Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri Gruppo Gi101 Rapporto e/m. RAPPORTO e/m. Relazione sperimentale

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1 RAPPORTO e/m Relazione sperimentale Scopo dell esperienza è misurare il rapporto carica su massa della particella elettronica, scoperta per la prima volta da Thomson. Si sfrutta per far ciò l interazione tra l elettrone e un campo di induzione magnetica noto, il quale, incidendo ortogonalmente all accelerazione impressa dal campo elettrico, tramite la forza di Lorentz devia le particelle negative facendo loro compiere una traiettoria circolare. opo dell esperienza è quella di determinare il valore di un set di resistenze incognite mediante le tecniche del ponte di Wheatstone in corrente continua e A P P A R A T O S P E R I M E N T A L E L apparato di misura atto alla corretta realizzazione dell esperimento è composto da (Figura): Figura 1: Schematica dell apparato di Thompson per la misura del rapporto e/m un ampolla di vetro avente forma sferica e contenente gas idrogeno a pressione 10^-2 torr un filamento in grado di emettere elettroni per effetto termoelettrico, alimentato da corrente alternata ottenuta tramite un trasformatore un cilindro di Wehnelt, ovvero un acceleratore di elettroni di piccole dimensioni (2-3 cm) posto a potenziale nullo e collegante una coppia anodo-catodo con V= volt; l anodo è dotato di forma conica con schermo semicilindrico e il potenziale è fornito da u generatore di tensione continuo stabilizzato entro lo 0,1% e regolabile dallo sperimentatore una coppia di placche di deviazione mantenute a potenziale anodico (V= volt) con funzione di collimazione del fascio emergente dal cilindro di Wehnelt una coppia di bobine di Helmotz, al cui centro è posizionata l ampolla di vetro, generanti un campo di induzione magnetica in grado di deviare il fascio elettronico; le bobine sono collegate ad un generatore di corrente di intensità regolabile stabilizzato entro lo 0,1% due guide dotate di morsetti mobili; una di esse è anche munita di uno specchio Pagina 1 di 5

2 un ago magnetico un altra coppia di bobine di geometria nota collegate, insieme ad una resistenza ad un circuito in corrente continua e regolabile un tester universale Misura del rapporto e/m dell elettrone P R E S U P P O S T I T E O R I C I Il suddetto esperimento si basa sul fenomeno elettromagnetico secondo cui una particella carica in movimento in un campo di induzione magnetica (stazionario) modifica la sua traiettoria in quanto soggetta all aggiuntivo termine qv B presente nella forza di Lorentz, in cui q è la carica posseduta dalla particella (in questo caso l elettrone ha carica unitaria e negativa), v è la sua velocità (per essere più precisi la sua componente tangenziale al moto) e B è appunto il campo di induzione magnetica.si ha quindi, dall equazione di Newton, che ma=mv 2 /r=evb, dove B è la componente ortogonale al piano delle bobine e r è il raggio della circonferenza tracciata dal fascio di elettroni;allo stesso tempo, per la conservazione dell energia, si ha che mv 2 /2=e V, da cui si ricava che e/m= 2 V/(B r) 2. Una volta noto il campo di induzione magnetica B (r), si può ricavare la relazione cercata. E noto dalla letteratura scientifica che il campo B (r)={(µ 0 NIk)/[2π(r b r) 1/2] }[J 1 +αj 2 ], dove r b è il raggio medio delle bobine di Helmoltz e le quantità k,α, J 1,J 2, sono date da: k={(4 r b r)/[(r b +r) 2 +z 2 ]} 1/2, α=(r b 2 - r 2 - z 2 )/[( r b -r) 2 +z 2 ], J 1 = 0 π/2 d /(1-k 2 sin 2 ) 1/2, J 2 = 0 π/2 (1-k 2 sin 2 ) 1/2 d (J 1 e J 2 sono detti rispettivamente i I ed il II integrale ellittico di Legendre e z è la componente parallela al campo B ). OSS: non è stato presa in considerazione nel bilancio energetico l energia cinetica iniziale degli elettroni emessi dal filamento per effetto termoelettrico, in quanto essa risulta comunque dell ordine di grandezza del decimo di elettronvolt, quindi trascurabile ai fini del suddetto esperimento. OSS 2:Il fattore di discrepanza δ=b (r)/b (0) (ossia tra il campo di induzione magnetica calcolato con le formule riportate poc anzi e il campo considerato costante e calcolato tramite la formula B (0)= µ 0 (4/5) 3/2 NI/r b ) diventa sempre più importante al crescere del raggio della circonferenza tracciata dagli elettroni.per questo motivo, è consigliabile (ed è stato nostro accorgimento) adottare le formule di cui sopra ogniqualvolta r 2cm ( δ 0,99987). Misura della componente orizzontale del campo di induzione magnetica terrestre Per il principio di sovrapposizione dei campi, si ha che si deve tenere in considerazione anche il contributo del campo di induzione magnetica terrestre, tutt altro che trascurabile in questo esperimento, e occorrerà eliminarne l apporto in quanto alteratore dei dati. A tal fine serve un ago magnetico il quale, in quanto materiale magnetizzato è soggetto al campo terrestre, si allinea secondo le linee di forza di quest ultimo e permette di conseguenza la determinazione della sua direzione e anche, una volta collegato con un apposito circuito che verrà nel seguito illustrato, della Pagina 2 di 5

3 sua stima quantitativa, attraverso la formula B t = (I/I 0 )(B cotgθ + B r ) [1], I 0 essendo un intensità di corrente nota (pari a 100mA) in corrispondenza della quale sono forniti valori tabulati di B z e B r. P R O C E D I M E N T O S P E R I M E N T A L E Misura del rapporto e/m dell elettrone Una volta predisposta l apparecchiatura e collegato il circuito come mostrato nello schema presente sul pannello, si posiziona la strumentazione con un orientazione di 90 o rispetto alla direzione delle linee di forza del campo di induzione magnetica terrestre; per far ciò è necessario prendere un ago magnetico e, controllando di eliminare eventuali giochi meccanici intrinseci allo strumento, porre la base dell ampolla in modo tale che l ago punti come la normale al piano dell orbita luminosa elettronica. Questo accorgimento viene adottato al fine di minimizzare il contributo del campo di induzione magnetica terrestre. Si procede quindi a raccogliere i dati necessari, ovvero le quantità V, B e r. Per ottenere la prima di queste tre grandezze è sufficiente collegare in parallelo al circuito un tester universale in funzione di voltametro e leggere il valore riportato. In modo simile, si ricava il campo B tramite la lettura della corrente circolante nelle bobine di Helmoltz ancora una volta con l ausilio di un tester (ora con funzione di amperometro) collegato in serie al circuito. Per ricavare il valore del diametro (e quindi il raggio) della traiettoria percorsa dagli elettroni si ricorre alle due guide montate tra le bobine di Helmoltz (vedi figura): al fine di minimizzare errori di lettura dovuti ad effetti di parallasse, occorre sovrapporre sullo specchio retrostante l ampolla (sorretto da una delle due guide) il traguardo mobile che scorre sulla guida e la traccia luminosa della scia elettronica. Facendo variare questi tre parametri e raccogliendo i dati, si costruisce un fit lineare tra le quantità (2 V i ) e (B i r i ) 2 ottenendo così la quantità m/e = (e/m) -1 desiderata. Figura 1: Fit lineare per l'estrazione del valore di e/m Pagina 3 di 5

4 OSS: l operazione di porre sulle ascisse la quantità (2 V i ) invece di (B i r i ) 2 ha la sua ragion d essere nel fatto che il metodo dei minimi quadrati richiede la presenza sull asse delle ascisse della quantità priva di errori (o comunque affetta dall errore minimo). Si ripete questa serie di operazioni tre volte, ruotando tutta la strumentazione di 90 o una volta in senso orario e una in senso antiorario rispetto alla direzione iniziale. La triplice ripetizione della serie di misure dovrebbe evidenziare il contributo del campo di induzione magnetica terrestre. In Tabella 1 sono riportati i risultati ottenuti angolo rispetto a Bt in gradi e / m Errore Errore % 0 1, 683 E11 1,48 E10 8, ,785 E11 1,8 E9 1, ,869 E11 3,2 E9 1,71 Tabella 1: Valori del rapporto e/m Misura del campo di induzione magnetica terrestre Si disponga a questo punto l ago magnetico al centro di una coppia di bobine di Helmoltz e si colleghi quest ultima ad un circuito in corrente continua assieme ad una resistenza. Si posizioni inizialmente l ago magnetico in modo tale che l asse di quest ultimo sia orientato perpendicolarmente all asse delle due bobine. Facendo quindi variare l intensità di corrente immessa nel circuito (regolabile finemente grazie alla presenza della resistenza) si misuri l angolo a cui si smorza l ago magnetico, corrispondente al valore di equilibrio tra campo di induzione magnetica di Helmoltz e terrestre. Con l ausilio della formula [1] e con l utilizzo della tabella consultabile sul libro di testo (nella quale vengono forniti i valori di B z e B r in corrispondenza di particolari angoli θ e di raggio delle bobine), si ricavano i valori del campo di induzionemagnetica terrestre desiderati. In tabella 2 qui di seguito sono riportati i valori ottenuti: raggio bobine in metri B terrestre in Gauss Errore 0,05 2,7 0,3 C O N C L U S I O N I E D I S C U S S I O N E S U G L I E R R O R I S I S T E M A T I C I D I M I S U R A Al fine di migliorare il risultato di e/m si è presa l accortezza di correggere il raggio misurato con la guida mobile. Esso era infatti calcolato, come già detto più sopra, ponendo il traguardo mobile all estremità del segnale luminoso lasciato dagli elettroni; quest ultimo,tuttavia, dalla parte del cilindro di Wehnelt si arrestava all imboccatura del suddetto, impedendo di stimare la vera e propria estremità del raggio, situata all interno del cilindro stesso. Con rapidi calcoli analitici, abbiamo Pagina 4 di 5

5 ricavato il fattore δ di correzione, non trascurabile come potrebbe apparire. Nel calcolo del campo magnetico terrestre vi sono da considerare vari errori sistematici, quali un leggero gioco dell ago magnetico e la presenza a poca distanza delle bobine di Helmoltz utilizzate per il calcolo del rapporto e/m. Questi effetti sono però ineliminabili in laboratorio; pur tuttavia i risultati sono venuti accettabili, per cui è lecito attribuire loro una buona trascurabiltà. Pagina 5 di 5