Matematica per le Scienze della Vita

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1 Matematica per le Scienze della Vita

2 *La successione di Fibonacci Nel 1202 il matematico Leonardo Pisano, detto Fibonacci, sollevò e risolse il seguente problema: si suppone che una coppia di conigli adulti generi una coppia di piccoli al mese e che i neonati diventino adulti in due mesi dando alla luce un altra coppia di conigli. In questo processo la mortalità dei conigli viene trascurata. Partendo da una coppia adulta, di quanti conigli sarà composto un allevamento dopo il primo, il secondo, il terzo, ecc. mese?

3 Come si può notare dallo schema si ha: al primo mese la coppia di conigli, di colore rosso, che ora è adulta; al secondo mese la coppia rossa più la coppia di conigli generata, di colore blu; al terzo mese la coppia rossa che genera un altra coppia di piccoli, di colore giallo, più la coppia blu, che ora è adulta; ecc..

4 Quindi il numero di coppie alla fine di ogni mese è rispettivamente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,. In realtà è possibile prevedere, senza seguire il processo, quanti conigli si hanno dopo un certo numero di mesi. La successione che descrive il processo è la famosa successione di Fibonacci: ogni numero della successione è la somma dei due numeri precedenti: 2=1+1 3=2+1 5=3+2 8=5+3 Quindi la successione di Fibonacci che indichiamo con F è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione F =1 e F =1. Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la seguente regola: F = F +F (per ogni n>1). Gli elementi F sono anche detti numeri di Fibonacci.

5 In natura è possibile ritrovare i numeri di Fibonacci. Vediamo due esempi. Petali nei fiori In molti fiori, se andiamo a contare i petali, troviamo numeri appartenenti alla successione di Fibonacci: Calla Spatiphyllum Euforbia (1 petalo) (1 petalo) (2 petali) Bouganvillea Parnassia Cosmos (3 petali) (5 petali) (8 petali) Euryops Margherita Girasole (13 petali) (21 petali) (34 petali)

6 Spirali della pigna Se osserviamo il fondo di una pigna possiamo distinguere spirali che si avvolgono in senso orario oppure in senso antiorario. Le spirali sono 8 in un senso e 13 nell altro senso: due numeri consecutivi nella successione di Fibonacci.

7 *Crescita batterica Per capire al meglio come si moltiplicano i batteri osserviamo la curva di crescita batterica:

8 Nel piano cartesiano, dove sull asse delle ascisse c è il tempo, espresso in minuti, e sull asse delle ordinate il numero di cellule vitali, si distinguono le seguenti fasi: 1. Fase di latenza: è il periodo impiegato dal microrganismo ad adattarsi all'ambiente. 2. Fase di crescita esponenziale: periodo in cui il microrganismo si moltiplica velocemente. 3. Fase stazionaria: periodo in cui il microrganismo arresta la sua crescita, poiché uno o più nutrienti sono terminati. 4. Fase di morte: periodo in cui il numero di microrganismi comincia ad abbassarsi, poiché le cellule morte iniziano a superare quelle delle fasi precedenti.

9 Vediamo in che modo i batteri si duplicano nella fase esponenziale Durante la fase esponenziale, tutti i microrganismi si dividono secondo intervalli di tempo costanti. Nel corso di una generazione dunque la popolazione batterica raddoppierà di numero. Consideriamo una determinata specie batterica che si divide, per esempio, ogni 20 minuti. Partendo dal tempo 0 avremo un numero di cellule ben definito che chiameremo popolazione al tempo 0, dopo 20 minuti si formerà la prima generazione o popolazione al tempo 1 che conterrà il doppio delle cellule rispetto alla popolazione al tempo 0. Dopo ulteriori 20 minuti (quindi dopo 40 minuti dal tempo 0) si formerà la seconda generazione o popolazione al tempo 2 che conterrà a sua volta il doppio delle cellule rispetto alla popolazione al tempo 1 ed il quadruplo rispetto alla popolazione al tempo 0.

10 Durante la fase di crescita esponenziale del nostro esempio, quindi, ogni venti minuti, la popolazione batterica raddoppia di numero. Per cui il numero di microrganismi di una popolazione in fase di crescita esponenziale sarà dato sempre da 2, dove n è il numero di generazioni. Quindi se si vuole conoscere il numero di cellule al tempo t (N t ) conoscendo il numero iniziale di cellule o numero di cellule al tempo 0 (N 0 ) e il numero n di generazioni basta fare: N = N 2

11 *Il DNA e le basi azotate Il DNA è un acido nucleico che contiene le informazioni genetiche. Soffermiamoci, però, sulle basi azotate del DNA e vediamo come utilizzando esse è possibile ritrovare alcuni concetti matematici. Come costruire una funzione tra le basi azotate. I due filamenti di cui è composto il DNA sono tenuti insieme da legami idrogeno tra le coppie di basi A (adenina) C (citosina) G (guanina) T (timina). Questi legami si instaurano solo tra A e T e tra C e G.

12 Quindi in termini matematici possiamo dire che esiste una funzione f che associa ad ogni sequenza su un filamento la corrispondente sequenza sull altro. In particolare: f(a)=t f(t)=a f(c)=g f(g)=c Quindi ad esempio: f(acccggtatcaagt)=(tgggccatagttca)

13 Come ordinare le basi azotate. opremettiamo una definizione: ciascun possibile ordinamento di n oggetti distinti è detto permutazione. Consideriamo le 4 basi azotate e vediamo come possiamo metterle in ordine in modo tale che compaiano tutte una ed una sola volta. Si ha: Abbiamo 24 permutazioni. ACGT, ACTG, AGCT, AGTC, ATCG, ATGC CAGT, CATG, CGAT, CGTA, CTAG, CTGA GACT, GATC, GCAT, GCTA, GTAC, GTCA TACG, TAGC, TCAG, TCGA, TGAC, TGCA Per generalizzare il calcolo al caso di n oggetti, con n intero qualunque, diamo una definizione: dato un intero positivo n, si definisce fattoriale di n e si indica con n! il numero positivo Per definizione si pone 0!=1 n! = n (n-1) (n-2) 3 2 1

14 Il numero delle permutazioni di n oggetti distinti è n! Infatti tornando alle basi azotate si ha: 4!= =24 opremettiamo una definizione: ogni scelta, indipendente dall ordine, di k elementi da un insieme di n elementi si chiama combinazione. Consideriamo le 4 basi azotate. Indipendentemente dall ordine, vediamo in quanti modi possiamo scegliere rispettivamente tre basi azotate e due basi azotate partendo da A, C, G, T: ACG, ACT, AGT, CGT AC, AG, AT, CG, CT, GT Abbiamo rispettivamente 4 combinazioni e 6 combinazioni. Per generalizzare il calcolo al caso della scelta di k oggetti da un insieme di n diamo una definizione: si definisce coefficiente binomiale n su k il numero n k = n! k! n k!

15 Il numero di combinazioni di n oggetti in gruppi di k è. Infatti tornando alle basi azotate si ha: 4 3 = 4! 3! 4 3! = 4! 3! 1! = = = 4! 2! 4 2! = 4! 2! 2! = = 6

16 * Incrocio tra alleli La teoria della probabilità è indispensabile per trattare quantitativamente i problemi della genetica, inclusi quelli più elementari. Per questo motivo diamo la seguente definizione. La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili. Es: con quale probabilità, lanciando un dado, esce un numero maggiore o uguale a 5? L evento A=esce un numero maggiore o uguale a 5 corrisponde a due possibilità: esce 5 o esce 6. I casi possibili, ovviamente, sono le 6 facce del dado. Quindi la probabilità che avvenga A è: P(A)= = In particolare dalla definizione segue che la probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1.

17 A questo punto vediamo in che modo la probabilità si applica alla genetica. Gregor Mendel ( ) studiò la trasmissione dei caratteri ereditari nelle piante di pisello. Il suo merito fu quello di utilizzare un rigoroso metodo scientifico nei suoi esperimenti e di raccogliere e analizzare un numero molto elevato di dati, che resero valide statisticamente le sue osservazioni. Mendel parlava di fattori ereditari (al suo tempo non si conoscevano DNA e cromosomi). I fattori di Mendel sono i geni, unità ereditarie che determinano i tratti dell organismo, costituiti (oggi lo sappiamo) da una sequenza di DNA.

18 Mendel propose che i fattori ereditari (geni) si trovassero in coppie che si separano durante la formazione dei gameti (cioè le cellule riproduttive maschili e femminili). Diamo delle definizioni: Gli alleli sono le forme alternative di un gene (es. occhi castani, che indichiamo con A e occhi azzurri, che indichiamo con a) Organismo omozigote per un gene ha due alleli identici (es. due copie di allele occhi castani AA o due copie di allele occhi azzurri aa) Organismo eterozigote per un gene ha due alleli differenti (es. allele occhi castani e allele occhi azzurri Aa ) In un organismo eterozigote un allele può essere dominante e l altro recessivo. Per convenzione si indica l allele dominante con la lettera maiuscola (A) e l allele recessivo con la lettera minuscola (a). Le coppie AA, aa, Aa (o equivalentemente aa) sono detti genotipi mentre i caratteri distinti A o a sono detti fenotipi.

19 Fatte queste premesse, analizziamo in particolare l esito dell incrocio di diversi tipi di gameti. 1. Incrocio AA Aa (un genitore omozigote ed uno eterozigote) Dall incrocio si possono formare i genotipi AA e Aa. In particolare: A a A P(AA) = = Poiché l allele dominante è A si ha: A AA AA aa aa e P(Aa) = = P(fenotipo=A) = 4/4 = 1

20 2. Incrocio Aa Aa (due genitori eterozigoti) A a A AA Aa a aa aa Dall incrocio si possono formare i genotipi AA, Aa, aa. In particolare: P(AA) =, P(aa) =, P(Aa)= = Ora, poiché l allele dominante è A si ha: P(fenotipo=A) = 3/4 P(fenotipo=a) = 1/4

21 Il calcolo delle probabilità condizionate è la determinazione della probabilità di un evento in presenza di informazioni parziali su di esso. Partendo dall esempio numero 2 sugli incroci si è visto che tra due genitori eterozigoti si ha P(AA)=1/4 P(Aa)=1/2 P(aa)=1/4 Ora sappiamo che i genotipi AA e Aa hanno lo stesso fenotipo A. Ora se sappiamo che un individuo ha fenotipo A, a meno di una analisi del DNA, non possiamo sapere se esso sia un individuo omozigote AA o un individuo eterozigote Aa. Possiamo però chiederci con quale probabilità esso è, ad esempio, Aa.

22 Questa probabilità si indica come P(Aa fenotipo=a) E si legge: probabilità dell evento genotipo Aa condizionato dall evento fenotipo A. Vediamo come si calcola. Sappiamo che P(Aa)=1/2 mentre P(fenotipo=A)=3/4. Allora il calcolo della probabilità condizionata è: P(Aa fenotipo=a) = P(Aa) = 1/2 = 1 4 = 2 P(fenotipo=A) 3/