Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo Universitá di Roma Tor Vergata Lezione 9 A.A. 2016-2017 Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 1 / 52

Interazioni e campi in fisica delle particelle Classicamente, l interazione a distanza è descritta in termini di un potenziale o campo dovuto ad una particella che agisce su un altra. Nella teoria quantistica, essa è formulata in termini dello scambio di quanti specifici (bosoni) associati con il particolare tipo di interazione. Per esempio, le interazioni forti tra due nucleoni sono mediate da mesoni, fra due quark da gluoni, mentre l interazione debole viene mediata dai bosoni W ± e Z 0. Poichè il quanto trasporta energia e momento, le leggi di conservazione saranno soddisfatte solo se il processo dura un tempo limitato dal Principio di Indeterminazione, cioè : E t. Questi quanti transienti sono chiamati virtuali. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 2 / 52

Interazioni e campi in fisica delle particelle L equivalenza tra le due descrizioni su scala macroscopica può essere illustrata considerando il campo elettrostatico tra due cariche Q 1 e Q 2. Nel caso classico, la forza F su Q 2 nel diagramma sotto è attribuita al campo E( r) dovuto a Q 1 : F = E( r) Q 2 = Q 1 Q 2 ˆr r 2 In meccanica quantistica, la forza tra le due cariche è attribuita allo scambio di fotoni virtuali di momento q con cambiamento del momento della carica quando quest ultima emette ed assorbe un fotone. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 3 / 52

Interazioni e campi in fisica delle particelle Il Principio di Indeterminazione lega le dimensioni lineari del sistema, cioè l incertezza nella posizione del fotone, con il momento: q r. Ogni fotone scambiato coinvolge un trasferimento di momento q in un tempo t = r/c, o equivalentemente con una forza dq/dt = c/r 2. Il numero di fotoni emesso ed assorbito da ognuna delle due cariche viene assunto essere proporzionale al prodotto delle cariche, così da ottenere la legge di Coulomb F = Q 1 Q 2 /r 2 come nel caso classico. Il concetto quantistico di emissione ed assorbimento continuo di fotoni virtuali è ne più ne meno fittizio del concetto classico di un campo che circonda la sorgente. Ne il campo ne i fotoni virtuali sono direttamente osservabili; è la forza la sola quantità misurata. Tuttavia, poichè i campi e.m. che si propagano sono realmente quantizzati nella forma di fotoni liberi, la descrizione quantistica come scambio di fotoni virtuali nel caso statico è appropriata per la descrizione delle interazioni su una scala microscopica. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 4 / 52

Teoria di Yukawa delle forze nucleari Il potenziale di Yukawa è un potenziale a portata corta, originariamente introdotto per descrivere l interazione nucleare forte. Infatti, a differenza dell interazione elettromagnetica che agisce a lunga distanza, quella nucleare agisce solo allorchè le particelle sono poste a distanza sufficientemente ravvicinata. L idea fondamentale dovuta a Yukawa è antecedente di molti anni la scoperta del pione. Introduciamo il potenziale di Yukawa nella sua forma più semplice in analogia con il campo elettromagnetico. Il campo scalare A 0 prodotto da una distribuzione di carica qρ( r ), ove ρ( r ) è una densità di probabilità, soddisfa l equazione: 2 A 0 1 2 A 0 c 2 t 2 = q ρ (1) Se la distribuzione della carica è indipendente dal tempo, l equazione si riduce all equazione di Poisson: 2 A 0 = q ρ (2). E noto che il potenziale: A 0 ( r) = 1 4π d 3 r q ρ( r ) r r (3) Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 5 / 52

Teoria di Yukawa delle forze nucleari risolve l equazione di Poisson. Per una carica puntiforme localizzata nell origine, A 0 si riduce al potenziale di Coulomb: A 0 (r) = 1 4π q r (4) Quando Yukawa considerò l interazione tra nucleoni, notò che l interazione elettromagnetica poteva essere un modello, ma essa non decresceva abbastanza rapidamente con la distanza. Per forzare una decrescita più rapida, aggiunse un termine k 2 φ nella (2): ( 2 k 2 ) φ( r) = g ( c) 1 2 ρ( r) (5). Il potenziale elettromagnetico A 0 è stato sostituito dal campo φ e l intensità del campo è determinata dalla sorgente adronica g ρ( r), dove g è l intensità adimensionale (in unità =1, c=1), mentre ρ è una densità di probabilità. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 6 / 52

Teoria di Yukawa delle forze nucleari Notiamo che il segno del termine di sorgente è stato scelto opposto al caso elettromagnetico. La soluzione dell equazione (5) che va a zero all infinito è : g φ( r) = 4π( c) 1 2 e k r r r r ρ( r ) d 3 r (6). Per una sorgente puntiforme adronica posta in x = 0, questa soluzione corrisponde al potenziale di Yukawa: U(r) = φ(r) = g 4π e kr r (7). La costante k può essere determinata considerando l eq. 5 nel caso libero (ad esempio un mesone libero di spin zero) per il quale ρ( r) = 0 e paragonandola all equazione quantizzata corrispondente. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 7 / 52

Teoria di Yukawa delle forze nucleari La sostituzione: E i t p i (8) trasforma la relazione energia-momento E 2 = (pc) 2 + (mc 2 ) 2 nell equazione di Klein-Gordon: [ 1 c 2 2 t 2 2 + ( mc ) ] 2 φ(r) = 0 (9). Per un campo indipendente dal tempo e per ρ( r) = 0, il confronto fra le eq. 9 e 5 dà : k = mc = R 1 La costante k nel potenziale di Yukawa è proprio l inverso della lunghezza d onda Compton del quanto del campo, la cui massa determina il range della forza. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 8 / 52

Teoria di Yukawa delle forze nucleari Inoltre, abbiamo trovato la dipendenza radiale del potenziale nel caso di una sorgente puntiforme. La quantità g è una costante di integrazione identificata con l intensità del punto sorgente. g nella teoria di Yukawa ha lo stesso ruolo della carica in elettrostatica, e dà una misura della carica nucleare forte. Introducendo quindi anche la normalizzazione, il potenziale di Yukawa si scrive come: U(r) = φ(r) = g 4π r e r/r Ipotizzando che la forza tra due nucleoni sia dovuta all emissione di un quanto mediatore dell interazione da parte di un nucleone e all assorbimento dello stesso da parte dell altro, è possibile ricavare la massa del quanto in questione. Conoscendo la portata dell interazione nucleare, è possibile ricavare la massa m del quanto, che risulta circa 290 volte quella dell elettrone. Situandosi a metà fra le masse dell elettrone e la massa di un nucleone, il quanto mediatore dell interazione nucleare fu chiamato mesone. Inoltre, il mesone dovrebbe esistere con carica elettrica o anche neutro, poichè media tutte le possibili interazioni: neutrone-neutrone, protone-protone, neutrone-protone. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 9 / 52

Massa del mesone di Yukawa Consideriamo l interazione protone-neutrone. m 0 t mc 2 t mc 2 R MAX c t = mc Si ritrova che il range della forza è dato dalla lunghezza d onda Compton del quanto associato. Nel caso della forza protone-neutrone: R 1.3 10 13 cm mc 2 = t = c t c c R 197MeV fm = 1.3fm 150 MeV Questa era la massa prevista da Yukawa per il mesone mediatore delle forze nucleari. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 10 / 52

Massa del mesone di Yukawa Il lavoro di Yukawa fu pubblicato nel 1935, sulla rivista giapponese Proc. Phys. Math. Soc., ma non suscitò grande interesse fino a che non fu scoperta, nei raggi cosmici, una particella di massa simile a quella prevista, il muone, chiamato inizialmente mesotrone (1937, esperimento di Neddermeyer e Anderson). La nuova particella fu inizialmente identificata - anche dallo stesso Yukawa - come il mesone mediatore dell interazione nucleare forte, ma un successivo esperimento (1946, esperimento di Conversi, Pancini e Piccioni) dimostrò che si trattava di un oggetto con una probabilità di assorbimento differente da quella prevista. Nel 1947, la scoperta del pione da parte del team del Università di Bristol guidato da Cecil Frank Powell (a cui parteciparono anche il fisico italiano Giuseppe Occhialini e il brasiliano Cesare Lattes) chiarì definitivamente la natura del mesone di Yukawa che fu identificato proprio con il pione. E infatti la massa dei pioni è di questo ordine di grandezza: π + = 140 MeV, π 0 = 135 MeV. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 11 / 52

Propagatore bosonico Si abbia una particella diffusa da un potenziale. L effetto sia osservato attraverso la deflessione angolare della particella o, in modo equivalente, attraverso il momento trasferito q. Operiamo una trasformata di Fourier del potenziale U( r) nello spazio dei momenti q. Avremo: f ( q) = g 0 U( r) e i q r dv Questa funzione di chiama ampiezza di scattering della particella. g 0 è l intrinseca intensità di accoppiamento della particella al potenziale. Per un potenziale centrale, U( r) = U(r). Inoltre: q r = q r cosα U(r) = g 4π r e r/r dv = r 2 dφ sinθdθ dr con R = /mc Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 12 / 52

Propagatore bosonico Si ottiene: f ( q) = 4 π g 0 = g g 0 0 0 U(r) sinqr qr r 2 dr = e mr (eiqr e iqr ) dr. 2 i q f ( q) = g 0 g q 2 + m 2 Questa funzione descrive nello spazio dei momenti l azione di U( r) nello spazio delle coordinate. Sono due descrizioni equivalenti. La funzione descrive lo scattering di una particella con accoppiamento g 0 da un potenziale statico U dato da una sorgente massiva di forza g. La particella incidente è stata diffusa ma non ha perso energia. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 13 / 52

Propagatore bosonico Nei casi reali vengono trasferiti sia energia che momento. La funzione ottenuta rimane valida se noi interpretiamo q come il quadrimomento trasferito q = (E, q), ove q 2 = E 2 q 2, in unità = c = 1. In conclusione, l ampiezza di scattering dovuta allo scambio di un singolo bosone è il prodotto di due fattori di vertice g 0 e g, che descrivono l accoppiamento del bosone alle particelle diffuse e diffondenti, e un termine di propagatore 1 q 2 +m 2, nel formalismo per cui q = ( q, E): f ( q) = g 0 g q 2 + m 2 m è la massa del bosone intermedio e q 2 il quadrato del quadrimomento portato dal bosone intermedio. La sezione d urto di scattering sarà data dal prodotto di f 2 per un fattore dello spazio delle fasi, diviso per il flusso incidente. Vi saranno poi altri fattori legati allo spin delle particelle. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 14 / 52

Il paradigma delle interazioni: il caso elettromagnetico L elettromagnetismo (EM) classico è uno dei successi e dei paradigmi della fisica. Dalla formulazione originaria delle equazioni di Maxwell si è facilmente adattato a una rappresentazione relativistica e poi a una teoria di campo quantizzato. Il successo della teoria EM è dovuto al fatto che è noto in maniera esatta il potenziale che descrive l interazione tra particelle cariche. Gli esperimenti effettuati all inizio del 900 sull emissione di corpo nero, l effetto fotoelettrico, l effetto Compton, ecc., hanno mostrato che il campo elettromagnetico è quantizzato; il quanto del campo EM è il fotone, avente massa m γ = 0, energia E = hν, impulso p = hν/c, spin S = 1. Il fatto che il fotone - avente m γ = 0 - si muove sempre alla velocità della luce c implica che ci sono solo due stati di polarizzazione del fotone (per esempio, polarizzazione circolare destrorsa o sinistrorsa). L elettrodinamica quantistica (QED), che descrive l interazione tra particelle cariche con spin (descritte dall equazione di Dirac) con i quanti (fotoni) del campo (campo elettromagnetico quantizzato, seconda quantizzazione), è stata capace di calcolare con grande precisione molte quantità fisiche (sezioni d urto di processi EM, vite medie, momenti magnetici di elettrone e muone) su un intervallo molto grande di energie. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 15 / 52

La teoria quantistica dell elettromagnetismo Il successo della formulazione di QED (in particolare, nella versione perturbativa dei diagrammi di Feynman) ha permesso la sua estensione all interazione debole e, parzialmente, a quella forte. Negli ultimi cinquanta anni si è prima ipotizzato e poi verificato sperimentalmente che l interazione elettromagnetica e quella debole sono manifestazioni diverse di un unica interazione, l interazione elettrodebole. L unificazione delle due interazioni avviene per energie di collisione maggiori delle masse dei bosoni vettori W +, W, e Z 0, cioè per energie nel c.m. superiori a circa 90 GeV. Per energie inferiori le interazioni elettromagnetica e debole sono separate e diverse. Si pensa che a energie molto maggiori debba avvenire l unificazione dell interazione elettrodebole con quella forte (Grande Unificazione) e poi l unificazione con l interazione gravitazionale. La costante α EM è stata determinata con grande precisione a basse energie. Vedremo che α EM non è in realtà costante, ma aumenta logaritmicamente con l energia nel c.m.: vale 1/137 a energia nulla, 1/128 all energia E cm = 91.2 GeV. Affronteremo questi argomenti verso la fine del corso. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 16 / 52

Rinormalizzabilità Una delle proprietà più importanti della QED è la sua rinormalizzabilità. Questo significa che i termini che producono quantità divergenti, infinite [come i cosiddetti termini di self-energia dovuti a diagrammi del tipo di quelli in (e) ed (f)] possono essere tutti conglobati nella massa m 0 e nella carica e 0 dell elettrone, in modo tale da cancellare le divergenze. Massa e carica possono poi essere ridefinite tramite i valori misurati sperimentalmente. Una seconda importante proprietà della QED è l invarianza di gauge. Per capirne intuitivamente il significato, ricordiamo che in elettrostatica l energia di interazione (che può essere misurata sperimentalmente) dipende dalla differenza di potenziale elettrostatico, e non dal suo valore assoluto. L energia di interazione resta perciò invariante per un qualsiasi cambiamento di scala (di gauge ) del potenziale (il potenziale è determinato a meno di una costante, un gauge globale ). Ricordiamo che abbiamo già dimostrato che l invarianza di gauge locale porta alla conservazione della carica elettrica. Si ritiene che le teorie delle interazioni fondamentali debbano essere teorie di gauge locali rinormalizzabili. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 17 / 52

La costante di accoppiamento Nella teoria quantistica si ritiene che l interazione avvenga tramite lo scambio di un fotone virtuale non osservabile, emesso ad esempio da un elettrone che interagisce con un altro elettone. L elettrone deve rimanere se stesso, in particolare deve conservare in ogni istante il suo spin semintero; la particella scambiata deve perciò avere spin intero: è quindi un bosone (vedremo che i mediatori delle forze hanno spin 1, eccetto il gravitone che ha spin 2). Supponendo che il bosone si muova alla velocità della luce e che abbia massa a riposo nulla, allora può percorrere nel tempo t una distanza r = c t. Sostituendo questo t nella relazione d indeterminazione, si ha E /( t) c/( r). Possiamo dire che l energia d interazione V sia dell ordine di E (per un singolo processo di scambio) e che quindi: E V = α i c/r La costante adimensionale α i caratterizza l intensità dell interazione. Abbiamo ottenuto questa equazione supponendo di scambiare un bosone di massa nulla; quindi le forze dovute a scambio di particelle virtuali di massa nulla debbono decrescere con la distanza r come F dv /dr 1/r 2. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 18 / 52

La costante di accoppiamento Il parametro adimensionale proprio dell interazione elettromagnetica è detto costante di struttura fine (e anche costante di accoppiamento elettromagnetica). Si può determinare uguagliando l equazione scritta prima all energia potenziale coulombiana fra due cariche α i c/r = Kq 2 /r, da cui si ha (intendendo con q = e la carica elettrica dell elettrone) α i = α EM = Ke 2 / c: e2 α EM = = 1/137.1 nel S.I. 4πɛ 0 c La costante adimensionale α EM risulta essere maggiore di quella gravitazionale α G per molti ordini di grandezza. α EM è comunque minore dell unità : questo consente di trattare i processi dovuti all interazione elettromagnetica tramite la teoria perturbativa e di avere buone approssimazioni già agli ordini più bassi. I diagrammi di Feynman sono proprio la rappresentazione grafica dei termini dello sviluppo perturbativo, come discuteremo più avanti. L ordine di approssimazione è dato dal numero di nodi (o vertici) raffigurati; per ognuno di questi interviene un fattore α EM nel calcolo dell ampiezza del processo. La freccia su ogni linea indica la direzione del moto. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 19 / 52

Diagrammi di Feynman I diagrammi di Feynman visualizzano l interazione di particelle con campi quantizzati e sono associati con regole formali per assegnare il vertice di accoppiamento, i termini del propagatore,..., per poter calcolare gli elementi di matrice. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 20 / 52

Diagrammi di Feynman Le figure sopra mostrano i diagrammi di Feynman per i più importanti processi dovuti all interazione elettromagnetica. La figura (a) rappresenta l emissione di un fotone da parte di un elettrone. Il fotone si accoppia all elettrone con un ampiezza α EM. Si dice che è un processo del 1 o ordine. L urto elastico fra due elettroni, rappresentato nella (b), è un processo con due vertici. Il fotone virtuale contribuisce con un termine 1/q 2 di propagatore; q è il momento trasferito da un elettrone all altro. La figura (c) mostra la bremsstrahlung (l emissione di un fotone da parte di un elettrone incidente accelerato dal campo coulombiano di un nucleo, indicato con x). E un processo del terzo ordine: la sezione d urto è proporzionale a Z 2 α 3 EM. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 21 / 52

Diagrammi di Feynman La figura (d) mostra il processo di creazione di una coppia e + e da parte di un fotone che interagisce con il campo coulombiano di un nucleo. Anche questo processo è del terzo ordine. I diagrammi (c) e (d) sono simili: si può ottenere (d) partendo da (c) rimpiazzando la linea dell elettrone incidente con quella del positrone uscente e cambiando il fotone γ da uscente in entrante. La figura (e) mostra l emissione e assorbimento di un fotone virtuale da parte di un elettrone, mentre la (f) mostra la creazione di una coppia e + e virtuali e successiva annichilazione. Questi ultimi due diagrammi danno luogo a linee chiuse, con particelle virtuali non osservabili direttamente. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 22 / 52

Interazioni elettromagnetiche classiche L hamiltoniana di una particella non relativistica di massa m e momento p free è data da: H free = p2 free 2 m Vediamo come cambia l hamiltoniana sotto l effetto di un campo e.m.. Introduciamo, come fatto in lezioni precedenti, un potenziale scalare φ ed un potenziale vettore A, legati al campo E e B in questo modo: B = A E = φ A t La nuova Hamiltoniana si ottiene sostituendo all energia ed al momento di particella libera le seguenti espressioni: H free H q φ p free p q c A Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 23 / 52

Interazioni elettromagnetiche classiche L Hamiltoniana diventa quindi: oppure H = 1 2 m ( p q c A) 2 + q φ H = H free + H int + q2 A 2 2 m c 2 dove H free è stata già definita mentre H int è data da: H int = q m c p A + q φ Per tutti i campi con cui si ha a che fare, l ultimo termine dell equazione in rosso è così piccolo che si può trascurare. Se non sono presenti cariche esterne, il potenziale scalare si annulla e la H int può allora essere scritta come: H int ( x) = q m c p A = q c v A Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 24 / 52

Interazioni elettromagnetiche classiche Questa Hamiltoniana è sufficiente per descrivere l energia di interazione di una particella puntiforme non relativistica nel punto x in un campo creato da A e φ. Per molte applicazioni questa H è sufficiente, come ad esempio la descrizione dell assorbimento o emissione di un fotone. Per altre applicazioni, ad esempio l interazione elettromagnetica tra due particelle, l Hamiltoniana va riscritta esprimendo i potenziali in termini di correnti e di cariche che le producono. Invece di derivare le relative equazioni, trattiamo un caso specifico che sarà utile dopo. La situazione più semplice è data da un campo prodotto da una carica q, a riposo in un punto x. Il potenziale è dato da: φ( x) = q x x e l interazione è l energia di Coulomb che ben conosciamo. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 25 / 52

Interazioni elettromagnetiche classiche Se la carica è distribuita su un volume, ad esempio il volume di un nucleo, il potenziale scalare diventerà : φ( x) = q d 3 x ρ ( x ) x x La carica contenuta in un volume d 3 x al punto x è data da q ρ ( x )d 3 x. L interazione di una particella puntiforme con un potenziale vettore è data dall espressione che abbiamo visto prima: H int ( x) = q m c p A = q v A c Se però anche la particella che interagisce ha una struttura estesa di carica q ρ( x), il fattore q v dell equazione precedente deve essere sostituito da: q d 3 x ρ( x) v( x) Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 26 / 52

Interazioni elettromagnetiche classiche Possiamo introdurre il vettore j( x) in questo modo: q ρ( x) v( x) = q j( x) dove q j( x) è la densità di corrente carica, ovvero la carica che fluisce attraverso l unità di area per unità di tempo. Con questa nuova grandezza, la H int diventerà : H int ( x) = q d 3 x j( x) c A( x) Questa è una delle equazioni di base per molti calcoli di interazione elettromagnetica, dove compare il famoso prodotto j( x) A( x). Adesso mettiamo insieme struttura estesa della carica che produce il campo con struttura estesa della carica che interagisce. Il potenziale vettore prodotto da una densità di corrente carica q j ( x ) è dato da: A( x) = q c d 3 x j ( x ) 1 x x Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 27 / 52

Interazioni elettromagnetiche classiche Inserendo questo nell ultima equazione sulla H int, avremo definitivamente: H int ( x) = q q d 3 x d 3 x j( x) j ( x 1 ) c x x Questa equazione, detta di interazione corrente-corrente, fu scritta per la prima volta da Ampere. Un ulteriore equazione, utile nella fisica subatomica, è l equazione di continuità. Le equazioni di Maxwell mostrano che la densità ρ e la densità di corrente j soddisfano la seguente equazione: ρ t + j = 0 L equazione di continuità implica la conservazione totale della carica. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 28 / 52

Scattering elettrone - protone e + p e + p Riscriviamo la hamiltoniana elettromagnetica completa in linguaggio quadrivettoriale: H em = q d 3 x (c ρφ j c A) = q d 3 x j µ A µ c Abbiamo che: H em j µ (e) A µ = 1 q 2 j µ(e) j µ (p) Infatti, se A = e i q r, si avrà : 2 A µ = j µ (p), ma 2 A µ = q 2 e i q r = q 2 A µ per cui : A µ = 1 q 2 j µ (p) Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 29 / 52

Scattering elettrone - protone L interazione si scriverà allora come: H em = 1 q 2 j µ(e) j µ (p) e questo è rappresentato dal seguente diagramma di Feynman: Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 30 / 52

Scattering e + e µ + µ Come esempio di un processo elettromagnetico la cui sezione d urto è calcolabile con i diagrammi di Feynman, consideriamo il processo di annichilazione di una coppia elettrone-positrone, con la creazione di una coppia muone-antimuone. La sezione d urto elettromagnetica per la reazione e + e µ + µ è ottenibile all ordine più basso dal solo diagramma di Feynman di figura (a). La sezione d urto è proporzionale a αem 2 (dovuto ai due vertici). L annichilazione e + e avviene generalmente in collisionatori, in cui particella e antiparticella hanno quantità di moto uguale in modulo e opposta in direzione. In questo caso, il momento trasferito relativisticamente invariante q coincide con l energia nel centro di massa s. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 31 / 52

Scattering e + e µ + µ Quindi: σ αem 2 ( c) 2 s La distribuzione angolare risultante per fasci di e + e non polarizzati è : dσ dω = α2 EM 4 s ( c)2 (1 + cos 2 θ ) dove θ è l angolo di emissione del muone nel sistema del centro di massa, fig. (c). I due termini (1 + cos 2 θ ) provengono dal fatto che la coppia iniziale e + e può avere momento angolare totale pari a J = 0 o J = 1, a secondo che il loro spin sia antiparallelo o parallelo. Nel primo caso, la sezione d urto differenziale non presenta dipendenze angolari; nel caso di J = 1, la conservazione del momento angolare richiede che dσ dω cos2 θ. La sezione d urto totale è data da: σ = 4πα2 EM ( c) 2 3 s ed ha quindi un andamento che cala con l energia del c.d.m. come 1/s. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 32 / 52

Scattering e + e µ+ µ Nella distribuzione angolare, si vede un certo spostamento delle misure sperimentali rispetto alle previsioni della QED. Questa leggera asimmetria e dovuta al contributo delle interazioni deboli che non rispettano la simmetria per coniugazione di carica. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 33 / 52

Scattering e + e µ + µ Le distribuzioni angolari sperimentali a energie relativamente basse sono infatti in accordo con la forma (1 + cos 2 θ ), ma si discostano a energie più elevate, ad esempio quando s > 20 GeV. Ciò perchè la reazione e + e µ + µ può avvenire anche attraverso lo scambio di una Z 0, come illustrato nella figura (b); questo processo non è un processo elettromagnetico, bensì debole. In particolare, si tratta di un processo debole a corrente neutra, che aumenta di importanza con l aumentare dell energia nel centro di massa, fino a giungere ad un massimo all energia corrispondente alla massa del bosone Z 0. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 34 / 52

Scattering Møller E lo scattering elastico di due elettroni: e e e e In QED ci sono due diagrammi di Feynman che descrivono il processo: I due processi sono indistinguibili, perchè le particelle sono identiche, quindi nel calcolare la probabilità di questa interazione si dovranno sommare le due ampiezze. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 35 / 52

Scattering Møller Come esempio, vediamo cosa succede se consentiamo a più vertici di essere presenti: molti altri diagrammi di Feynmann possono contribuire allo scattering Møller. Sappiamo però che il loro contributo alla sezione d urto totale è molto piccolo, per via delle costante di accoppiamento. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 36 / 52

Scattering Bhabha E lo scattering elastico di un elettrone e un anti-elettrone (positrone): e + e e + e Anche in questo caso, in QED ci sono due diagrammi di Feynman che descrivono il processo: Diagramma di annichilazione Diagramma di scattering Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 37 / 52

Scattering Bhabha I fotoni virtuali scambiati nei due processi di scattering e di annichilazione sono molto diversi. I fotoni sono virtuali e non soddisfano la relazione E = pc. Diagramma di scattering : l elettrone ed il positrone si scambiano un fotone. Gli elettroni entranti ed uscenti hanno la stessa energia ma momenti opposti: E γ = E e E e = 0 p γ = p e p e = +2 p e Il fotone virtuale ha una massa data da: (m γ c 2 ) 2 = E 2 γ p 2 γ c 2 (m γ c 2 ) 2 = (2 p e c) 2 < 0 Il fotone quindi porta solo momento ma non energia. Il quadrato della massa è negativo: un fotone di questo tipo è detto fotone spacelike. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 38 / 52

Scattering Bhabha Diagramma di annichilazione : l elettrone ed il positrone si annichilano, e per una certa frazione di tempo non esistono più ma esiste solo il fotone virtuale. Questo porta solo energia ma non momento: E γ = E e E e + = 2 E p γ = p e p e + = 0 (m γ c 2 ) 2 = E 2 γ p 2 γ c 2 (m γ c 2 ) 2 = (2E e ) 2 > 0 Il quadrato della massa è positivo: un fotone di questo tipo è detto fotone timelike. Nello scatteting Bhabha entrano sia fotoni spacelike che timelike, e quindi nell ampiezza di interazione entrambe le reazioni vanno considerate. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 39 / 52

Scattering Bhabha Il primo diagramma è analogo a quello per l urto elastico e e ; il secondo diagramma è analogo al diagramma elettromagnetico per e + e µ + µ. Il primo diagramma domina a piccoli angoli di diffusione e dà luogo a una sezione d urto che aumenta rapidamente al diminuire dell angolo. I due vertici contribuiscono all ampiezza M if ciascuno con un fattore α EM ; il propagatore fotonico contribuisce con un termine 1/q 2. Perciò la sezione d urto è dσ proporzionale a: dq M 2 2 if α2 EM q. 4 Per elettroni relativistici la formula corretta è la seguente: dσ dq 2 = 4πα2 EM ( c)2 q 4 c 2 cos 2 θ 2 Ai due diagrammi elettromagnetici va aggiunto il diagramma dovuto all interazione debole, con scambio di Z 0 al posto del fotone. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 40 / 52

Scattering Bhabha Ne risulta una distribuzione angolare complicata, che può essere globalmente schematizzata in due parti: a piccoli angoli l urto è dovuto all interazione elettromagnetica e la sezione d urto ha una dipendenza 1/θ 4 1/q 4 ; a grandi angoli si ha una situazione analoga a quella per e + e µ + µ. La sezione d urto totale per la diffusione Bhabha ha una dipendenza dall energia come 1/s, in modo analogo e per gli stessi motivi dimensionali dell urto e + e µ + µ. E da notare che la grande sezione d urto a piccoli angoli è praticamente dovuta alla sola interazione elettromagnetica ed è calcolabile con una precisione migliore dell 1%. E per questo motivo che i dispositivi necessari alla misura della luminosità ai collisionatori e + e, per esempio al LEP, misurano la sezione d urto Bhabha a piccoli angoli. Tale misura serve alla misura assoluta della sezione d urto. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 41 / 52

I collisori e + e I fasci collisori e + e vengono utilizzati per lo studio di precisione della QED e per lo studio della produzione di particelle (adroni) mediante il processo di annichilazione. Il fotone virtuale prodotto ha spin 1 e parità negativa. Pertanto gli adroni sono prodotti in uno stato ben definito di momento angolare e parità. L energia dei due fasci è il parametro che determina quali coppie particella-antiparticella possono essere prodotte e quali no. In un anello di accumulazione, gli elettroni e i positroni orbitano con la stessa energia E, ma in direzioni opposte ed urtano frontalmente. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 42 / 52

I collisori e + e Nello scattering elettromagnetico di leptoni possono essere create molte altre particelle: e e + e e +, 2 γ, µ µ +, τ τ +, q q (π π +, π π + π 0, k k +, p p, n n,...) Una variabile scalare convenzionalmente usata è s, il quadrato dell energia nel sistema del centro di massa: s = (p 1 c + p 2 c) 2 = m 2 1c 4 + m 2 2c 4 + 2E 1 E 2 2 p 1 p 2 c 2 In un anello di accumulazione, dove si urtino particelle di energia E: s = 4E 2 Si possono quindi produrre coppie particella-antiparticella con masse fino a 2m = s/c 2 (se prodotte ferme). Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 43 / 52

I collisori e + e Il grosso vantaggio degli esperimenti a fasci incrociati è che tutta l energia dei fasci è disponibile nel sistema del centro di massa. In un esperimento a bersaglio fisso, con m che soddisfa la relazione mc 2 E, s è legata ad E dalla relazione: s 2mc 2 E L energia disponibile nel sistema del centro di massa cresce solo proporzionalmente con la radice quadrata dell energia del fascio. Questo non sorprende, perchè in un esperimento a bersaglio fisso parte dell energia deve essere spesa per conservare l impulso. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 44 / 52

Verifica della QED Consideriamo i seguenti processi: e+ e µ+ µ, τ + τ Ad alte energie, per le quali le masse del muone e del tauone possono essere trascurate, abbiamo gia visto che la sezione d urto totale e data da: σ= 2 4παEM (~c)2 3s Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 45 / 52

Verifica della QED L accordo tra teoria ed esperimento può essere così espresso: ( σ = σ QED 1 + s ) s Λ 2 dove Λ 2 è l energia quadrata fino a dove è valida la QED. Dagli esperimenti si è visto che: Poichè : Λ 500 GeV 1 metro = 5.068 10 15 GeV 1 facilmente possiamo calcolare che 500 GeV corrispondono ad una distanza fino a 0.4 10 18 metri. La QED è quindi valida fino a queste distanze. Questo risultato è un grande successo per la teoria. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 46 / 52

e + e e produzione di quark Se si considera l andamento della sezione d urto di coppie di adroni, in funzione dell energia del centro di massa, si trova ancora un andamento che va come 1/s, come per i leptoni, ma interrotto dalla presenza di molti picchi di risonanza. Questi picchi sono stati a vita breve con numero quantici ben definiti (quelli del fotone virtuale), e li si interpreta come particelle. Nel 1974 venne scoperta la J/ψ (composta da c c), nel 1977 la Y (composta da b b). Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 47 / 52

e + e e produzione di quark Tra le risonanze vi sono però zone piatte dovute alla produzione non-risonante di coppie quark-antiquark. Poichè i quark non sono liberi, la coppia q q prodotta dal fotone virtuale deve necessariamente incontrare un altra coppa q q con cui combinarsi per uscire come particelle libere. Questi accoppiamenti danno origine ad adroni, e questo processo è detto adronizzazione. Possiamo calcolare la sezione d urto del processo di produzione delle coppie q q, che sarà la somma su tutte le possibili coppie di quark che esistono. La σ di produzione della coppia primaria può essere calcolata in analogia a quella di produzione dei muoni. Poichè quest ultima è molto nota con la QED, si introduce il rapporto: R = σ(e+ e adroni) σ(e + e µ + µ ) Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 48 / 52

e + e e produzione di quark Se i quark sono puntiformi, la sezione d urto per la produzione di coppie q q deve essere data da: σ = 4πα EMα EMq ( c) 2 3s dove α EMq è la costante di struttura fine che contiene il quadrato della carica dei quark. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 49 / 52

e + e e produzione di quark e 2 α EM = e2 hc, α EMq = 1 9 hc per d d, α EMq = 4 per uū 9 hc, etc e così possiamo calcolare la α q per tutti gli altri quark. La R sarà scritta allora come: R = σ(e+ e 4παEM adroni) σ(e + e µ + µ ) = 3s ( qi 2) α EM (hc) 2 = 4πα q 2 2 i EM 3s (hc) 2 quindi questo rapporto eguaglia la somma della carica quadrata dei quark coinvolti nell annichilazione, cioè con massa al di sotto dell energia del centro di massa disponibile uguale m < s/2c 2. Ad esempio, per s < 3 GeV, solo i quark u, d ed s possono essere prodotti. Avremo allora che q 2 i = 4/9 + 1/9 + 1/9 = 2/3 e 2 Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 50 / 52

e + e e produzione di quark Sperimentalmente si trovò R = 2. Questa apparente incoerenza fu risolta con l introduzione delle 3 cariche di colore. Il risultato giusto era infatti: 3 q 2 i = 3 (4/9 + 1/9 + 1/9) = 2 Ad ogni risonanza superata, si aggiunge un nuovo quark al calcolo. Se consideriamo i quark u, d, s, c, b: R = 3 [ (2/3) 2 + ( 1/3) 2 + ( 1/3) 2 + (2/3) 2 + ( 1/3) 2] = 3 11/9 = 11/3 in accordo con i dati sperimentali. La misura di R rappresenta un ulteriore modo per determinare la cariche dei quark ed è una conferma dell esistenza di 3 e solo 3 colori. Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universitá di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 51 / 52

e + e e produzione di quark Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Istituzioni Vergata) di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 A.A. 2016-2017 52 / 52