Dinamica di reti neuronali

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1 ANNO ACCADEMICO Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Fisica Tesi di Laurea Dinamica di reti neuronali Candidato: Simona Olmi Relatore: prof. Roberto Livi Correlatore: dott. Alessandro Torcini 28 luglio 2009

2 Indice 1 Elementi di neurofisiologia I neuroni I segnali neuronali ed il potenziale di azione Le sinapsi Introduzione alla dinamica neuronale La membrana cellulare del neurone Canali ionici e correnti ioniche Origine del potenziale di riposo Un modello cellulare semplificato L equazione di Nerst Effetto del sodio e pompe ioniche Effetto della permeabilità ionica e dei meccanismi di trasporto Proprietà elettriche passive della membrana Modelli semplificati di neuroni e reti neurali Dal modello di Hodgkin-Huxley al modello leaky integrate and fire Neuroni leaky integrate-and-fire Correnti sinaptiche Adattamento del tasso di sparo e refrattarietà I

3 2.3 Reti neurali Rete di neuroni LIF globalmente accoppiati: il modello Mappa guidata dall evento Stabilità lineare Impulso di durata finita Lunghezze d onda grandi Lunghezze d onda piccole Diagramma di fase e correzioni di taglia finita Altri stati collettivi della rete Desincronizzazione in reti neurali diluite

4 Capitolo 1 Elementi di neurofisiologia In questo capitolo introdurremo alcuni concetti basilari relativi alla neurofisiologia del neurone. In particolare, dopo una breve descrizione della morfologia del neurone e delle sinapsi, analizzeremo quei particolari segnali elettrici emessi durante la dinamica neuronale chiamati potenziali di azione i quali rappresentano l unità elementare di informazione scambiabile fra i neuroni. Inoltre descriveremo in dettaglio le caratteristiche della membrana cellulare, sia a riposo che eccitata, con particolare attenzione alle sue proprietà elettriche. 1.1 I neuroni I neuroni sono cellule del sistema nervoso altamente specializzate e dedicate al trasferimento, immagazzinamento ed elaborazione delle informazioni. Tale elaborazione avviene attraverso segnali elettrici dovuti a differenze di potenziale associate a correnti elettriche di natura ionica (essenzialmente sono rilevanti solo gli ioni sodio, potassio, calcio e cloro) che attraversano la membrana cellulare del neurone. I neuroni sono in numero molto elevato e sono connessi fra di loro in modo molto

5 intricato (vedi fig.1.1): ad esempio nella corteccia cerebrale si ha una densità superiore a 10 4 neuroni/mm 3. Tipicamente, pur nella varietà di tipi di cellule neuronali (neuroni della corteccia cerebrale, motoneuroni del midollo spinale, ecc.), possiamo riconoscere tre parti morfologicamente e funzionalmente distinte: il corpo cellulare o soma; i dendriti e gli assoni. Il soma ha una struttura compatta che risulta approssimativamente sferica (di circa 70 µm di diametro) ed è sostanzialmente l unità deputata all elaborazione dell informazione. I dendriti sono estensioni del soma con una struttura molto ramificata che si estendono per distanze che possono raggiungere il millimetro ed hanno la funzione di raccogliere i segnali provenienti dagli altri neuroni e trasmetterli al soma. Gli assoni sono lunghe protuberanze (anche oltre un metro nei neuroni motori degli organismi animali superiori) che si proiettano dal soma e la loro funzione consiste nella trasmissione del segnale generato dal soma verso i dendriti di un altro neurone. Usando la terminologia dei circuiti elettronici si può quindi dire che i dendriti rappresentano il dispositivo di ingresso ( input ), gli assoni il dispositivo di uscita ( output ) e il soma l unità di elaborazione delle informazioni. La morfologia di un particolare tipo di neurone nonché la sua posizione nella rete neuronale forniscono indizi sulla funzione espletata: ad esempio il livello di arborizzazione fornisce un idea del numero di connessioni che può ricevere e verso quante altre cellule neuronali invii i propri segnali (vedi fig.1.2). Figura 1.1. Neuroni della corteccia dei mammiferi osservati al microscopio. Possiamo distinguere neuroni con corpi cellulari triangolari e circolari: la cellula b è un classico esempio di cellula piramidale con corpo triangolare [10]. Figura 1.2. Forme e dimensioni dei neuroni [11].

6 1.2 I segnali neuronali ed il potenziale di azione Si definisce potenziale di membrana la differenza di potenziale misurata ai capi di due elettrodi, uno posto all interno della cellula neuronale ed uno posto nel liquido extracellulare circostante. Quando si parla di segnale neuronale ci si riferisce alla variazione temporale e spaziale del potenziale di membrana. Quando il neurone è a riposo, ossia non è in qualche modo eccitato dall esterno (e chiariremo nel seguito cosa si intende), il potenziale di membrana assume un valore caratteristico denominato potenziale di riposo, tipicamente dell ordine di -65mV, ossia l interno della cellula si trova ad un potenziale inferiore rispetto all esterno. I potenziali di azione sono impulsi di tensione tipici generati durante la dinamica neuronale; essi hanno una forma pressoché stereotipata e non sono soggetti ad attenuazione o distorsione durante la propagazione lungo l assone. In fig.2.3 è riportata la forma tipica di un potenziale di azione. Si notino le seguenti caratteristiche: l impulso di tensione ha una durata di circa 1-2 ms ed una ampiezza misurata fra il minimo ed il massimo di circa mv; nella prima fase dell impulso si assiste ad una crescita veolce del potenziale di membrana fino ad arrivare ad una fase denominata di depolarizzazione dove il potenziale di membrana diventa positivo, cioè l interno della cellula si trova ad un potenziale superiore rispetto all esterno; nella fase di discesa l impulso prima di ritornare al valore di riposo passa attraverso una fase denominata di iperpolarizzazione, tipicamente della durata di circa 10 ms (e quindi molto piú lenta della depolarizzazione), in cui la cellula presenta un potenziale di membrana inferiore rispetto a quello di riposo.

7 Il potenziale di azione, che una volta generato nella cellula neuronale, viaggia lungo l assone ed è trasmesso agli altri neuroni, costituisce l unità elementare associata alla trasmissione dei segnali neuronali. Tipicamente quindi quando ci si riferisce al segnale emesso da un neurone si intende la sequenza temporale di questi potenziali di azione, detta anche treno di impulsi (in inglese spike train). Figura 1.3. Forma tipica di un potenziale di azione (o impulso) [9]. 1.3 Le sinapsi La sinapsi costituisce essenzialmente la giunzione tra due neuroni ossia la struttura attraverso la quale le informazioni sono trasferite da una cellula nervosa all altra. In tale contesto si definisce neurone presinaptico il neurone trasmettente i potenziali di azione, a monte della sinapsi, e neurone postsinaptico il neurone ricevente i potenziali di azione, a valle della sinapsi. Con questa terminologia la sinapsi è quindi la regione in cui l assone del neurone presinaptico interagisce con il dendrite del neurone postsinaptico. Si definisce inoltre potenziale postsinaptico (che ha come acronimo PPS) la risposta in tensione del neurone postsinaptico conseguente all arrivo del potenziale di azione proveniente dal neurone presinaptico. Si distinguono essenzialmente due tipi di sinapsi: la sinapsi chimica e la sinapsi elettrica (altrimenti detta gap-junction). La sinapsi chimica, della quale è riportato lo schema in fig.1.4, risulta la più comune nel cervello dei vertebrati e si basa sul meccanismo che andiamo a descrivere. Il potenziale di azione generato dal neurone presinaptico, giunto all estremità dell assone depolarizza localmente la membrana cellulare causando il rilascio all interno della fessura sinaptica (ossia il

8 piccolo spazio tra le due membrane cellulari presinaptiche e postsinaptiche), da parte di strutture poste sull assone denominate vescicole sinaptiche, di particolari sostanze chimiche denominate neurotrasmettitori. Il neurotrasmettitore, non appena raggiunto il versante postsinaptico della sinapsi, è rivelato da speciali molecole (chemorecettori) poste sulla membrana postsinaptica che provocano l apertura (o direttamente o tramite una catena di segnali biochimici) di specifici canali attraverso i quali una corrente ionica fluisce dal liquido extracellulare alla cellula. L ingresso di questi ioni porta a sua volta ad una variazione del valore del potenziale di membrana postsinaptico. Dunque in una sinapsi chimica si ha prima la trasformazione di un segnale elettrico in un segnale chimico sulla membrana presinaptica e poi la successiva trasformazione sulla membrana postsinaptica di un segnale chimico in un segnale elettrico. La sinapsi elettrica realizza invece un accoppiamento elettrico tra due neuroni attraverso canali ionici altamente specializzati (detti gap-junctions) che collegano la membrana presinaptica e postsinaptica. La sinapsi elettrica permette perciò un flusso di corrente diretto tra neuroni adiacenti. Figura 1.4. Esempio di sinapsi chimica: la terminazione presinaptica libera una sostanza chimica, il neurotrasmettitore, in risposta ad una depolarizzazione [11]. 1.4 Introduzione alla dinamica neuronale Abbiamo già accennato che l arrivo di un potenziale di azione dal neurone presinaptico provoca una risposta in tensione (il potenziale postsinaptico) nel potenziale di membrana del neurone ricevente. A tal proposito si distingue tra potenziale postsinaptico eccitatorio (che ha come acronimo PPSE) e potenziale postsinaptico inibitorio (che ha come acronimo PPSI ) a seconda che l effetto sia quello di aumentare

9 ovvero di diminuire il valore del potenziale di membrana. Analogo significato ha la distinzione tra sinapsi eccitatoria e sinapsi inibitoria ovvero tra stimolo depolarizzante e stimolo iperpolarizzante. Il numero di contatti sinaptici dipende dal tipo di neurone: ad esempio i neuroni della corteccia cerebrale (neuroni corticali) possiedono migliaia di contatti sinaptici (da a 10 4 ) con gli altri neuroni della corteccia dei quali circa l 85% sono eccitatori ed il resto inibitori. In realtà solo una frazione dell ordine del 5-10% risultano sinapsi realmente attive [1, 13]. Per avere un idea dell ampiezza di un PPSE si veda la fig.1.5 in cui sono riportati i PPSE registrati su una cellula neuronale ed il relativo istogramma delle altezze di picco: come si vede il valor medio è dell ordine di 0.5 mv. In fig.1.6 è riportata una rappre- Figura 1.5. Registrazione di 479 PPSE sul soma di cellule piramidali della corteccia visuale del ratto, in presenza di attività neuronale spontanea (fig.a). Istogramma delle altezze di picco dei PPSE (fig.b) [14]. sentazione schematica della dinamica neuronale che si instaura in risposta all arrivo di impulsi da neuroni presinaptici: fig.a: un neurone postsinaptico i riceve impulsi da due neuroni presinaptici j = 1,2; u i (t) e u rest rappresentano rispettivamente il potenziale di membrana e il valore del potenziale di riposo del neurone i; la quantità ǫ i1 (t t (f) 1 ) rappresenta il potenziale postsinaptico generato dall arrivo all istante t (f) 1 di un impulso dal neurone j = 1; fig.b: un impulso che arriva dall altro neurone presinaptico j = 2 ad un istante t (f) 2, entro un intervallo di tempo sufficientemente breve, causa un secondo potenziale postsinaptico che si somma al precedente; in questo regime la risposta del neurone postsinaptico risulta approssimativamente lineare nel senso che la risposta è circa proporzionale agli input che riceve;

10 fig.c: quando u i (t) raggiunge un valore tipico, θ, denominato soglia di attivazione, il comportamento del neurone diviene altamente non lineare: è generato un potenziale di azione (il picco dell impulso rappresentato da una freccia è fuori dalla scala della figura) che ha una forma stereotipata e quindi senza legame con gli stimoli che lo hanno prodotto; inoltre il neurone, per tutta la durata del potenziale di azione, diviene per così dire insensibile, ovvero refrattario, agli stimoli che gli arrivano dagli altri neuroni. La refrattarietà neuronale si distingue in genere in refrattarietà assoluta e refrattarietà relativa. La refrattarietà assoluta è quell arco temporale (di circa 2ms) corrispondente alla durata del potenziale di azione in cui è impossibile che venga generato un altro potenziale di azione. La refrattarietà relativa, che segue temporalmente la refrattarietà assoluta, coincide con la fase di iperpolarizzazione del neurone in cui è difficile ma non impossibile che il neurone venga eccitato fino ad emettere un altro potenziale di azione. Conseguentemente il periodo di refrattarietà fornisce un limite inferiore al minimo intervallo temporale tra due potenziali di azione consecutivi. Figura 1.6. Rappresentazione della dinamica neuronale [9]. 1.5 La membrana cellulare del neurone La membrana cellulare del neurone (vedi fig.1.7) è composta da molecole di lipidi e proteine. Le molecole lipidiche sono disposte in un doppio strato con uno spessore di circa 6nm. In questa matrice lipidica si trovano alcune molecole proteiche che attraversano tutto lo spessore della membrana cellulare entrando quindi in contatto

11 sia con l interno della cellula che con il liquido extracellulare. Tali particolari proteine prendono il nome di canali proteici, ovvero canali di membrana, canali acquosi o canali ionici (la ragione di tali denominazioni sarà chiara a breve). La membrana cellulare può essere attraversata dalle sostanze dall esterno all interno o viceversa attraverso vari meccanismi. Vi sono ad esempio alcuni tipi di molecole (alcoli o glicerolo) che attraversano la membrana sciogliendosi nel doppio strato lipidico e riemergendo dall altro lato; in tal caso la facilità di penetrazione dipende dal grado di solubilità nei lipidi. Gli ioni inorganici (sodio, potassio, calcio e cloro) che, come abbiamo già detto, costituiscono le correnti ioniche alla base dell attività elettrica neuronale, si muovono attraverso la membrana o legandosi a particolare molecole dette molecole di trasporto, che li veicolano, ovvero attraverso i canali proteici sopra citati. Si noti comunque che il meccanismo di trasporto adottato durante la generazione di un potenziale di azione risulta quello dei canali proteici, in quanto i flussi di ioni coinvolti (dell ordine di 10 6 ioni/s) risultano ben oltre le possibilità di azione delle molecole di trasporto. Nella struttura dei canali proteici (vedi fig.1.7) si possono riconoscere i seguenti elementi: un poro centrale pieno d acqua; una regione del poro che agisce da filtro di selettività regolando il transito degli ioni in base alle dimensioni ed alle caratteristiche chimico-fisiche; un sistema di porte (in inglese gates) che si aprono e si chiudono in modo stocastico facendo oscillare il canale tra uno stato di apertura ed uno stato di chiusura; di norma lo stato di chiusura predomina quando il potenziale di membrana si trova al valore di riposo Esiste peraltro l eccezione costituita da alcuni canali per i quali lo stato di apertura è predominante nella membrana a riposo: si tratta per lo più, come vedremo nel seguito, di quei canali del cloro e del potassio che risultano responsabili proprio del valore del potenziale di riposo.

12 Figura 1.7. a) Struttura della membrana cellulare del neurone; b) struttura di un canale ionico [11]. 1.6 Canali ionici e correnti ioniche Quando il canale ionico si trova in uno stato di apertura il canale è detto attivato, altrimenti quando si trova in uno stato di chiusura è detto inattivato. È opportuno sottolineare che essendo l apertura e chiusura dei canali un processo di natura stocastica l attivazione o disattivazione di un canale sta a significare solo un aumentata o diminuita probabilità di apertura del canale e non uno stato di apertura o chiusura continua (vedi fig.1.8). Esistono varie modalità di attivazione, ossia di apertura, di un canale. In particolare se l apertura del canale può essere regolata dal valore del potenziale di membrana i canali si dicono voltaggio-attivati. A titolo di esempio citiamo in questa categoria di canali il canale voltaggio-dipendente del sodio che, come vedremo in seguito (??), è quello responsabile della depolarizzazione della membrana che provoca la fase di salita del potenziale di azione. Riguardo alla selettività alla specificità ionica i canali si possono distinguere in cationici e anionici a seconda che risultino rispettivamente permeabili agli ioni positivi o negativi. La permeabilità di una membrana ad una specie ionica, indicata con p, è una proprietà intrinseca della membrana che misura la facilità con cui gli ioni attraversano la membrana stessa; essa è definita in modo empirico dalla relazione [1, 17]: J = p [C] (1.1) dove J è il flusso molare (misurato in mol/(cm 2 s)) e [C] rappresenta la differenza di concentrazione ionica ai due lati della membrana (misurata in mol/cm 3 ). P ha le dimensioni di una velocità ed è solitamente misurata in cm/s. La permeabilità dipende solo dal tipo e dal numero di canali ionici presenti sulla membrana. In

13 particolare i canali cationici possono essere specifici o non specifici qualora risultino o meno specializzati per una particolare specie ionica (ad esempio si hanno canali specifici del Na +, K +, Ca 2+ ). I canali anionici risultano essenzialmente costituiti dai canali del cloro (Cl ), che è di gran lunga il maggior permeante anionico nelle soluzioni biologiche. Figura 1.8. Esempio di corrente di canale. Come si vede tale corrente risulta di impulsi di forma quasi rettangolare che possono essere posti in relazione con lo stato di apertura e chiusura dei canali stessi [15]. La conduttanza è invece una misura dell abilità della membrana di trasportare corrente elettrica ed è misurata soltitamente in Siemens, con simbolo S, dove 1S = 1Ω 1. Poichè la corrente è trasportata dagli ioni, la conduttanza di una membrana non dipenderà solo dalle proprietà della membrana (cioè dalla permeabilità) ma anche dalla concentrazione ionica all interno ed all esterno della cellula (ovvero il numero dei portatori liberi di carica). Non è tuttavia possibile ricavare una relazione matematica generale tra permeabilità e conduttanza perchè tale relazione dipende strettamente dalle modalità con cui gli ioni attraversano il canale (semplice diffusione attraverso i pori pieni d acqua ovvero modelli più complicati che analizzano l interazione canale-ione permeante). In generale quindi la corrente che attraversa un canale ionico dipenderà [11, 16, 17]): dalla conduttanza del canale; dal gradiente di concentrazione tra l interno e l esterno della cellula che tende a produrre un flusso dalla zona a maggior concentrazione a quella a minor concentrazione secondo la legge empirica enunciata da Fick [17]: J diff = D d[c] dx (1.2)

14 dove J diff rappresenta il flusso dovuto alla diffusione (misurato in numero di ioni/(cm 2 s)), D è il coefficiente di diffusione (misurato in cm 2 /s) e [C] è la concentrazione ionica (qui espressa in numero di ioni/cm 3 ); dalla differenza di potenziale applicata alla membrana. 1.7 Origine del potenziale di riposo Un modello cellulare semplificato In fig.1.9 è presentato un modello cellulare semplificato [11] ma che coglie l essenza dell origine del potenziale di riposo della cellula neuronale. La cellula contiene ioni potassio (K + ), sodio (Na + ), cloro (Cl ) ed altri anioni (A ) di grandi dimensioni ed è a sua volta immersa in una soluzione di sodio, potassio e cloro. Le concentrazioni ioniche mostrate in figura sono espresse in millimoli per litro (che ha per simbolo mm dove 1mM = 10 3 mol/l). Nelle cellule neuronali sono presenti altri ioni, come il calcio e il magnesio, ma il loro contributo al potenziale di riposo è trascurabile. In questo modello la membrana cellulare è completamente impermeabile al sodio ed all anione interno (A ) e risulta invece permeabile al potassio ed al cloro. Il potassio risulta più concentrato dentro la cellula che fuori e tende quindi a muoversi verso l esterno secondo il proprio gradiente di concentrazione. D altro canto, come abbiamo precedentemente illustrato, la superficie interna della membrana è negativa rispetto a quella esterna, e quindi il gradiente di potenziale tende ad attrarre il potassio dentro la cellula. In una cellula a riposo il gradiente di concentrazione ed il gradiente elettrico sono in equilibrio. Si definisce potenziale di equilibrio di una specie ionica il valore del potenziale di membrana al quale non si ha alcun flusso netto di quella specie ionica. Per il cloro il gradiente di concentrazione ed il gradiente

15 elettrico hanno direzione opposta rispetto al potassio. Figura 1.9. Un modello semplificato per le distribuzioni ioniche all interno ed all esterno della cellula. Le frecce rappresentano le direzioni dei gradienti di concentrazione ed elettrici per il potassio (K + ) e per il cloro (Cl ). Le concentrazioni sono espresse in millimoli per litro [11] L equazione di Nerst Il potenziale di equilibrio di ogni specie ionica è legato alle concentrazioni intracellulari ed extracellulari attraverso la cosiddetta equazione di Nerst: E ione = kt q ln [n] e [n] i (1.3) dove: E ione è il potenziale di equilibrio dello ione; [n] e, [n] i sono rispettivamente le concentrazioni extracellulari ed intracellulari; k J/K è la costante di Boltzmann; T è la temperatura assoluta in Kelvin; q è la carica elettrica (in Coulomb) della specie ionica. È possibile capire l origine dell equazione di Nerst attraverso il seguente ragionamento (vedi anche fig.1.10). Dalla meccanica statistica di Boltzmann per sistemi in equilibrio termico si ha che la probabilità p(u < U < U + du) che una molecola si trovi in uno stato di energia U < U < U + du risulta: p(u < U < U + du) exp( U/kT) [18]. Consideriamo adesso degli ioni con carica positiva q in un campo elettrico statico. La loro energia nel punto x risulta U(x) = qv (x) dove V (x) è il potenziale nel punto x. La probabilità di trovare uno ione in una regione nell intorno del punto x è perciò proporzionale alla quantità exp( qv (x)/kt). Reinterpretando la densità di probabilità come una quantità proporzionale ad una densità ionica [n(x)], ovvero ad una concentrazione, si ha: p(u(x 1 )) p(u(x 2 )) = [n(x 1)] [n(x 2 )] = exp( q(v (x 1) V (x 2 ))/kt) (1.4)

16 e dunque all equilibrio termodinamico si ha che un gradiente di potenziale elettrostatico V = (V (x 1 ) V (x 2 )) genera un gradiente di densità ionica. Ma poichè questo è un assunto su uno stato di equilibrio la relazione deve valere anche nell altro senso: ossia un gradiente di concentrazione genera un gradiente di potenziale elettrostatico. Risolvendo la (1.4) rispetto al gradiente di potenziale si ha che all equilibrio termodinamico vale V = kt q ln [n] 2 [n] 1 che è appunto l equazione di Nerst. Figura Origine del potenziale di Nerst [9]. La quantità kt/q ha le dimensioni di una differenza di potenziale elettrico e per una specie ionica monovalente (per la quale q = e, dove e C è il valore assoluto della carica dell elettrone) è uguale a circa 25mV a temperatura ambiente (T 300K). Per il modello cellulare mostrato in fig.1.9 nel quale il rapporto delle concentrazioni del cloro e del potassio è uguale e pari a 1:30 si avrà a T 300K: E k 85mV, E Cl 85mV. Nel modello cellulare semplificato, essendo gli ioni potassio e cloro gli unici in grado di muoversi attraverso la membrana ed essendo entrambi in equilibrio a -85mV, la cellula non manifesta alcun guadagno o perdita netta di ioni: il potenziale di riposo della cellula semplificata coincide quindi con il potenziale di equilibrio del potassio e del cloro Effetto del sodio e pompe ioniche Lo ione sodio (Na + ) è molto più concentrato all esterno che all interno della cellula (vedi fig.1.9), dunque per opporsi all ingresso del sodio dovuto al gradiente di concentrazione la membrana deve avere una differenza di potenziale tra l interno e l esterno positiva: infatti usando le concentrazioni di fig.1.9 si ha che a T 300K il potenziale di equilibrio del sodio risulta E Na +34mV. Dunque in una cellula

17 neuronale, dove il potenziale di riposo della membrana è negativo, sia il gradiente di concentrazione sia il potenziale di membrana favoriscono l ingresso del sodio. La membrana cellulare è scarsamente permeabile al sodio ma il sia pur limitato ingresso di questo ione depolarrizza leggermente la membrana rispetto al potenziale di equilibrio del potassio con la conseguenza che il potassio, fuori dall equilibrio, fluisce verso l esterno. Per mantenere lo stato di equilibrio (ovvero le concentrazioni ioniche costanti) a fronte di queste perdite continue esistono delle cosiddette pompe ioniche che trasportano il sodio fuori dalla cellula ed il potassio dentro la cellula in modo da mantenere uno stato stazionario, ovvero una sistuazione di equilibrio dinamico. Il più importante sistema di trasporto è costituito dalla pompa Na-K che trasporta tre ioni sodio fuori dalla cellula per ogni due ioni potassio portati invece all interno: in tal caso si dice che il rapporto di accoppiamento Na:K della pompa è di 3:2. Tale situazione è rappresentata in fig.1.11 dove le frecce tratteggiate indicano i movimenti ionici passivi (ovvero guidati solo dal bilancio tra i gradienti elettrici e di concentrazione) mentre le frecce continue e i circoli indicano le pompe ioniche. La lunghezza delle frecce indica l entità dei movimenti netti ionici: per ciascuno ione il flusso totale è nullo all equilibrio. Figura Flussi ionici passivi e pompe ioniche in una cellula in stato stazionario [11] Effetto della permeabilità ionica e dei meccanismi di trasporto Abbiamo visto nel paragrafo che il potenziale di riposo della membrana è determinato principalmente dal rapporto delle concentrazioni transmembranali del

18 potassio. Esiste tuttavia una dipendenza non solo dalle concentrazioni ioniche ma anche dalla permeabilità alle specie ioniche. L equazione di campo costante, detta anche equazione GHK dagli autori D.E. Goldman [19], A.L. Hodgkin e B. Katz [20], esprime tale dipendenza: V m = kt e ln p k[k + ] e + p Na [Na + ] e + p Cl [Cl ] i p k [K + ] i + p Na [Na + ] i + p Cl [Cl ] e ; (1.5) dove V m è il potenziale di riposo della membrana; e (valore assoluto della carica dell elettrone) indica la carica degli ioni monovalenti; il simbolo [I] j, dove I = K +,Na +,Cl e j = i,e, indica la concentrazione interna ed esterna delle specie ioniche; p k, p Na, p Cl rappresentano le permeabilità ioniche di ogni ione. Tale equazione è basata sul presupposto che, a potenziale costante, non deve cambiare la carica sulla membrana anche se gli ioni la attraversano in piccole quantità. Di conseguenza le correnti trasportate dalle perdite di sodio verso l interno, di potasso verso l esterno e dalle altre perdite del cloro devono dare come somma zero. Altrimenti si detetrminerebbe un accumulo, o una perdita, costante di carica e quindi una deriva costante del potenziale di membrana. Il nome equazione di campo costante è legato al fatto che una delle ipotesi alla base di essa è che il campo elettrico all interno della membrana sia uniforme. Come si vede l equazione ricorda quella di Nerst ma considera tutte le specie ioniche presenti pesate con la loro permeabilità e corrisponde pertanto a quello che intuitivamente era possibile aspettarsi: ovvero che il potenziale di membrana tende tanto più al valore del potenziale di equilibrio di una specie ionica quanto più la sua permeabilità è maggiore di quella delle altre specie ioniche. È possibile dimostrare [11] che non vi è una grossa dipendenza del potenziale di riposo dal cloro e pertanto il suo contributo è spesso trascurato; in tal caso l equazione di campo costante viene così riscritta: V m = kt e ln [K+ ] e + b[na + ] e [K + ] i + b[na + ] i ; (1.6)

19 dove b = p Na /p k. Una descrizione ancora più accurata è fornita dall equazione di stato stazionario [21] che considera anche gli effetti dei processi di trasporto attivo della pompa ionica Na K: V m = kt e ln r[k+ ] e + b[na + ] e r[k + ] i + b[na + ] i ; (1.7) dove r è il rapporto di accoppiamento del sistema di trasporto (nel caso della pompa Na K si ha r = 3/2). Si capisce facilmente come gli effetti della pompa si ripercuotano sul potenziale di membrana: infatti il diverso flusso di ioni Na + e K + (tre ioni sodio fuori dalla cellula per ogni due ioni potassio portati invece all interno) causato dalla pompa genera una corrente ionica netta verso l esterno; questo flusso di cariche positive verso l esterno tende a iperpolarizzare la membrana ad un valore leggermente più negativo (ossia avvicina il potenziale di membrana un po di più al potenziale di equilibrio del potassio) di quello che ci si aspetterebbe solo in base a meccanismi passivi. Per avere un idea dell entità del contrbuto delle pompe ioniche si confronti il valore del potenziale di riposo predetto dall equazione di campo costante e dall equazione di stato stazionario relativamente ad assoni di calamaro in acqua di mare alla temperatura di T 300K: usando l equazione di campo costante si trova V m 67mV, mentre usando l equazione di stato stazionario si trova V m 73mV (abbiamo usato i seguenti valori realistici: [K + ] i = 400mM, [K + ] e = 10mM, [Na + ] i = 50mM, [Na + ] e = 460mM, b = p Na /p k = 0.04, r = 1.5). 1.8 Proprietà elettriche passive della membrana Da un punto di vista elettrico la più semplice schematizzazione di una porzione di membrana cellulare a riposo fa ricorso a tre elementi circuitali: una resistenza (R), una capacità (C), ed un generatore di tensione V uguale al potenziale di riposo (vedi fig.1.12 e fig.1.13). La presenza della resistenza si spiega con l esistenza dei canali

20 Figura Schematizzazione elettrica di una porzione di membrana cellulare del neurone. V rest indica il potenziale di riposo [1]. Figura Equivalente circuitale dell intera membrana cellulare. I simboli R e C in questo caso rappresentano il paralllelo rispettivamente di tutte le resistenze e le capacità delle singole porzioni di membrana; V rest indica il potenziale di riposo; I inj rappresenta una corrente iniettata dentro la cellula [1]. ionici che realizzano un contatto tra l interno e l esterno della cellula. La resistena di membrana è di solito riportata come una resistenza di membrana specifica, R m, definita come una resistenza per unità di superficie (in unità Ω cm 2 ). R è quindi ottenuta dividendo R m per l area della membrana considerata. R m è determinata principalmente dalle permeabilità a riposo del potassio e del cloro. Valori tipici di R m variano da circa 10 3 Ω cm 2 per membrane con molti canali ionici a circa 5 x 10 4 Ω cm 2 per membrane con pochi canali ionici. Ma oltre a permettere il passaggio di correnti ioniche, la membrana accumula cariche sulla superfici interna ed esterna, ed è proprio questa separazione che detemina il potenziale di membrana. La realizzazione di questa separazione di cariche conferisce alla membrana le proprietà di un condensatore. La capacità di membrana è di solito specificata in termini di una capacità di membrana specifica, C m, definita come una capacità per unità di superficie (in unità F/cm 2 ). C è quindi ottenuta moltiplicando C m per l area della membrana considerata. C m è tipicamente dell ordine di 1µF/cm 2. Tramite la relazione Q m = C m V, dove Q m è la quantità di carica per unità di superficie, ed assumendo V -65mV si ha che Q m (1µ F/cm 2 ) x (65mV) 6.5 x 10 8 C/cm 2 che equivale, dividendo per il valore assoluto della carica dell elettrone, a circa 4 x ioni monovalenti per cm 2. Ci preme sottolineare che tale schematizzazione descrive solo il comportamento passivo della membrana e non prende in considerazione eventuali

21 componenti non lineari o attivi come ad esempio conduttanze voltaggio-dipendenti (vedi??).

22 Capitolo 2 Modelli semplificati di neuroni e reti neurali In questo capitolo uniamo tutti gli elementi costitutivi di un neurone (dendriti, sinapsi, conduttanze dipendenti dal potenziale, assoni) al fine di ottenere un modello funzionale della singola cellula; con questo modello a nostra disposizione possiamo chiederci quali operazioni può effettuare o quanto sia efficace nel codificare informazione. Iniziamo questa operazione trascurando l albero dei dendriti e rimpiazzando la descrizione dei processi di sparo fondata sulle conduttanze (ovvero la descrizione fornita dalle equazioni realistiche di Hodgkin-Huxley per le correnti di membrana), con una descrizione basata sull utilizzo di modelli formali, come il modello leaky integrate and fire, che tratteremo. Questo modello descrive in modo estremamente semplificato la dinamica sottosoglia, cioè la dinamica prima dell insorgenza del potenziale di azione, mentre il potenziale di azione è descritto sinteticamente come evento impulsivo, assumendo implicitamente di aver a che fare con un impulso stereotipato. In questo modo possiamo ridurre incredibilmente la complessità del problema e caratterizzare il comportamento elettrico dei neuroni attraverso una

23 singola equazione differenziale ordinaria piuttosto che tramite equazioni accoppiate, non lineari e alle derivate parziali. Tali semplificazioni ci permettono di trattare reti formate da un gran numero di neuroni interconnessi, di simularne la dinamica e di analizzare le soluzioni collettive, non banali, e verificarne la stabilità. La comprensione di un qualsiasi sistema complesso passa dunque per la scelta di un livello di descrizione che afferra le proprietà fondamentali del sistema e trascura quelle non essenziali per lo scopo proposto. 2.1 Dal modello di Hodgkin-Huxley al modello leaky integrate and fire Il modello di Hodgkin-Huxley è un modello realistico a quattro dimensioni (in cui cioè la dinamica del neurone è descritta da quattro variabili), pensato per riprodurre i dati sperimentali relativi ad una particolare fibra nervosa, l assone gigante del calamaro [5]. Questo modello è costituito da un sistema di quattro equazioni differenziali del primo ordine che descrivono la dinamica del potenziale di membrana e delle tre correnti ioniche fondamentali: la corrente di sodio (I Na ), la corrente del potassio (I K ) e la corrente di perdita, o di dispersione, (I L dall inglese leakage current), dovuta principalmente al cloro (Cl ), ma che riassume anche l effetto di altre specie ioniche presenti, ma non descritte esplicitamente. Il meccanismo alla base di queste correnti ioniche risiede nel fatto che le conduttanze della membrana cellulare per il sodio (g Na ) e per il potassio (g K ) sono dipendenti dalla differenza di potenziale applicata alla membrana, dunque la probabilità che i canali si aprano aumenta con la depolarizzazione della membrana. L apertura dei canali avviene tuttavia con tempi e modalità diverse: la depolarizzazione della membrana attiva inizialmente un aumento della conduttanza del sodio (seguita da una successiva inattivazione) e solo

24 Figura 2.1. Fase di salita del potenziale di azione. con un certo ritardo temporale quella del potassio. Inoltre l effetto sul potenziale di membrana dell aumento della conduttanza è diverso per il sodio e per il potassio: per quanto riguarda il sodio si ha un processo di retroazione positiva; infatti una piccola depolarizzazione aumenta il numero di canali aperti e questo, a sua volta, dà luogo ad un ulteriore ingresso del sodio secondo il gradiente elettrochimico e ad una depolarizzazione ancor più grande; per quanto riguarda il potassio, si ha invece che il flusso in uscita secondo il gradiente elettrochimico, dovuto alla depolarizzazione, porta alla ripolarizzazione della membrana e quindi alla conseguente riduzione della conduttanza per il potassio fino al valore di riposo (retroazione negativa). Il profilo tipico di un potenziale di azione è quindi spiegabile, per quanto riguarda la fase di salita, con un improvviso grande aumento della permeabilità di membrana al sodio (vedi figura 2.1); la conseguente corrente del sodio porta rapidamente il potenziale di membrana a spostarsi verso il potenziale di equilibrio del sodio stesso (E Na ). La fase di caduta del potenziale di azione, ovvero la ripolarizzazione della membrana, è dovuta ad un successivo aumento della permeabilità al potassio (vedi figura 2.2): a causa della corrente del potassio, il potenziale di membrana si sposta

25 Figura 2.2. Fase di caduta del potenziale di azione. questa volta, verso il potenziale di equilibrio del potassio (E k ). Figura 2.3. Ricostruzione teorica dell andamento del potenziale d azione e relative variazioni di conduttanza del sodio e del potassio [11]. Il modello di Hodgkin-Huxley spiega inoltre l esistenza di un livello di soglia del potenziale di membrana al di sopra del quale nasce l impulso; tale fenomeno può essere compreso immaginando di far passare una corrente attraverso la membrana depolarizzandola solo sino alla soglia e poi di interrompere la corrente. Essendo il

26 potenziale di membrana lontano dal potenziale di equilibrio del potassio, vi sarà un aumento della corrente di potassio in uscita, ma verranno attivati anche alcuni canali di sodio, aumentando la corrente di sodio in ingresso. Alla soglia questi aumenti di corrente sono esattamente uguali e opposti (equilibrio dinamico), e la membrana è in una condizione simile a quella di riposo, a parte il fatto che la conduttanza del sodio ora è instabile. La depolarizzazione oltre la soglia determina così un aumento di g Na sufficiente a superare immediatamente il valore della conduttanza del potassio a riposo, ma, non appena uno ione in più di potassio lascia la cellula, rispetto al valore di soglia, la depolarizzazione diminuisce e la prevalenza della corrente di potassio determina la ripolarizzazione. Un ultimo aspetto capace di essere spiegato con questo modello è il tempo di refrattarietà; dopo l emissione di un potenziale di azione abbiamo a che fare con due periodi diversi di retrattarietà: il periodo di refrattarietà assoluto e quello relativo. Il periodo assoluto è l intervallo durante il quale non può essere assolutamente emesso un potenziale di azione, anche se il neurone è soggetto ad uno stimolo qualsivoglia grande; il periodo relativo è l intervallo temporale immediatamente successivo durante il quale la generazione di un nuovo potenziale di azione è inibita, ma non impossibile. Il periodo refrattario assoluto coincide essenzialmente con l intera durata del potenziale di azione ed è causato dall inattivazione dei canali Na + che in precedenza si erano aperti per depolarizzare la membrana; questi canali rimangono inattivi finché la membrana non si ripolarizza, dopodiché si chiudono, si riattivano e riacquistano la loro capacità di aprirsi in risposta ad uno stimolo. Il periodo refrattario relativo segue temporalmente quello assoluto; i canali potassio si aprono per terminare il potenziale di azione ripolarizzando la membrana, dunque la conduttanza di membrana del potassio cresce drasticamente. Gli ioni K + che fluiscono in gran numero fuori dalla cellula fanno sì che il potenziale di membrana si avvicini molto al

27 potenziale di equilibrio del potassio; questo determina una breve iperpolarizzazione della membrana, cosiché il potenziale di membrana diventa più negativo dell usuale potenziale di riposo. Finché la conduttanza del potassio non raggiunge il suo valore di riposo, è necessario uno stimolo maggiore per raggiungere il valore di soglia e dar vita ad una seconda depolarizzazione. Il raggiungimento del potenziale di equilibrio di riposo determina la fine del periodo di refrattarietà relativo. Un neurone dunque genererà un potenziale di azione quando il suo potenziale di membrana raggiungerà un valore di soglia compreso tra 55 e 50 mv. Durante lo sparo del potenziale di azione, il potenziale di membrana descresce rapidamente e assume un valore che è iperpolarizzato rispetto al potenziale di soglia. Il meccanismo per cui le conduttanze dipendenti dal potenziale K + e Na + producono dei potenziali di azione è ben compreso e modellizzabile accuratamente; d altra parte i modelli dei neuroni possono essere semplificati se non sono esplicitamente inclusi i meccanismi biofisici responsabili dei potenziali di azione. I modelli integrate-and-fire effettuano questa semplificazione supponendo che il potenziale di azione sia generato ogni volta che il potenziale di membrana del neurone modello raggiunge un valore di soglia Θ; dopo l emissione del potenziale di azione, al potenziale viene riassegnato un valore R inferiore al potenziale di soglia, R < Θ. Tali modelli formali partono dal presupposto che un potenziale di azione costituisca un evento stereotipato, per cui viene descritta solo la dinamica sottosoglia di un unica variabile (modello unidimensionale); inoltre non riproducono in modo dettagliato i potenziali di azione né includono l effetto di adattamento o il tempo di refrattarietà. L insorgenza del potenziale di azione è così caratterizzata solo dal tempo di sparo (o in inglese firing time).

28 2.2 Neuroni leaky integrate-and-fire Il modello integrate-and-fire è stato proposto da Lapicque nel 1907, molto prima che fosse compreso il meccanismo di generazione dei potenziali di azione; nonostante la sua età e la sua semplicità, questo modello rappresenta ancora una descrizione estremamente utile dell attività neuronale. Trascurando una descrizione biofisica del potenziale di azione, a questi modelli rimane il compito, più semplice, di modellizzare la dinamica del potenziale di membrana sotto soglia. Questo compito può esser svolto con vari livelli di rigore; nella versione più semplice, sono ignorate tutte le conduttanze di membrana attive, compresi gli input sinaptici, e l intera conduttanza di membrana è schematizzata con un singolo termine di perdita, passivo, i m = ḡ L (V E L ), con i m corrente di membrana, V potenziale di membrana, E L potenziale di riposo di un singolo ione e ḡ L parametro da aggiustare per ottenere la conduttanza di membrana a riposo per uno ione. Questa versione è denominata passiva o modello leaky integrate-and-fire (al quale ci riferiremo anche come LIF). Le conduttanze neuronali sono approssimativamente costanti per piccole fluttuazioni attorno al potenziale di membrana di riposo; il modello LIF assume che questa costanza si mantenga nell intero range di variazione del potenziale sotto soglia. Per alcuni neuroni, questa si rivela un approssimazione ragionevole, mentre per altri non lo è; con queste approssimazioni il neurone si comporta come un circuito elettrico costituito da una resistenza ed una capacità in parallelo (figura 2.4) ed il potenziale di membrana si determina così attraverso l equazione c m dv dt = i m + I e A (2.1) dove c m è la capacità per unità di superficie della membrana, A è la superficie della membrana, i m è la corrente di membrana per unità di superficie ed I e è la corrente di elettrodo, che usualmente non è espressa come corrente per unità di superficie;

29 con i m = ḡ L (V E L ) si ha c m dv dt = ḡ L(V E L ) + I e A. (2.2) È conveniente moltiplicare l equazione (2.2) per la resistenza specifica di membrana Figura 2.4. Circuito equivalente per il modello di neurone. Il neurone è rappresentato a sinistra, da un singolo insieme di superficie A con una sinapsi ed un elettrodo che inietta corrente. Nel circuito equivalente a destra, il cerchio s indica una conduttanza sinaptica che dipende dall attività di un neurone presinaptico. Viene indicata inoltre una singola conduttanza g s, anche se, in genere, ce ne possono essere di tipi diversi. Il cerchio v indica una conduttanza che dipende dal potenziale, mentre I e è la corrente che passa attraverso l elettrodo. [12]. r m, data in questo caso da r m = 1/ḡ L ; questo cancella il fattore ḡ L nel membro a destra dell equazione e lascia un fattore c m r m = τ m nel membro di sinistra, dove τ m è la costante di tempo di membrana del neurone. L ultimo termine del membro di destra varia in accordo al fatto che r m /A = R m, dove R m è la resistenza di membrana totale. Si arriva così all equazione fondamentale per i modelli leaky integrate-andfire: τ m dv dt = E L V + R m I e. (2.3) Per generare i potenziali di azione in questo modello occorre aggiungere una regola: assegnare al potenziale il valore R ogniqualvolta il potenziale V raggiunga il valore di soglia e venga sparato un potenziale di azione. L equazione (2.3) indica che, quando I e = 0, il potenziale di membrana si rilassa esponenzialmente con una costante di tempo τ m a V = E L ; E L è dunque il potenziale di riposo della cellula modello. Il potenziale di membrana per il modello passivo integrate-and-fire è determinato integrando l equazione (2.3) e applicando la regola di soglia e di riassegnazione del

30 valore del potenziale per la generazione del potenziale di azione. In figura (2.5) è mostrata la risposta di un neurone LIF ad una corrente di elettrodo che varia nel tempo. Figura 2.5. Modello leaky integrate and fire guidato da una corrente di elettrodo che varia temporalmente. Il grafico superiore indica il potenziale di membrana, mentre quello inferiore la corrente guida. I potenziali d azione sono semplicemente sovrapposti alla traiettoria del potenziale di membrana ogniqualvolta il potenziale raggiunga il valore di soglia. [12]. Il tasso di sparo di un modello LIF in risposta ad una corrente iniettata costante può essere calcolato analiticamente. Quando I e è indipendente dal tempo, il potenziale sotto soglia V (t) può essere facilmente calcolato risolvendo l equazione (2.3): V (t) = E L + R m I e + (V (0) E L R m I e )exp( t/τ m ), (2.4) dove V (0) è il valore di V al tempo t = 0. Questa equazione è valida per il modello integrate-and-fire solo finché V rimane sotto soglia. Supponiamo che a t = 0 il neurone abbia appena sparato un potenziale di azione e si abbia V (0) = R; il potenziale di azione successivo si avrà quando il potenziale di membrana raggiunge il valore di soglia, cioè, ad un tempo t = t isi dove V (t isi ) = Θ = E L + R m I e + (R E L R m I e )exp( t isi /τ m ). (2.5) Risolvendo per t isi, ovvero per il tempo a cui si ha il potenziale di azione successivo, possiamo determinare l intervallo tra uno sparo e l altro (in inglese interspike interval

31 o ISI) per una corrente I e costante, o, equivalentemente, il suo inverso, che possiamo chiamare il tasso di sparo del neurone, r isi = 1 ( = τ m ln( R ) 1 mi e + E l R t isi R m I e + E L Θ ). (2.6) Questa espressione è valida se R m I e > Θ E L, altrimenti r isi = 0. Per valori sufficientemente grandi di I e, possiamo approssimare linearmente il logaritmo ln(1+ z) z per piccoli z in modo da avere r isi [ ] Rm I e + E l Θ τ m (Θ R) +, (2.7) che mostra che il tasso di sparo cresce linearmente con I e per grandi I e. La figura (2.6A) mostra r isi in funzione di I e ; il tasso di sparo, determinato come l inverso dell intervallo temporale tra i primi due impulsi sparati da un neurone corticale in vivo in risposta ad una corrente iniettata (cerchi pieni), è in accordo con i risultati ricavati dal modello LIF, anche se il neurone reale esibisce una caratteristica di adattamento del tasso di sparo prima di raggiungere uno stato stazionario (figura 2.6B), che il modello LIF può riprodurre solo usando parametri diversi da quelli che venivano usati per riprodurre gli impulsi iniziali Correnti sinaptiche Nel caso in cui il neurone riceva degli impulsi da altri neuroni, la cosa si può modelizzare nell ambito dei modelli LIF sostituendo alla corrente esterna I e che compare nell equazione (2.3) la corrente sinaptica I sin. In particolare l effetto prodotto da un solo impulso ricevuto dal neurone al tempo t corrisponde ad una corrente I sin = G m [V + W]τ m δ(t) (2.8) per una sinapsi che risponda in modo infinitamente rapido [29]. Dove G m = 1/R m è la conduttanza di membrana, W è il potenziale di inversione della sinapsi il cui segno

32 Figura 2.6. (A)Comparazione dei tassi di sparo in funzione della corrente iniettata, calcolati l uno con il modello integrate and fire, l altro attraverso le misure su un neurone corticale in vivo. I dati puntiformi derivano da una cellula piramidale nella corteccia visiva primaria di un gatto. I cerchi pieni mostrano l inverso dell ISI per i primi due impulsi sparati, mentre i cerchi vuoti mostrano il tasso di sparo nello stato quasi stazionario, dopo l adattamento del tasso di sparo. (B) Registrazione dello sparo di un neurone corticale, soggetto ad una corrente iniettata costante, in cui è visibile l adattamento. (C) Traiettoria del potenziale di membrana e potenziali di azione per un modello integrate and fire con una corrente aggiuntiva. [12]. determina se l effetto dell impulso è eccitatorio o inibitorio. Dato che il potenziale di membrana V ha segno negativo, la sinapsi è detta eccitatoria (rispettivamente inibitoria) se W < 0 (W > 0); il segno di V è all origine anche del segno negativo nell equazione (2.8). Nel caso in cui il neurone sia connesso ad altri N neuroni pre-sinaptici il modello LIF si può riscrivere come dove il tempo t (m) j j-esimo neurone pre-sinaptico. τ m V = EL V τ m (V + W) N j=1 m δ(t t (m) j ), (2.9) rappresenta l istante di ricezione dell impulso m-esimo emesso dal Un modello ancora più semplificato, ma largamente usato in letteratura e che mette in connessione la dinamica LIF con quella di oscillatori è il seguente v = c v N j=1 m δ(t t (m) j ), (2.10) dove si è assunto che E L = 0, che il tempo unitario sia τ m, che il potenziale di membrana sia stato riscalato come v = (V R)/(Θ R), in modo che v [0,1]. Nell equazione 2.10 il termine c rappresenta una corrente esterna adimensionale. In assenza di stimoli esterni, la soluzione dell equazione 2.10 è semplicemente v(t) =

33 Θ v tempo R Figura 2.7. Andamento temporale del potenziale di membrana per un neurone LIF soprasoglia in assenza di stimoli presinaptici. Le frecce indicano l istante in cui avviene l emissione di un potenziale di azione. c(1 exp( t)), quindi se c < 1 il suo valore asintotico resta sempre sotto soglia, altrimenti se c > 1 il potenziale di membrana raggiunge soglia e viene riazzerato in modo ripetitivo con periodo t isi = ln[(c 1)/c]. In questo caso il neurone è detto soprasoglia e la sua dinamica ricorda quella di un semplice oscillatore armonico sovrasmorzato ed è riportata in figura Adattamento del tasso di sparo e refrattarietà L adattamento del tasso di sparo è una caratteristica comune dei neuroni piramidali corticali e consiste nell allungamento degli ISI col passare del tempo in presenza di una corrente costante iniettata nella cellula, prima di raggiungere un valore di stato stazionario. La considerazione di questo fenomeno ci permette di mostrare come un modello LIF possa essere modificato per incorporare una dinamica più complessa. Il modello LIF che abbiamo descritto nel paragrafo precedente è basato su due approssimazioni separate: una descrizione altamente semplificata del potenziale di azione e una approssimazione lineare per la corrente di membrana totale. I dettagli del processo di generazione del potenziale di azione non sono importanti

34 per l obiettivo proposto dalla nostra modellizzazione, inoltre la corrente di membrana è modellizzata con dettagli sufficienti. Illustriamo il processo di adattamento del tasso di sparo usando un modello di conduttanza che ha caratteristiche simili a quelle delle conduttanze neuronali misurate che giocano un ruolo importante nel produrre questo effetto. Modellizziamo l adattamento del tasso di sparo includendo nell equazione fondamentale un ulteriore corrente, τ m dv dt = E L V r m g sra (V E K ) + R m I e. (2.11) La conduttanza di adattamento del tasso di sparo g sra è stata schematizzata come una conduttanza K +, cosiché, quando viene attivata, iperpolarizza il neurone, rallentando qualsiasi impulso che può sopraggiungere. E K è il potenziale di inversione del potassio. Assumiamo che questa conduttanza si rilassi esponenzialmente a 0 con una costante temporale τ sra soddisfacendo l equazione τ sra dg sra dt = g sra. (2.12) Ogniqualvolta un neurone genera un impulso, g sra è accresciuto di un fattore g sra, cioè g sra g sra + g sra ; durante una sequenza di sparo ripetuta, la corrente si costruisce attraverso una sequenza di passi causando l adattamento del tasso di sparo. La probabilità che un neurone spari è significativamente ridotta nel breve lasso temporale successivo alla generazione di un potenziale di azione; tale effetto refrattario non è incluso nel modello base integrate-and-fire. Il modo più semplice per introdurre nel modello un periodo di refrattarietà assoluto è quello di aggiungere una condizione alla regola base di superamento della soglia tale che proibisca lo sparo per un periodo di tempo immediatamente successivo all emissione dell impulso. La refrattarietà può essere incorporata in un modo più realistico aggiungendo una conduttanza simile a quella introdotta per l adattamento del tasso di sparo; stavolta

35 la conduttanza dovrà avere un tempo di recupero più veloce ed un incremento più grande in seguito ad un potenziale di azione. Grazie ad un consistente incremento, il potenziale del neurone si avvicina, in valore, al potenziale di equilibrio del potassio E K in seguito ad un potenziale di azione, prevenendo in maniera temporanea un ulteriore sparo e producendo un periodo di refrattarietà assoluto. Nel momento in cui questa conduttanza approssima il valore 0, lo sparo sarà possibile anche se inizialmente poco probabile, producendo un periodo di refrattarietà relativo. Quando il recupero è completato, si ristabilisce la periodicità di sparo usuale. 2.3 Reti neurali Una rete neurale è, formalmente, un grafo i cui nodi sono costituiti dai neuroni e le cui connessioni sono costituite dalle sinapsi; ciascuna connessione è pesata con la corrispondente efficienza sinaptica. Le sinapsi costituiscono così un grafo con connessioni specifiche e direzionate. Ciascun nodo è caratterizzato da un equazione di evoluzione in cui lo stato del neurone dipende dai neuroni spazialmente connessi, ovvero dai neuroni presinaptici; i pesi sinaptici possono essere fissati ma possono anche evolvere nel tempo (plasticità sinaptica), in accordo con la storia dei due nodi connessi dalla sinapsi. Se consideriamo le reti neurali come sistemi dinamici, possiamo dare una formulazione canonica della dinamica neuronale; ciascun neurone i è caratterizzato dal suo stato, X i, che appartiene ad un certo insieme compatto I R M. M è il numero di variabili che caratterizzano lo stato di un neurone; assumiamo inoltre che tutti i neuroni siano descritti dallo stesso numero di variabili. Il LIF corrisponde al caso in cui M = 1, X i = V i è il potenziale di membrana del neuroni i e I = [V min,v max ]. L evoluzione di N neuroni è data così da un sistema dinamico

36 deterministico del tipo: o, dx dt = F γ(x,t), tempo continuo, (2.13) X(t + 1) = F γ [X(t),t], tempo discreto. (2.14) La variabile X = {X i } N i=1 rappresenta lo stato dinamico di una rete con N neuroni al tempo t; tipicamente X M = I N, dove M è lo spazio delle fasi dell equazione (2.14) ed F γ (M) M. La mappa F γ : M M dipende da un set di parametri γ R P ; il caso tipicamente considerato in seguito sarà γ = (W,I (ext) ), dove W è la matrice dei pesi sinaptici, mentre I (ext) rappresenta una corrente o uno stimolo esterno. Così γ è un punto nello spazio dei parametri di controllo P = N 2 + N dimensionale. Un neurone i emette un potenziale d azione ogni qual volta il suo stato X i appartiene ad una certa regione connessa P 1 del suo spazio delle fasi, altrimenti è quiescente se X P 0 = I\P 1. Per N neuroni identici questo porta ad una partizione naturale P dello spazio delle fasi M. Chiamiamo Λ = {0,1} N, ω= [ω i ] N i=1 Λ, allora P = {P ω } ω Λ, dove P ω = P ω1 P ω2 P ωn. Equivalentemente, se X P ω, si ha che tutti i neuroni con ω i = 1 stanno sparando, mentre quelli con ω k = 0 sono quiescenti. A ciascuna condizione iniziale X M possiamo associare un raster plot ω = {ω (t)} + t=0 tale che X (t) P ω(t), t 0; così ω è la sequenza di configurazioni di sparo mostrata dalla rete neurale quando viene preparata nella condizione iniziale X (vedi figura 2.8). Conoscere il raster plot è dunque equivalente a conoscere la lista dei tempi di sparo di tutti i neuroni. Ad esempio, se abbiamo a che fare con una rete omogenea di N neuroni, dove la dinamica di ciascun neurone è periodica, possiamo dedurre, dall osservazione del raster plot, che la dinamica della rete è asincrona;

37 v k Indice di Neurone Tempo Tempo Figura 2.8. (a) La figura mostra l andamento del potenziale di membrana del k- esimo neurone in funzione del tempo, in una rete omogenea di N neuroni. (b) Nella seconda figura è riportato l indice del neurone che spara in funzione del tempo.[26] dunque, se indichiamo con T l ISI di ciascun neurone, il tasso di sparo della rete è costante e pari a T/N Rete di neuroni LIF globalmente accoppiati: il modello La comprensione del meccanismo di elaborazione dell informazione nel cervello può essere perseguita analizzando le proprietà dinamiche dei modelli di reti neurali; pensare di avvicinarsi a questo problema nella sua assoluta generalità è un obiettivo incredibilmente ambizioso, dal momento che occorre tenere in conto (i) del ruolo della topologia delle connessioni, (ii) della dinamica delle stesse connessioni, al fine di rappresentare la plasticità sinaptica, (iii) della dinamica interna a ciascun modello di neurone, che può dipendere dal numero di canali ionici ma anche da altre variabili e parametri, (iv) dalla diversità tra i neuroni e le loro connessioni e, infine, (v) dall inevitabile presenza di rumore. Ad ogni modo possiamo congetturare che almeno alcuni meccanismi di base siano robusti e possano dipendere solo da pochi ingredienti; infatti anche i modelli semplici composti da unità identiche globalmente accoppiate esibiscono proprietà dinamiche interessanti e, indubbiamente, non ovvie e non totalmente comprese. Consideriamo ad esempio il cosidetto splay state, che

38 costituisce un modo collettivo che emerge in reti di oscillatori non lineari completamente accoppiati (vedi figura 2.8); questo stato è caratterizzato dal fatto che tutte le oscillazioni abbiano la stessa forma d onda X e che le fasi di tali oscillatori si dispongano sul cerchio unitario in modo equispaziato. Inoltre lo stato del singolo oscillatore x k può essere descritto al tempo t da x k (t) = X(t + kt/n) = A cos(ωt + 2πk/N); ω = 2π/T; k = 1,,N (2.15) dove N è il numero di oscillatori del sistema, T il periodo dell oscillazione collettiva, X la forma d onda comune ed A l ampiezza dell oscillazione. La stabilità degli stati stazionari di questi sistemi è ancora un problema dibattuto. In particolare, nel contesto delle reti neurali, ove lo splay state è caratterizzato da un tasso di sparo costante dei neuroni, si possono trovare sia dimostrazioni del fatto che lo splay state sia stabile solo in presenza di accoppiamenti eccitatori [28], sia dimostrazioni del fatto che sia possibile trovare tale stato stabile in presenza di reti con accoppiamento completamente inibitorio [25]. Il metodo usato di solito per determinare le proprietà di stabilità di tali semplici modelli è basato sull approssimazione di campo medio; questo ci permette di ottenere lo spettro degli autovalori associati alla matrice di stabilità nel limite termodinamico N, dove N denota il numero di neuroni. La stima della stabilità lineare dello splay state costituisce il passo preliminare verso una completa comprensione delle proprietà dinamiche della rete neurale; per effettuare tale stima si può introdurre la sezione di Poincaré, vedi (??), che trasforma il sistema dinamico originale in una mappa che connette le configurazioni dinamiche della rete neurale corrispondenti a momenti in cui si ha l emissione di impulsi neurali consecutivi. La mappa viene costruita tra gli impulsi consecutivi emessi da qualsivoglia neurone e viene combinata con un opportuno riscalamento degli indici dei neuroni in modo da

39 ridurre la complessità computazionale del calcolo e da ottenere espressioni analitiche per valori grandi ma finiti di N. Consideriamo dunque una rete di N identici neuroni LIF; la dinamica dell iesimo neurone è descritta da una singola variabile, il potenziale di membrana v i (t), che obbedisce all equazione differenziale v i = a v i + ge(t) (2.16) dove tutte le variabili e i parametri sono espressi in unità adimensionali opportunamente riscalate. In accordo con la precedente equazione, il potenziale di membrana rilassa al valore a + ge(t), ma, non appena raggiunge il valore di soglia v i = 1, viene riscalato a v i = 0 e viene inviato, simultaneamente, un impulso a tutti gli altri neuroni (questa procedura di riassegnazione del valore del potenziale è un modo approssimato per descrivere il meccanismo di scarica presente nei neuroni reali). Il parametro a > 1 corrisponde alla corrente di input soprasoglia, mentre g limita la forza del campo E(t) agendo come accoppiamento efficace. Il campo E(t) è la sovrapposizione lineare degli impulsi emessi ogniqualvolta il potenziale di membrana di ciascun singolo neurone raggiunge il valore di soglia. Assumiamo che la forma di un impulso emesso a t = 0 sia data da E s (t) = α2 t N e αt, dove 1/α è l ampiezza dell impulso. Questo è equivalente ad affermare che il campo totale evolva in accordo all equazione Ë(t) + 2αĖ(t) + α2 E(t) = α2 N n t n<t δ(t t n ), (2.17) dove la sommatoria nel membro a destra rappresenta il termine di sorgente dovuto agli impulsi emessi a tempi t n < t. Quindi la dinamica della rete è data da N equazioni (2.16) più la (2.17) che descrive l evoluzione del campo.

40 2.3.2 Mappa guidata dall evento È conveniente trasformare le equazioni differenziali in una mappa a tempo discreto; per fare questo occorre integrare l equazione (2.17) tra il tempo t n e il tempo t n+1, dove t n è il tempo immediatamente successivo all emissione dell n-simo impulso. La mappa risultante è E(n + 1) = E(n)e ατ(n) + NQ(n)τ(n)e ατ(n) (2.18) Q(n + 1) = Q(n)e ατ(n) + α2 N 2, (2.19) dove τ(n) = t n+1 t n è l intervallo temporale tra un impulso e il successivo e dove abbiamo introdotto la nuova variabile Q := (αe + Ė)/N. L equazione (2.16) può essere integrata anche esplicitando la dipendenza temporale nota del campo E v i (n + 1) = v i (n)e τ(n) + a ( 1 e τ(n)) + gf(n) i = 1,...,N. (2.20) dove F è F(n) = e τ(n) e ατ(n) α 1 ( E(n) + NQ(n) α 1 ) τ(n)e ατ(n) NQ(n). (2.21) (α 1) L intervallo temporale tra un impulso e l altro τ è ottenuto imponendo la condizione v m (n + 1) = 1, [ ] v m (n) a τ(n) = ln 1 gf(n) a. (2.22) dove l indice m identifica il neurone più vicino a soglia. Le equazioni (??, 2.19) e (2.21) possono essere scritte in una forma più compatta esprimendo F(n) come funzione di τ(n) per mezzo dell equazione (2.22), v i (n + 1) = v i (n)e τ(n) + 1 v m (n)e τ(n) j = 1,...,N 1. (2.23) Dal momento che in una rete di neuroni indistinguibili viene preservato l ordine dei potenziali v i, è conveniente per prima cosa ordinarli e poi introdurre il sistema di

41 riferimento comovente, ovvero x j (n) = v j n (n). In questo sistema di riferimento l indice del neurone più vicino a soglia è costante e può essere scelto sempre uguale a 1, senza perdere di generalità; l equazione di aggiornamento può dunque essere scritta come x j 1 (n + 1) = x j (n)e τ(n) + 1 x 1 (n)e τ(n) j = 1,...,N 1, (2.24) con la condizione al contorno x N = 0 e dove, [ ] x 1 (n) a τ(n) = ln 1 gf(n) a. (2.25) L insieme di equazioni (2.18, 2.19, 2.24, 2.25, 2.21) definisce una mappa a tempo discreto che è completamente equivalente all insieme di equazioni differenziali di partenza. Si ottiene così, che una rete di N neuroni identici può essere descritta per mezzo di N + 1 equazioni, due delle quali tengono conto della dinamica di E(n), mentre le rimanenti N 1 equazioni descrivono l evoluzione dei neuroni (un grado di libertà è stato perso perso andiamo da uno sparo all altro, ovvero x N non è più una variabile dal momento che è stata posta, per definizione, sempre uguale a 0). Il modello ha una dimensione finita, inoltre, in questo sistema di riferimento, lo splay state periodico si riduce ad un punto fisso che soddisfa le seguenti condizioni: τ(n) T N, (2.26) E(n) Ẽ, Q(n) Q, (2.27) x j 1 = x j e T/N + 1 x 1 e T/N, (2.28) dove T è il tempo che intercorre tra due emissioni di impulso consecutive dello stesso neurone. Attraverso un semplice calcolo si ottiene Q = α2 N 2 ( 1 e αt/n ) 1, Ẽ = T Q ( e αt/n 1 ) 1. La soluzione dell equazione (2.28) coinvolge una serie geometrica, la quale, insieme alla condizione di bordo x N = 0, porta ad un equazione trascendentale per il periodo

42 T; senza dar luogo a sorprese, il risultato è indipendente dall ampiezza dell impulso α. Per semplicità riportiamo solo i termini all ordine O(1/N) nel limite N 1, x N j = at + g ( ) 1 e j T/N, (2.29) [ T ] at + g T = ln. (2.30) (a 1)T + g Se supponiamo di aver a che fare con neuroni disaccoppiati in regime di sparo ripetitivo, cioè se prendiamo a > 1, il periodo T è ben definito nel caso eccitatorio (g > 0) solo per g < 1 (T 0 quando g si avvicina ad 1), mentre nel caso inibitorio (g < 0), esiste una soluzione significativa per qualsiasi valore dell accoppiamento (T per g ) Stabilità lineare Al fine di effettuare l analisi di stabilità dello splay state, è necessario linearizzare le equazioni (2.18, 2.19, 2.24) attorno al punto fisso (2.26, 2.27, 2.28), δe(n + 1) = e αt/n δe(n) + Te αt/n δq(n) ( αẽ N Qe αt/n) δτ(n), (2.31) δq(n + 1) = e αt/n δq(n) α Qe αt/n δτ(n), (2.32) δx j 1 (n + 1) = e T/N [δx j (n) δx 1 (n)] + e T/N ( x 1 x j )δτ(n), (2.33) dove abbiamo introdotto δτ(n), la cui espressione può essere ottenuta linearizzando le equazioni (2.25,2.21) δτ(n) = τ x δx 1 (n) + τ E δe(n) + τ Q δq(n) ; (2.34) dove τ x := τ/ x 1 e dove sono state adottate definizioni analoghe per τ E e τ Q. La condizione al contorno x N 0 imposta dal sistema di riferimento comovente dà δx N = 0. In pratica, il problema di stabilità è risolto calcolando lo spettro di

43 1.0 Im{µ k } Re{µ κ } Figura 2.9. Cerchio unitario e moltiplicatori esatti dello spettro di Floquet per la mappa completa per N = 20 (cerchi rossi) e N = 10 (cerchi blue) per accoppiamento eccitatorio. I parametri sono a = 3.0, g = 0.4, e α = 30.0.[26] Floquet dei moltiplicatori {µ k }, k = 1,,N + 1, associati con il problema agli autovalori dell insieme di equazioni lineari (2.31,2.32,2.33); tale calcolo deve essere, in generale, effettuato, numericamente. Discutiamo innanzitutto il caso banale g = 0; in questo caso si trova che µ k = exp(iϕ k ), dove ϕ k = 2πk, k = 1,,N 1, e N µ N = µ N+1 = exp( αt/n). Gli ultimi due esponenti interessano la dinamica del campo di accoppiamento E(t), il cui decadimento è regolato dalla scala temporale α 1. Non appena l accoppiamento è acceso, piccole fluttuazioni di ampiezza O(g/N) influenzano la dinamica dei neuroni e i moltiplicatori dello spettro di Floquet assumono la forma µ k = e iϕ k e T(λ k+iω k )/N, ϕ k = 2πk N µ N = e T(λ N+iω N )/N, µ N+1 = e T(λ N+1+iω N+1 )/N,, k = 1,...,N 1, (2.35) dove λ k e ω k sono la parte reale e immaginaria degli esponenti di Floquet. In figura (2.9) mostriamo i moltiplicatori dello spettro di Floquet dello splay state nel caso di accoppiamento eccitatorio e valori di N finiti. I moltiplicatori con k = 1,,N 1 sono molto vicini al cerchio unitario, mentre i due moltiplicatori isolati µ N e µ N+1 giacciono molto vicini all asse reale all interno del cerchio unitario.

44 Dal momento che, già per g/n O(10 2 ), i moltiplicatori del caso accoppiato possono essere visti come una perturbazione piccola del caso non accoppiato (cioè con g = 0), possiamo cercare di dar vita ad un approccio perturbativo. Prima di effettuare questo tipo di analisi occorre sottolineare che la variabile ϕ k gioca lo stesso ruolo giocato dal numero d onda nell analisi di stabilità lineare di sistemi spazialmente estesi, così che possiamo dire che λ k caratterizza la stabilità del k- esimo modo. Nell analisi che segue è conveniente distinguere tra i modi caratterizzati da ϕ k 0, mod(2π) +O(1/N) e tutti gli altri modi. Si identificano dunque due componenti spettrali che richiedono di essere trattate in modo matematicamente diverso: la prima componente corrisponde alla condizione µ k 1 N 1 ed è identificata con la dicitura lunghezze d onda grandi (in inglese long wavelenghts o LWs); la seconda componente corrisponde a µ k 1 O(1) ed è identificata con lunghezze d onda brevi (in inglese short wavelenghts o SWs). 2.4 Impulso di durata finita Analizziamo adesso il problema di stabilità dello splay state per reti soggette ad impulsi con α finito (cioè indipendente dalla dimensione del sistema) per grandi valori di N. Considerando i termini all ordine 1/N, la mappa ad evento guidato (vedi equazioni (2.18, 2.19, 2.24) ) si semplifica nel seguente insieme di N + 1 equazioni: E(n + 1) = (1 ατ)e(n) + NQ(n)τ, (2.36) Q(n + 1) = (1 ατ)q(n) + α2 N 2, (2.37) x j 1 (n + 1) = (1 τ)x j (n) + 1 x 1 (n) + τ, (2.38)

45 dove j = 1,...,N 1 mentre τx 1 è stato approssimato con τ poiché 1 x 1 O(1/N). L espressione per l intervallo di intersparo (2.25) si semplifica così in τ(n) = 1 x 1(n) a 1 + ge(n). (2.39) La soluzione periodica per il campo che tiene conto di tutti gli impulsi diventa Ẽ = T 1 e Q = α/nt, mentre x j e il periodo T sono ancora dati dall equazioni (2.29, 2.30). Lo spettro degli autovalori di Floquet µ k, k = 1,,N + 1 può essere ottenuto linearizzando le equazioni (2.36, 2.37, 2.38) nell intorno di questa soluzione periodica e assumendo che ciascuna perturbazione cresca come µ n k µ k δe = (1 αt/n)δe + TδQ, (2.40) µ k δq = (1 αt/n)δq α2 δτ, (2.41) NT µ k δx j 1 = (1 T/N)δx j δx 1 + (1 x j )δτ, (2.42) Un espressione esplicita per δτ si può ottenere valutando la derivata dell equazione (2.39) δτ = T 2 N δe T g δx 1. Sostituendo quanto trovato nelle equazioni (2.40,2.41,2.42), vediamo che il problema agli autovalori consiste nel trovare le N + 1 radici µ k del polinomio associato; una semplificazione parziale del problema può essere ottenuta estraendo dalle equazioni (2.41) e (2.42) la dipendenza di δτ dalla perturbazione del potenziale del neurone più vicino a soglia δx 1 δτ = Kδx 1 (2.43) dove K = [ (a 1 + g/t) + α 2 ] 1 gt. (2.44) N 2 (µ k 1 + αt/n) 2

46 Infine, sostituendo questa espressione nell equazione (2.40), otteniamo un insieme chiuso di equazioni per le perturbazioni del potenziale di membrana, µ k δx j 1 = (1 T/N)δx j + (K 1)δx 1 K x j δx 1. (2.45) Dopo aver imposto la condizione di bordo δx N = 0, l equazione (2.45) si riduce alla seguente equazione agli autovalori: µ N 1 k e T = K(a + g/t) 1 µn 1 k [K(a 1 + g/t) + 1] 1 µn 1 k, (2.46) 1 µ k 1 µ k et/n dove K è una funzione di µ k. Al fine di risolvere questa equazione analiticamente è necessario effettuare la distinzione tra lunghezze d onda grandi e piccole. e T Lunghezze d onda grandi Consideriamo i modi per cui µ k 1 N 1 (o, equivalentemente, ϕ k 0, mod(2π) +O(1/N)). Al fine di semplificare la notazione definiamo All ordine principale, K vale K = [ Λ k := N T ln µ k. (a 1 + g/t) + α 2 ] 1 g. T(Λ k + α) 2 Sostituendo questa espressione nell equazione agli autovalori (2.46) e rimuovendo i termini in 1/N, si ottiene at + g α 2 g ( 1 e Λ k T ) (Λ k + α) 2 (Λ k + 1) = Λ k ( e T e Λ kt ), Λ k 0. (2.47) Questa equazione coincide con quella derivata attraverso l analisi di campo medio [28], eccetto per il fattore Λ k = 0, che corrisponde all esponente di Floquet zero dell evoluzione temporale continua (2.16) e scompare nella dinamica a tempo discreto. Occorre sottolineare ancora che, nonostante l equazione (2.47) abbia N +1 radici, questa dà un opportuna approssimazione solo per quelli autovalori che soddisfano la relazione µ k 1 N 1.

47 2.4.2 Lunghezze d onda piccole La seconda componente dello spettro (2.35) è ottenuta per µ k 1 O(1). In questo caso K ha la semplice forma K = (a 1 + g/t) 1. Introducendo nell equazione (2.46) la forma esplicita della soluzione periodica (2.30), si ottiene una notevole semplificazione per lo spettro, ovvero µ N k = e T a + g/t a 1 + g/t = 1, (2.48) i.e., questo coincide con uno spettro di Floquet completamente degenere, ω k 0, λ k 0 (2.49) Notiamo che questa approssimazione vale solo per quelli autovalori per cui µ k 1 O(1), ovvero vale per la maggior parte dello spettro, eccetto quelli autovalori che giacciono vicino al punto (1,0), dove il cerchio unitario intercetta l asse reale (vedi fig. 2.9). Per quanto riguarda gli autovalori isolati µ N e µ N+1, si può facilmente intuire che questi possano essere sempre contenuti all interno del cerchio unitario, vicino all asse reale, per N finiti e ampiezze dell impulso finite, e che si avvicinino al punto (1,0) da sinistra nel limite N ; dunque questi possono al più contribuire alla stabilità marginale della dinamica Diagramma di fase e correzioni di taglia finita In accordo con i precedenti risultati possiamo dire che, nel limite N, il manifestarsi dell instabilità è determinato dagli esponenti di Floquet associati con le LW; inoltre si ottiene che lo splay state è sempre instabile per accoppiamento inibitorio

48 α INSTABILE 50 STABILE g Figura Diagramma di fase per la stabilità dello splay state in una rete neurale con accoppiamento eccitatorio che agisce attraverso un impulso di durata finita. La linea continua che separa la regione stabile da quella instabile nel piano (g,α) è stata ricavata dalla formula analitica dello spettro di Floquet (2.47) con a = 1.3. Occorre sottolineare che, in questo contesto, stabile si riferisce ad N finiti, dal momento che per sistemi infiniti la stabilità diventerà marginale.[26] (g < 0). Nel caso di accoppiamento eccitatorio l analisi di campo medio predice stabilità per lo splay state per α α c (g,a), dove α c (g,a) è la linea critica che separa la regione stabile da quella instabile (vedi figura 2.10). Questa linea corrisponde ad una biforcazione di Hopf che dà vita ad un nuovo comportamento periodico collettivo chiamato sincronizzazione parziale. Inoltre si ha che α c diverge a + per g 1 ( per g > 1 non può essere sostenuto un regime stazionario dal momento che l evoluzione accelera in maniera uniforme ). Nel limite opposto di accoppiamento che si annulla (g 0), la biforcazione sopravvive; dall equazione (2.47) si può vedere inoltre che la frequenza ω c della soluzione di biforcazione converge a ω c = 2π/T e α c = ωc 2. Includendo il ruolo delle SW possiamo concludere che, nel limite N, lo stato stazionario può essere al più marginalmente stabile per α α c (g,a). La degenerazione perfetta dell esponente zero di Floquet associata con le lunghezze d onda brevi toglie i dubbi sulle proprietà di stabilità efficaci di reti grandi ma finite, dal momento che tali modi sono marginalmente stabili. Risolvendo inoltre numericamente le equazioni agli autovalori (2.31,2.32,2.33) al variare delle dimensioni del sistema

49 10-2 λ k 10-3 (a) λ k (b) k ϕ k N Figura (a) Grafico log-log dei valori assoluti degli esponenti di Floquet λ k, ordinati dal più grande al più piccolo come funzione dell indice k = 1,...,N per N = 100,200,400. La linea tratteggiata ha una pendenza di -2. (b) Esponente di Floquet come funzione della fase riscalata ϕn, per N = 100 (cerchi neri) and N = 200 (cerchi rossi). In entrambe le figure i valori dei parametri sono a = 3.0, g = 0.4, e α = 30.0.[26] e al variare di g e α si ottiene che lo splay state è strettamente stabile in reticoli finiti e che l esponente di Floquet massimo tende a zero da sotto con un andamento del tipo 1/N 2 (vedi figura 2.11). Questo implica che una teoria delle perturbazioni fatta fino all ordine 1/N non può tener conto delle instabilità del modello originale. Questo è confermato dalla figura 2.12 dove gli spettri di Floquet ottenuti da approssimazioni al primo e al secondo ordine danno luogo ad uno splay state instabile, anche se la soluzione numerica del problema di stabilità indica che il modello ad N finito è stabile. Riassumendo, la stabilità dello splay state può essere indagata riducendo un modello di equazioni differenziali globalmente accoppiate a delle opportune mappe guidate dall evento, che mettono in relazione le configurazioni interne della rete corrispondenti a due emissioni consecutive del potenziale di azione. L analisi analitica dello Jacobiano nel limite di grandi N rivela che lo spettro degli autovalori è costituito da due componenti: (i) modi propri di grandi lunghezze d onda; (ii) modi propri di brevi lunghezze d onda. Un approccio di campo medio è capace di riprodurre la parte dello spettro associata ai modi di grandi lunghezze d onda col rischio di non catturare l instabilità che si manifesta a lunghezze d onda piccole.

50 λ k π -π/2 0 π/2 π ϕ k Figura Esponenti di Floquet λ k (ϕ) come funzione della fase ϕ k per impulsi di durata finita α = 30.0 e numero di neuroni finito N = 500 nel caso di accoppiamento eccitatorio g = 0.4. Le cerchi pieni rappresentano il risultato esatto per N finito, mentre i quadrati rossi quadrati e i triangoli blue vuoti si riferiscono a risultati approssimati corretti rispettivamente fino al primo e al secondo ordine in 1/N. Il parametro qui è a = 3.[26] Altri stati collettivi della rete Discutiamo brevemente adesso della soluzione collettiva che nasce al di sopra della linea α c (g,a) (vedi figura 2.10), detta sincronizzazione parziale. In questo regime il campo medio esibisce una dinamica periodica che si manifesta in assenza di qualsiasi sincronizzazione tra i singoli neuroni, i quali si comportano in modo quasi periodico. La sincronizzazione parziale deriva dalla destabilizzazione del regime splay state, che è invece caratterizzato da un campo medio costante e da un comportamento periodico dei singoli neuroni, le cui fasi sono equispaziate. In una rete di neuroni LIF, in cui l accoppiamento è modellizzato da una funzione α, come in (2.17), troviamo che, per accoppiamento eccitatorio, le reti evolvono verso uno stato asincrono (splay state) se le costanti di accoppiamento temporale sono sufficientemente basse (piccoli α). Quando α aumenta, la rete inizia a sincronizzarsi; per costanti di tempo finite la rete non raggiunge sincronia completa anche se è costituita da oscillatori identici e il sistema è completamente privo di rumore. Solo nel limite di α e di durata dell impulso che tende a zero, lo stato diventa

51 completamente sincronizzato. Dunque se attraversiamo il diagramma di fase nel piano (g,α) mantenendo g = costante, passiamo, al crescere di α dallo splay state alla sincronizzazione parziale e solo nel limite α otteniamo una sicronizzazione completa. Se la rete è composta da più di due unità, i neuroni sparano quasi periodicamente nello stato parzialmente sincronizzato; in sistemi di grandi dimensioni il tasso di sparo medio della rete in questo stato parzialmente sincronizzato varia periodicamente, anche se le singole unità sono quasiperiodiche. Con accoppiamento inibitorio la rete sincronizza completamente per α piccoli; per α grandi la rete si rompe in due o più cluster completamente sincronizzati. Il numero medio di cluster che si forma cresce al crescere di α, sebbene il numero esatto di cluster formati dipenda dalle condizioni iniziali. Per una rete con un numero grande ma finito di oscillatori il numero di cluster formati tenderà ad essere pari al numero di neuroni, dunque, lo stato finale sarà indistinguibile dallo splay state. Così con accoppiamento inibitorio, il sistema passa da uno stato completamente sincronizzato per piccoli α, ad uno stato sostanzialmente asincrono per grandi α, attraverso la formazione di un numero crescente di cluster completamente sincronizzati; nel limite α si ritrova lo splay state. La transizione da un sistema sincrono ad uno asincrono è accompagnata dall allargamento di un cluster piuttosto che dalla rottura in più cluster. In figura (2.13) mostriamo alcuni risultati di simulazioni numeriche effettuate nel regime di sincronizzazione parziale. Analizziamo in particolare la figura (b). Se indichiamo con t n [i] il tempo a cui l i-esimo neurone emette un impulso, e con T(t n [i]) l ultimo ISI dello stesso neurone, possiamo ricostriure tutti i tempi di sparo passati iterando semplicemente la formula ricorsiva t n 1 [i] = t n [i] T(t n [i]). (2.50)

52 Geometricamente, implementare questa formula corrisponde ad eseguire la seguente procedura (fig. 2.13(b)): dato il punto (t n,t(t n )) ci muoviamo verso il basso lungo la retta di pendenza 1 fino a raggiungere l asse t al tempo t n 1 ; a questo punto ci spostiamo verticalmente, verso l alto, fino ad incontrare la curva T. Considerando che T(t) è una funzione periodica definita positiva, l equazione (2.50) non è nient altro che l equazione di evoluzione di un oscillatore periodico forzato; ci aspettiamo dunque l insorgere di fenomeni di bloccaggio ( in inglese locking ). D altra parte le simulazioni numeriche non presentano alcun fenomeno di bloccaggio, anche quando il rapporto tra le frequenze caratteristiche del termine forzante e del campo forzato è razionale. Questa caratteristica rimane inspiegata. In figura (2.13(c)) è riportato l andamento del flusso istantaneo in funzione del tempo; tale flusso è definito da π(t) = 1/N t m+1 t m, (2.51) dove (t m+1 t m ) (1/N) è l intervallo tra due spari consecutivi della rete; il membro a sinistra di questa equazione non presenta il pedice m, perché nel limite N la variabile temporale diventa nuovamente continua. Un altra peculiarità dello stato di sincronizzazione parziale è il fatto che gli ISI dei singoli neuroni differiscano dal periodo della dinamica macroscopica; in altre parole i tempi tra un emissione e la successiva di un impulso, da parte del singolo neurone, sono sempre più piccoli del periodo di oscillazione del campo forzante. Possiamo spiegare il fenomeno, in maniera qualitativa, osservando che, da un lato, i neuroni tendono a raggrupparsi, dall altro, i neuroni che si trovano sul fronte del raggruppamento tendono a scappare, mentre quelli che raggiungono il gruppo dalle retrovie vi si uniscono. Questo giustifica anche il nome di sincronizzazione parziale attribuito a questo fenomeno.

53 Infine, dalle analisi numeriche svolte sul modello originale soggetto a rumore additivo, uniformemente distribuito e a media nulla, vediamo (figura 2.13(a)) che il comportamento collettivo persiste, nonostante sia depresso dall azione del rumore. Il campo E ha un ampiezza più piccola in presenza del rumore, mentre la larghezza della curva sembra descrescere all aumentare del numero di oscillatori presenti nella rete con un andamento del tipo 1/ N. Figura (a) Rappresentazione nel piano delle fasi (E,Ė); i punti corrispondono a simulazioni effettuate in presenza di rumore additivo uniformemente distribuito. (b) Evoluzione, in funzione del tempo, dell intervallo temporale tra uno sparo e l altro del singolo neurone (T). In figura è rappresentato anche un metodo per ricostruire il tempo di sparo del singolo neurone. (c) Evoluzione temporale del flusso istantaneo π.[22] 2.5 Desincronizzazione in reti neurali diluite In questa sezione vogliamo analizzare l effetto della diluizione delle connessioni fra i neuroni sulla dinamica di una rete neurale con accoppiamenti solo inibitori. Per rete diluita si intende una rete neurale in cui siano stati recisi dei legami fra neuroni anche in modo asimmetrico. Per comprendere il ruolo della diluizione, ricordiamo innanzitutto i risultati noti per reti di neuroni LIF globalmente accoppiati. In quest ambito sono di notevole importanza i risultati rigorosi pubblicati da Jin in Ref. [30] per una rete non omogenea di neuroni LIF globalmente accoppiati, le cui connessioni sono