# INTRODUZIONE ALLA PROGETTAZIONE DEI SISTEMI DI CONTROLLO LINEARI E STAZIONARI

Transcript

1 # INTRODUZIONE ALLA ROGETTAZIONE DEI SISTEMI DI CONTROLLO LINEARI E STAZIONARI # Come gia accennato ripetutamente in precedenza, la formulazione piu semplice e classica del problema di progetto (sintesi) di un sistema di controllo feedback si riconduce al progetto del controllore C in modo che il sistema retroazionato possieda certe caratteristiche. iu precisamente si dovranno garantire le proprieta di stabilita e di comportamento dinamico a ciclo chiuso soddisfacente, espresse in termini di prestazioni (dynamic performance. Conviene fare alcune osservazioni sul significato che diamo all espressione progetto del controllore C. Salvo se diversamente precisato, noi intenderemo la parola progetto riferita al processo di determinazione della F. di T. del blocco C (funzione di correzione) dello schema in figura (a retroazione costante H(=/K d ), in maniera che il sistema feedback si comporti secondo specifiche. x e Cc u y r H Si trattera in sostanza di:. determinare la struttura della F. di T. e 2. scegliere il valore dei suoi parametri in maniera da garantire l ottenimento delle prestazioni richieste. Ad esempio una funzione di correzione molto usata nella sintesi per tentativi dei sistemi di asservimento ha la seguente struttura: τ s = K C () τ s 2 Scelta tale struttura, in base ad appropriate considerazioni, si trattera di determinare il valore delle tre costanti K C, τ e τ 2 in maniera da soddisfare le specifiche imposte. Il problema di sintesi, da un punto di vista metodologico, sara considerato concluso con tale risultato. Si trattera poi, in una seconda fase, di vedere quali dispositivi sono atti a realizzare tale funzione di correzione per il caso pratico in esame, ma tali aspetti sono argomento specifico di altri corsi di automatica, che hanno per oggetto le tecniche e la strumentazione dei sistemi di controllo automatico e da noi saranno solamente accennati senza particolari approfondimenti.

2 RESTAZIONI: Una volta garantita la stabilita, secondo i criteri riferentisi ai margini di stabilita' introdotti a suo tempo, e necessario che il sistema di controllo sia in grado di fornire determinate prestazioni, che si esprimono usualmente nei seguenti termini: a) prestazioni statiche in condizioni nominali; b) prestazioni dinamiche in condizioni nominali; c) prestazioni in condizioni perturbate. restazioni statiche in condizioni nominali. Ricordiamo che uno degli obiettivi principali nella progettazione di un sistema di controllo e quello di garantire che per t l errore e si mantenga limitato, o in particolare che sia nullo, con riferimento a segnali utili e/o disturbanti di caratteristiche specificate (segnali canonici). Oltre al caso dei segnali canonici e particolarmente interessante anche il comportamento a regime in presenza di segnali sinusoidali. Infatti spesso non e possibile fornire una descrizione precisa dei disturbi, ma risulta abbastanza agevole caratterizzarli in termini delle loro proprieta spettrali. In questo caso, per la stabilita asintotica del sistema feedback, ogni loro componente armonica induce asintoticamente una componente sinusoidale nel segnale d uscita. E essenziale poter garantire che l ampiezza dell errore asintotico prodotto da queste componenti si mantenga entro limiti predefiniti. restazioni dinamiche in condizioni nominali. Nella grande maggioranza dei problemi di progetto classico i requisiti d interesse sono relativi all andamento della variabile di uscita del sistema di controllo in corrispondenza di variazioni a gradino del segnale di riferimento e/o dei segnali disturbanti. er quanto riguarda il segnale di riferimento, non essendo possibile avere una perfetta coincidenza (eventualmente a meno di una costante di proporzionalita K d ) del segnale di uscita con quello d ingresso (comportamento ideale), in sede di sintesi si fa riferimento, come gia detto a suo tempo, a vincoli (specifiche di progetto nel dominio del tempo) imposti sui diversi parametri significativi della risposta indiciale, quali il tempo di assestamento t aε%, il tempo di salita o di risposta t r, la massima sovraelongazione s % etc. iu in generale si puo richiedere che la risposta al gradino si mantenga all interno di una regione delimitata del piano cartesiano t-w - (t). Questo requisito si trasforma agevolmente nel richiedere determinate caratteristiche per la risposta in frequenza (specifiche di progetto nel dominio della frequenza), quali un andamento di tipo passa-basso, una ampiezza specifica per la banda passante B 3, la limitatezza di eventuali picchi di risonanza etc. 2

3 Anche con riferimento ai segnali disturbanti si vorrebbe, idealmente, che il loro effetto sull uscita fosse nullo in ogni istante di tempo. Non essendo cio praticamente ottenibile, ci si limita a richiedere che il loro effetto produca variazioni del segnale d uscita contenute in ampiezza e che si esauriscano in un intervallo di tempo ragionevolmente breve. Anche questo tipo di specifiche nel dominio del tempo (caratteristiche di attenuazione dei disturbi) si trasformano facilmente in specifiche per le risposte in frequenza associate alle F. di T. tra i disturbi e l uscita. In molti problemi progettuali altro requisito di notevole interesse e la moderazione della variabile di controllo. Con questo termine ci si riferisce alla capacita del sistema di controllo di produrre una variabile controllante u(t) limitata in ampiezza. Tale requisito e molto importante per diverse ragioni. In primo luogo ricordiamo che, in generale, il sistema lineare di riferimento per il progetto rappresenta il sistema fisico reale soltanto nell intorno delle condizioni nominali di funzionamento, intorno alle quali si effettua usualmente la linearizzazione. Affinche il procedimento di linearizzazione sia valido, e necessario che tutte le variabili che compaiono lungo l anello di controllo, e specificamente la variabile controllante u(t), siano contenute in ampiezza. Inoltre in ogni sistema di controllo reale gli attuatori introducono delle nonlinearita dovute a saturazioni delle variabili manipolabili. E quindi opportuno che il sistema di controllo operi in modo da far si che tali saturazioni non abbiano luogo, e cio e evidentemente legato al fatto che u(t) non assuma valori eccessivi durante il normale funzionamento. Conviene ricordare ancora che alle variabili in gioco in un sistema feedback, e in particolare alle variabili di controllo, corrispondono grandezze fisiche quali velocita, forze e coppie nei sistemi meccanici, tensioni e correnti nei sistemi elettrici, portate e pressioni nei sistemi a fluido, temperature e portate di calore nei sistemi termici etc. In corrispondenza di tali variabili possono esservi dei vincoli legati al costo dell azione di controllo. Un vincolo sull ampiezza del segnale di controllo puo essere motivato, in tale contesto, dall esigenza di contenere al minimo le dimensioni degli attuatori, come per esempio nel caso di sistemi di controllo per veicoli aeronautici e astronautici. E opportuno ricordare infine che, in generale, e sempre opportuno evitare brusche variazioni della variabile di controllo allo scopo di ridurre le sovrasollecitazioni istantanee cui sarebbe sottoposto l attuatore in tali situazioni, e quindi prolungarne la durata (vita) riducendone l usura. restazioni in condizioni perturbate. E in generale di importanza rilevante, nel progetto di un sistema di controllo, poter garantire il soddisfacimento dei requisiti espressi in termini di prestazioni non soltanto in condizioni nominali, ma anche a fronte di errori di modellistica o a variazioni dei parametri del sistema, cioe in condizioni perturbate. 3

4 Se si riesce ad assicurare cio, si dice che il sistema di controllo fornisce prestazioni robuste o piu usualmente che il sistema di controllo e robusto. Naturalmente, dato che con riferimento a questo aspetto del problema del controllo non e realistico richiedere che le prestazioni siano garantite per ogni possibile perturbazione, e necessario disporre di una stima dei margini di incertezza del modello impiegato e quindi assicurare le prestazioni desiderate a fronte di tutte le perturbazioni ammissibili all interno di tali margini. La trattazione di tali aspetti del problema del controllo e decisamente meno semplice e diretta di quanto caratterizza le metodologie classiche di sintesi che sono oggetto del presente corso di primo livello, per cui si rimanda per tali argomenti a successivi corsi avanzati di automatica. Riferimento bibliografico: Bolzern, Scattolini, Schiavoni: Fondamenti di Controlli Automatici. McGraw-Hill, 998. Capp. -2. ROCEDURE DI SINTESI DEI SISTEMI DI CONTROLLO FEEDBACK Nel corso degli sviluppi della teoria del controllo automatico e delle relative metodologie hanno preso forma e sono oggi di ampio uso svariate procedure di sintesi, che possiamo distinguere, nel contesto dei nostri discorsi, in:. procedure classiche e 2. procedure moderne. Alla prima categoria appartengono i metodi di sintesi, per sistemi SISO, basati sull approccio ingresso-uscita facenti riferimento agli schemi a blocchi standard classici presentati in precedenza e caratterizzati essenzialmente dalla retroazione della variabile d uscita: a) sintesi per tentativi (trial and error) per gli asservimenti e per le regolazioni; b) sintesi diretta (Truxal syntesi; c) sintesi a due gradi di liberta. Alla seconda categoria appartengono metodi di sintesi basati sull approccio a variabili di stato, e quindi costitutivamente rivolti allo studio di sistemi MIMO, i cui sistemi di controllo si realizzano in generale con schemi a retroazione dello stato: d) sintesi modale (pole-zero placement); e) sintesi ottima (optimal control system. Nel seguito, con riferimento agli obiettivi del presente corso, ci interesseremo soprattutto della prima categoria di metodi, e in particolare dei metodi a) e b), con solo alcuni cenni al metodo c). Gli approfondimenti delle metodologie non trattate in dettaglio e di quelle piu avanzate (categoria 2) sono argomento di successivi corsi del settore automatica. Cio che caratterizza essenzialmente la procedura a) (Sintesi per tentativi) per i sistemi di asservimento e che la scelta della struttura del blocco di correzione e la messa a punto dei suoi parametri viene fatta,, partendo da considerazioni sul sistema a ciclo aperto. In particolare ci si riferisce alla risposta armonica F(jω) = jω)jω)h(jω) e ai suoi diagrammi di Bode 4

5 (approccio in ω), o utilizzando la costruzione del relativo luogo delle radici (approccio in. Tale procedura consta di una prima fase nella quale, utilizzando specifiche sul ciclo aperto, eventualmente ottenute per trasformazione delle specifiche originarie di progetto, si sceglie la struttura del controllore e se ne mettono a punto i parametri. In una seconda fase si verifica il soddisfacimento delle specifiche originarie sul legame ingresso uscita. Normalmente tale seconda fase comporta il ritorno alla prima fase per la modifica della struttura e/o dei valori dei parametri del controllore, instaurando cosi una procedura iterativa per il raggiungimento della soluzione soddisfacente. er i sistemi di regolazione invece la sintesi per tentativi si effettua, nella stragrande maggioranza dei casi, facendo ricorso a procedure standard di tipo sperimentale ottimizzate, come vedremo a suo tempo (metodi standard per la predisposizione dei regolatori industriali). La procedura b) (Sintesi diretta), parte dalle prestazioni richieste a ciclo chiuso e individua un modello matematico W( abbastanza ben definito, senza precisare in una prima fase che il sistema di controllo sara realizzato a controreazione. In una seconda fase, mettendo in conto il fatto che il sistema verra effettivamente realizzato con una struttura feedback, si vede di ritoccare il modello W( inizialmente scelto in modo che, quando si trattera di realizzare il sistema a catena chiusa, non si ottenga una F. di T. del controllore troppo difficile o impossibile da realizzare. Tale procedura e stata messa a punto storicamente, con riferimento esplicito ai sistemi di asservimento, dallo studioso Truxal dal quale prende il nome, e non e caratterizzata da uno schema di tipo iterativo come la procedura a), ma porta direttamente alla soluzione del problema di sintesi. La procedura c) (Sintesi a due gradi di liberta ), e prevista per tutti quei problemi di progetto nei quali non e possibile soddisfare contemporaneamente, con una delle procedure classiche di cui sopra, esigenze contemporaneamente presenti per il sistema di controllo allo studio, quali la riproduzione fedele del segnale d ingresso in uscita e l attenuazione dei disturbi e/o degli effetti delle variazioni parametriche. Tale procedura si basa sul concetto, e le relative implicazioni dal punto di vista progettuale, di grado di liberta di un sistema di controllo associato alla struttura a blocchi che lo realizza. 5

6 # LA SINTESI ER TENTATIVI # Come gia accennato nell introduzione alle metodologie di sintesi, questa procedura consiste essenzialmente nella scelta di una certa struttura per il controllore C dello schema standard in figura e nella determinazione del valore dei suoi parametri in base alle specifiche. x e Cc u y r H W ( = K d In particolare noi supporremo, nella trattazione di tale metodo, che il controllo del sistema venga realizzato proprio attraverso l aggiunta di una parte detta blocco di correzione (o controllore) a monte del processo da controllare. Nel caso dello schema in figura l organo trasduttore, che riporta il segnale d uscita al comparatore per la generazione del segnale d errore, sara assunto, salvo diversa segnalazione esplicita, istantaneo con costante di trasduzione pari all inverso del legame desiderato K d tra l ingresso e l uscita del sistema di controllo. Il fatto pero che nella catena di reazione esista il blocco H con funzione di trasduzione /K d oppure che la cotroreazione sia unitaria e inessenziale dal punto di vista dello studio che stiamo per affrontare, in quanto lo schema precedente e equivalente al seguente schema: X Kd C/Kd Y W ( 2 = C ( In sostanza ci si puo quindi limitare allo studio del sistema racchiuso entro le linee tratteggiate, essendo il blocco esterno istantaneo e quindi senza influenza sulla dinamica del sistema complessivo. K d 6

7 Questa procedura e particolarmente idonea per il caso in cui si pensi di realizzare l apparato controllante in una forma standard, adatta ad essere applicata a vari tipi di sistemi da controllare: l utilizzazione piu frequente e nel campo delle regolazioni, per il quale molte case costruttrici realizzano regolatori a struttura fissa ed a parametri aggiustabili. I progettisti della casa costruttrice determinano le strutture e la escursione dei parametri dei regolatori che sono di interesse in rapporto a determinate classi di applicazione ed i tecnici dell impianto si preoccupano poi di scegliere il tipo di regolatore piu adatto nell ambito delle soluzioni disponibili e di fissare i valori da assegnare ai parametri nel campo di escursione loro specifico (predisposizione del regolatore). In genere per questa fase della sintesi si puo procedere, oltre che per tentativi, facendo ricorso a formule empiriche, semplici ma di larga approssimazione, elaborate sulla base di ipotesi semplificative, come vedremo in dettaglio piu avanti Nel campo degli asservimenti la sintesi del controllore viene fatta di solito caso per caso, ed i procedimenti di sintesi sono piu elastici. Spesso il progettista ha un ampio campo di scelta preliminare della struttura. Da quanto appena detto si deduce la convenienza a trattare separatamente il problema della sintesi dei sistemi di regolazione da quello dei sistemi di asservimento, soprattutto per la diversa soluzione costruttiva che si da al problema della realizzazione dell apparato controllante. E chiaro pero che i concetti fondamentali cui si ispira la metodologia di sintesi sono sostanzialmente gli stessi per entrambi i casi. Un ulteriore ragione per la trattazione separata dei due problemi di sintesi sta nelle differenze che si riscontrano, sia in rapporto alle prestazioni, sia in rapporto alla parte controllata. Nella regolazione infatti ci si riferisce al disturbo e al suo effetto sull uscita, nell asservimento ci si riferisce fondamentalmente, almeno nella formulazione iniziale del problema di progetto, all ingresso e alla sua piu o meno fedele riproduzione in uscita. Di solito le F. di T. associate ai processi da controllare non hanno poli nell origine nel caso delle regolazioni, mentre ne possono avere spesso almeno uno nel caso degli asservimenti. Da un punto di vista puramente matematico il problema della sintesi di un sistema di asservimento e quello della sintesi di un sistema di regolazione sono perfettamente equivalenti. Consideriamo gli schemi standard a suo tempo introdotti per lo studio della fedelta di risposta delle due categorie di sistema di controllo di nostro interesse, in particolare a retroazione unitaria: 7

8 X C Y Fig. : Asservimento a retroazione unitaria. X=0 a C m Z y Fig. 2: Regolazione a retroazione unitaria. Con riferimento alla Fig., come gia detto a suo tempo, il problema essenziale di sintesi e quello di far si che y(t) x(t) e ha interesse lo studio dell errore dovuto alla differenza tra ingresso e uscita, cioe : E( = X ( Wex( = X ( () Bisogna fare in modo che e(t) 0. Con riferimento alla Fig. 2, il problema e quello di far si che y z (t) 0. Ma si ha che: Yz ( = Z( Wz ( = Z( (2) Confrontando le espressioni () e (2) si vede che, purche nel caso dei sistemi di asservimento ci si riferisca all errore (alla F. di T. ingresso-errore W ex (), e nel caso dei sistemi di regolazione ci si riferisca all uscita prodotta dal disturbo (alla F. di T. disturbo-uscita W z (), il problema e sempre quello di progettare il blocco C, che compare esattamente alla stessa maniera nelle due F. di T., in modo tale che esse tendano a zero nei campi di frequenze di interesse. 8