposizione della serie in Ciclo-Trend, Stagionalità e Accidentalità. Scomposizione addittiva X t = CT t + S t + A t : per serie la cui variabilità della stagionalità rimane costante al variare del livello. Scomposizione moltiplicativa X t = CT t S t A t : per serie la cui variabilità della stagionalità cresce al crescere del livello. 1

2 Metodi di destagionalizzazione usati Metodi basati sulle medie mobili. X-11-ARIMA, X-12-ARIMA (U.S. Bureau Census, Statistics Canada). SABL (Bell Laboratories) Metodi basati su regressioni su intervalli mobili. BV4 (Technische Universität Berlin) DAINTIES (UE) Metodi basati su modelli stocastici. TRAMO-SEATS (Banca di Spagna, Maravall) Modelli Strutturali, software STAMP (Harvey) 2

3 Le medie mobili ponderate Le medie mobili (ponderate e centrate) possono essere utilizzate per approssimare localmente polinomi. Fissata l ampiezza 2m + 1 della media e il grado p del polinomio che si vuole adattare alla serie, i pesi della media mobile possono essere ricavati con il metodo dei minimi quadrati. X t = β 0 + β 1 t β p t p t = m,..., 0,..., m o in forma matriciale x = Tβ + ε. La soluzione dei minimi quadrati rispetto ai parametri β è, come noto ˆβ = (T T) 1 T x 3

4 ed i valori fittati sono dati da ˆx = Tˆβ = T(T T) 1 T x, dove la t-esima riga data da ˆx t = (1, t,..., t p )ˆβ = (1, t,..., t p )(T T) 1 T x che è una combinazione lineare delle osservazioni x m,..., x m. 4

5 Le medie mobili di Henderson Sono medie mobili di 9, 13 o 23 termini, i cui pesi sono calcolati (nel modo visto nelle due slides precedenti) per un polinomio di terzo grado. La lunghezza (9, 13, 23 termini) della madia mobile è scelta in base al rapporto tra la variabilità di una stima preliminare di A t e la variabilità di una stima preliminare di CT t. Più tale rapporto è alto, più lunga deve essere la media mobile. 5

6 Il metodo X12-ARIMA Step 1. Linearizzazione della serie e stima del modello ARIMA Working days Trading days Festività mobili Identificazione e stima del modello ARIMA 6

7 Il metodo X12-ARIMA Step 2. Destagionalizzazione Utilizzando i modelli ARIMA si prevede in avanti e all indietro in modo che le medie mobili simmetriche possano essere applicate dal primo all ultimo dato della serie. Calcolo di un CT preliminare tramite MMc(12). S t + A t = X t CT t. Calcolo di una S (e quindi di un A) preliminare applicando una MM sulle serie risp. di gennaio, febbraio, ecc., S t+12i + A t+12i. Si centra la componente S provvisoria in modo che sommi a zero su 12 mesi (si sottare ai valori di S una MMc(12)) 7

8 Individuazione di valori anomali e riponderazione degli stessi in base al loro valore rispetto alla loro variabilit (A t Ā)/σ A. Prima stima della serie desatgionalizzata: (CT t + A t ) = X t S t Stima finale del CT per mezzo di una MM di Henderson su C t + A t. Seconda stima della componente stagionale lorda: S t + A t = X t CT t. Calcolo della S (e quindi della A) applicando una MMc(7) sulle serie risp. di gennaio, febbraio, ecc., S t+12i + A t+12i. Si centra la componente S in modo che sommi a zero su 12 mesi. Stima finale della serie destagionalizzata: CT t + A t = X t S t 8

9 125 IP Adjusted IP Trend

10 Gli exponential smoothing Metodo di previsione basato su medie mobili (asimmetriche) con pesi esponenzialmente decrescenti nel passato: più un osservazione è vicina nel tempo, più essa conta nella previsione. L exponential smoothing (ES) semplice è dato dalla formula di previsione F t+1 t = αx t + (1 α)f t t 1 α [0, 1]. Sostituendo la formula ricorsivamente a se stessa si ottiene F t+1 t = α (1 α) i X t i i=0 che è una media mobile a pesi esponenzialmente decrescenti. L ES semplice non ha una grande performance previsiva per le serie storiche economiche, tuttavia versioni più elaborate danno buoni risultati. 10

11 L ES di Holt e Winters ES che incorporano un trend lineare locale, ed una stagionalità evolutiva (additiva o moltiplicativa). F t+m t = (a t + b t m)i t s+m a t = αx t /I t s + (1 α)(a t 1 + b t 1 ) b t = β(a t a t 1 ) + (1 β)b t 1 I t = γx t /a t + (1 β)i t s previsione livello incremento indice di stagionalità. I valori dei parametri α, β e γ vengono solitamente calcolati per mezzo dei minimi quadrati: [X t F t t 1 (α, β, γ)] 2 = min. 11

12 1.1 IP ES