Da sempre gli uomini hanno avuto la necessità di stabilire un sistema di misura comune per facilitare gli scambi commerciali e in generale tutta l attività umana. Nel corso dei secoli si sono succeduti innumerevoli sistemi di misura, molte volte imposti dalle potenze dominanti su tutto il territorio controllato. L evoluzione dell attività scientifica e tecnologica avutasi nel corso del Ventesimo secolo ha reso necessario un sistema di misure universale che fosse comune a tutti gli scienziati del nostro pianeta. Da questa esigenza nacque, nel 1960, il Sistema Internazionale dei Pesi e delle Misure (S.I.). Vennero considerate come unità fondamentali la lunghezza lineare, la massa e il tempo. La lunghezza lineare venne misurata in m (metri), la massa in kg (chilogrammi) e il tempo in s (secondi), tutte grandezze decimali. Successivamente vennero aggiunte la temperatura (gradi Kelvin), la quantità di materia (mole), l intensità di corrente (ampere) e l intensità luminosa (candela) (tabella 1). Tutte le altre grandezze sono derivate dalle unità fondamentali (tabella 2). Grandezza Indice della grandezza Nome Simbolo Lunghezza (MKS) L metro m Massa (MKS) M chilogrammo kg Tempo T secondo s Temperatura T kelvin K Quantità di materia N mole mol Intensità di corrente A ampere A Intensità luminosa C candela cd Tabella 1 Grandezze fondamentali Velocità = m/s carica elettrica (Coulomb) = 1 A s Accelerazione angolare = rad/s 2 dose assorbita (Gray) = 1 Gy = 1 J/kg Accelerazione = m/s 2 esposizione (Sievert) = 1 C/kg Frequenza = 1Hz = 1 s -1 attività (Becquerel) = 1 s 1 potenziale elettrico (Volt) Forza (newton) = 1 N = 1 kg m/s 2 Wb/s = 1 V = 1 W/A Pressione (pascal) = 1 Pa = 1 N/m 2 capacità elettrica (Farad) = 1 F = 1 C/V Lavoro (Energia) (joule) = 1 J = 1 N m flusso magnetico (Weber) = 1 Wb = 1 V s Potenza (watt) = 1W = 1N m/s = 1 J/s induzione magnetica (Tesla) = 1 T = Wb/m 2 Induttanza (henry) = 1 H = 1 V s/a velocità delle informazioni = baud = bit/s Impedenza (ohm) = 1 Ω = 1 V/A viscosità dinamica (Poise) = 1 P = g cm -1 s -1 Quantità di informazioni = bit viscosità cinematica (Stokes) = 1 st = cm 2 s -1 Tabella 2 Alcune grandezze derivate 1
Figura 1 Un calibro Le grandezze possono essere di due tipi: grandezze estensive e grandezze intensive. Le grandezze estensive sono legate alle caratteristiche dimensionali della grandezza stessa. Esempi di grandezze estensive sono la lunghezza, il volume, il peso. Le grandezze estensive sono additive perché sono quantità che si possono sommare. Se, ad esempio, su una bilancia ad un corpo da 1 chilogrammo aggiungiamo un altro corpo da 1 chilogrammo, la massa finale dei due corpi sarà di 2 chilogrammi. Le grandezze intensive viceversa non sono legate alle caratteristiche dimensionali. Sono esempi di grandezze intensive la temperatura, la densità, la pressione. Esse non sono grandezze additive perché non si possono sommare. Per esempio, se si mescolano due liquidi che hanno la stessa temperatura, la temperatura finale sarà sempre la stessa e non il doppio. 10 2 yotta Y 10-1 deci d 10 21 zetta Z 10-2 centi c 10 18 exa E 10 - milli m 10 15 peta P 10-6 micro 10 12 tera T 10-9 nano n 10 9 giga G 10-12 pico p 10 6 mega M 10-15 femto f 10 kilo k 10-18 atto a 10 2 etto h 10-21 zepto z 10 deca da 10-2 yocto y 1 - - Tabella Multipli e sottomultipli del Sistema Internazionale dei pesi e delle misure 2
La notazione scientifica I numeri che vediamo nella colonna di sinistra della tabella sono espressi con la notazione scientifica sotto forma di multipli di esponenziali in base 10. Il prefisso del multiplo kilo significa mille: 1.000 = 10 10 10 = 10 Viceversa i sottomultipli hanno esponenziale negativo come milli (un millesimo): 1 / (10 10 10) = 1 / 1.000 = 10 - Esempi: trasformare il numero 1.2.567.891.112 con la notazione scientifica. Si sposta la virgola a sinistra ponendola alla destra del primo numero. Se si considerano per esempio tre cifre decimali e si arrotonda alla quarta si ottiene 1,25. Si moltiplica il numero così trovato per 10 12 in quanto la virgola è stata spostata a sinistra (esponente positivo) di dodici posti. Il numero espresso con la notazione scientifica è 1,25 10 12 ; trasformare il numero 0,000000007695 con la notazione scientifica. In questo caso la virgola si sposta a destra fino a superare il primo numero diverso da zero ottenendo con l approssimazione alla terza cifra decimale 7,69. Siccome la virgola è stata spostata di nove posti a destra (esponente negativo) si deve moltiplicare il numero 7,69 per 10-9, ottenendo così 7,69 10-9. Misure e cifre significative William Thomson Lord Kelvin sosteneva che se si vuole capire realmente un fenomeno scientifico bisogna misurarlo. La misura quindi è una parte importante dell indagine scientifica, perché solamente quantificando numericamente le caratteristiche di un determinato evento naturale lo possiamo capire e interpretare. Le misure reali non sono mai esatte perché nell effettuazione della misura si commettono sempre errori dovuti sia ai limiti della strumentazione utilizzata che all imperizia del misuratore. Le misure che si possono effettuare possono essere più o meno accurate e/o precise. Differentemente dal linguaggio comune, la precisione è la capacità di ripetere una misura (ovvero: effettuando più misure dello stesso tipo si ottengono valori vicini numericamente). Il fatto che la misura sia precisa non vuol sempre dire che essa è vicina al valore vero: questa caratteristica delle misure si chiama accuratezza.
Le misure Numero della misura Figura 2 Figura Figura Tiri poco accurati (perché in buona parte lontani dal centro) e poco precisi (perché dispersi) Tiri poco accurati (perché lontani dal centro) ma precisi (perché vicini) Tiri molto accurati e precisi Misura 1 0,727 2 0,728 0,699 0,729 Dei tre valori restanti si effettua la media: M = (0,727 + 0,728 + 0,729) / = 0,728 Tabella E sempio di misura (in rosso la misura da scartare) Numero Cifre significative 0,00108 0,0108 0,108 60,8 0,1080 60,80 1525,0 5 Tabella 5 N umeri e cifre significa- tive (in rosso) Per spiegare meglio la differenza tra questi concetti paragoniamo l effettuazione di una misura al tiro a segno. Più vicini al centro del bersaglio sono i colpi maggiore sarà l accuratezza. Più vicini invece sono i colpi l un l altro e maggiore sarà la precisione (figure e ). I tiri ideali (figura ) sono quelli più vicini al centro (maggiore accuratezza) e nello stesso tempo più vicini tra loro (maggiore precisione). Quando si effettuano misure in ambito scientifico è bene ripetere le stesse più volte per poter avere un idea sulla loro precisione. Se ad esempio si effettua quattro volte la stessa misura (tabella ) e uno dei quattro valori diverge in maniera significativa, questo valore si deve scartare. La misura viene espressa numericamente utilizzando l unità di misura appropriata. L accuratezza di una misura dipende dal numero di cifre significative che si possono esprimere. Le cifre significative sono le cifre sia unitarie che decimali che hanno un significato fisico e dipendono dalla sensibilità dello strumento che si utilizza nella misura. La sensibilità è la misura minima che lo strumento può effettuare. Ad esempio, se si deve misurare la massa di un corpo e si dispone di una bilancia tecnica che ha una sensibilità di un centesimo di grammo (0,01 g), si può esprimere la misura al massimo con due cifre decimali rispetto al grammo (ad esempio 0,11 g). Se invece lo stesso corpo viene pesato con una bilancia analitica che ha una sensibilità di un decimo di milligrammo (0,0001 g), la stessa misura può essere espressa in maniera più accurata (ad esempio 0,1111 g). Per individuare il numero di cifre significative dobbiamo attenerci alle seguenti regole (tabella 5): 1) i numeri diversi da zero sono cifre significative; 2) gli zeri che stanno a sinistra del primo numero diverso da zero non sono cifre significative; ) gli zeri finali sono cifre significative solo se seguono la virgola (15,000); non sono cifre significative gli zeri non decimali (il numero 15000 ha due cifre significative: 15);
) il risultato di operazioni matematiche tra numeri con diverse cifre significative avrà lo stesso numero di cifre significative dell operando con minori cifre significative. Ad esempio: 6,876 +,657 +,5678 + 1,21 = 16, L approssimazione L approssimazione si effettua per difetto o per eccesso. Se il numero successivo alle cifre considerate va da 0 a si arrotonda il precedente per difetto: 1,22 = 1,2 Se il numero successivo alle cifre considerate va da 5 a 9 si arrotonda il precedente per eccesso: 1,25 = 1,25 Errore assoluto e errore percentuale Come abbiamo precedentemente detto non esiste una determinazione sperimentale assolutamente esatta in maniera incontrovertibile. Esistono soltanto misure accurate, quando sono vicine al valore considerato esatto, e precise quando si effettuano ripetute misure e queste risultano numericamente vicine. Risulta chiaro e nello stesso tempo scontato che l accuratezza di una misura dipende dalla sensibilità dello strumento (quantità minima misurabile dallo strumento) e dalla sua efficienza. Ma dipende anche (in maniera decisiva) dall abilità dell operatore. Consigliamo a tal proposito di svolgere le determinazioni sperimentali con molta attenzione sia per questioni legate al profitto scolastico che per ragioni di sicurezza. L errore in una determinazione sperimentale può essere: assoluto, quando è dato dalla differenza tra il valore della misura sperimentale (M sperimentale) e il dato considerato esatto (M esatta ) (E ass = M sperimentale M esatta ); relativo, quando è espresso sotto forma di percentuale c E rel = M esatta : 100m. L errore, sia assoluto che relativo, può assumere valori sia positivi (M sperimentale > M esatta ) che negativi (M sperimentale < M esatta ). E ass Errore assoluto > 0 Errore relativo > 0 Errore relativo < 0 M sperimentale > M esatta M sperimentale > M esatta M sperimentale < M esatta 5