Il modello del duration gap

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1 Slides rae da: Andrea Resi Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamenazione, gesione Egea, 2008

2 AGENDA Una conabilià a valori di mercao La duraion Il duraion Gap I limii del modello del duraion gap Il convexiy gap Esercizi 2

3 Una conabilià a valori di mercao Consideriamo il seguene sao parimoniale semplificao della banca Alfa (2006): Aivià m Passivià m Muui decennali a asso fisso (5%) 100 CD a asso fisso a 2 anni (3%) 90 Parimonio 10 Toale 100 Toale 100 Senza alcuna variazione di assi il MI sarebbe: Il ROE della banca sarebbe il 23%. MI 2007 IA2007 IP2007 5% 100 3% ,7 2,3 Senza alcuna variazione di assi il bilancio del 2007 sarebbe: Aivià m Passivià m Cassa Muuo decennale a asso fisso (5%) 2,3 100 CD a asso fisso a 2 anni (3%) Uile neo Parimonio 90 2,3 10 Toale 102,3 Toale 102,3 3

4 Una conabilià a valori di mercao Si supponga un aumeno dei assi dell 1% al primo gennaio del Il margine di ineresse della Banca Alfa non subirebbe alcuna variazione nel 2007 e nel 2008 rispeo a quano aeso. Aivià e passivià della banca sono infai a asso fisso. Il MI risula ancora pari a 2,3 per il 2007 e per il Nel 2009 la Banca Alfa si rifinanzia alle nuove condizioni di mercao, rinnovando i cerificai di deposio con alri CD, a un asso di ineresse superiore di un puno percenuale (4%). Il MI relaivo al 2009 è dunque: Il ROE è invece pari al 9,59%. MI 2009 IA2009 IP2009 5% 100 4% 90 53,6 1, 4 Seguendo la logica del repricing gap, l effeo di una variazione dei assi avvenua all inizio del 2007 sulla reddiivià della banca viene riconosciua solo due esercizi dopo che la variazione ha avuo luogo, mediane una variazione del MI. 4

5 Una conabilià a valori di mercao Valuiamo ora le aivià e le passivià della banca a valori di mercao: Un aumeno dei assi di ineresse produce una riduzione del valore di mercao delle aivià e passivià finanziarie a asso fisso VM Dopo l aumeno dei assi dell 1%(al 6%), il valore di mercao del muuo alla fine del 2007 è (via residua = 9 anni, asso 5%): muuo , % 16% 9 Il valore dei cerificai di deposio a fine 2007 sarebbe (via residua = 1 anno, ineresse pagao sul CD 3%): 92,7 VM CD 89,13 1 4% DVM B =DVM A -DVM P =(100-93,2)-(90-89,13) =5,93 5

6 Una conabilià a valori di mercao Il bilancio a valori di mercao alla fine del 2007 sarebbe: Aivià m Passivià m Cassa Muuo a asso fisso (5%) 2,3 93,20 CD a asso fisso (3%) Uile (Perdia) di esercizio Parimonio 89,13 (3,63) 10 Toale 95,5 Toale 95,5 Seguendo la logica di mercao l uile/perdia di esercizio è dao da: U MI DVM MI DVM DVM 2007 B A P U2007 (5 2,7) 93, , ,63 La perdia di 3,63 rappresena quindi la risulane ra una minusvalenza nea di 5,93 (daa dal saldo ra la variazione di valore dell aivo e quella del passivo) e ricavi nei da ineressi per 2,3. L effeo della variazione al rialzo di un puno percenuale dei assi, verificaasi nel 2007, viene ora riconosciuo nello sesso esercizio in cui essa si è verificaa. 6

7 Una conabilià a valori di mercao A fine 2008: Il valore del CD, in scadenza, è 90 (imporo da rimborsare). Lo sao parimoniale a fine 2008 è quindi: Il valore di mercao del muuo (via residua 8 anni), è: VM muuo , % 16% Aivià m Passivià m Cassa Muuo a asso fisso (5%) 4,6 93,79 CD a asso fisso (3%) Uile (Perdia) di esercizio Parimonio 90 2,02 6,37 Toale 98,39 Toale 98,39 L uile/perdia di esercizio è dao da: U2008 MI DVM B (5 2,7) 93,79 93, ,13 2,02 8 7

8 La duraion La duraion di uno srumeno finanziario è daa dalla media arimeica delle scadenze dei flussi di cassa ad esso associai, dove ogni scadenza viene ponderaa per il rapporo fra il valore auale del flusso associao a quella scadenza e il prezzo (o valore di mercao oale) dello srumeno finanziario Flusso di cassa -esimo Scadenza dell aivià, ossia dell ulimo flusso di cassa D T 1 F 1 P y Tasso di rendimeno effeivo a scadenza (yield o mauriy) richieso dal mercao sulla scadenza Scadenza, espressa in anni, del singolo flusso di cassa Prezzo o valore di mercao dello srumeno in esame 8

9 Il calcolo della duraion Al 1/1/2007 consideriamo un iolo obbligazionario che paga una cedola annuale del 6%, con via residua di quaro anni (scadenza 31/12/2010). Il rendimeno effeivo a scadenza richieso dal mercao è pari al 6%. Il prezzo è allora uguale al valore di rimborso: Daa 31/12/07 31/12/08 31/12/09 31/12/10 Flusso Valore auale 5,660 5,340 5,037 83,962 Prezzo el quel 100,00 Per calcolare la duraion, pesiamo ogni scadenza con un peso uguale al rapporo fra valore auale del flusso corrispondene e prezzo del iolo Scadenza in anni (a) Toale Flusso (b) Valore auale (c) 5,660 5,340 5,037 83, ,00 Valore auale/prezzo (d) 0,0566 0,0534 0, , ,00 (a) x (d) = (e) 0,0566 0,1068 0,1511 3,3585 Duraion = ( (e)) 3,6730 9

10 La duraion modificaa Misurare la sensibilià del suo prezzo a variazioni nel asso di rendimeno di mercao. Pariamo dalla relazione ra prezzo di un iolo (P) e il asso di rendimeno a scadenza richieso dal mercao (y): P T 1 1 F y Dividendo poi per il prezzo P si oiene: Derivando rispeo al asso di rendimeno T dp y D dy P 1y P 1y 1 F dp 1 F 2 F T F... dy y y y 1 2 T 2 3 T dp 1 F1 2 F2 T F... dy y y y y Cioè: dp D dy P 1 y n T Duraion Modificaa 10

11 La duraion modificaa La duraion modificaa consene di quanificare la variazione percenuale di prezzo corrispondene a una variazione (infiniesima) dei rendimeni di mercao. Uilizzando variazioni del asso di rendimeno finie (Dy), si oiene una sima approssimaa della conseguene variazione percenuale del prezzo: DP D D y P 1 y La duraion è ano minore quano maggiori sono il numero e la consisenza dei flussi inermedi. Se un iolo obbligazionario ha via residua più breve e/o cedole di maggiore imporo, a frone della sessa variazione dei assi di mercao, regisra una variazione di prezzo più conenua, grazie a una minore duraion. La duraion è espressa in unià emporali, ossia generalmene in anni. Si può dimosrare che la duraion di un porafoglio non è alro che la media delle duraion dei singoli ioli che lo compongono, ognuno ponderao per il proprio valore di mercao. 11

12 Il duraion gap Con la duraion è possibile simare la variazione che il valore di mercao delle aivià e delle passivià della banca subirebbe a seguio di una variazione dei assi. DVM A DA DyA DM A DyA DVM A VM A DM A DyA VM 1 y A DVM VM P P A DP Dy DM Dy 1 y P P P P Duraion Modificaa DVM VM DM Dy P P P P La variazione del valore di mercao del parimonio della banca è quindi: DVM DVM DVM VM DM Dy VM DM Dy B A P A A A P P P Assumendo che le variazioni dei assi di rendimeno medi dell aivo e del passivo siano uguali, si oiene: DVM VM DM VM DM Dy Leva finanziaria VM P / VM A B A A P P DVM DM LDM DVM Dy DG VM Dy B A P A A Duraion Gap 12

13 Il duraion gap Secondo il modello del duraion gap la variazione del valore di mercao del parimonio conseguene a una variazione dei assi è una funzione di re elemeni: 1. Il valore di mercao del oale dell aivo 2. La dimensione della variazione dei assi di ineresse 3. La differenza fra la duraion modificaa dell aivo e quella del passivo, correa per la leva finanziaria della banca, ovvero il duraion gap La banca è immunizzaa dal rischio di asso se il duraion gap è nullo: se il valore neo iniziale è pari a zero (VM B = VM A VM P = 0), ciò accade quando la sensibilià del valore delle aivià è uguale a quella delle passivià (DM A = DM P ) Se, più realisicamene, il valore delle aivià è superiore a quello delle passivià (VM A >VM P e VM B >0), ciò accade per una duraion del passivo superiore a quella dell aivo (ma nella realà è più probabile che DM A > DM P ) 13

14 Il duraion gap Calcoliamo la duraion modificaa dell aivo e del passivo e il duraion gap della Banca Alfa. Collochiamoci al 31/12/2007, un aimo prima dell aumeno dei assi. F 1 y 1 5% 1 5% 9 9 A 8 1 A DA Dmuuo 9 7,46 VM DA 7, 46 DM A 7,11 1 ya 15% F 1 1 yp DP DCD 1 VM 1 P DM P DP 1 0,97 1 y 13% DG DM L DM 7,110,90 0,97 6, 23 Duraion Gap A P P 14

15 Il duraion gap È ora possibile simare la variazione che subirebbe il valore di mercao del parimonio della banca a seguio di un rialzo del 1% dei assi di mercao. DVM DG VM Dy 6, % 6,23 B A In corrispondenza di un aumeno dei assi di un puno percenuale il valore di mercao della Banca Alfa subirebbe una riduzione isananea di 6,23 milioni di euro, olre il 60% del suo valore di parenza. Il risulao oenuo è diverso dalla minusvalenza di 5,93 milioni di euro calcolaa nella slide 5. L uilizzo della duraion per simare l effeo sul valore di un aivià finanziaria di variazioni finie dei assi di mercao rappresena un approssimazione soggea a errore. 15

16 I problemi del modello del duraion gap 1. Poliiche di immunizzazione: anche se una banca riesce ad annullare il suo duraion gap, mediane l uilizzo di srumeni derivai o poliiche di risruurazione del bilancio, l efficacia di quesa sraegia di immunizzazione dal rischio risulerà limiaa nel empo, per diversi moivi: La duraion dell aivo della banca può variare, nel empo, in modo diverso da quella del passivo, modificando così il duraion gap della banca. Solano se la variazione dei assi si verifica subio dopo l immunizzazione è verosimile che il valore di mercao del parimonio della banca non subisca alcuna variazione. Le variazioni dei assi di ineresse modificano la duraion di aivià e passivià, modificando così il duraion gap della banca. Le poliiche di immunizzazione dovrebbero essere ricalibrae ogni vola che si verifica una variazione nel livello dei assi. 16

17 I problemi del modello del duraion gap 2. Cosi connessi alle poliiche di immunizzazione: simili poliiche richiedono di modificare la duraion, e dunque la scadenza, delle aivià e delle passivià della banca. Le poliiche di risruurazione del bilancio necessarie allo scopo possono comporare cosi rilevani o la rinuncia a opporunià di impiego o di raccola reddiizie. In realà, quese poliiche possono essere realizzae anche mediane il ricorso alla negoziazione di srumeni derivai quali swap, opzioni e fuures su assi di ineresse. 3. Grado di approssimazione: poiché la duraion è fondaa su un approssimazione lineare della funzione convessa che lega il valore di mercao di uno srumeno finanziario al suo asso di rendimeno, essa commee un errore di sima ano maggiore quano più fore è la variazione dei assi di mercao. Queso problema può essere superao ricorrendo a una misura del grado di convessià della funzione menzionaa. Al duraion gap può dunque essere affiancao il convexiy gap. 17

18 Il convexiy gap Il convexiy gap permee una sima più accuraa della variazione del valore di mercao del parimonio della banca, enendo in considerazione anche il grado di curvaura della relazione. 2 DVM VM DM VM DM Dy VM CM MV CM B A A P P A A P P La convexiy e la convexiy modificaa sono calcolae come: T 1 y 2 C 1 F P 2 DVM B DG VM A Dy CG VM Dy A 2 C 1 y 2 Convexiy modificaa dell aivo e del passivo CG CM LCM Il convexiy gap riflee il grado di dispersione dei flussi di cassa delle aivià e delle passivià della banca aorno alla propria duraion A Dy P 2 18

19 I problemi del modello del duraion gap 4.Variazioni uniformi dei assi di ineresse aivi e passivi: come il repricing gap anche il duraion gap si basa su quesa ipoesi. In realà una variazione del asso di mercao può rifleersi in variazioni differenziae dei assi aivi e passivi (basis risk). È possibile simare il diverso grado di sensibilià dei assi aivi (β A ) e passivi (β P ) al asso di riferimeno La variazione nel valore del parimonio della banca a seguio di una variazione del asso di riferimeno sarà: BDG DM DM L DVM B BDG VM ADy A A P P bea duraion gap L impao di una variazione del asso di mercao di riferimeno sul valore di mercao del parimonio neo della banca dipende da: rapporo fra duraion sensibilià media valore delle modificaa media dei assi aivi e passivi alle passivià e valore di aivo e passivo variazioni del asso di mercao delle aivià 19

20 Esercizi/1 1.Si consideri un obbligazione a cedola fissa con valore nominale di euro, che paga un coupon semesrale del 3% e che scadrà ra re anni e due mesi. Ipoizzando che la curva dei assi di mercao sia piaa in corrispondenza del 4% (composo annualmene), si calcolino il valore correne e la duraion modificaa del iolo; sulla base della duraion, si simi l impao di una riduzione del 2% nei assi di mercao sul valore del bond. Infine, si consideri una seconda obbligazione, con la sessa scadenza, un valore nominale di euro e una cedola semesrale del 1,5%. Di nuovo, se ne calcoli il valore correne e la duraion modificaa. Si spieghi infine perché i due ioli hanno valore simile, pur avendo duraion modificae differeni. Si dica poi se l effeo sul secondo iolo di un aumeno del 2% nei assi di mercao sarebbe più o meno consisene che per il primo, e perché. 20

21 Esercizi/2 2.Usando i dai nella Tavola di pagina successiva: si calcoli il valore neo del parimonio della banca; si calcoli il duraion gap della banca; si calcoli il convexiy gap della banca; sulla base del solo duraion gap, si simi l impao di un aumeno di 50 puni base della curva dei assi sul valore neo della banca; sulla base di duraion gap e convexiy gap, si simi l impao di un aumeno di 50 puni base della curva dei assi sul valore neo della banca; si commenino brevemene i risulai 21

22 Esercizi/2 Aivià Valore Duraion modificaa Convexiy modificaa Aperure di credio Tioli a asso variabile 600 0,25 0,1 Presii a asso fisso 800 3,00 8,50 Muui ipoecari a asso fisso ,50 45 Passivià Valore Duraion modificaa Convexiy modificaa Coni correni CD a asso fisso 600 0,5 0,3 Obbligazioni a asso fisso ,7 22