IL CALCOLO COMBINATORIO
A cosa serve???? Wiki says: Il calcolo combinatorio studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti.
In altre parole. Il calcolo combinatorio conta le possibili configurazioni. Risponde alle seguenti domande: "Quanti sono...", "In quanti modi...", "Quante possibili combinazioni..."
COSA VEDREMO OGGI 1. DISPOSIZIONI SEMPLICI E CON RIPETIZIONI 2. PERMUTAZIONI SEMPLICI E CON RIPETIZIONI 3. COMBINAZIONI SEMPLICI E CON RIPETIZIONI
LE DISPOSIZIONI SEMPLICI Abbiamo n oggetti e vogliamo prenderli k per volta I gruppi che formiamo devono distinguersi: o per almeno uno degli oggetti oppure per l ordine degli oggetti
Proviamo a contare un pò: IN QUANTI MODI DIVERSI 3 PERSONE POSSONO OCCUPARE GLI ULTIMI 2 POSTI RIMASTI IN UN CINEMA?
CONTIAMOLE!
Vediamo la formula Dn;k = n (n-1)... (n-k+1)
DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONI Abbiamo n oggetti e vogliamo prenderli k per volta I gruppi che formiamo devono distinguersi: o per almeno uno degli oggetti oppure per l ordine degli oggetti oppure per la ripetizione
Ad esempio Una ragazza deve scegliere con chi uscire tra 3 ragazzi diversi: Marco,Luca e Simone ma ha solo 2 sere libere a settimana In quanti modi può organizzare le sue sere? NB: La ragazza può scegliere di uscire anche sempre con lo stesso ragazzo!
Contiamo le disposizioni con ripetizione di classe 2 su 3 oggetti, cioe le coppie che si possono formare con questi 3 oggetti: (Marco;Marco) (Marco;Luca) (Marco;Paolo) (Luca;Marco) (Luca;Luca) (Luca;Paolo) (Paolo;Marco) (Paolo;Luca) (Paolo;Paolo) Marco Luca Paolo
Abbiamo 9 possibili modi in cui organizzare le serate a seconda delle preferenze!
Vediamo la formula D n;k =n^k
Nell esempio precedente n=3 k=2 D =3²=9
LE PERMUTAZIONI SEMPLICI Si dicono permutazioni semplici di n oggetti tutti i gruppi che si possono formare con gli n oggetti prendendoli ogni volta tutti...
Domani sei a rischio di essere interrogato in tre materie: italiano, matematica e inglese E la fine del quadrimestre ed hai tre ore di tempo decidi di studiare ogni materia per 1 ora.. In quanti modi puoi "permutare" le materie?
CONTIAMOLE
PRIMA ORA SECONDA ORA TERZA ORA Italiano Matematica Inglese Italiano Inglese Matematica Matematica Italiano Inglese Matematica Inglese Italiano Inglese Matematica Italiano Inglese Italiano Matematica
ABBIAMO 6 MODI POSSIBILI PER ORGANIZZARE IL POMERIGGIO!!!
Vediamo la formula Pn = n!
ESEMPI.. COS E IL 5!=5*4*3*2*1=120 FATTORIALE??? 3!=3*2*1=6 20!=?? =20*19*18*17*16*15*14*13*12*11* 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=??? 20!=2432902008176640000
LE PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONI Vediamo cosa succede quando alcuni degli oggetti su cui dobbiamo fare le permutazioni sono uguali come esempio prendiamo il seguente problema.
Quanti anagrammi (anche senza significato) posso fare con le lettere della parola CANNONE?
Sono 7 oggetti (C A N N O N I) ma 3 fra questi sono uguali (N) quindi prese tutte le possibili permutazioni su 7 oggetti dovro' dividere per quelle dove le lettere N non sono distinguibili (come fai a dire se ad esempio la N che compare al primo posto e' la prima o la seconda o la terza?)
Le permutazioni possibili di 7 oggetti sono 7!=5040 Ma dobbiamo dividere per le permutazioni di 3 oggetti uguali (N) 3!=6 La soluzione sarà: P=5040/6=840
Proviamo ora con la parola: MATEMATICA
Contiamo gli oggetti diversi Contiamo gli oggetti uguali IL RISULTATO SARA..???????
Vediamo la formula n oggetti in cui k1,k2,...,kh uguali Pn;k=n! / (k1!*k2!* *kh!)
LE COMBINAZIONI SEMPLICI Abbiamo n oggetti distinti e un numero k <n : Ciascun gruppo deve contenere k degli n oggetti e due gruppi qualsiasi devono differire per almeno un oggetto.
Vediamo un esempio Determinare quante strette di mano si scambiano 4 persone
CONTIAMOLE
Vediamo la formula n (n-1) (n-k+1) C k;n= k!
LE COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI Abbiamo n oggetti distinti e un numero k (anche maggiore di n) In ciascun gruppo un oggetto può essere ripetuto fino a k volte in modo che due gruppi differiscano tra loro per un elemento oppure per la ripetizione..
Facciamo un esempio.. Prendiamo 2 oggetti (A,B) e vogliamo raggrupparli in gruppi da 3: AAA AAB ABB BBB Abbiamo 4 possibili modi!
Vediamo la formula n (n+1) (n+k-1) C n;k= k!
Nell esempio di prima: n=2 k=3 C =(2*3*4)/3!=4 NB: USA QUESTA FORMULA QUANDO HAI k>n