MODELLI DI SOPRAVVIVENZA

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1 MODELLI DI OPRAVVIVENZA Moeo i sopravvivenza coninuo Moeo i sopravvivenza iscreo Rievazione ei ai per a sima i un moeo sopravvivenza Funzione i sopravvivenza empirica La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo La sima i Neson-Aaen I moeo auariae per a escrizione ea sopravvivenza Tavoe i moraià ima ee probabiià i ecesso meiane o simaore i Kapan-Meier Esposi a rischio Compeameno e moeo i sopravvivenza per eà non inere Moeo i sopravvivenza seezionao, avoe seezionae e avoe seezionae rioe

2 Moeo i sopravvivenza coninuo ia Esempi: MODELLO DI OPRAVVIVENZA CONTINUO T n.a. non negaivo che esprime a uraa aeaoria a un isane iniziae fino a verificarsi i un eerminao eveno uraa i funzionameno i un apparecchiaura a isane i accensione in cui apparecchiaura inizia a funzionare uraa i via i una cavia a isane i somminisrazione i una eerminaa sosanza uraa i via a isane in cui a un soggeo è iagnosicaa una cera maaia uraa i via aa nascia i inica con isane iniziae T ha eerminazioni: > T ha supporo [,+ [ 2

3 Moeo i sopravvivenza coninuo i efinisce i ha Funzione i sopravvivenza P T > P T > è una funzione non crescene: se 2 im + i efinisce, < aora 2, se si escue esisenza i masse aereni a + Funzione i riparizione F P T Poiché: F P T P T > per assegnare a isribuzione i probabiià e n.a. T è equivaene assegnare a funzione i riparizione oppure a funzione i sopravvivenza 3

4 Moeo i sopravvivenza coninuo e a isribuzione e n.a. T è oaa i funzione i ensià f coninua si ha: F inore f f u u + F F f u u Quini, per assegnare a isribuzione i probabiià e n.a. T è equivaene assegnare a funzione i riparizione, oppure a funzione i sopravvivenza, oppure a funzione i ensià i efinisce i ha Funzione i rischio o hazar funcion λ im f λ a cui f λ T < + T P 4

5 Moeo i sopravvivenza coninuo Osservazione: inerpreazione e significao i λ Esseno a isribuzione e n.a. T è oaa i ensià f coninua si ha: + F F f + o o P T < + T con im i ha aora che a meno i infiniesimi i orine superiore a primo P T < + T f λ λ misura inensià isananea ei ecessi a isane per gi iniviui in via fino a isane i ha inore λ f n quini, assegnaa si eermina λ 5

6 Moeo i sopravvivenza coninuo Esseno f coninua, vae anche viceversa, infai inegrano si oiene a cui si oiene λ u u n ep λ u u In ai ipoesi è aora equivaene assegnare a isribuzione i probabiià e n.a. T assegnano a funzione i sopravvivenza oppure a funzione i rischio i efinisce Funzione i rischio inegrao Λ λ u i ha aora ep Λ u 6

7 Moeo i sopravvivenza iscreo MODELLO DI OPRAVVIVENZA DICRETO ia T n.a. non negaivo che esprime a uraa aeaoria a un isane iniziae fino a verificarsi i un eerminao eveno i inica con isane iniziae T ha eerminazioni: < < 2 < K Esempi: osservazioni i urae con misurazioni arroonae osservazioni i urae raggruppae in inervai si consiera come uraa i puno meio i ciascun inervao urae misurae con un numero inero i unià per esempio, urae misurae in seimane 7

8 Moeo i sopravvivenza iscreo i efiniscono e probabiià q P T + esseno q i efinisce i ha,, 2, K Funzione i sopravvivenza P T > q, è una funzione non crescene, coninua a esra; infai, se < + si ha P T > q > per assegnare a isribuzione i probabiià e n.a. T è equivaee assegnare e probabiià oppure a funzione i sopravvivenza > 8

9 Moeo i sopravvivenza iscreo i efinisce i ha Funzione i rischio o hazar funcion P T T q λ,, 2, K esseno e λ,, 2, K i ha aora che, assegnae e probabiià, è assegnaa a funzione i sopravvivenza e è pure assegnaa a funzione i rischio Poiché q si ha q λ,, 2, K 9

10 Moeo i sopravvivenza iscreo Proviamo che assegnaa a funzione i rischio risua assegnaa anche a funzione i sopravvivenza. ia + < si ha 2 L Esseno λ, K 2,, si oiene λ λ λ λ L È equivaene assegnare a isribuzione i probabiià e n.a. T assegnano a funzione i sopravvivenza oppure a funzione i rischio

11 Moeo i sopravvivenza iscreo Osservazione: inerpreazione e significao i λ i ha, > > > > > > > T T P T P T T P T P T P i può aora inerpreare a formua > > T T P λ come prooo i probabiià conizionae i sopravvivenza.

12 Rievazione ei ai per a sima i un moeo i sopravvivenza RILEVAZIONE DEI DATI PER LA TIMA DI UN MODELLO DI OPRAVVIVENZA I ai per anaisi ea sopravvivenza si icono compei se per ogni iniviuo osservao si osserva isane iniziae e eveno; è quini osservaa a uraa ime o even aa. i possono avere ue ipi i rievazioni: e rievazioni rasversai cross-seciona suies e rievazioni ongiuinai ongiuina suies Rievazioni rasversai i iniviua un gruppo i suio, cioè un gruppo i iniviui per i quai ineressa suiare a sopravvivenza per es. a popoazione i una cera zona o anche i un inera nazione, gi assicurai i una compagnia i assicurazione, gi iscrii a un fono pensione,. i fissa un perioo i osservazione urane i quae viene osservao i gruppo i suio. A inizio e osservazione ci saranno iniviui già preseni, ai quai se ne aggiungeranno ari urane i perioo i osservazione; acuni iniviui possono uscire per causa iversa a ecesso urane osservazione; ci saranno iniviui ancora in via a ermine e osservazione. 2

13 Rievazione ei ai per a sima i un moeo i sopravvivenza Tipicamene, nee rievazioni rasversai, i ai sono incompei: se non è osservao isane iniziae, osservazione è ea roncaa a sinisra se non è osservao eveno, osservazione è ea censuraa a esra Rievazioni ongiuinai ono ipicamene usae negi sui cinici, quano e urae, a isane iniziae a verificarsi e eveno, non sono moo unghe. i seeziona un gruppo i suio, cioè un gruppo i iniviui per i quai ineressa suiare a sopravvivenza, e si osserva i gruppo fino a quano per ui gi iniviui è osservao eveno e sono quini osservae e urae a isane iniziae a verificarsi e eveno. Negi sui cinici, si possono spesso avere ai compei, se per ogni iniviuo è osservao isane iniziae, che può coinciere con una sessa aa i caenario, ma non necessariamene. i para i cohor compee esign. e si ermina osservazione prima i avere osservao ui gi eveni, si hanno ai incompei censurai a esra. Infai, se per acuni iniviui non si osserva eveno, si perono acune informazioni sua sopravvivenza ea coeivià oggeo i suio. 3

14 Funzione i sopravvivenza empirica FUNZIONE DI OPRAVVIVENZA EMPIRICA Rievazione ongiuinae con ai compei Osservazioni: n iniviui osservai; < < K < i efinisce funzione i sopravvivenza empirica ˆ n n 2 n urae osservae < < + n,,2, K, n La funzione i sopravvivenza empirica fornisce una sima ea funzione i sopravvivenza ia N i n.a. i iniviui in via a isane a parire a N n iniviui osservai a isane Lo simaore ~ e quae a funzione i sopravvivenza empirica è a sima per ~ N n è 4

15 Funzione i sopravvivenza empirica Proprieà eo simaore ~ Ne ipoesi che e urae aeaorie i via egi N n iniviui osservai a isane siano uguamene isribuie e inipeneni con funzione i sopravvivenza > i n.a. N ha isribuzione Binomiaen, i ha aora E N n Var N n Risua quini che ~ è uno simaore non isoro, infai per ogni > si ha, fissao i ha inore E ~ N E Var Quini una sima i Var ~ n ~ N Var n n è aa a Var ˆ ~ ˆ ˆ n 5

16 La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo LA TIMA DI KAPLAN-MEIER PER LA FUNZIONE DI OPRAVVIVENZA IN UN MODELLO DICRETO Rievazione rasversae: per ogni iniviuo si osserva isane iniziae; acuni iniviui anno uogo a osservazioni censurae a esra. Quini i ai sono incompei. Osservazioni: n iniviui osservai; m ecessi osservai ae eà < 2 < K <, 2, K, numeri i ecessi osservai ae eà, 2, K, + + K+ 2 n m numero i osservazioni censurae ia eà i ingresso in osservazione corrisponene a isane iniziae i riparisce inervao [ + [ ia c, [ [, +, negi inervai,, K, con +,, K, + m, i numero i osservazioni censurae ne inervao [ [, + c + c + K+ c n m 6

17 La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo Con riferimeno a inervao [ [,,, K,, inichiamo con, + 2 K c e eà i uscia ee c osservazioni censurae ia n,, K,, i numero i iniviui in via a eà che anno uogo ai i ha ecessi n + + K + + c + c + + c, K, + + K Obieivo: simare a funzione i riparizione F e n.a. T uraa aeaoria i via a eà Disponeno ee osservazioni: ecesso a eà,, K, osservazione censuraa a eà i,, K,, i, K, c 7

18 La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo Ne ipoesi che i numeri aeaori osservai siano socasicamene inipeneni e F a verosimigianza ee uguamene isribuii con funzione i riparizione osservazioni è esseno F L F c [ F F ] F i im, K, [ F F ] [ ] Obieivo: eerminare a sima Fˆ i massima verosimigianza ea funzione i riparizione F, Osservazione: L F F >, K Quini a verosimigianza ivena inore F è massimo se F F L i [ F F ] F i i [ ], quini c 8

19 9 La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo Osservazioni: F è a funzione i riparizione i un n.a. con isribuzione iscrea e eerminazioni,, 2, K per simare F si raa quini i simare e probabiià F F q,, K ovvero i simare a funzione i rischio F F F q λ λ,, K esseno F i i,, se se 2 K L λ λ λ λ i oiene aora a seguene espressione per a verosimigianza [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] n c F F L λ λ λ

20 La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo Daa a verosimigianza L λ [ λ ] n Osservazione ia n [ ] λ λ è proporzionae aa verosimigianza i un n.a. con isribuzione Binomiae n, λ D i n.a. ei ecessi a eà a parire agi verifichino i ecessi n iniviui in via a eà prima che si i ipoizza per D a isribuzione Binomiae n, λ La sima i massima verosimigianza i λ è λˆ n 2

21 2 La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza è aora n ˆ ˆ λ Osservazione Poiché > > T T P λ si può aora inerpreare a formua n ˆ ˆ λ come prooo ee sime ee probabiià conizionae i sopravvivenza. La sima i massima verosimigianza, i Kapan-Meier, ea funzione i riparizione F è aora n F ˆ ˆ

22 La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo Esempio Osservazioni La sima i Kapan-Meier n c Ŝ n 8,5 7,85743, ,666667, ,5 3 2,666667,38952 Fˆ è efinia per e eà massima osservaa è un ao censurao, cioè se > Fˆ non è efinia per > e è F ˆ < ; una possibiià è efinire Fˆ Fˆ per > ma ciò compora a presenza i masse aereni a + c, a La sima i Kapan-Meier Fˆ può essere efinia anche in presenza i osservazioni roncae a sinisra, cioè i osservazioni per e quai non si è osservao isane iniziae esseno enrae in osservazione a un eà maggiore i. Tuavia, in a caso Ŝ è a sima ea funzione i sopravvivenza conizionaa aa eà minima i ingresso osservaa min, esseno min < ; quini è una sima i P T > T > / min min 22

23 La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo Proprieà eo simaore i Kapan-Meier ia si ha ove ˆ è a sima i Kapan-Meier i, n p con p λ P T > T > ˆ pˆ esseno pˆ pˆ è una sima ea probabiià P T T >,, K, Inichiamo con ~ ~ p o simaore e quae Ŝ è a sima., n > Per vauare speranza maemaica e varianza eo simaore ~ ipoesi sui n.a. p~,, K, occorre formuare ee 23

24 La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo Osservazione ia D ne ipoesi che i n.a. ei ecessi a una popoazione i n iniviui in via a eà D abbia isribuzione Binomiae n, q si ha si ha inore che i n.a. E D n q Var D n q q D n ha isribuzione Binomiae scaaa e è D E n q D Var n q n q 24

25 La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo ia { n, n,,, } I o sao i informazione sugi iniviui preseni ae eà, K n, K, subio prima che si osservino i ecessi,, K, i formuano e segueni ipoesi conizionae a { n, n,,, } I sui n.a. K n Ipoesi D ~ p n,, K, Conizionaamene a { n, n,,, } e siano D I, i n.a. K ~ p n,, K, n ~ p I p Var ~ p E siano socasicamene inipeneni p p I, K, n 25

26 La sima i Kapan-Meier per a funzione i sopravvivenza in un moeo iscreo ~ ~ p Risua aora che è uno simaore non isoro, infai La varianza eo simaore ~ E ~ I E ~ p I p è [ ] ~ 2 Var I e può essere approssimaa a Var ~ 2 I [ ] p + p n p p n aa quae si oiene a formua i Greenwoo, che fornisce una sima ea varianza eo simaore i Kapan-Meier Var ˆ ~ I n 2 n n 26

27 La sima i Neson-Aaen per a funzione i sopravvivenza LA TIMA DI NELON-AALEN PER LA FUNZIONE DI OPRAVVIVENZA Fornisce una formua approssimaa per a sima ea funzione i sopravvivenza i Kapan-Meier. Daa sima i Kapan-Meier ea funzione i sopravvivenza si oiene og ˆ og n Consierano approssimazione ineare ea funzione f segueni approssimazioni: og n n ˆ n og si oengono e i oiene aora a seguene sima ea funzione i sopravvivenza, ea sima i Neson-Aaen ˆ ep n 27

28 I moeo auariae per a escrizione ea sopravvivenza IL MODELLO ATTUARIALE PER LA DECRIZIONE DELLA OPRAVVIVENZA i raa i un moeo i ipo coninuo generamene i ipo non paramerico, ovvero con funzione i sopravvivenza escria meiane una avoa i sopravvivenza o avoa i moraià. ia T n.a. non negaivo che esprime a uraa aeaoria i via aa nascia i efiniscono Funzione i sopravvivenza P T >, Funzione i riparizione F P T, Ne caso i isribuzione oaa i funzione i ensià f coninua si ha: inore F f f u u F 28

29 I moeo auariae per a escrizione ea sopravvivenza i efinisce inensià isananea i moraià o forza i moraià i ha µ im + T > P T f µ a cui f µ Osservazione: a meno i infiniesimi i orine superiore a primo si ha i ha inore a cui si oiene µ P T + T > f f µ n ep µ u u è aora equivaene assegnare i moeo i sopravvivenza araverso a funzione i sopravvivenza oppure inensià isananea i moraià 29

30 I moeo auariae per a escrizione ea sopravvivenza i efinisce via meia aa nascia i ha ia + T e E F T F F e E T n.a. non negaivo che esprime a uraa aeaoria i via per un iniviuo i eà > Poiché T T T > si può esprimere a isribuzione i probabiià e n.a. T araverso a isribuzione i T ia F P T, si ha + F 3

31 I moeo auariae per a escrizione ea sopravvivenza i efinisce a funzione i sopravvivenza p P T > F + i efinisce a funzione i riparizione ea isribuzione conizionaa q p i può esprimere inore a funzione i ensià conizionaa f F F + f + Ricorano che inensià isananea i moraià reaiva aa isribuzione i T è + T > f P T µ im per efinire inensià isananea i moraià reaiva aa isribuzione i T si consiera + T > f f + P T im p + µ + quini inensià isananea i moraià ea isribuzione conizionaa coincie con inensià isananea i moraià ea isribuzione i T 3

32 I moeo auariae per a escrizione ea sopravvivenza Poiché si ha f f f + p p µ + µ + + Osservazione: a meno i infiniesimi i orine superiore a primo si ha P T + T > µ + i efinisce via meia resiua i una persona i eà e E + T F i ha e E T F F p + 32

33 I moeo auariae per a escrizione ea sopravvivenza i efinisce asso cenrae i moraià reaivo a inervao i eà, + + µ + m + Più in generae si può efinire i coefficiene i moraià reaivo a inervao i eà, + n n m n + µ + n + 33

34 Tavoe i moraià TAVOLE DI MORTALITÀ In ambio auariae a funzione i sopravvivenza è generamene escria meiane una avoa i moraià o avoa i sopravvivenza. La avoa i sopravvivenza può essere inerpreaa come a abuazione sugi ineri i una efinia per, quini i ipo coninuo. funzione i sopravvivenza,9972 2,995 M M ω,5 ω ω è ea eà esrema e è ae che ω > e ω Definiamo e granezze che compaiono in una avoa i sopravvivenza. 34

35 Tavoe i moraià q L. 828, ,, , 78, , ,5, , 78, , ,, ,5 77, , ,, ,5 76,55 M M M M M M M M 9 3 5,5 22,5, ,, 5 5, 7,5 2, 7,5,5 i efiniscono e segueni granezze Def.,, K, ω ove è eo raice ea avoa e è fissao opporunamene, per esempio. esprime i numero aeso i iniviui in via a eà, a parire a una coeivià i neonai, ne ipoesi che a sopravvivenza sia escria aa funzione i sopravvivenza m T o e Def. +,, K, ω esprime i numero aeso i ecessi ne inervao i eà ], +] 35

36 Tavoe i moraià i ha + q p + Per efinire e segueni granezze L m o T e occorre assumere che a isribuzione i probabiià, espressa araverso a funzione i,, sia oaa i funzione i ensià coninua sopravvivenza i ha aora f µ p f + + f f + p + e a quese si può cacoare a via meia aa nascia e e a via meia resiua e i un iniviuo i eà µ 36

37 Tavoe i moraià i ha e ω ω ω i efinisce Def. T Poiché ω esprime a via meia aa nascia, aora e T T NB: a non confonere con i n.a. uraa aeaoria i via aa nascia rappresena i numero aeso i anni vissui a una coeivià i neonai 37

38 Tavoe i moraià Anaogamene si ha e ω p ω + ω + ω y y i efinisce Def. T Poiché ω y y T e esprime a via meia resiua i un iniviuo i eà, aora T NB: a non confonere con i n.a. uraa aeaoria i via per un iniviuo i eà rappresena i numero aeso i anni vissui a una coeivià i iniviui i eà 38

39 Tavoe i moraià Per i asso cenrae i moraià reaivo a inervao i eà, + si ha m + µ f i efinisce + Def. L Poiché L T T+ L esprime i numero aeso i anni vissui a una popoazione i, ra e eà e + iniviui i eà i ha aora m L 39

40 Tavoe i moraià Osservazione: poiché nea avoa i sopravvivenza a funzione è efinia sugi ineri,, K, ω, per cacoare L + occorre approssimare inegrae. e si approssima inegrae meiane area e rapezio, ovvero si consiera inerpoane ineare per efinire a funzione + per,, si oiene a seguene approssimazione L ω ω y Esseno inore T y L + L+ + L + L si oiene a seguene approssimazione ω + + h T 2 h + h+ e quini approssimazione ea via meia resiua e meiane a via meia compea o e ω h + h h+ 4

41 Tavoe i moraià Osservazione poiché si ha L per,2, K, ω 2 e esseno P T P T > P T >, T > P T > T > > P T > p per,2, K, ω si oiene p p2 L p per,2, K, ω Quini a sima ea funzione i sopravvivenza, in un moeo non paramerico, porà essere oenua meiane a sima ee probabiià conizionae i sopravvivenza p ovvero meiane a sima ee probabiià conizionae i ecesso q. 4

42 ima ee probabiià i ecesso meiane o simaore i Kapan-Meier Obieivo: TIMA DELLE PROBABILITÀ DI DECEO MEDIANTE LO TIMATORE DI KAPLAN-MEIER simare e probabiià q,,, K, ω Consieriamo a generica casse i eà ], +] casse i eà esseno e supponiamo i avere osservao in ae, 2, K, ecessi ae eà, 2, K, con < < 2 < K < + n,, K,, i numero i iniviui in via a eà che hanno ao uogo ai ecessi i noi che rappresena isane iniziae La sima i Kapan-Meier per a probabiià q è qˆ K pˆ n 42

43 Esposi a rischio EPOTI AL RICHIO Nea avoa i sopravvivenza sono riporae e segueni granezze q probabiià che un iniviuo in via a eà, ecea con eà esaa in ], +] m asso cenrae i moraià, è un inensià L Per esprimere q ao ussisono e segueni reazioni L m e viceversa occorre sabiire un egame ra e L + + y T T + + y L esprime i numero aeso i anni vissui ne inervao i eà ], +] agi iniviui in via a eà ; è anche eo esposizione o numero i esposi a rischio, + ne inervao i eà ] ] + f 43

44 Esposi a rischio Per giusificare formamene ae inerpreazione i L consieriamo i segueni n.a. Noa: i T uraa aeaoria i via e iniviuo i, i, 2, K, i T ha eerminazioni ],] Inicao con, ne inervao i eà ], +] i T a uraa aeaoria i via e i-esimo iniviuo in via a eà si ha T min T, i i Ne ipoesi che e urae aeaorie i via egi iniviui siano uguamene isribuie F si ha con funzione i riparizione P T i I numero aeso a eà è aora F < < L i anni vissui ne inervao i eà ], +] i e è inore P T F p agi iniviui in via E T i i E T i i + F + + p f f + + i 44

45 45 Esposi a rischio Poso f a uraa aesa i via i ciascun iniviuo che ecee in ] ], + aa reazione + + f L si oiene L i possono esprimere quini e segueni reazioni q q L m m m q + e 2 ciò si ha in ipoesi i isribuzione uniforme ei ecessi si ha q q L m 2 m m q 2 +

46 Compeameno e moeo i sopravvivenza per eà non inere COMPLETAMENTO DEL MODELLO DI OPRAVVIVENZA PER ETÀ NON INTERE Nea avoa i moraià sono riporai,, K, ω In moi casi si ha a necessià i efinire per quasiasi eà Obieivo: efinire +,,, K, ω e ae che + coninua in [,] e erivabie in, Inerpoazione ineare o ipoesi i isribuzione uniforme ei ecessi a + b In ae ipoesi si ha sr p + r s r q q s q q s q + µ f q q L

47 Compeameno e moeo i sopravvivenza per eà non inere Inerpoazione esponenziae o ipoesi i inensià i moraià cosane + a b p In ae ipoesi si ha µ + og p s r p+ r e µ sr con µ og p µ f e µ L m µ µ 47

48 48 Compeameno e moeo i sopravvivenza per eà non inere Inerpoazione iperboica b a In ae ipoesi si ha r r q r q + p + + q p q + + µ noa: ecrescene con

49 Moeo i sopravvivenza seezionao MODELLO DI OPRAVVIVENZA ELEZIONATO i uiizza un moeo seezionao per escrivere a uraa aeaoria i via a un assegnaa eà in cui iniviuo è seezionao; per esempio, ne caso ee assicurazioni, eà i seezione è eà inera i ingresso in assicurazione. Funzione i sopravvivenza ;,, a, a +, K Ne caso i isribuzione oaa i funzione i ensià coninua, per assegnare a isribuzione i probabiià si può assegnare inensià isananea i moraià i ha µ [ ] n a cui si oiene ; p µ,, a, a +, K [ ] ; ep µ u [ ] [ ] i efinisce aspeaiva i via per una persona enraa in assicurazione a eà e + [ ] ; u 49

50 Moeo i sopravvivenza seezionao Una avoa i moraià seezionaa è efinia a un insieme i sequenze e ipo [ a] [ a] + [ a] + 2 [ a+] [ a+ ] + [ a+ ] + 2 [ ] [ ] + [ ] + 2 ove [ ] [ ] + ; a, a +, K,, K [ ] è a raice ea avoa i sopravvivenza egi assicurai enrai in assicurazione a eà [ ] + rappresena i numero aeso i assicurai in via a eà + a parire a una coeivià i [ ] assicurai enrai in assicurazione a eà ; è aniuraa i ha p[ ] [ ] + q[ ] p[ ] [ ] 5

51 Moeo i sopravvivenza seezionao Per effeo ea seezione sua moraià si ha q [ ] < q[ ] + < q[ 2] + 2 < K Poiché effeo ea seezione sua moraià ene a esaurirsi opo un cero numero i anni, a un cera aniuraa in poi a sopravvivenza viene faa ipenere soano a eà raggiuna q[ ] < q[ ] + < q[ 2] + 2 < K < q[ ] + q[ ] + + q[ 2] K q[ a] + a i cosruiscono aora e avoe i moraià seezionae rioe [ a] [ a] + [ a] + 2 [ a] + a+ [ a+] [ a+ ] + [ a+ ] + 2 [ a+ ] + a+ + M M [ ] [ ] + [ ] + 2 [ ] + + M M ove [ a] è a raice ea avoa e [ ] è ae che ; a +, a + 2, K [ ] + 5

52 Riferimeni bibiografici RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Kein. J.P., Moeschberger M. L., urviva Anaysis Techniques for Censore an Truncae Daa, pringer-verag, 997 Cap. 2, 3, 4 D. Lonon, urviva moes an heir esimaion, Ace pubicaions, 997 Cap., 2, 3 E. Piacco, Maemaica e ecnica auariae ee assicurazioni sua uraa i via, Lin, 22 Cap. 2, App. A 52