Prova scritta intercorso 3/5/ Diploma in Scienza e Ingegneria dei Materiali anno accademico - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci Tempo a disposizione ora e 45 minuti ) Un elettrone si trova in una buca di potenziale finita ma molto profonda, di larghezza L = Å ed energia U = ev. Approssimando la buca ad infinita, determinare l energia di punto zero del sistema (rispetto al fondo della buca), esprimendola sia in J che in ev (a). Per eccitare l elettrone dallo stato fondamentale allo stato con numero quantico n = 3, si può utilizzare l assorbimento dei fotoni di un fascio di luce. Calcolare la lunghezza d onda necessaria (sempre nell approssimazione di buca infinita) (b). Una volta terminata la transizione, ossia quando l elettrone si trova nello stato n=3, qual è la probabilità di trovare l elettrone in un intervallo di larghezza x = L/3 posto al centro della buca (c)? Infine, calcolate l energia del fotone che sarebbe invece necessaria per ionizzare la buca, ossia per liberare l elettrone a partire dallo stato fondamentale (d) [punti: a = 4/; b = 3/; c=/; d=/] ) Un elettrone di energia E = 5 ev si trova in una regione x< in cui l energia potenziale è nulla, ossia U(=, e si muove nel verso positivo dell asse x. Supponete che la funzione d onda sia un pacchetto d onde così esteso da poter essere considerato un onda armonica con ottima approssimazione. Nel propagarsi, la particella incide su un gradino di potenziale di altezza U = E posto in x= (cioè U(=U =E per x>). Determinate la lunghezza d onda di de Broglie associata all elettrone nella regione x< (a). Determinate l espressione delle funzioni d onda che descrivono la particella nelle due regioni x< e x> (b). Determinate i coefficienti che fissano l ampiezza dei termini della funzione d onda corrispondenti all onda riflessa e a quella trasmessa in funzione dell ampiezza dell onda incidente (c). Quali sono le probabilità complessive che la particella venga riflessa o trasmessa sul gradino, al termine del processo (d)? Infine, ad un istante intermedio, quando il pacchetto d onde sta ancora incidendo sul gradino, che probabilità c è che la particella sia localizzata al di là del gradino (ossia nella regione x>) (e)? Per dare una risposta numerica completa a quest ultima domanda, assumete che il pacchetto d onde incidente abbia una lunghezza complessiva x = nm (trascurate l allargamento progressivo del pacchetto) e che salvo per una regione di estensione trascurabile in prossimità degli estremi del pacchetto, l onda possa essere considerata armonica con ampiezza costante. [punti: a = 3/; b=3/; c=/; d=/; e=/] U( U =E x 3) Descrivete in non più di mezza pagina (salvo calligrafie molto larghe) il fenomeno quantistico noto come effetto tunnel. Quando si verifica? Che relazione c è con il comportamento classico? Se possibile, cercate di includere anche in modo approssimato alcuni aspetti quantitativi nella trattazione (ad esempio discutendo come varia la probabilità di trasmissione al variare delle caratteristiche della barriera di potenziale, in particolare larghezza e altezza). Carica dell elettrone e =.6-9 C Costante di Planck ridotta ħ =.5-34 J s Massa dell elettrone m = 9-3 kg
Soluzioni ) Ripercorrendo velocemente i calcoli della buca infinita, troviamo che i k possibili sono: k=nπ/l con n=,, 3..., L energia (assumendo U(= nella regione x [,L]) è data da E=p /(m)=(ħk) /(m), per cui le energie degli stati stazionari sono: E n π ml = n con n=,, 3,... L energia di punto zero è la differenza tra l energia dello stato fondamentale E e il fondo dell energia potenziale. Nel caso nostro U min =, perciò la prima risposta è (a) energia di punto zero: E = (ħπ) /(ml ) =.5-8 J = 9.4 ev Un fotone che una volta assorbito porti l elettrone dallo stato n= allo stato n=3 deve possedere un energia hν pari all energia necessaria E 3 -E, per cui la lunghezza d onda corrispondente è (b) λ = c/ν = hc/(e 3 -E ) = c hc hc hc 8 λ = = = = =.65 m =6.5 nm ν E E E (3 ) 8E 3 Lo stato n=3 è descritto dalla seguente autofunzione normalizzata: φ( = (/L) ½ sin(3πx/l). La densità di probabilità è data da P(= φ( =(/L) sin (3πx/L). Per trovare la probabilità richiesta, si deve fare l integrale di questa densità tra x =L/3 e x =L/3. Tuttavia l integrale non è necessario. Infatti è facile notare che x e x coincidono con due nodi della funzione d onda che delimitano i tre lobi uguali di cui essa è composta. Perciò l integrale corrisponde esattamente ad un lobo mentre l integrale su tutti e tre i lobi deve essere uguale a, essendo la funzione d onda normalizzata. Perciò la probabilità richiesta è esattamente (c) P = /3 = 33% L energia di ionizzazione che il fotone deve fornire è data dalla differenza tra la minima energia in cui la particella è libera di allontanarsi indefinitamente dalla buca e l energia E dello stato fondamentale. La prima energia coincide con U, perché per E U inizia lo spettro continuo, con funzioni d onda che si estendono all infinito e i cui pacchetti corrispondenti descrivono particelle che si allontanano all infinito. Perciò (d) minima energia del fotone per la ionizzazione: U -E = 9.6 ev
) Una elettrone libero di energia E possiede una quantità di moto p=mv legata all energia dalla relazione E=p /(m), per cui p=(me) ½. Dalle relazioni di de Broglie, si ottiene perciò (a) λ = h p = 34 h 6.6 J s = 3 me 8 kg 5.6 9 J =. - m =. Å Lo stesso risultato si trova anche risolvendo l equazione di Schroedinger indipendente dal tempo nella regione x<: d d φ φ( = Eφ( () + φ = k m Le soluzioni indipendenti di questa equazione sono: () dove si è posto me k = (3) φ ( x ) = exp( ± ik (4) [oppure sin(k e cos(k] che corrispondono ad onde armoniche con frequenza angolare spaziale k. Perciò la lunghezza d onda λ è data da λ=π/k, che restituisce lo stesso risultato (a) già trovato. Per rispondere alla domanda (b) dobbiamo risolvere l equazione di Schroedinger indipendente dal tempo per x< e per x>. Nella prima regione, x<, l eq. di S. è la (), e due soluzioni indipendenti sono date dalla (4). Entrambe queste soluzioni non divergono da nessuna parte, per cui sono fisicamente valide. La soluzione generale è perciò la combinazione lineare: (b prima parte) φ( = φ ( = A e ikx + Be -ikx valida per x< (5) Nella regione x>, c è un potenziale costante U(=U =E. Quindi l eq. di S. indipendente dal tempo è d d φ φ( + U φ( = Eφ( (6) χ φ = m (7) dove si è posto m( U E) χ =. Notate che essendo U =E, si ha che k = χ Le soluzioni indipendenti della (7) sono φ(=exp(±χ=exp(±k Di queste due soluzioni, però, quello con il segno + nell esponenziale non è fisicamente valida perché diverge per x. Quindi, la soluzione generale valida è (b seconda parte) φ( = φ ( = Ce -χx = Ce -kx valida per x > (8) che descrive un onda evanescente. La (5) e la (8) insieme forniscono una risposta alla domanda (b).
Adesso dobbiamo trovare le relazioni tra i coefficienti A, B e C. Queste discendono dalle condizioni di raccordo nel punto x=: φ (x=) = φ (x=) A + B = C dφ /(x=) = dφ /(x=) ik (A-B) = -kc che risolte in termini di A forniscono la terza risposta: ik + k i + i (c) B = A = A = ia e C = A = ( i) A ik k i i Per quanto riguarda le probabilità di trasmissione e riflessione, sappiamo che laddove si ha un onda evanescente, una volta terminata l onda incidente, al termine del processo, nella regione x> non c è più nulla (C=) e quindi l onda è stata interamente riflessa. Perciò si ha (d) P riflessione = e P trasmissione = Un altro modo per arrivare a questo stesso risultato è di considerare che per un pacchetto d onde quasi-armonico il rapporto dei moduli quadri delle ampiezze fornisce la probabilità (purché la velocità di propagazione sia la stessa). Un integrale di onde evanescenti non forma un pacchetto d onde armoniche, per cui questo discorso si applica solo all onda riflessa. Quindi abbiamo P riflessione = B/A = -i = e quindi P trasmissione = - P riflessione = Per l ultima domanda, dobbiamo calcolare la probabilità utilizzando l integrale della φ( : kx A Px > = φ( = C e = i A = (9) k k Ora dobbiamo sapere quanto vale A. Utilizzando il fatto che inizialmente c è solo l onda incidente che forma un pacchetto di forma squadrata avente lunghezza x e ampiezza A, la condizione di normalizzazione fornisce A x= da cui A =/ x, e quindi (e) P x> = /(k = λ/(π = /68 =.6-4 =.6 %
3) L effetto tunnel si verifica quando una particella di energia E incide su una barriera di potenziale la cui sommità U max >E. In questo caso, classicamente la particella non avrebbe nessuna possibilità di attraversare la barriera e verrebbe sempre riflessa indietro. Invece, in meccanica quantistica c è sempre una probabilità finita che la particella attraversi la barriera e si ritrovi dall altra parte. Dato che l energia della particella è inferiore al massimo del potenziale, per illustrare il fenomeno si usa l immagine di una particella che scava un tunnel nella barriera per attraversarla. Nella regione in cui U(>E la funzione d onda presenta un andamento esponenziale (onda evanescente). Per il caso di barriera di potenziale quadrata, si può calcolare una formula analitica che fornisce la probabilità di trasmissione. Questa espressione in generale è un po complicata. Però nel caso in cui questa probabilità è sufficientemente piccola (per cui l onda riflessa dalla fine della barriera può essere trascurata e possiamo usare gli stessi calcoli fatti per il gradino di potenziale), la probabilità si riduce sostanzialmente al modulo φ( della funzione d onda alla fine della barriera (nel punto x = L), e la φ( è data dalla sola onda evanescente come è stata calcolata nell esercizio. Perciò si ha P trasmissione exp(-χl) dove χ ha l espressione data nell esercizio (). Questo risultato ci dice che all aumentare della larghezza L della barriera e della sua altezza in energia U, la probabilità P trasmissione diminuisce esponenzialmente con L e con la radice di U -E.