Strutture resistenti per forma. Arco Fune Volta

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1 Strutture resistenti per forma Arco Fune Volta Cupola

2 Arco La sollecitazione di compressione rappresenta praticamente l unica sollecitazione cui la pietra e la muratura sono in grado di resistere. 2

3 Arco L arco è un elemento strutturale in grado di incanalare, con la sua traiettoria curvilinea, le sollecitazioni prodotte dai carichi trasformandole in forze prevalenti di compressione. 3

4 Funi Strutture soggette solo a sforzo normale (trazione) 4

5 funi Strutture soggette solo a sforzo normale (trazione) 5

6 Volte Le volte fiorirono in età romana come naturale derivazione dell arco; mentre quest ultimo era destinato a delimitare aperture nei muri, le volte consentivano la copertura degli ambienti. Copyright 200 Zanichelli Editore SpA, Bologna [6237] La loro realizzazione era basata sulla tecnica costruttiva delle murature in calcestruzzo, cioè mattoni o blocchi di pietra assemblati con un legante a base di calce. La qualità del calcestruzzo era garanzia della solidità delle volte, che gradualmente conquistarono leggerezza e dimensioni sempre maggiori. Le tipologie classiche sono distinte in volte semplici e volte composte. 6

7 Volte, cupole 7

8 Volte, cupole 8

9 Volte 9

10 Cupole Le cupole sono in genere caratterizzate da una simmetria centrale o dalla rotazione di un profilo intorno a un asse verticale. L esempio più semplice è costituito da una calotta semisferica. tamburo Spesso le cupole poggiano su un tamburo di forma prismatica o cilindrica, che poggia sulle strutture di base. Il tamburo, oltre a dare maggiore visibilità e dignità a una cupola più alta, serve anche all apertura di finestre che illuminano l ambiente sottostante. Per raccordare una base quadrata con un tamburo ottagonale vengono inseriti dei pennacchi, che possono avere forma sferica, conica oppure più complessa. 0

11 Cupole

12 Cupole Sulla sommità (cervello) della cupola si apre molto spesso una lanterna, che fornisce una punto d illuminazione centrale e crea un elemento decorativo terminale alla superficie esterna. Altri punti d illuminazione possono essere inseriti nella stessa superficie della cupola mediante aperture denominate occhi. 2

13 Cupole Pantheon, Roma, opus cementitium 3

14 Cupole Santa Maria del Fiore, Firenze, schema misto 4

15 Cupole Santa Sofia, Istanbul, VI sec d.c. 5

16 Cupole Santa Sofia, Istanbul, VI sec d.c. 6

17 Cupole San Pietro, Roma 7

18 Volte e cupole contemporanee Con la tecnologia del cemento armato si possono coprire luci molto estese Le grandi costruzioni sportive, congressuali o aeroportuali hanno fornito campi di prova per la sperimentazione di volte e cupole avanzate 8

19 Membrane curve Belluzzi III pag 240 ) Per l esiguità dello spessore rispetto alle altre dimensioni si possono trascurare le rigidezze flessionali e torsionali,le tensioni tangenziali si annullano, le tensioni si suppongono costanti nello spessore (come nelle funi) 2) Le deformazioni elastiche non hanno una sensibile influenza sugli sforzi per cui possono essere considerate inestensibili (come nelle funi) 3) Gli sforzi possono essere calcolati sulla base delle sole equazioni di equilibrio (come nelle funi) 4) A differenza delle funi, la loro configurazione di equilibrio non dipende dal carico 9

20 Membrane di rivoluzione Belluzzi III pag 240 Meridiani COMPRESSI paralleli Serbatoi appesi, silos Di solito mat.metallici Raramente C.A. Meridiani TESI VOLTE Muratura, C.A. Raramente materiali metallici paralleli 20

21 Membrane curve colatitudine: angolo che il piano tangente forma con il piano orizzontale ψ longitudine ψ 2

22 Membrane di rivoluzione caricate in modo assialsimmetrico r r2 Sezioni principali della superficie media della membrana nell intorno considerato: La sezione meridiana ha centro di curvatura O oltre l asse OO o prima di esso a seconda che la curvatura cali o cresca a partire dal vertice La sezione normale al meridiano con centro di curvatura O2 su OO r ed r2 sono i loro raggi di curvatura Belluzzi III pag /r ed /r2 sono le loro curvature

23 Membrane di rivoluzione caricate in modo assialsimmetrico r r2 dl dl 2 = rd = rdψ r 2 sin dψ Belluzzi III pag

24 Membrane curve O O2 r 2 = sin r 24

25 Risultanti dei carichi agenti y z x P P P ψ N = p = p = p rdψr ψ N rdψr rdψr d d d r Belluzzi III pag

26 Membrane di rivoluzione Nψr d N r d ψ N rd ψ N ψ rdψ ψ dψ ψ d N ψ r d N ψ rdψψ r d ψ N N rdψ N: sforzo normale specifico lungo i meridiani Nψ: sforzo normale specifico di cerchiatura lungo i paralleli Sono gli analoghi degli sforzi membranali introdotti nelle piastre 26

27 Membrane di rivoluzione Considero gli sforzi e le loro variazioni lungo i lati dell elemento infinitesimo di membrana N r d ψ N r d ψ N ψ rdψψ N rdψ N rdψ N ψ rdψ d ψ N ψ ψ r d dψ r d ψ N (Nr) N ϑrdψ = Nrdψ + ddψ (Nψ ) N ϑψrd = Nψrd + rd ψ 27

28 Equilibrio lungo y (tangente al meridiano ) Gli sforzi normali N r ed hanno la risultante ψ d N r ψ d diretta secondo r che vale a meno di infinitesimi di ordini superiori N r d dψ e questa ha secondo y una ψ componente r d dψ cos Nψ Nψ r d dψ cos N r d ψ r d y Nψ Nψ r d dψ Nψ r d dψ 28

29 Equilibrio lungo y (tangente al meridiano ) N r d ψ N rdψ ψ dψ N r d ψ N ψ ψ r d r d ψ N d N rdψ Equazione di equilibrio lungo la direzione meridiano (Nr) ddψ + N ψ ψ r ddψ Nψr cosddψ + prr ddψ = 29 0

30 Equilibrio lungo y (tangente al meridiano ) N r d ψ N rdψ ψ dψ N r d ψ N' r d ψ ψ r d ψ N d N rdψ Nel caso di carichi assial-simmetrici N N ψ = Nψ = ψ 0 non varia conψ 30

31 Equilibrio lungo x (tangente al parallelo ) ψ dψ N r d ψ N ψ rdψ N ψ rdψ d ψ r d ψ N Nψ N ψrd = Nψrd + dψrd ψ N ψϑ rdψ = N ψϑ (N rdψ + ψϑ r) ddψ 3

32 Equilibrio lungo x (tangente al parallelo ) Gli sforzi N r d ed N ψ ψ r d hanno una risultante la cui componente secondo x vale a meno di infinitesimi di ordini superiori r ddψ cos Nψ Nψ r ddψ cos N r d ψ ψ r d N x 32

33 Equilibrio lungo x (tangente al parallelo ) N r d ψ ψ N ψ rdψ ψ dψ N' r d ψ N ψ rdψ d Equazione di equilibrio secondo i paralleli (N ψ r) ddψ + N ψ ψ r ddψ + Nψrd dψ cos + pψrd rdψ = 0 33

34 Equilibrio lungo z (normale) N rdψ ψ dψ N r d ψ ψ r d ψ N d N rdψ Nψ N r d = N r d + dψ r d ψ ψ ψ ( N r) N rdψ = N rdψ + ddψ ϑ 34

35 Equilibrio lungo z Gli sforzi normali N r ed hanno la risultante ψ d N r ψ d diretta secondo r che vale, a meno di infinitesimi di ordini superiori, N r d dψ e questa ha secondo z una ψ componente r d dψ sin Nψ N r d ψ r d y Nψ Nψ Nψ r d dψ r d dψ sin Nψ r d dψ 35

36 Equilibrio lungo z (normale) N rdψ ψ dψ N r d ψ ψ r d ψ N d N rdψ Equazione di equilibrio secondo z Nr2 sin dψd + Nψr sin dψd = pnr2r sin dψd 36

37 Membrane di rivoluzione caricate in modo assialsimmetrico Consideriamo un elemento abcd di membrana; In tale caso lo sforzo tangenziale si annulla Rimangono solo gli sforzi membranali lungo i meridani ed i paralleli Belluzzi III pag

38 Membrane di rivoluzione caricate in modo assialsimmetrico Consideriamo un elemento di membrana; In tale caso lo sforzo tangenziale si annulla Il piano meridiano ed il piano perpendicolare al meridiano diventano i piani principali di curvatura in un punto della superficie di rivoluzione Chiamiamo i corrispondenti raggi di curvatura R ed R2 /R e /R2 sono dette curvature Gaussiane della superficie S S R R sindψ d + S R p N S R sindψ d = sindψ d 2 2 N = formula di Mariotte per le membrane p R R Belluzzi III pag

39 Esempio: membrana di rivoluzione caricate in modo assialsimmetrico S R2 r ψ Simmetria assiale implica che N = 0 ψ Inoltre i paralleli ed i meridiani sono direzioni principali N = = S Nψ S 2 Q Belluzzi III pag

40 Esempio: membrana di rivoluzione caricate in modo assialsimmetrico R2 S r ψ Inoltre N ed N ψ Non dipendono da ψ Q Belluzzi III pag

41 Esempio: membrana di rivoluzione caricate in modo assialsimmetrico R2 S r ψ Equilibrio alla traslazione verticale Qv r = R 2 sin S S sin 2πr = Q QV = = sin 2πr V QV 2πR sin 2 2 Belluzzi III pag 246 4

42 Casi particolari: serbatoi in pressione per gas Si trascura il peso del fluido ed il peso proprio del serbatoio Q S V = pπr 2 2 QV pπr pr = = = 2 π r sin 2 π r sin 2sin = pr 2 2 Dall equazione di equilibrio si ha S S2 pr 2 S2 pr 2 + = p + = p S2 = (2 R R 2R R R R 2 ) 42

43 Casi particolari: serbatoi in pressione per gas Caso di serbatoio cilindrico di spessore s R = R 2 = R pr S = 2 pr R S = (2 ) S2 2 R 2 = pr Le tensioni diventano(formula di Mariotte dei tubi sottili) σ pr pr = σ = = 2 2 2s s σ 43

44 Casi particolari: serbatoi per liquidi Belluzzi III pag Sia γl il peso specifico del liquido 44

45 Casi particolari: serbatoi per liquidi Belluzzi III pag Tagliato il serbatoio con un piano orizzontale mm, la risultante Q delle pressioni agenti sulla parete sottostante è= al peso γ V del volume V di liquido punteggiato in l figura. Da cui γ lv γ lv S = = 2 2πr sin 2πR sin 2 45

46 Casi particolari: serbatoi per liquidi Belluzzi III pag z La S2 si calcola noto S come z) R S ( R ) p R S ( R S l 2 N 2 2 γ + = + = π γ = π γ = 2 2 l l sin R 2 V r sin 2 V S 46

47 Casi particolari: tramoggia 47