Calcolo delle Probabilità e Statistica CLASSI TERZE

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1 Calcolo delle Probabilità e Statistica CLASSI TERZE Descrizione dei fenomeni collettivi 1. Unità statistica e dato statistico L unità statistica è il più piccolo elemento su cui è possibile effettuare un osservazione (es. un alunno di una scuola, un pezzo prodotto da una fabbrica ). Si definisce dato statistico il risultato di un operazione compiuta sulle unità statistiche (numero di alunni maschi di una classe, prezzo medio di un certo bene ). I dati statistici possono rappresentare due grandezze diverse: frequenza, se esprimono il numero di volte in cui il fenomeno si è verificato in un periodo di tempo (basta pensare ad un contatore che esegue un conteggio); intensità, se rappresentano una media o una somma di misure effettuate sulle unità statistiche (es. misura di un peso, lunghezza, superficie, volume, oppure un valore o una valuta). Le unità statistiche vengono studiate secondo uno o più caratteri: un carattere è un particolare aspetto dell unità statistica che si vuole mettere in evidenza. Il carattere viene identificato mediante varie modalità, che possono essere qualitative o quantitative. Le modalità quantitative sono espresse da valori risultanti da misurazioni o conteggi: se questi valori sono compresi in un intervallo si parla di modalità continue; se invece si tratta di determinati valori si parla di modalità discrete. Le modalità qualitative sono indicate da espressioni verbali (marche di automobili, anni di nascita, grado delle scuole ). Prof. Daniele ATTAMPATO 1

2 Es. Distribuzione di 30 giovani presenti in una sala giochi, secondo l età. carattere modalità quantitativa Età Numero tot. 30 frequenze discreta Es. Distribuzione delle auto consegnate da un concessionario nel carattere modalità qualitativa Marca/Modello Consegne Fiat Punto Lancia Y Toyota Yaris Peugeot Volkswagen Golf Daewoo Matiz Renault Megane Opel Corsa tot frequenze Es. Distribuzione delle importazioni dello Stato Francese dal carattere Anni Importazioni (milioni di euro) modalità qualitativa intensità Prof. Daniele ATTAMPATO 2

3 2. Sistemazione dei dati: serie e seriazioni 2.1.Tabelle a semplice entrata Una tabella a semplice entrata (come visto nei due esempi precedenti) è costituita da due colonne, la prima riporta le varie modalità qualitative o quantitative del carattere, mentre la seconda riporta le frequenze o le intensità. Se il carattere è qualitativo, la successione dei dati è detta serie statistica; se il carattere è quantitativo, la successione dei dati è detta seriazione statistica. Es. Distribuzione degli studenti italiani secondo il grado delle scuole. Grado delle scuole N.alunni iscritti Scuole Materne Scuole Elementari Scuole Medie Scuole Superiori tot Modalità qualitative Serie statistica Es. Elettori nelle elezioni del Parlamento Europeo, per circoscrizione Modalità qualitative Circoscrizioni elettorali Elettori Nord Occidentale Nord Orientale Centrale Meridionale Insulare tot Serie territoriale o geografica Prof. Daniele ATTAMPATO 3

4 Es. Alunni delle scuole superiori italiane. Modalità qualitative Anno Scolastico N.alunni 1994/ / / / / tot Serie storica Es. Rilevazione delle abitazioni di nuova costruzione, classificate per stanze. N.Stanze N.Abitazioni e oltre tot Modalità quantitative discrete Seriazione discreta Es. Distribuzione dei comuni italiani per classi di superficie nel Classi di superficie (in migliaia di ha) N.Comuni fino a tot Modalità quantitative continue Seriazione continua Prof. Daniele ATTAMPATO 4

5 3. Sistemazione dei dati: serie e seriazioni Tabelle a doppia entrata Le tabelle a doppia entrata sono caratterizzate dal fatto che le unità statistiche vengono classificate contemporaneamente rispetto a due caratteri (e non più solo a uno, come visto nelle tabelle a semplice entrata). Se i due caratteri sono entrambi qualitativi, si parla di mutabile statistica doppia. Se i due caratteri sono entrambi quantitativi, si parla di variabile statistica doppia. Se uno dei due caratteri è quantitativo e l altro qualitativo, si parla di distribuzione mista. Es. di mutabile statistica doppia. Regione Puglia: iscritti alle liste di collocamento. Caratteri modalità qualitative carattere sesso Sesso Settore Maschi Femmine totali Agricoltura Industria Altre attività Nessun settore totali Modalità qualitative carattere settore Prof. Daniele ATTAMPATO 5

6 Es. di variabile statistica doppia. Distribuzione di 100 abitazioni secondo il numero dei vani e i componenti della famiglia. Modalità quantitative Caratteri carattere Comp. Famiglia N.vani Componenti famiglia totali totali Modalità quantitative carattere N.vani Es. di distribuzione mista. Forze di lavoro per classe di età e condizione professionale, in famiglia. Modalità qualitativa del carattere Condiz. Profess. Classe di età e oltre totali Condizione professionale Occupati Disoccupati totali Modalità quantitativa del carattere Classe di età Prof. Daniele ATTAMPATO 6

7 4. Variabili e mutabili statistiche Frequenze assolute, relative, percentuali e cumulate Una variabile statistica è definita dall insieme dei valori di un carattere quantitativo e dalle frequenze ad essi associate. Una mutabile statistica è definita dall insieme delle modalità di un carattere qualitativo e dalle frequenze ad esse associate. Frequenza assoluta: numero delle unità statistiche che godono di una certa proprietà. Frequenza relativa: F. A. F. R. = N = tot unità statistiche N Frequenza percentuale: F % = F. R.* 100 Frequenza cumulata (assoluta, relativa, percentuale): associa ad ogni valore o classe della variabile la somma della rispettiva frequenza, con le frequenze dei valori precedenti. Es. Completare la seguente tabella: N.STANZE N.ABITAZIONI Xi Yi (F.A.) F.R. F% F.C.A. F.C.R. F.C.% tot. Attenzione alla formula da impostare Prof. Daniele ATTAMPATO 7

8 5. Grafici Si supponga di aver raccolto dei dati nel foglio di calcolo. Questi dati, generalmente, vengono sistemati in più colonne all interno di celle contigue. Per inserire questi valori in un grafico con l aiuto della creazione guidata è necessario procedere come segue: 1. Selezionare il pulsante Creazione guidata grafico che si trova sulla barra degli strumenti; 2. Nella prima finestra (Tipo di grafico), selezionare un tipo di grafico e premere il pulsante Avanti; Prof. Daniele ATTAMPATO 8

9 3. La seconda finestra (Dati di Origine) consente di selezionare l intervallo dei dati: un utente esperto generalmente utilizza la scheda Serie. Cliccando il tasto Aggiungi, si aggiunge un grafico nella lista: ad ogni Serie aggiunta corrisponde un grafico differente, sullo stesso piano cartesiano (ogni andamento grafico sarà caratterizzato da un colore). 4. Nella casella Nome è possibile assegnare un titolo al grafico in questione; nella casella Etichette asse categorie (X) dovranno essere caricati i dati da rappresentare sull asse delle ascisse; nella casella Valori dovranno essere caricati i dati da rappresentare sull asse delle ordinate. Per procedere premere Avanti. Prof. Daniele ATTAMPATO 9

10 5. Nella finestra successiva, denominata Opzioni del grafico, c è la descrizione dettagliata di tutte le possibilità che si hanno per personalizzare il grafico: titoli per gli assi cartesiani; selezionare/ deselezionare gli assi; selezionare/deselezionare la griglia; spostare la legenda Se si desidera accettare le impostazioni predefinite è sufficiente cliccare su Avanti. 6. La quarta ed ultima finestra consente di scegliere se inserire il grafico in un nuovo foglio di lavoro o come oggetto sul foglio corrente. Selezionare l opzione desiderata e premere Fine. N.B. E sempre possibile modificare un grafico, una volta prodotto. Ogni caratteristica o elemento del grafico può essere variata anche dopo la sua creazione, per aggiungere informazioni ulteriori o per modificare la significatività di quelle già inserite. Per farlo è sufficiente posizionarsi sul grafico,cliccare il tasto DX del mouse e scegliere l opzione desiderata. Prof. Daniele ATTAMPATO 10

11 5.1.Diagrammi cartesiani I diagrammi cartesiani sono utilizzati in genere per rappresentare: - serie storiche - seriazioni discrete Tali diagrammi possono essere facilmente realizzati con Excel, mediante i grafici a linee (per le serie storiche) ed i grafici a dispersione (per le seriazioni discrete). Es. Distribuzione delle importazioni dello Stato Francese dal 2000 (serie storica grafico a linee*) Anni Importazioni (milioni di euro) Importazioni in Francia importazioni (mil.di euro) Anni * Tale spezzata mette in evidenza l evoluzione del fenomeno nel tempo. Prof. Daniele ATTAMPATO 11

12 Es. Distribuzione di 30 giovani presenti in una sala giochi, secondo l età (seriazione discreta grafico a dispersione*). ETA' NUMERO (F.A.) F.A.C tot. 30 ANDAMENTO DELLE F.A. F.A Età * Questo grafico è detto diagramma a segmenti, ed è rappresentabile con Excel seguendo le fasi seguenti: Completare il grafico a dispersione (composto dai soli punti) e chiudere la Creazione guidata ; Posizionarsi su uno qualsiasi dei punti sul grafico e premere il tasto DX del mouse; Selezionare Formato serie dati ; Selezionare la scheda Barre di errore Y ; Selezionare la tipologia Meno ; Settare l Intervallo di errore percentuale al valore 100%; Premere OK; NB: Per migliorare l aspetto del diagramma a segmenti è possibile cancellare la griglia, scegliere una scala degli assi cartesiani opportuna ed aumentare la dimensione dei segmenti. Prof. Daniele ATTAMPATO 12

13 ANDAMENTO DELLE F.A.C F.A.C Età Questo grafico è detto funzione a gradini, ed è rappresentabile con Excel seguendo le fasi seguenti: Completare il grafico a dispersione (composto dai soli punti) e chiudere la Creazione guidata ; Posizionarsi su uno qualsiasi dei punti sul grafico e premere il tasto DX del mouse; Selezionare Formato serie dati ; Selezionare la scheda Barre di errore X ; Selezionare la tipologia Più ; Premere OK; NB: Per migliorare l aspetto del diagramma a segmenti è possibile cancellare la griglia, scegliere una scala degli assi cartesiani opportuna ed aumentare la dimensione dei segmenti. Prof. Daniele ATTAMPATO 13

14 5.2.Istogrammi Gli Istogrammi vengono utilizzati per rappresentare: - seriazioni continue, con dati raggruppati in classi Sull asse delle ascisse si riportano tanti intervalli quante sono le classi e sui vari intervalli si costruiscono rettangoli le cui aree sono proporzionali alle frequenze. Bisogna distinguere due casi: a) Classi di ampiezza diversa b) Classi di pari ampiezza a) Classi di ampiezza diversa (costruzione manuale di un Istogramma). Nel caso di classi di ampiezze diverse, le altezze dei rettangoli si ottengono dividendo la relativa frequenza per l ampiezza della classe, in modo che l area del rettangolo rappresenti la frequenza: questo è necessario per rispettare il requisito di proporzionalità. E quindi necessario calcolare le cosiddette densità, che possono essere definite equivalentemente come: d = FA Ampiezza d = FR Ampiezza d F% = Ampiezza Nell esempio che segue, si definiscono classi per rappresentare il peso di 177 neonati (in tal caso la densità viene calcolata come FR/Ampiezza). Prof. Daniele ATTAMPATO 14

15 In realtà, rappresentare un istogramma con Excel non è possibile. La limitazione sta nel fatto che, indipendentemente dalle reali ampiezze delle classi, Excel genera comunque rettangoli con basi di pari lunghezza. Bisogna allora necessariamente procedere con la costruzione manuale oppure utilizzare un software alternativo. * Con gli istogrammi, la somma delle aree di tutti i rettangoli è proporzionale alla somma delle frequenze. Prof. Daniele ATTAMPATO 15

16 b) Classi di pari ampiezza (costruzione di un Istogramma con Excel) Se le classi hanno la stessa ampiezza, l altezza di ciascun rettangolo è pari al valore della frequenza: questa condizione soddisfa il criterio di proporzionalità tipico dell istogramma (la base di ciascun rettangolo è difatti un valore costante, per cui l area è proporzionale alla frequenza). Es. Distribuzione di 1000 persone presenti ad una manifestazione sportiva, secondo l età. Età F.A tot F.A Manifestazione sportiva Età Prof. Daniele ATTAMPATO 16

17 5.3.Ortogrammi (diagrammi a canne d organo) Per quanto detto nel paragrafo precedente, il grafico istogramma di Excel rappresenta, in realtà, il cosiddetto ortogramma, costituito da rettangoli di basi uguali ed altezze proporzionali alle frequenze o alle intensità del fenomeno. Tale rappresentazione è utilizzata utilizzata nel caso di: - serie storiche - serie geografiche - altri tipi di serie E facile intuire come si possano accostare rettangoli riferiti a sessi, o ad anni, o a paesi diversi, o a zone diverse, allo scopo di effettuare confronti (alternativa: grafico a barre). Es. Commercio mondiale: importazioni negli anni (in miliardi di dollari) ANNI CONTINENTI EUROPA ASIA AFRICA AMERICA OCEANIA tot tot IMPORTAZIONI (miliardi dollari) EUROPA ASIA AFRICA AMERICA OCEANIA ANNI * Ogni continente è rappresentato da una serie. Questo è necessario trattandosi di tab.a doppia entr. 5.4.Diagrammi in coordinate polari (grafico Radar) Prof. Daniele ATTAMPATO 17

18 Il sistema di riferimento in coordinate polari, a differenza del sistema cartesiano, è caratterizzato da un punto O del piano, detto polo, e una semiretta di origine O, detta asse polare. Un qualunque punto P del piano può essere individuato conoscendo la sua distanza OP dal polo e l angolo α, che la semiretta di origine O e passante per P forma con l asse polare (per la misura dell angolo si considerano, per convenzione, rotazioni in senso antiorario). α I diagrammi in coordinate polari sono utilizzati per rappresentare particolari serie storiche, dette cicliche, dove le modalità del carattere si ripetono dopo un certo periodo di tempo (es. i giorni della settimana, i mesi dell anno ). Si tracciano tante semirette, con origine nel polo O, quante sono le modalità del carattere, in modo che gli angoli tra le varie semirette siano uguali e sulle semirette, a partire dal polo O, si riportano i dati. I punti così ottenuti si collegano con una spezzata (grafico radar). MESE ORDINI Gennaio 20 Febbraio 24 Marzo 25 Aprile 23 Maggio 27 Giugno 30 Luglio 43 Agosto 39 Settembre 25 Ottobre 22 Novembre 19 Dicembre 10 Novembre Ottobre Settembre Dicembre Agosto ORDINI EFFETTUATI Gennaio Luglio Febbraio Giugno Marzo Aprile Maggio 5.4.Settori circolari (grafico a Torta) Prof. Daniele ATTAMPATO 18

19 I settori di un cerchio vengono utilizzati in statistica per rappresentare distribuzioni di frequenza nelle quali la totalità del fenomeno viene ripartita in modalità rappresentate da settori i cui angoli al centro sono proporzionali alle intensità del fenomeno. Excel indica questo tipo di grafico col nome di grafico a torta. Es. Sport praticati dagli alunni dell Istituto G.Marconi di Latina. Tipo di Sport N. Alunni (F.A.) F.R. F.% Calcio 295 0,457 45,7 Pallacanestro 80 0,124 12,4 Pallavolo 92 0,143 14,3 Nuoto 54 0,084 8,4 Tennis 27 0,042 4,2 Atletica 34 0,053 5,3 Ciclismo 12 0,019 1,9 Equitazione 7 0,011 1,1 Sci / Snow 29 0,045 4,5 Altro 15 0,023 2,3 Tot , ,0 Attività sportive praticate Calcio Pallacanestro Pallavolo Nuoto Tennis Atletica Ciclismo Equitazione Sci / Snow Altro Prof. Daniele ATTAMPATO 19

20 Es. Data la seguente distribuzione degli studenti italiani secondo il grado delle scuole (a.s.1998/99), completare la tabella e graficare l andamento delle F.A., F.% e frequenze cumulate. Grado delle scuole N.alunni iscritti F.A. F.R. F.% F.C.A. F.C.R. Scuole materne Scuole elementari Scuole medie Scuole superiori Tot Svolgimento: Grado delle scuole N.alunni iscritti F.A. F.R. F.% F.C.A. F.C.R. Scuole materne ,18 18, ,18 Scuole elementari ,33 32, ,51 Scuole medie ,20 20, ,71 Scuole superiori ,29 29, ,00 Tot ,00 100,0 Si tratta di una serie (carattere qualitativo) e le modalità del carattere indicano i vari gradi delle scuole. Il grafico delle F.A. deve riuscire a mettere in evidenza le diverse modalità allo scopo di poter effettuare un confronto, in modo chiaro ed evidente. La scelta ideale ricade quindi sull ortogramma o sul grafico a barre. N.Alunni Iscritti a.s.98/99 Scuole superiori grado Scuole medie Scuole elementari Scuole materne n.alunni (F.A.) Prof. Daniele ATTAMPATO 20

21 Per graficare le frequenze percentuali la scelta ideale è il grafico a torta. N.alunni iscritti a.s. 98/99 29,1 20,3 18,0 32,7 Scuole materne Scuole elementari Scuole medie Scuole superiori Prof. Daniele ATTAMPATO 21