Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Lezione 4 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 1 / 46

2 Meccanica Quantistica: cenni Alla base della Meccanica Quantistica sono i seguenti principi: esistono quantità che possono assumere solo valori discreti (v. il momento angolare degli elettroni negli orbitali atomici e l energia negli spettri atomici, l energia trasportata dai fotoni nel corpo nero e nell effetto fotoelettrico, lo spin delle particelle); la radiazione e.m. ha una doppia natura onda-corpuscolo (come dimostrato dall effetto fotoelettrico e Compton, nei quali il fotone cede energia come una particella). L energia della radiazione e.m. è portata da singoli quanti o fotoni di energia E e impulso p (e lunghezza d onda λ): E = hν p = E c = hν c = h λ dove: λ = c ν I fotoni hanno massa a riposo nulla e viaggiano alla velocità c. N.B. La costante di Planck è molto piccola e vale: (1) h J s R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 2 / 46

3 Meccanica Quantistica: cenni anche le particelle materiali hanno una doppia natura onda-corpuscolo. Ad ogni particella materiale di impulso p è associata un onda di lunghezza d onda λ legata a p dalla relazione di De Broglie: λ = h p (2) N.B. Questa è la stessa relazione che lega la lunghezza d onda e l impulso di un fotone (v. (1)). N.B. Questa relazione vale anche per i corpi macroscopici ma la costante di Planck è talmente piccola che la loro lunghezza d onda è estremamente ridotta e trascurabile alla scala dei corpi macroscopici (v. dopo). la particella materiale viene descritta in termini di una funzione d onda ψ( r, t) che dipende dallo spazio e dal tempo (approccio di Schrödinger alla meccanica quantistica), il cui modulo al quadrato fornisce la probabilità di trovare la particella in un determinato punto dello spazio e a un determinato istante. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 3 / 46

4 Meccanica Quantistica: cenni vale il principio di indeterminazione di Heisenberg per la posizione e la quantità di moto di una particella: quanto maggiore è la precisione nella determinazione di una delle due variabili, tanto minore è quella nella determinazione dell altra: x p dove = h/2π. N.B. Tale principio vale anche nel mondo macroscopico, ma il piccolo valore della costante di Planck fa sì che tale limitazione non abbia praticamente nessuna conseguenza (v. dopo). Più in generale, il principio di indeterminazione afferma che coppie di variabili canonicamente coniugate non possono essere simultaneamente determinate entrambe con la precisione voluta. Un esempio di variabili canonicamente coniugate è costituito per l appunto dalla coppia posizione-quantità di moto. Un altro esempio è quello della coppia energia-tempo : E t h Questo significa che una misurazione di energia che abbia una determinata precisione E richiede una durata di tempo dell ordine di almeno t h/ E o, all inverso, se un sistema ha una durata di vita dell ordine di t, la sua energia sarà determinata con un incertezza dell ordine di almeno E h/ t. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 4 / 46

5 Meccanica Quantistica: cenni Perché le proprietà ondulatorie non sono visibili nei corpi macroscopici? Consideriamo un pallone di massa m = 1Kg che si muove a velocità v = 3.6Km/h = 1.m/s e un elettrone che ha un impulso di 1 GeV/c. Calcoliamo la lunghezza d onda associata al pallone e all elettrone: CORPO MACROSCOPICO CORPO MICROSCOPICO p = mv = 1Kg 1 m s pc = 1Kg 1 m s m s = = Kg m2 = }{{ s 2 } J = ev = MeV λ = h p = 2π c pc = 2π 200MeV fm MeV = m pc λ = 1000MeV = h = 2π c = p pc 2π 200MeV fm = 1.2fm = 1000 MeV = m (N.B. 1 ev = J) La lunghezza d onda del pallone è piccolissima ed è totalmente trascurabile rispetto alle dimensioni dell oggetto stesso e pertanto le sue proprietà ondulatorie non sono osservabili. Quella, invece, dell elettrone, piccola pur essa, è comunque maggiore delle dimensioni dell elettrone stesso ed è comparabile con quelle del nucleo e del nucleone. L elettrone può quindi essere usato come sonda per esplorare il nucleo e il nucleone. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 5 / 46

6 Meccanica Quantistica: Cenni Perché il principio di indeterminazione di Heisenberg non influenza la precisione nelle misure macroscopiche? Se conosciamo ad esempio la posizione di un pallone di diametro d = 0.2m e massa m = 1Kg con una precisione dell ordine di 0.1mm, in base al principio di indeterminazione di Heisenberg l indeterminazione sul suo impulso sarà: p h x = J s m = 6.63 J s m e cioè potremo determinare la sua velocità con una precisione superiore a: v = p m = J s m 1.Kg = m s m s 2 m = 6.63 m s Tale valore estremamente piccolo non rappresenta certamente un limite alla precisione sulla determinazione della velocità, essendo gli errori strumentali sicuramente superiori a questo. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 6 / 46

7 Meccanica Quantistica: Cenni Se vogliamo invece determinare la posizione di un elettrone di impulso dell ordine di 1000 MeV/c, poiché (come abbiamo visto) esso è associabile a lunghezze d onda dell ordine del fm, potremo chiedere di determinare la sua posizione con una precisione dell ordine, ad esempio, del decimo di fm. In tal caso potremo determinare il suo impulso solo con una precisione superiore a: p h x = 2π c MeV fm = = MeV/c x c 0.1fm c Ma questa indeterminazione è dello stesso ordine di grandezza o addirittura superiore all impulso dell elettrone stesso. Quindi se vogliamo determinare con precisione la posizione dell elettrone non possiamo determinare con precisione il suo impulso e viceversa. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 7 / 46

8 Range delle interazioni - Massa del mediatore La diffusione e.m. tra due particelle può essere descritta in termini dello scambio di un fotone che funge da mediatore delle interazioni e.m. La particella 1 di energia E 1 emette un fotone di energia E (violando così il principio di conservazione dell energia) e rincula di p 1 = E/c; la particella 2 lo assorbe e rincula di p 2 = E/c. Il principio di conservazione dell energia può essere violato solo per un tempo massimo t tale che valga il principio di indeterminazione di Heisenberg: E t t E Se r è lo spazio percorso dal mediatore nel tempo t e la sua velocità è c, allora lo spazio che esso potrà percorrere nell intervallo t è: r = t c c E Dato che il fotone mediatore ha massa nulla, l energia minima che esso può trasportare è nulla: pertanto in tale limite il mediatore può percorrere una distanza infinita. La portata dell interazione e.m. ( range ) è infinita. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 8 / 46

9 Range delle interazioni - Massa del mediatore Se invece il quanto che funge da mediatore dell interazione ha massa m (come succede ad esempio nel caso delle interazioni deboli e di quelle nucleari), la minima energia da esso trasportata è pari a: ( E) min = mc 2 e quindi la portata massima dell interazione non potrà essere infinita ma sarà data da: r max c = c ( E) min mc 2 Nel 1935 Yukawa per spiegare il fatto che le interazioni nucleari (nucleone-nucleone) mostravano una portata estremamente ridotta, dell ordine di 2fm, propose l idea che il mediatore di tale interazione fosse una particella dotata di massa. Con questa ipotesi, egli stimò la massa che doveva avere tale mediatore: mc 2 = c 200MeV fm = = 100MeV r max 2fm La massa del pione, che può essere considerato come il portatore delle interazioni nucleone-nucleone, ha effettivamente una massa di 139 MeV. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 9 / 46

10 Potere risolutivo di una particella Per vedere un oggetto occorre illuminarlo con luce di una lunghezza d onda che sia comparabile o inferiore alle dimensioni dell oggetto e che, interagendo con esso, ne venga diffusa tutto intorno, colpendo l occhio. Se l oggetto è più piccolo della lunghezza d onda della luce usata per illuminarlo, esso sarà avvolto dalla luce, che non potrà così interagire con esso. L oggetto non può essere osservato. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 10 / 46

11 Potere risolutivo di una particella Con la luce visibile (λ nm) possiamo risolvere oggetti con dimensioni dell ordine del centinaio di nm (batteri, cellule, virus). Per risolvere l atomo che ha dimensione r atomo m, occorre adoperare i raggi X che hanno lunghezze d onda dell ordine di: λ 10 7 m m Con i raggi γ, che hanno lunghezze d onda inferiori a m, si possono sondare oggetti di dimensioni più piccole, come i nuclei o i nucleoni (r nucleone 1.2fm). R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 11 / 46

12 Potere risolutivo di una particella Dato che una particella dotata di un certo impulso possiede una lunghezza d onda fornita dalla relazione di De Broglie: λ = h p allora per illuminare oggetti molto piccoli, come i nuclei o i nucleoni, si possono adoperare anche particelle materiali di impulso opportuno, che vengono diffuse dalle particelle bersaglio. L occhio viene ovviamente sostituito da rivelatori di particelle, cioà apparecchiature in grado di segnalare il passaggio della particella diffusa. La distanza minima che possiamo sondare con una particella di impulso p è fornita dal principio di indeterminazione di Heisenberg: p x x p = λ 2π La lunghezza d onda λ ci dà quindi una stima della taglia minima che si può sondare con una particella di un certo impulso o, all inverso, ci dice quale impulso deve avere una particella per sondare oggetti di una determinata dimensione. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 12 / 46

13 Potere risolutivo di una particella Ad esempio, possiamo calcolare quale impulso minimo deve avere una particella per poter risolvere l atomo, il nucleo, un nucleone (il protone o il neutrone) o un quark: r atomo m = 10 5 fm p c 200MeV fm pc = MeV = 2.KeV x x 10 5 fm r nucleo 1fm qualche fm (r nucleo = r 0A 1/3 = 1.2A 1/3 fm) p c pc 200MeV fm = decine centinaia di MeV x x 1fm qualchefm r nucleone 1fm p x c 200MeV fm pc = 200MeV x 1fm d interquark m = fm p c pc 200MeV fm = x x fm MeV = GeV centinaio di GeV R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 13 / 46

14 Potere risolutivo di una particella I calcoli mostrati sono solo approssimativi. Andando avanti nello studio della fisica della teoria della diffusione tra due particelle, scoprirete che in realtà il parametro fondamentale per determinare la dimensione minima dell oggetto esplorabile è il quadrato del quadrimpulso trasferito dalla particella proiettile a quella bersaglio, più che l impulso del proiettile. Tuttavia il calcolo ci fornisce già un ordine di grandezza delle energie minime che deve avere un fascio per sondare un determinato bersaglio. Nell esperimento di Rutherford (1911) che portò alla scoperta che le cariche positive sono concentrate in un nucleo che è molto più piccolo dell atomo, furono adoperate particelle α (nuclei di 4 He, cioè 2protoni+2neutroni m α 4m p) di energia cinetica T 2MeV su nuclei di Au, che corrispondono a un impulso p: T = p2 2m α p = 2m αt = 8m pt MeV 2.MeV 126MeV Pertanto la lunghezza d onda associata alle particelle α usate come sonda era: λ = h p = 2π c pc = 2π 200MeV fm 126MeV 10fm = m Esattamente le dimensioni di un nucleo!! R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 14 / 46

15 Potere risolutivo di una particella Pertanto, la diffusione di particelle su un bersaglio rappresenta un fondamentale strumento per studiare le interazioni tra le particelle e per conoscere la struttura interna delle particelle bersaglio, nel caso in cui il proiettile non sia dotato a sua volta di struttura. Scegliendo sonde di natura diversa (fotoni, leptoni, adroni) per sondare un bersaglio, si decide di sondarlo attraerso tipi di interazioni differenti. Ad esempio, se adoperiamo: una sonda leptonica carica (e ±, µ ± ) per studiare un bersaglio adronico (es. elettrone su nucleo o elettrone su protone), la diffusione sarà dovuta alle interazioni elettromagnetiche e non a quelle forti (perché i leptoni sono particelle non composte da quark); è dovuta anche alle interazioni deboli, ma queste sono mascherate dalle ben più intense interazioni e.m.; una sonda leptonica neutra (ν e, ν µ, ν e, ν µ) su un bersaglio adronico, la diffusione sarà unicamente dovuta alle interazioni deboli e non a quelle forti (di nuovo perché i leptoni non sono composti da quark) e neanche a quelle e.m. (perché i neutrini non hanno carica elettrica); pertanto i neutrini sono le sonde privilegiate per studiare gli effetti delle interazioni deboli; una sonda adronica (pioni π ±, kaoni K ±, protoni, antiprotoni) su un bersaglio adronico, la diffusione sarà dovuta principalmente alle interazioni forti. Saranno presenti anche le interazioni e.m. e quelle deboli, ma saranno molto meno intense di quelle forti. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 15 / 46

16 Accelerazione di particelle Le prime scoperte e studi di particelle sono stati effettuati sui raggi cosmici. Successivamente la nascita degli acceleratori ha permesso di estendere la portata di tali indagini e di rendere sistematico lo studio delle proprietà delle particelle. Vennero infatti creati fasci di particelle dell intensità e dell energia desiderata e dedicati a un particolare tipo di studio o di reazioni. È necessario accelerare le particelle per varie ragioni: aumentando l energia della particella diminuisce la sua lunghezza d onda (λ = h/p) e pertanto aumenta il suo potere risolutivo della particella, cioè è possibile esplorare dimensioni più piccole; aumentando l energia delle particelle è possibile creare particelle finali nuove e di massa elevata Gli esperimenti che si realizzano possono essere: - a bersaglio fisso - a fasci collidenti Vediamo che differenza c è tra le energie totali sviluppate nel C.M. nei due casi e le conseguenza che questo ha sull energia di soglia per la produzione di particelle nello stato finale. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 16 / 46

17 Energia totale nel C.M. 1) BERSAGLIO FISSO { p1 = (E 1; p 1) dove: E 1 = m p 2 1 p 2 = (m 2; 0) L energia totale s disponibile nel C.M. è data da: s = (p 1 + p 2) 2 = (E 1 + m 2) 2 p 1 2 = = E m E 1m 2 p 2 1 m 2 1 = m m E 1m 2 s = m m E1m2 (3) L energia totale disponibile nel C.M. cresce in proporzione alla radice quadrata dell energia totale del fascio. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 17 / 46

18 Energia totale nel C.M. Per masse trascurabili rispetto alle energie in gioco (come accade spesso nella fisica delle alte energie), e cioè: la (3) si riduce a: m 1 E 1 m 2 E 1 s 2E1m 2 (4) da cui si evince ancora più chiaramente la dipendenza dalla radice quadrata dell energia totale del fascio incidente. A causa della conservazione del tri-impulso, una parte dell energia cinetica della particella proiettile viene sprecata in energia cinetica delle particelle nello stato finale e l energia totale disponibile è più bassa di quella che si potrebbe ottenere facendo invece collidere due fasci tra loro. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 18 / 46

19 Energia totale nel C.M. 2) FASCI COLLIDENTI Far collidere due particelle con impulsi uguali in modulo e direzione e opposti in verso equivale a trovarsi nel S.R. del C.M. (nel quale infatti l impulso totale delle particelle è nullo): { p1 = (E 1; p ) dove: E 1 = m p 2 p 2 = (E 2; p ) dove: E 2 = m p 2 L energia totale s disponibile nel C.M. è data da: s = (p 1 + p 2) 2 = (E 1 + E 2) 2 ( p p ) 2 = (E 1 + E 2) 2 s = E1 + E 2 (5) L energia totale disponibile nel C.M. cresce linearmente con le energie dei fasci incidenti. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 19 / 46

20 Energia totale nel C.M. Se i due fasci hanno la stessa energia E 1 = E 2 = E (come succede nel caso di due fasci collidenti di particelle che hanno anche la stessa massa oltre che lo stesso modulo di impulso), avremo: s = 2E (6) Dato che il tri-impulso totale è nullo, tutta l energia delle particelle incidenti viene messa a disposizione dell energia disponibile nel centro di massa (e quindi a disposizione della eventuale creazione di nuove particelle, come vedremo tra poco). R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 20 / 46

21 Energia totale nel C.M. FASCI COLLIDENTI (continua) Se le due particelle collidenti non hanno impulsi uguali in modulo e direzione e opposti in verso, allora il calcolo dell energia nel C.M. si complicherà leggermente. { p1 = (E 1; p 1 ) dove: E 1 = m p 2 1 p 2 = (E 2; p 2 ) dove: E 2 = m p 2 2 L energia totale s disponibile nel C.M. è data da: s = (p 1 + p 2) 2 = (E 1 + E 2) 2 ( p 1 + p 2) 2 = = E E E 1E 2 p 2 1 p p 1 p 2 = = m m E 1E 2 2 p 1 p 2 cosθ 12 (7) dove: θ 12 è l angolo tra i vettori p 1 e p 2. La formula (7) si riduce a quella particolare (5), nel caso in cui: p 1 = p 2 = p e θ 12 = π cosθ 12 = 1: s = m m E 1E p 2 = m p 2 + m p 2 +2E 1E 2 = (E 1 + E 2) 2 }{{}}{{} E 2 1 E 2 2 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 21 / 46

22 Energia totale nel C.M. La differenza tra un esperimento a bersaglio fisso e uno a fasci collidenti è quindi evidente in termini dell energia totale disponibile nel C.M. (prendiamo il caso di masse trascurabili rispetto alle energie): ( s) bers.fisso 2E 1m 2 (8) ( s) collid.beams E 1 + E 2 oppure ( s) collid.beams 2E (9) Facciamo un esempio pratico. Consideriamo un fascio di protoni di energia E 1 = 100GeV incidenti su un bersaglio fisso di protoni (m p = 0.938GeV 1.GeV ) e poi consideriamo due fasci collidenti di protoni entrambi di energia 100 GeV e calcoliamo s nei due casi (siamo in un caso in cui la massa a riposo delle particelle è del tutto trascurabile rispetto alle energie in gioco, per cui useremo le (8) e (9)): ( s) bers.fisso 2 100GeV 1.GeV 14.GeV ( s) collid.beams 2 100GeV = 200GeV Per raddoppiare l energia nel C.M. nel caso di un esperimento a bersaglio fisso occorre quadruplicare l energia del fascio incidente; infatti se E = 400GeV abbiamo: ( s) bers.fisso 2 400GeV 1.GeV 28.GeV R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 22 / 46

23 Energia di soglia di una reazione Presa una reazione che prevede la creazione di un certo numero di particelle nello stato finale, si definisce energia di soglia l energia cinetica della particella incidente in corrispondenza della quale le particelle dello stato finale sono prodotte a riposo nel sistema del centro di massa. Tra lo stato iniziale e finale, per la conservazione del quadrimpulso totale, deve conservarsi l energia totale del centro di massa (anche detta massa invariante del sistema): s in = s fin dove: { sin = (p 1 + p 2) 2 s fin = ( n ) 2 i=3 p i = (p 3 + p p n) 2 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 23 / 46

24 Energia di soglia di una reazione In generale s fin calcolato nel C.M. è dato da: s fin = (E3 + E En) 2 ( p 3 + p p n) 2 = (E3 + E En) 2 }{{} 0 dove: Ei = m 2 i + ( p i )2 Nel caso particolare di una reazione in soglia, le particelle dello stato finale vengono prodotte a riposo nel sistema del C.M. e pertanto si ha: p i = 0 i = 3,.., n Ei = m i i = 3,.., n e la corrispondente energia totale in soglia al quadrato ( threshold in inglese) nel C.M. sarà: ( n ) 2 s thr fin = (m 3 + m m n) 2 = m i L energia cinetica minima per la quale la reazione ha luogo si trova imponendo: n s thr in = s thr fin = m i (10) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 24 / 46 i=3 i=3

25 Energia di soglia di una reazione CASO 1) BERSAGLIO FISSO Se nello stato iniziale abbiamo un fascio incidente su un bersaglio fisso, il valore di s thr in è: s thr in Imponiamo l uguaglianza tra s thr in s thr in la (11): = (p thr 1 + p thr 2 ) 2 = (E1 thr + m 2 ) 2 ( p 1 thr ) 2 = = (E1 thr ) 2 + m m 2E1 thr ( p 1 thr ) 2 = m m m 2E1 thr (11) m 2 1 e sthr fin tra stato iniziale e finale (v. (10)) e sostituiamo a s thr in ( n ) = sthr fin = 2 m i i=3 ( n ) 2 m i m m m 2E thr 1 = ( n E1 thr i=3 = m ) 2 i m 2 1 m 2 2 (12) 2m 2 In termini di energia cinetica (N.B. E 1 = T 1 + m 1 ), ciò equivale a: i=3 T thr 1 = ( n i=3 m i) 2 m 2 1 m2 2 2m 2 m 1 = ( n i=3 m i) 2 m 2 1 m2 2 2m 1m 2 2m 2 = = ( n i=3 m i) 2 (m 1 +m 2 ) 2 2m 2 (13) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 25 / 46

26 Energia di soglia di una reazione Bersaglio fisso (continua) Facciamo l esempio di produzione di un unica particella o di due particelle in un esperimento a bersaglio fisso: 1) Reazione A + B C (supponendo: A=proiettile e B= a riposo nel S.LAB.) v. formula (12) E A = ( n i=3 m ) 2 i m 2 A m 2 B = m2 C m2 A m2 B 2m B 2m B N.B. In questo caso particolare non si tratta di un energia di soglia, ma di un energia unica in corrispondenza della quale la reazione con la produzione della particella di massa m C ha luogo; in questo caso infatti la particella creata è unica e quindi nel C.M. può solo essere p C = p A + p B = 0, cioè s thr fin = s fin. Se l energia è diversa da quella indicata e le due particelle si uniscono a formare un unica particella, questa non avrà massa m C ma un altra massa. 2) Reazione A + B C + D (supponendo: A=proiettile e B= a riposo nel S.LAB.): (v. formula (12)) ( n EA,bers.fisso thr = i=3 m ) 2 i m 2 A m 2 B 2m B = (m C + m D ) 2 m 2 A m2 B 2m B R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 26 / 46

27 Energia di soglia di una reazione CASO 2) FASCI COLLIDENTI Se nello stato iniziale abbiamo due fasci collidenti con tri-impulsi uguali in modulo e direzione e opposti in verso, s thr in sarà dato da: s thr in = (pthr 1 + p thr 2 ) 2 = (E1 thr + E2 thr ) 2 ( p 1 thr + p 2 thr ) 2 = (E1 thr + E2 thr ) 2 (14) }{{} 0 Imponiamo l uguaglianza tra s thr in s thr in la (14): e sthr fin tra stato iniziale e finale (v. (10)) e sostituiamo a s thr in (E thr 1 + E thr 2 ) 2 = o, in termini di energia cinetica: ( n ) = sthr fin = 2 m i i=3 ( n i=3 T thr 1 + T thr 2 = m i ) 2 E thr 1 + E thr 2 = n m i (15) i=3 n m i m 1 m 2 (16) i=3 Nel caso in cui i due fasci abbiano anche energia uguale (E 1 = E 2 = E), l energia totale e cinetica di ciascun fascio collidente per dar luogo alla reazione devono essere: n E thr i=3 = m n i T thr i=3 = m i 2m (17) 2 2 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 27 / 46

28 Energia di soglia di una reazione Fasci collidenti Facciamo l esempio di produzione di un unica particella o di due particelle in un esperimento a fasci collidenti: 1) Reazione A + B C (supponendo: A e B con stessa massa e impulsi uguali in modulo e direzione e opposti in verso) (v. formula (17)) n i=3 E = E A = E B = m i = m C 2 2 N.B. In questo caso particolare non si tratta di un energia di soglia, ma di un energia unica in corrispondenza della quale la reazione con la produzione della particella di massa m C ha luogo; in questo caso infatti la particella creata è unica e quindi nel C.M. può solo essere p C = p A + p B = 0, cioè s thr fin = s fin. Se l energia è diversa da quella indicata e le due particelle si uniscono a formare un unica particella, questa non avrà massa m C ma un altra massa. 2) Reazione A + B C + D (supponendo: A e B con stessa massa e impulsi uguali in modulo e direzione e opposti in verso): (v. formula (17)) E thr = E thr A = Ethr B = n i=3 m i 2 = (m C + m D ) 2 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 28 / 46

29 Relatività speciale: Esercizi 1) Calcolare l energia totale e l impulso di un pione carico e di un protone aventi entrambi energia cinetica 200 MeV. Pione carico (m 139MeV ): Relazione energia totale-energia cinetica: Relazione energia totale-impulso: E = T + m = 200MeV + 139MeV = 339MeV E 2 = m 2 + p 2 p = E 2 m 2 = ( )MeV 2 = 309.2MeV Protone (m 938MeV ): Relazione energia totale-energia cinetica: Relazione energia totale-impulso: E = T + m = 200MeV + 938MeV = 1138MeV E 2 = m 2 + p 2 p = E 2 m 2 = ( )MeV 2 = 644.4MeV R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 29 / 46

30 Relatività speciale: Esercizi 2) Calcolare l energia cinetica di un protone avente un impulso di 5 MeV/c (massa del protone m 938MeV/c 2 ). T = E mc 2 = ( pc) 2 + (mc 2 ) 2 mc 2 = (5 MeV = c ) 2 ( c MeV c 2) 2 c 938 MeV c 2 = 2 c 2 = (5MeV ) 2 + (938MeV ) 2 938MeV = = MeV 938MeV = 0.01MeV Avremmo potuto calcolarlo anche con la formula classica, dato che p 2 m 2? Si, infatti: T = p2 (5MeV )2 = 2m 2 938MeV = 0.01MeV R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 30 / 46

31 Relatività speciale: Esercizi R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 31 / 46

32 Relatività speciale: Esercizi 5) Due particelle, entrambe di massa m, collidono testa a testa con velocità entrambe uguali a (3/5)c e si uniscono a formare una particella unica di massa M. Qual è la massa M della particella finale? Soluzione: Stato iniziale Stato finale p 1 = (E; p ) p 3 = (E 3; p 3) p 2 = (E; p ) Per la conservazione del tri-impulso e dell energia abbiamo: p 3 = p p = 0 E 3 = M = 2E Ricaviamo l energia E e la massa M: E = γm = 1 m = 1 1 β 2 1 ( 3 5 ) 2 m = M = 2E = 5 2 m m = 5 4 m Notiamo che la massa della particella finale è superiore alla semplice somma delle masse delle due particelle iniziali. Ciò è possibile perché l energia cinetica delle due particelle iniziali si è trasformata in energia di massa. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 32 / 46

33 Relatività speciale: Esercizi 6) Una particella di massa M decade in due particelle di massa uguale m. A quale velocità si muoveranno le due particelle finali nel sistema di riferimento in cui la particella M è a riposo? Soluzione: Stato iniziale Stato finale p 1 = (M; 0) p 2 = (E 2; p 2) p 3 = (E 3; p 3) m 1 = m 2 = m Dalla conservazione del tri- impulso e dell energia si ha: p 2 + p 3 = 0 p 2 = p 3 = p E 2 = E 3 = E (dato che m 1 = m 2 = m) E 2 + E 3 = 2E = M E = M 2 Le due particelle finali sono emesse back-to-back nel C.M. e, avendo la stessa massa, hanno anche la stessa energia nel C.M. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 33 / 46

34 Relatività speciale: Esercizi Per estrarre la velocità delle particelle finali, possiamo procedere in vari modi equivalenti: a) E = M m p 2 = M 2 m2 + p 2 = M 2 p 2 = M 2 4m M 2 4m p = 2 2 Perché la radice abbia soluzione, occorre che il radicando sia positivo o nullo: M 2 4m 2 0 M 2 4m 2 M 2m Abbiamo trovato la condizione minima (soglia) perché la reazione abbia luogo. Calcoliamo il β (cioè la velocità delle particelle finali): β = p E = M 2 4m 2 2 M 2 = M 2 4m 2 b) Calcoliamo il γ e quindi il β (cioè la velocità delle particelle finali): 1 E = γm = m 1 ( ) 2 E 1 β 2 1 β = 1 β 2 = m2 2 m E β = 1 m2 2 E 2 Ma E = M/2 β = 1 m2 = 1 4m2 M = 2 4m 2 E 2 M 2 M R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 34 / 46 M

35 Relatività speciale: Esercizi 7) Un pione decade in un muone e un neutrino. A quale velocità si muoveranno le due particelle finali nel sistema di riferimento in cui il pione è a riposo? Soluzione: Stato iniziale Stato finale p 1 = (m π; 0) p 2 = (E µ; p µ) p 3 = (E ν; p ν) Dalla conservazione del tri- impulso e dell energia si ha: p µ + p ν = 0 p µ = p ν = p dove: E µ + E ν = m π E µ = m 2 µ + p 2 E ν = m 2 ν + p 2 p Le due particelle finali sono emesse back-to-back nel C.M. ma, non avendo la stessa massa, hanno energie diverse. Sostituendo si ha: m 2 µ + p 2 + p = m π m 2 µ + p 2 = m π p m 2 µ+ p 2 = m 2 π+ p 2 2m π p R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 35 / 46

36 Relatività speciale: Esercizi m 2 µ = m 2 π 2m π p p = m2 π m 2 µ 2m π Per ottenere la velocità del muone e del neutrino (o il loro β il che è lo stesso), ricordiamo la relazione che lega il β all impulso e all energia di una particella: Per il muone: p = m2 π m2 µ 2m π E µ = m 2 µ + p 2 = β µ = pµ E µ = m 2 π m2 µ 2mπ m 2 π +m2 µ 2mπ m 2 µ + ( m 2 π m 2 µ 2m π β = p E ) 2 4m = 2 π m2 µ +m4 π +m4 µ 2m2 π m2 µ = m2 π +m2 µ 4m 2 π 2m π = m2 π m2 µ 0.27 v m 2 µ = 0.27c π +m2 µ Per il neutrino: E ν = p β 1 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 36 / 46

37 Relatività speciale: Esercizi 8) Nell acceleratore Bevatron di Berkeley nel 1955 fu osservato per la prima volta l antiprotone, facendo incidere un fascio di protoni su un bersaglio fisso anch esso di protoni e producendo la seguente reazione: p + p p + p + p + p Qual è l energia di soglia che deve avere il fascio incidente perché la reazione abbia luogo? Soluzione: LAB. Stato iniziale LAB. Stato finale p 1 = (E 1; p 1 ) p i = (E i; p i ) i = 3, 4, 5, 6 p 2 = (m p; 0) dove: E 3 + E 4 + E 5 + E 6 = E 1 + m p p 3 + p 4 + p 5 + p 6 = p 1 C.M. Stato iniziale C.M. Stato finale p 1 = (E ; p ) p i = (Ei ; p i ) i = 3, 4, 5, 6 p 2 = (E ; p ) dove: E3 + E4 + E5 + E6 = 2E p 3 + p 4 + p 5 + p 6 = 0 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 37 / 46

38 Relatività speciale: Esercizi L energia di soglia è quell energia in corrispondenza della quale le particelle finali vengono prodotte a riposo nel sistema del C.M. Pertanto in soglia: ( p 3 ) thr = ( p 4 ) thr = ( p 5 ) thr = ( p 6 ) thr = 0 (Ei ) thr = m 2 i + ( p i )2 thr = mi = mp i = 3, 4, 5, 6 Nell urto si deve conservare l energia totale nel C.M. tra lo stato iniziale e quello finale. Dato che questa è un invariante relativistico (cioè è uguale in tutti i sistemi di riferimento), calcoliamo tale energia totale nel sistema dove è più facile (e anche più logico) calcolarlo nel caso di una reazione alla soglia, e cioè: 1) nel sistema del LAB. per lo stato iniziale (perché è il sistema nel quale il bersaglio è a riposo ed è in questo sistema che ci interessa calcolare l energia cinetica minima che deve avere il fascio); 2) nel sistema del C.M. per lo stato finale (dove tutte le particelle emesse sono a riposo): 1) Stato iniziale (calcolo di s in nel LAB.): s in = (p thr 1 + p thr 2 ) 2 = (E thr 1 + m p) 2 ( p thr 1 ) 2 = = (E1 thr ) 2 + m 2 p + 2E1 thr m p ( p thr 1 ) 2 m 2 p = m 2 p + m 2 p + 2E thr 1 m p = 2m 2 p + 2E thr 1 m p (18) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 38 / 46

39 Relatività speciale: Esercizi 2) Stato finale (calcolo di s fin nel C.M.): (E 3,thr }{{} m p + E 4,thr }{{} m p s fin = (p 3,thr + p 4,thr + p 5,thr + p 6,thr) 2 = + E 5,thr }{{} m p + E6,thr) 2 ( p 3,thr+ p 4,thr+ p 5,thr+ p 6,thr) 2 = }{{} m p = 16m 2 p (19) Uguagliamo la (18) e la (19) per estrarre l energia minima del fascio per produrre la reazione: s in = s fin 2m 2 p + 2E1 thr m p = 16m 2 p E1 thr = 16m2 p 2m 2 p = 14m2 p = 7m p (20) 2m p 2m p In termini di energia cinetica ciò equivale a: T thr 1 = 7m p m p = 6m p R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 39 / 46

40 Relatività speciale: Esercizi 10) Qual è la la vita media di un pione π + con un impulso di 100 GeV/c nel LAB? (N.B. τ π = s e m π = 0.139GeV/c 2 ) Soluzione: dove: τ π = γτ π γ = Eπ m 2 π + p π = 2 = m π m π (0.139GeV/c2 ) 2 c 4 + (100GeV/c) 2 c 2 100GeV 0.139(GeV/c 2 )c GeV 719 τ π = γτ π = s = s R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 40 / 46

41 Relatività speciale: Esercizi 11) A che velocità l energia cinetica di una particella uguaglia la sua energia a riposo? Soluzione: Uguagliandole avremo: Energia cinetica: T = E m = γm m (21) Energia di riposo: E R = m (22) γm m = m γm = 2m γ = 2 Ma γ è legato a β (e quindi alla velocità) dalla relazione: 1 γ = 1 β 2 = 1 1 β 2 γ 1 β2 = 1 γ β = γ = = 2 = 0.87 A una velocità pari a 0.87c l energia cinetica di una particella uguaglia la sua energia a riposo. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 41 / 46

42 Relatività speciale: Esercizi 12) La particella J/ψ (stato legato di un quark c e un antiquark c) può essere prodotta sia in urti protone-protone sia in urti elettrone-positrone (e così infatti questa particella è stata scoperta simultaneamente da due gruppi di ricerca diversi nel 1974) (m J/ψ = 3.097GeV ). a) Calcolare l energia di soglia di un fascio di protoni che incide su un bersaglio fisso di protoni nella reazione: p + p p + p + J/ψ b) Calcolare l energia che devono avere due fasci collidenti di elettroni e positroni di energia uguale per produrre la reazione (N.B. in realtà in questo caso non si tratta di un energia di soglia ma di un energia unica alla quale si verifica la reazione, perché ad energie più basse o più elevate la massa della particella prodotta sarà minore o maggiore): e + + e J/ψ R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 42 / 46

43 Relatività speciale: Esercizi Soluzione a): p + p p + p + J/ψ LAB. Stato iniziale LAB. Stato finale p 1 = (E 1; p 1 ) p 3 = (E 3; p 3 ) (protone) p 2 = (m p; 0) p 4 = (E 4; p 4 ) (protone) p J/ψ = (E J/ψ ; p J/ψ ) (J/ψ) dove: E 3 + E 4 + E J/ψ = E 1 + m p p 3 + p 4 + p J/ψ = p 1 C.M. Stato iniziale C.M. Stato finale p 1 = (E ; p ) p 3 = (E3 ; p 3 ) (protone) p 2 = (E ; p ) p 4 = (E4 ; p 4 ) (protone) p J/ψ = (EJ/ψ; p J/ψ ) (J/ψ) dove: E 3 + E 4 + E J/ψ = 2E p 3 + p 4 + p J/ψ = 0 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 43 / 46

44 Relatività speciale: Esercizi Come abbiamo già visto nell es.8, l energia di soglia è quell energia in corrispondenza della quale le particelle finali vengono prodotte a riposo nel sistema del C.M. Pertanto in soglia: ( p 3 ) thr = ( p 4 ) thr = ( p J/ψ) thr = 0 (E i ) thr = m 2 i + (( p i )thr ) 2 = m i (E 3 ) thr = (E 4 ) thr = m p e (E J/ψ) thr = m J/ψ Come già visto, nell urto si deve conservare l energia totale nel C.M. tra lo stato iniziale e quello finale. e nel caso di una reazione alla soglia, la calcoleremo: 1) nel sistema del LAB. per lo stato iniziale; 2) nel sistema del C.M. per lo stato finale. 1) Stato iniziale (calcolo di s in nel LAB.): s in = (p thr 1 + p thr 2 ) 2 = (E thr 1 + m p) 2 ( p thr 1 ) 2 = = (E thr 1 ) 2 + m 2 p + 2E thr 1 m p ( p thr 1 ) 2 = m 2 p + m 2 p + 2E thr 1 m p = 2m 2 p + 2E thr 1 m p (23) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 44 / 46

45 Relatività speciale: Esercizi 2) Stato finale (calcolo di s fin nel C.M.): (E,thr 3 }{{} m p + E s fin = (p,thr 3 + p,thr 4 + p,thr J/ψ )2 =,thr 4 }{{} m p,thr + EJ/ψ ) 2 ( p,thr 3 + p,thr 4 + p,thr J/ψ }{{} )2 = m J/ψ = (2m p + m J/ψ ) 2 = 4m 2 p + m 2 J/ψ + 4m pm J/ψ (24) Uguagliamo la (23) e la (24) per estrarre l energia minima del fascio per produrre la reazione: s in = s fin 2m 2 p + 2E thr 1 m p = 4m 2 p + m 2 J/ψ + 4m pm J/ψ (25) E1 thr = 4m2 p + m 2 J/ψ + 4m pm J/ψ 2m 2 p = 2m2 p + m 2 J/ψ + 4m pm J/ψ = 12.2GeV 2m p 2m p (26) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 45 / 46

46 Relatività speciale: Esercizi Soluzione b): e + + e J/ψ LAB. Stato iniziale LAB. Stato finale p 1 = (E; p ) p J/ψ = (E J/ψ ; p J/ψ ) p 2 = (E; p ) dove: E J/ψ = E + E = 2E p J/ψ = 0 E J/ψ = m J/ψ Notiamo che il sistema del LAB. coincide con quello del C.M. perché le particelle hanno impulsi uguali in modulo e direzione e opposti in verso e la particella finale, essendo una sola, è necessariamente a riposo. Calcoliamo l energia totale nel C.M. dello stato iniziale e finale e imponiamo che essa si conservi: 1) Stato iniziale (calcolo di s in nel LAB./C.M.): 2) Stato finale (calcolo di s fin nel C.M./LAB.): s in = (p 1 + p 2) 2 = (2E) 2 = 4E 2 (27) s fin = (p J/ψ) 2 = m 2 J/ψ (28) Uguagliamo la (27) e la (28) e troviamo l energia che deve avere il fascio per produrre la J/ψ: s in = s fin 4E 2 = m 2 J/ψ E = m J/ψ 2 = 1.5GeV (29) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 46 / 46