TRIGONOMETRIA Ripasso veloce
Definizioni principali Sia u un segmento con un estremo nell origine e l altro sulla circonferenza di centro l origine e raggio (circonferenza goniometrica) che formi un angolo con l'asse x. Si chiama coseno dell'angolo, e si indica con cos, la lunghezza u x. Si chiama seno dell'angolo, e si indica con sen, la lunghezza u y. Si chiama tangente dell'angolo, e si indica con tg, il rapporto sen cos y u y u u x x
Risulta: sen = cos = cateto opposto a ipotenusa cateto adiacente a ipotenusa Altre funzioni trigonometriche Si possono definire anche altre funzioni trigonometriche, di minore uso, che sono le reciproche di sen, cos e tg : Cosecante di : Secante di : Cotangente di : csc = = sen sec = = cos cos cotg = = = tg sen C ipotenusa cateto opposto a ipotenusa cateto adiacente a cateto adiacente a cateto opposto a A B
Proprietà Il segmento u ha lunghezza, qualsiasi sia la posizione del suo punto finale U sulla circonferenza goniometrica, quindi: cos + sen = - cos - sen sen Poiché tg = risulta cos - tg + Graficamente cos e sen sono l ascissa e l ordinata di U tg è la lunghezza del segmento di tangente alla circonferenza goniometrica tra l asse x e la semiretta di u. y sen u U cos x tg
Valori negli angoli elementari Consideriamo i due triangoli rettangoli delle figure seguenti: A 45 6 B 45 C N P M Il primo è mezzo quadrato, il secondo mezzo triangolo equilatero. Poiché l ipotenusa, in entrambi i casi, vale, si ricava: cos(45 )=sen(45 )= cos (6 )=sen( )= cos ( )=sen(6 )= ;
Gli angoli di 6, 45 e corrispondono ai triangoli OAB, OA B, OA B della figura a fianco e abbiamo visto i valori delle funzioni trigonometriche per tali valori. Per calcolare gli altri angoli elementari osserviamo la seconda figura, che presenta i 4 quadranti. I 4 punti P k hanno ascisse e ordinate uguali in valore assoluto, dunque i triangoli rettangoli,,, 4 sono congruenti, quindi per calcolare i valori delle funzioni negli altri angoli elementari ci riferiamo al primo quadrante e cambiamo opportunamente i segni. Altri angoli elementari
Curiosità Il seno e il coseno degli angoli notevoli si possono ricordare facilmente con la regola mnemonica: sen o cos 4 o 45 o 6 o 4 9 o
Periodicità Sia un angolo acuto in un triangolo rettangolo. Per quanto detto valgono le relazioni: sen=cos(9 -) cos=sen(9 -) sen=-sen(-) cos=cos(-) sen=sen(8 -) cos=-cos(8 -) sen(9 +)=sen(8 -(9 +))=sen(9 -)=cos cos(9 +)=-cos(8 -(9 +))=-cos(9 -)=-sen
Gradi e radianti Quando il punto finale U del segmento u si muove sulla circonferenza goniometrica in verso antiorario, aumenta l angolo α (tra e 6 ) e aumenta di conseguenza anche la lunghezza dell arco di circonferenza tra l asse x e la retta di u, da a π=lunghezza circonferenza. La misura dell arco corrisponde a quella dell angolo: gli angoli sono quindi misurabili anche in radianti (rapporto tra la lunghezza dell arco e quella del raggio della circonferenza). La corrispondenza tra angoli e radianti e il valore delle funzioni trigonometriche negli angoli elementari è data dalla tabella della pagina seguente.
Angoli principali L angolo della prima figura è di, infatti il triangolo giallo è equilatero; tutti gli altri angoli sono uguali al primo; dalla figura è evidente che misura π/6 L angolo della seconda figura è di 45, e tutti gli altri angoli sono uguali al primo, che misura, in radianti, π/4.
Conversione gradi-radianti gradi Rad. gradi Rad. 8 π π/6 π/6 45 π/4 5 5π/4 6 π/ 4 4π/ 9 π/ 7 π/4 π/ 5π/ 5 π/4 5 7π/4 5 5π/6 π/6
Tabella dei valori cosα π/6 7π/4 5π/ π/4 4π/ 5π/4 7π/6 π Rad. - senα - cosα senα - N.D. tgα 5 7 4 5 8 gradi 5π/6 5 - π/4 5 π/ N.D. π/ 9 π/ 6 π/4 45 π/6 tgα Rad. gradi
Consideriamo un triangolo rettangolo e sia a l ipotenusa, b e c i cateti. Risulta: sen= b/a, cos=c/a tg=b/c Per cui b=a sen, c=a cos, c=b tg. Sui triangoli rettangoli Risolvere un triangolo rettangolo significa, dati alcuni elementi, ricavare gli altri elementi non conosciuti. Poiché si parla di triangoli rettangoli, l angolo retto è dato, poi, per conoscere tutto basta avere in più: Ipotenusa e un angolo L ipotenusa e un cateto un cateto e un angolo i due cateti I due angoli invece non caratterizzano il triangolo, ma solo tutti i triangoli simili. B a c b C A
Teoremi sui triangoli Dato un triangolo qualsiasi, di lati a, b, c, e angoli opposti α, β, γ rispettivamente, valgono i seguenti teoremi: Teorema dei seni: a senα Teorema del coseno (o di Carnot): = b sen β = c sen a =b +c -bc cosα b =a +c -ac cosβ c =b +a -ba cosγ È chiaramente una generalizzazione del teorema di Pitagora. γ
Altre proprietà Abbiamo visto che: a senα = b senβ = c sen γ Questa relazione ha un significato geometrico: i tre rapporti rappresentano la lunghezza del diametro del cerchio circoscritto al triangolo. Teorema della corda: ogni corda di una circonferenza ha una lunghezza pari al prodotto della misura del diametro per il seno di qualunque angolo alla circonferenza che insista su tale corda. Teorema dell area: L area di un triangolo qualsiasi di lati a, b, c vale ½ bc senα = ½ ac senβ = ½ ab senγ
Identità trigonometriche Per ogni angolo vale la identità fondamentale: sen + cos = e da questa si ricava che: cos = ± sen e sen = ± cos Nelle slide seguenti presenteremo svariate formule che legano tra loro le funzioni trigonometriche. La loro dimostrazione è abbastanza semplice ed è riportata su ogni libro di matematica delle superiori che preveda la trigonometria.
Formule Dati due angoli qualsiasi e φ valgono le seguenti relazioni: Formule di addizione e sottrazione: sen(±φ)=sen cosφ±cos senφ cos(±φ)=cos cosφ±sen senφ tg + tgφ tg( + φ) = tg( φ) = tg tgφ tg tgφ + tg tgφ Formule di duplicazione: sen=sencos cos=cos -sen = -sen = cos - tg tg() = tg
Formule Altre formule interessanti: Formule di bisezione: sen = ± cos cos = ± + cos tg = ± cos + cos Formule parametriche: chiamata t la tangente di /, è sen(t) = t + t cos(t) = -t + t t tg(t) = t
Formule Queste formule legano somme di funzioni trigonometriche con prodotti delle medesime e viceversa: Formule di prostaferesi: sen + + φ senφ = sen φ cos + φ φ cos + cosφ = cos cos Formule di Werner (o del prodotto): cos cosφ = [ cos( + φ) + cos( φ) ] sen senφ = [ cos( φ) cos( + φ) ] sen cosφ = [ sen( + φ) + sen( φ) ]