Capitolo 3. Modelli. 3.1 La macchina a stati finiti 3.2 La macchina combinatoria 3.3 La macchina asincrona 3.4 La macchina sincrona

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1 Capitolo 3 Modelli 3.1 La macchina a stati finiti 3.2 La macchina combinatoria 3.3 La macchina asincrona 3.4 La macchina sincrona

2 Il modello del blocco o scatola nera Alfabeto d ingresso Alfabeto d uscita comportamento ingresso dei dati P uscita dei risultati pochi modelli! P relazione ingresso/uscita o di causa/effetto trasformazione temporizzazione struttura a) in serie Regole elementari di composizione b) in parallelo c) in retroazione i i i M 1 M 2 M 1 s M 2 M 1 M 2 u u 1 u 2 u u=m 2 (M 1 (i)) Deve operare prima il blocco a sinistra, poi quello a destra. u 1 =M 1 (i) { u2 =M 2 (i) I due blocchi operano contemporaneamente. u=m 1 (i, s) s=m 2 (u) u=m 1 (i, M 2 (u)) Funzione composta Sistema di funzioni Funzione ricorsiva È necessario che l anello completi un calcolo prima di avviarne uno nuovo. pochi componenti primitivi!

3 3.1 La macchina a stati finiti

4 Digitale è sinonimo di discreto

5 La discretizzazione degli stimoli e delle risposte J(t): tutta l informazione ricevuta fino a t i(t) I (alfabeto di ingresso) F u(t) = F(J(t)) u(t) U (alfabeto di uscita) Comunicazione: numero finito di segnali binari 2 n config n.u.? 5 z a 1 Insieme discreto m

6 La discretizzazione del tempo t i riconoscimento elaborazione Evento che introduce informazione modifica dell ingresso scadere di un intervallo di tempo risposta l uscita attuale può dunque dipendere: t i+1 dall ingresso contemporaneo dagli ingressi precedenti dal trascorrere del tempo t

7 Esempi dipende dal dato u = i dato 9 risultato t istruzione operando CPU risultato dipende anche dalle istruzioni e dai dati precedenti istruzione operando risultato t dipende dal tempo V G R t

8 Lo stato interno

9 Sequenze di ingressi e di uscite Indichiamo con t 0, t 1,, t n-1, t n una sequenza finita di istanti in cui si sono verificati degli eventi l uscita al generico istante t n dipende dalla sequenza di ingresso i(t 0 ) i(t 1 ) i(t n-1 ) i(t n ) u(t n ) = F( i(t 0 ), i(t 1 ),, i(t n-1 ), i(t n )) e questo come si esprime?? e dalla condizione iniziale della macchina s(t 0 ). u(t n ) = F( s(t 0 ), i(t 0 ), i(t 1 ),, i(t n-1 ), i(t n ))

10 Lo stato iniziale s(t 0 ) S Esempio : il percorso di un auto dipende non solo dai comandi via via dati con volante, freno, acceleratore, ma anche dalla benzina inizialmente nel serbatoio e dallo stato di usura delle gomme. Esempio : Non basta caricare un orologio per avere l ora esatta. L ora indicata dipende infatti non solo dal n di scatti che la molla ha dato alle lancette, ma anche dalla loro posizione iniziale.

11 Sequenze di ingressi, di uscite e di stati u(t n ) = F( s(t 0 ), i(t 0 ), i(t 1 ),, i(t n-1 ), i(t n )) s(t 0 ) S s(t 1 ) u(t n ) = F( s(t 1 ), i(t 1 ),, i(t n-1 ), i(t n )) s(t 1 ) S s(t 2 ) u(t n ) = F( s(t n ), i(t n )) s(t n+1 ) = G( s(t n ), i(t n )) s(t n ) S s(t n+1 ) S stato interno presente stato interno futuro

12 Classificazione dei comportamenti Tipo di macchina sequenziale Relazione ingresso/uscita u(t n ) = F( s(t n ), i(t n )) s(t n+1 ) = G( s(t n ), i(t n )) caso più semplice? combinatoria u(t n ) = F(i(t n )) u = F(i)

13 Esempi

14 Il campanello i: Pulsante u: Suoneria Premuto Rilasciato din nessun suono u = F(i) Macchina combinatoria i: Pulsante u: Suoneria t 0 Premuto din Rilasciato nessun suono t 1 t 2 Rilasciato don t 3 Rilasciato nessun suono u(t i ) = F(i(t i ), i(t i-1 ),..) Macchina sequenziale: a parità d ingresso risposte diverse ad istanti diversi

15 Addizione colonna per colonna: macchina sequenziale bit i-esimo di A a s bit i-esimo di A+B bit i-esimo di B b FA R i-esimo riporto (i-1)-esimo riporto r stato presente memoria stato futuro a 0 a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 s(t 0 )=0 0 r 1 r 2 s 0 s 1 s 2 R 0 R 1 R 2 t 0 t 1 t 2 t 3

16 La memoria: macchina sequenziale i memoria u i: scrivi: u:

17 La struttura della macchina a stati finiti i(t n ) I F u(t n ) U s(t n ) S L insieme finito S contiene tutti i riassunti utili della storia passata della macchina. s(t s(t n+1 n )) m L evento aggiorna lo stato La memoria m alloggia lo stato interno presente La funzione F, tramite i(t n ) e s(t n ), calcola la risposta u(t n ) La funzione G, con gli stessi argomenti, calcola il nuovo riassunto s*(t n ) ( detto stato interno futuro) G s*(t n ) S t n+1 : evento

18 La FSM (Finite State Machine) Sistema matematico i M = {I, U, S, F, G} formato da 3 INSIEMI I: {i 1, i 2,, i n } alfabeto di ingresso U: {u 1, u 2,, u m } alfabeto di uscita S: {s 1, s 2,, s k } insieme degli stati e da 2 FUNZIONI F : S I U funzione di uscita G : S I S funzione di aggiornamento dello stato interno s F macchina combinatoria G macchina combinatoria s* u Nella realizzazione occorre una MEMORIA che mantenga il vecchio stato s fino a quando non è necessario sostituirlo con il nuovo stato s* memoria macchina sequenziale

19 Tabella di flusso e Grafo degli stati

20 Descrizione con tabella di flusso insieme degli stati stato presente s 1 s 2. s j. s k i 1 i 2. i i. i n ingresso attuale. s p,u q alfabeto d ingresso NB: mancano indicazioni sull istante di aggiornamento stato futuro, uscita attuale

21 Descrizione con grafo degli stati s 1 i 1, u m transizione s p s j stabilità i i, u q s k i n, u n s 2

22 Esempio: analisi di una stringa Stringa: x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) con x(i) {0,1,..,9} Risposta: si se x(i) x(i+1) x(i+2) = 123, no in ogni altro caso x=1,no x 1,no x 1e 2, no x=1,no A x 1e 3, no x 1, no B x=2,no x=1,no C x=3,si x=1,no A B,no A,no A,no A,no B B,no C,no A,no A,no C B,no A,no D,si A,no D B,no A,no A,no A,no D

23 Analisi e Sintesi Descrizione a parole del comportamento CAD Grafo degli stati Tabella di flusso strumento intuitivo strumento ordinato Descrizione grafica della struttura

24 Casi particolari

25 1: Automa di Mealy e Automa di Moore i F u F u s G s* i s G s* memoria memoria Mealy F : S I U Moore F : S U

26 Automa di Mealy e automa di Moore GRAFO: simbolo d uscita all interno del nodo i n,u n s j i i,u m s p TABELLA: ulteriore colonna per specificare la F : S U s 1 s 2. s j. s k i 1 i 2. i i. i n ingresso.. attuale s p u m stato presente stato futuro uscita attuale F..

27 Esempio: il flip-flop D Macchina con ingressi C,D ed uscita U. U riproduce il valore presente su D in corrispondenza di ogni fronte di salita di C C D ff D U Il campionamento di D=1 determina U=1 Il campionamento di D=0 determina U=0 C D U C D U

28 Il flip-flop D: grafo e tabella di Moore CD 11 Ho visto un fronte di 10 salita di C con D= M U= CD M M M N N U 1 Q U=0 11 N U=1 N M P N N P P P Q Q P U=0 Ho visto un fronte di Q M P Q Q salita di C con D=0

29 2: Grafi strettamente connessi Macchine che non si fermano mai Stato iniziale qualsiasi per ogni ingresso Deve esistere almeno una sequenza d ingresso che consenta di passare da uno stato arbitrariamente scelto ad un altro stato arbitrariamente scelto

30 3: Stati indistinguibili e Automi equivalenti La descrizione con un automa di un comportamento sequenziale non è unica Stati indistinguibili: due o più stati a partire dai quali, per ogni possibile sequenza d ingresso, si ottengono sequenze d uscita identiche Automi equivalenti: automi che descrivono lo stesso comportamento con differente numero di stati interni Automa minimo: automa i cui stati interni sono tutti tra loro distinguibili

31 M1 Riconoscimento di : l automa minimo x=1,no M1 e M2 sono grafi equivalenti B x 1e x 1e 2, 2, no no x=1,no x=2,no x=1,no M2 x 1,no A x 1e 3, no x 1, no C x=3,si x=1,no x=3,si D A e D sono stati indistinguibili A B,no A,no A,no A,no B B,no C,no A,no A,no C B,no A,no D,si A,no D B,no A,no A,no A,no {A,D} A, B, C sono tra loro distinguibili: la tabella è minima A B,no A,no A,no A,no B B,no C,no A,no A,no C B,no A,no A,si A,no

32 Compito in classe: Esercitazione N. 1 i,u {A,B,..,Z} i Editor u Trova:..RETE.. testuale Sostituisci:..RETI.. *,* i {E,R,T,*} u {E,I,R,T,*} R,R E,E T,T E,I *,*

33 Soluzione domanda N.1 R, R E, E T, T R, R *, * R, R R,R E,E T,T E,I S0 S1 S2 S3 S4 T, T *, * R, R E, E *,* * *, * T, T R E T S0 S0,* S1,R S0,E S0,T S1 S0,* S1,R S2,E S0,T S2 S0,* S1,R S0,E S3,T S3 S0,* S1,R S4,I S0,T S4 S4,* S1,R S4,E S4,T *, * E, E T, T

34 Soluzione domanda N.2 (grafo) R, R E, E T, T *, * R, R R, R R,R E,E T,T S0 S1 S2 T, T *, * E, E *,* R, R *, * T, T E,I S3 S4 *, * E, E T, T E,I

35 Soluzione domanda N. 2 (tabella di flusso) {S0,S4} = S0 S0 S1 S2 S3 * R E T S0,I * R E T S0 S0,* S1,R S0,E S0,T S1 S0,* S1,R S2,E S0,T S2 S0,* S1,R S0,E S3,T S3 S0,* S1,R S4,I S0,T S4 S4,* S1,R S4,E S4,T

36 i F u Macchine combinatorie asincrone s G s* sincrone memoria

37 Classificazione delle FSM N di stati interni: 0 o 1 Macchina combinatoria 2 o più Macchina sequenziale N di simboli d uscita per simbolo d ingresso: 1 Macchina sequenziale asincrona 2 o più Macchina sequenziale sincrona Evento che può modificare l uscita modifica dell ingresso trascorrere modifica dello stato tempoad ogni T0

38 Macchine asincrone e sincrone Macchina asincrona - Lo stato e l uscita possono cambiare solo se cambia l ingresso. La durata dell ingresso non produce informazione. Ogni stato diventa stabile per l ingresso che lo ha causato se s*=g(s,i) allora anche s*=g(s*,i) Macchina sincrona - Lo stato e l uscita possono cambiare solo allo scadere di un prefissato intervallo di tempo T 0 (istanti di sincronismo t = T 0, 2T 0, 3 T 0,..). Ipotesi: durante l intervallo l ingresso è costante u n = F(s n, i n ) s n+1 = s* n = G(s n, i n ) L intervallo compreso tra due successivi istanti di sincronismo è l unità di misura del tempo.

39 Grafo di comportamenti asincroni e sincroni Macchina asincrona: ogni nuovo ingresso produce subito una stabilità e genera quindi un solo nuovo simbolo d uscita i 1, u 1 α i 2, u 2 i 2, u 2 β i 1, u 1 i 2, u 3 Macchina sincrona: un nuovo ingresso produce una sequenza, finita o periodica, di transizioni di stato e di simboli d uscita α i 1, u 1 α i 2, u 2 i 2, u 2 β β i 2, u 3 i 2, u 3 γ γ i 2, u 2

40 3.2 - La macchina combinatoria

41 Macchina combinatoria ideale : la funzione Elaborazione combinatoria: per ogni i I esiste un solo u U che gli corrisponde. NON c è MEMORIA, NON c è RETROAZIONE Il blocco i I F u =F(i) u U

42 Encoder e Decoder Full Adder x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 x 0 ENCODER trascod. da 1 su 4 a binario DECODER trascod. da binario a 1 su 8 y 2 y 1 y 0 y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 y 0 x 4 x 3 x 2 x x 2 x 1 x y 2 y 1 y y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 y r i a i b i Full Adder s i r i+1 r i a i b i r i+1 s i Full Subtracter Il Multiplexer a due vie p i a i b i Full Subtracter d i p i+1 p i a i b i p i+1 d i i 0 i M U X a u a i 0 i 1 u se a=0 allora u=i 0 altrimenti u=i 1

43 Descrizione del comportamento i u = F(i) La tabella i: var. indipendente u: var. dipendente a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 b 2 a 4 b 3 a 5 b 1 B n B m L espressione ADDER: u = i 1 + i 2 SELETTORE: u = i A Algebra binaria

44 Struttura: composizione e decomposizione La composizione in serie e/o in parallelo di macchine combinatorie è ancora una macchina combinatoria Ogni macchina combinatoria può essere decomposta fino ad individuare una disposizione in serie/parallelo di gate

45 Composizione in serie di Full Adder 0 a 0 b 0 a b r R s s 0 a 1 b 1 r 1 a b r R s s 1 r 2 a n-1 r n-1 a r b n-1 s n-1 b R s r n = s n

46 Decomposizione di un Full Adder a s b s R r r i a i b i r i+1 s i s=1 se e solo se in ingresso c è un n dispari di uni x y z a 0 b 0 01 r 01 s

47 Macchina combinatoria reale : throughput t n t n+1 ingresso i 3 i 1 i 4 uscita F(i 3 ) F(i 1 ) F(i 4 ) τ p τ p : tempo di calcolo della F τ u : tempo di acquisizione del risultato i(t) u(t) Funzione Ritardo u(t-τ p ) F τ p troughput: (τ p + τ u ) o anche 1/(τ p + τ u ) τ u τ p

48 3.2 La macchina asincrona

49 La macchina asincrona (comportamento) t-ε t t+ε ingresso i 1 i 2 G(α, i 1 ) = α F(α, i 1 ) = u 1 stato presente α α β G(α, i 2 ) = β F(α, i 2 ) = u 1 o u 2 stato futuro α β β G(β, i 2 ) = β F (β, i 2 ) = u 2 uscita u 1 u 1 /u 2 u 2 La memoria può dunque essere un piccolo ritardo

50 La macchina asincrona (struttura) i s F u Se gli M stati della macchina sono codificati con n log s* 2 M bit G occorrono n segnali binari s in retroazione i macchina combinat. reale macchina combinat. reale u ritardo τ p retroazione diretta

51 Un esempio di macchina asincrona: la lampada da tavolo rilasciato, spenta rilasciato,spenta premuto,accesa premuto, accesa spenta α β rilasciato, accesa premuto, spenta rilasciato, accesa δ premuto, accesa γ pulsante i I:{rilasciato,premuto} lampadina u U:{spenta, accesa} N.B: durata di una transizione uscita durante una transizione rilasciato premuto α α, spenta β, spenta accesa β γ, accesa β, accesa γ γ, accesa δ, accesa δ α, spenta δ, spenta

52 3.3 La macchina sincrona

53 Segnali sincroni Per ottenere un esatta misura del tempo la modifica dei segnali di ingresso/uscita/stato deve verificarsi solo in corrispondenza di istanti di sincronismo distanziati uno dall altro di una quantità prefissata T 0

54 La macchina sincrona T 0 : intervallo di tempo in cui la macchina non modifica il suo stato t n t n+1 = t n + T 0 ingresso i n-1 i n i n+1 stato presente s n-1 s n s n+1 uscita F(i n,s n ) stato futuro G(i n,s n ) ritardo τ p τ p : intervallo di tempo impiegato dal calcolo di F e di G

55 La macchina sincrona (struttura) i F u i F u s G s* s G s* ritardo Τ0 Rete sequenz. registro asincrona clock T0

56 Il registro Registro - Macchina sequenziale che memorizza e rende disponibile in uscita un dato che in precedenza le è stato fornito in ingresso. La scrittura di un nuovo dato è stabilita da un comando esterno detto clock. ingresso comando registro comando ingresso α β uscita uscita γ α

57 Il registro da un bit

58 Il flip-flop D (ritardo T 0 ) C D U ff D C (n-1)t 0 nt 0 (n+1)t 0 (n+2)t P U=0 D D n-1 D n D n+1 D n+2 Stato M N P Q M N M CD IPOTESI: M C periodico 01 con periodo U=1T D varia poco 00 dopo 11 il fronte di salita 00 di 00 C Q 11 N U=0 U= N P U U n-1 = D n-2 U n = D n-1 U n+1 = D n U n+2 = D n+1

59 Il flip-flop genera un segnale sincrono anche se le variazioni di D non sono allineate con gli istanti di sincronismo. Basta che D sia costante al momento del campionamento C D U

60 Il flip-flop come macchina sincrona elementare D=1 D=0 Q=U=0 Q=U=1 D=1 D=0 Q n D n =0 D n =1 0 0,0 1,0 1 0,1 1,1 Q n+1, U n Macchina D n di Moore a due stati: U n = Q n = D n-1 Q=0 e Q=1 N.B: tempo di percorrenza di un ramo

61 Addizione colonna per colonna: macchina sequenziale sincrona bit i-esimo di A a s bit i-esimo di A+B bit i-esimo di B b FA R i-esimo riporto (i-1)-esimo riporto r stato presente Q D mem. stato futuro a 0 a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 s(t 0 )=0 0 s 0 R 0 r 1 s 1 R 1 r 2 s 2 R 2 Frequenza e fase uguali a quelle dei bit seriali. Vedremo più avanti: T 0 τ R + τ FA + τ SU t 0 t 1 t 2 t 3

62 Il registro da n bit D 1 Q 1 D 2 Q 2 Il dato memorizzato nel registro viene sovrascritto ad ogni fronte del clock D n Q n

63 Contatore

64 Il contatore binario x s n s n CI 4 Bit a 0 Full a 1 Adder a 2 a 3 s 0 s 1 s 2 s 3 b 0 b 1 b 2 b 3 s 4 = CO s n+1 = (s+1) n mod 16 Registro Accumulatore D 0 Q 0 D 1 Q 1 D 2 Q 2 D 3 Q 3

65 Watch-dog

66 Timer o watch-dog (1) start durata D fine T 0 D x T 0

67 Timer o watch-dog (2) start durata clock Timer Condizione d indifferenza fine Start, durata, fine 0,-,0 0 1,4,0 1,3,0 1,2,0 1,1,0 0,-,0 0,-,0 0,-, ,-,1 1 La macchina usa il periodo del clock come unità di misura del tempo.

68 Il semaforo I:sp,n,g F v,g,r Specifiche: rosso = 60 s s G s* giallo = 20 s Registro verde = 60 s T 0 = 20 s

69 Il grafo degli stati V1 V2 V3 G R3 R2 R1

70 La tabella di flusso stato stato lampada presente futuro verde giallo rosso V1 V2 accesa spenta spenta V2 V3 accesa spenta spenta V3 G accesa spenta spenta G R1 spenta accesa spenta R1 R2 spenta spenta accesa R2 R3 spenta spenta accesa R3 V1 spenta spenta accesa

71 La macchina sequenziale per il semaforo Stato interno s = y 2 y 1 y 0 (7 stati) Uscita u = z 1 z 2 z 3 (codice 1 su 3) Comportamento: s 2 (s+1) 2 mod 7 s n u n z 1 n z 2 n z 3 n u F(s) Contatore da zero a sei y 2 n y 1 n y 0 n s n s n y 2 n+1 y 1 n+1 y 0 n+1 R eg i s tr o T0=20 s

72 ..e la seconda direttrice di marcia? presente futuro V 1 G 1 R 1 stato stato lampade V 2 G 2 R

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78 Esempi Il relè ad autoritenuta è una macchina asincrona: MARCIA, finché è premuto, produce passaggio di corrente ARRESTO, finché è premuto, impedisce il passaggio di corrente MARCIA e ARRESTO, finché non sono premuti, determinano o passaggio o assenza di corrente. N.B. due effetti per una sola causa, quindi è una macchina sequenziale; la durata dell ingresso non influisce, quindi è una macchina asincrona Il semaforo è una macchina sincrona: Il GIALLO sostituisce il VERDE solo dopo che è trascorsa una prefissata quantità di tempo. Il ROSSO sostituisce il GIALLO solo dopo che è trascorsa una prefissata quantità di tempo. Il VERDE sostituisce il ROSSO solo dopo che è trascorsa una prefissata quantità di tempo. N.B. effetti diversi a istanti successivi e senza modifica dell ingresso, quindi è una macchina sequenziale sincrona

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80 Analisi del relè ad autoritenuta M Alim. A i I

81 Tabulazione degli esperimenti stato presente stato futuro M A i I Pulsante M Pulsante A Interruttore i Corrente I rilasciato rilasciato aperto NO rilasciato rilasciato chiuso SI premuto rilasciato aperto SI premuto rilasciato chiuso SI rilasciato premuto aperto NO rilasciato premuto chiuso NO premuto premuto aperto SI premuto premuto chiuso SI Situazione stabile stabile instabile stabile stabile instabile inutile inutile

82 Relè con autoritenuta: tabella di flusso e grafo degli stati M,A i M,A I i M=0 A=0 M=0 A=1 M=1 A=0 i=0 i=1 M=0 A=1 M=0 A=0 M=1 A= I

83 astrazione A M bit di stato presente i i(t +Δt) = I(t) Δt I bit di stato futuro retroazione diretta M Alim. A i I