Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Lezione 3 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 1 / 38

2 Libri di testo consigliati Perkins: Introduction to High Energy Physics Burcham and Jobes: Nuclear and Particle Physics B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche: Particelle e Nuclei Griffith: Introduction to Elementary particles Braibant, Giacomelli, Spurio: Particelle e interazioni fondamentali Bettini: Introduction to Elementary Particle Physics Dispense di R. Cester e N. Cartiglia, Università di Torino: cartigli/esercizi/dispense.pdf Dispense di E. Menichetti, Università di Torino: menichet/ Link a menichet/particelle html Relatività ristretta ed esercizi di cinematica relativistica Cap. 1 Perkins: Introduction to High Energy Physics Cap. 3 Griffith: Introduction to Elementary particles Cap. 1 Bettini: Introduction to Elementary Particle Physics cartigli/esercizi/ R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 2 / 38

3 Relatività speciale Perché è necessaria la relatività speciale per descrivere le particelle elementari? Perché le particelle sono soggette a reazioni in cui vengono create o distrutte, pertanto la loro energia di massa fa parte del bilancio energetico globale (massa = forma di energia). Perché in genere le particelle, quando vengono accelerate dagli acceleratori, hanno velocità elevate, prossime a quelle della luce (v c). In tale situazione la meccanica classica non è più applicabile. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 3 / 38

4 Relatività speciale Einstein (1905): tutte le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, cioè in moto relativo traslatorio uniforme; la velocità della luce c è indipendente dal sistema di riferimento e vale: c = m/s ( m/s) da questo consegue che non soltanto le coordinate spaziali, ma anche il tempo t si trasformano passando da un sistema all altro. Infatti, per poter essere c = c in tutti i sistemi di riferimento deve essere t t. l energia totale, la quantità di moto totale e il momento angolare totale si conservano in un sistema isolato; R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 4 / 38

5 Relatività speciale (cenni) Consideriamo due sistemi di riferimento S.R. e S.R. in moto relativo traslatorio e uniforme lungo l asse z con velocità relativa V e le cui origini O e O coincidono all istante t 0 = t 0 = 0 (v. Fig. 1). Supponiamo che dal punto O O all istante t 0 = t 0 = 0 venga emesso un raggio di luce. Questo raggio raggiungerà il punto P al tempo t nel sistema S.R. e al tempo t nel sistema S.R. (N.B. nel caso delle trasformate di Galileo i due istanti coincidono). Il punto P avrà coordinate spaziali P (x, y, z) nel sistema S.R. e P (x, y, z ) nel sistema S.R. (v. Fig. 2). Le velocità del segnale nei due sistemi sono date dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo e cioè: S.R.: c = r x = 2 + y 2 + z 2 S.R. : c = r x t t t = 2 + y 2 + z 2 t Se assumiamo che il segnale abbia la stessa velocità nei due sistemi e cioè c = c, dato che r r t t. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 5 / 38

6 Relatività speciale: Trasformazioni di Lorentz Per la relatività speciale ciascun punto è caratterizzato dalle sue coordinate spaziali e temporale in un determinato sistema di riferimento. Siano: (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ) e (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ) le coordinate di uno stesso evento misurate da due sistemi inerziali S e S. Se il sistema di riferimento S.R. si muove parallelamente all asse z di S.R. con velocità V = βc, imponendo che la seguente espressione rimanga invariante: (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 = (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 (x 2 ) 2 (x 2 ) 2 = invariante (1) si ottengono le trasformazioni di Lorentz che legano le coordinate (x 0, x 1, x 2, x 3 ) di un punto P dello spazio-tempo nel sistema S.R. alle coordinate (x 0, x 1, x 2, x 3 ) che esso ha nel sistema S.R.: x 0 = γ ( x 0 βx 3) t = γ ( t β c x3) x 1 = x 1 x 2 = x 2 x 3 = γ ( βx 0 + x 3) = γ ( x 3 βct ) dove: γ = β = 1 1 β 2 V c (2) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 6 / 38

7 Relatività speciale: Trasformazioni di Lorentz - Limite non relativistico N.B. Nel caso particolare in cui la velocità tra i due sistemi è non relativistica e cioè: V c β 1 avremo: γ = 1 1 β 2 = (1 β2 ) 1/ β2 (N.B.: (1 + x) α x αx) Trascurando i termini di ordine β 2, β 3 e β/c (che sono tutti 1), le trasformate di Lorentz (2) si riducono alle trasformate di Galileo: x 3 = γ ( x 3 βct ) ( ) (x 2 β2 3 βct ) x 3 βct (3) t = γ (t βc ) x3 ( ) (t β2 βc ) x3 t (4) Le trasformate di Galileo sono quindi un caso particolare di quelle di Lorentz, applicabili nel limite non relativistico della meccanica classica. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 7 / 38

8 Relatività speciale: Trasformazioni di Lorentz delle velocità Se differenziamo le coordinate spaziali del punto P (dx 1, dx 2 e dx 3 ) e ne facciamo i rapporti con il differenziale della coordinata temporale (dt ), troveremo come si trasformano le componenti (v x, v y, v z) della velocità del punto P passando dal sistema S.R. al sistema S.R. : dx 1 = dx 1 dx 2 = dx 2 dx 3 = γ ( dx 3 βcdt ) ) dt = γ (dt β c dx3 v x v y v z = dx 1 dt = = dx 2 dt = = dx 3 dt dx 1 = γ (dt β c dx3) dx 2 = γ (dt β c dx3) ( γ ( γ dx 1 /dt 1 V c 2 dx3 dt dx 2 /dt 1 V c 2 dx3 dt ) v = x ) γ (1 Vc 2 vz v ) = y ) γ (1 Vc 2 vz = γ(dx3 βcdt) ( = dt(dx 3 γ dt β ( /dt βc) c dx3) dt 1 β ) = vz βc c dx3 /dt 1 β c vz Riassumendo: v x v = x ) γ (1 Vc 2 vz v y v = y ) γ (1 Vc 2 vz v z = vz βc 1 β c vz R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 8 / 38

9 Relatività speciale: Trasformazioni di Lorentz delle velocità - Casi particolari Esaminiamo due casi particolari: 1 Velocità del punto P lungo l asse z e uguale alla velocità della luce. Nel caso particolare: v x = 0 v x = 0 v y = 0 v y = 0 v z = c v z = vz βc = c βc = c(1 β) = c 1 β c vz 1 β c c 1 β Le trasformazioni forniscono correttamente il risultato che la velocità della luce non cambia passando da un sistema di riferimento all altro. 2 Velocità tra i sistemi di riferimento non relativistica. Nel caso particolare: V c β = V/c 1 β/c 1 e γ 1 ritroviamo la legge di composizione delle velocità delle trasformazioni di Galileo (trascurando il termine β/c 1): v x = v x v y = v y v z = vz βc v 1 β z βc c vz R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 9 / 38

10 Relatività speciale: Quadrivettori Le coordinate spazio-temporali di un punto nello spazio a quattro dimensioni (spazio di Minkowski) possono essere considerate come le quattro componenti di un quadri-vettore, detto controvariante: x 0 = ct x 1 = x x 2 = y x 3 = z x µ = (ct, x, y, z) = (ct; r) µ = 0, 1, 2, 3 Come abbiamo visto, esse si trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale a un altro, secondo le trasformazioni di Lorentz. In generale, chiameremo quadrivettore controvariante un vettore di quattro componenti che, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale a un altro, si trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 10 / 38

11 Relatività speciale: Quadrivettori (continua) Possiamo esprimere le trasformazioni di Lorentz in notazione matriciale. Scriviamo i vettori controvarianti x µ e x µ delle coordinate spazio-temporali del punto P nei sistemi di riferimento S.R. e S.R. come dei vettori colonna: x µ = ct x y z (x ) µ = Il vettore colonna (x ) µ si otterrà applicando al vettore colonna x µ la seguente matrice che definisce le trasformazioni di Lorentz: γ 0 0 βγ Λ µ ν = βγ 0 0 γ ct x y z = γ 0 0 βγ βγ 0 0 γ ct x y z ct x y z (5) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 11 / 38

12 Relatività speciale: Quadrivettori (continua) Possiamo esprimere sinteticamente le equazioni (4) con la seguente notazione: 3 (x ) µ = (Λ µ νx ν ) µ = 0, 1, 2, 3 (6) cioè esplicitamente: (x ) µ = ν=0 3 (Λ µ νx ν ) = Λ µ 0x 0 + Λ µ 1x 1 + Λ µ 2x 2 + Λ µ 3x 3 ν=0 µ = 0 : x 0 = Λ 0 0 x 0 + Λ 0 1 x 1 + Λ 0 2 x 2 + Λ 0 3 x 3 ct = γ ct+ 0 x+ 0 y βγ z µ = 1 : x 1 = Λ 1 0 x 0 + Λ 1 1 x 1 + Λ 1 2 x 2 + Λ 1 3 x 3 x = 0 ct+ 1 x+ 0 y+ 0 z µ = 2 : x 2 = Λ 2 0 x 0 + Λ 2 1 x 1 + Λ 2 2 x 2 + Λ 2 3 x 3 y = 0 ct+ 0 x+ 1 y+ 0 z µ = 3 : x 1 = Λ 3 0 x 0 + Λ 3 1 x 1 + Λ 3 2 x 2 + Λ 3 3 x 3 z = βγ ct+ 0 x+ 0 y+ γ z R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 12 / 38

13 Relatività speciale: Quadrivettori (continua) Il tensore metrico dello spazio-tempo è il tensore che consente di definire la distanza tra due (quadri-)punti nello spazio e il prodotto scalare tra due vettori. Esso è dato dalla seguente matrice: g µν = g µν = g 00 = g 00 = 1 g 11 = g 22 = g 33 = g 11 = g 22 = g 33 = 1 g µν = g µν = 0 se µ ν Il cosiddetto quadri-vettore covariante (con gli indici in basso) si ottiene applicando il tensore metrico g µν al rispettivo vettore controvariante: x µ = 3 g µνx ν (= g µ0 x 0 + g µ1 x 1 + g µ2 x 2 + g µ3 x 3 ) (8) ν=0 Se svolgiamo esplicitamente le quattro equazioni (8) otteniamo che le quattro componenti del vettore controvariante sono: x µ = (ct, x, y, z) (7) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 13 / 38

14 Relatività speciale: Quadrivettori (continua) Nelle equazioni (6), che esprimono le trasformazioni di Lorentz in forma matriciale: (x ) µ = 3 (Λ µ νx ν ) µ = 0, 1, 2, 3 ν=0 si sottintende in generale il simbolo di sommatoria e si scrive: (x ) µ = Λ µ νx ν Lo stesso si può fare per le equazioni (8), che esprimono le trasformazioni per passare dal vettore controvariante a quello covariante: scrivendo: x µ = 3 g µνx ν ν=0 x µ = g µνx ν Ogni volta dunque che vedete due indici ripetuti (l indice ν in questo caso) è sottintesa una somma su quegli indici, cioè si tratta di una notazione abbreviata. Ad esempio: (x ) µ = Λ µ νx ν = Λ µ 0x 0 + Λ µ 1x 1 + Λ µ 2x 2 + Λ µ 3x 3 x µ = g µνx ν = g µ0 x 0 + g µ1 x 1 + g µ2 x 2 + g µ3 x 3 Si indice allora che gli indici ripetuti sono contratti e cioè non figurano a sinistra dell uguale. Solo gli indici non contratti o liberi figurano anche a sinistra dell uguale. Per contrarsi gli indici devono figurare uno in basso e uno in alto. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 14 / 38

15 Relatività speciale: Prodotto scalare e Invarianti di Lorentz Prodotto scalare tra due quadrivettori Il prodotto scalare tra due quadrivettori: A µ = ( A 0, A 1, A 2, A 3) B µ = ( B 0, B 1, B 2, B 3) è definito come il prodotto del vettore covariante del primo per il vettore controvariante del secondo. Ricordando che i rispettivi vettori covarianti sono: A µ = ( A 0, A 1, A 2, A 3) B µ = ( B 0, B 1, B 2, B 3) si ha: A B = A µb µ = 3 A µb µ = A 0 B 0 A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 = A 0 B 0 A B µ=0 Il quadrato di un quadri-vettore è definito come: A 2 = A µa µ = A 0 A 0 A 1 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 = (A 0 ) 2 A 2 Invariante di Lorentz L invariante di Lorentz è una quantità che rimane invariata per effetto di una trasformazione di Lorentz. Si può dimostrare che è un invariante di Lorentz il prodotto scalare tra due qualsiasi quadri-vettori: A B e, come caso particolare, quindi anche il quadrato di qualsiasi quadri-vettore: A 2 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 15 / 38

16 Relatività speciale: Esempi di Quadrivettori e Invarianti di Lorentz 1) Quadrivettore spazio-tempo x µ = (ct, x, y, z) = (ct; r ) Quadrivettore spazio-tempo s 2 = x µx µ = (ct) 2 r 2 Quadrato del Quadrivettore Il quadrato del quadrivettore spazio-tempo rappresenta la distanza al quadrato di un punto di coordinate x µ dall origine. Consideriamo i punti P=(ct P, x P ), Q=(ct Q, x Q), R=(ct R, x R) ed S=(ct S, x S) nel piano (x, ct), come in figura (studiamo per semplicità la sola coordinata spaziale x). La retta delle ascisse (t = 0) rappresenta il presente. Le aree racchiuse tra le due bisettrici x = ±ct al di sotto e al di sopra della retta delle ascisse (punti S e P) rappresentano rispettivamente i punti dello spazio-tempo del passato e quelli del futuro che sono accessibili a un osservatore che si trova in O al tempo t = 0. Le aree esterne a tali bisettrici (punto R) rappresentano i punti inaccessibili all osservatore. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 16 / 38

17 Relatività speciale: Esempi di Quadrivettori e Invarianti di Lorentz Vediamo perché. Per tutti i punti che giacciono lungo le rette bisettrici a ±45, come il punto Q, si ha x = ±ct e quindi: s 2 = (ct) 2 x 2 = (ct) 2 (±ct) 2 = 0 Essi rappresentano l insieme dei punti raggiungibili da un raggio che viaggia a velocità v = c, supponendo che esso si trovi in x = 0 al tempo t = 0. Per tutti i punti interni alle due rette ( cono di luce ), come il punto P, si ha ct > x e quindi: s 2 = (ct) 2 x 2 > 0 perché ct > x Essi rappresentano la zona di spazio-tempo nella quale un osservatore posto in O (t = 0, x = 0) può trovarsi nel futuro (punto P) o dalla quale può essere provenuto dal passato (punto S) viaggiando a una velocità v < c. Per tutti i punti esterni al cono di luce, come il punto R, si ha ct > x e quindi: s 2 = (ct) 2 x 2 < 0 perché ct > x Essi sono punti dello spazio-tempo inaccessibili a un osservatore posto in O perchè egli dovrebbe viaggiare a v > c per poterli raggiungere. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 17 / 38

18 Relatività speciale: Esempi di Quadrivettori e Invarianti di Lorentz In generale, presi due punti P 1 e P 2, di coordinate spazio-temporali: la distanza tra di essi è definita come: Se la distanza s 12 tra di essi è tale che: P 1 = (ct 1, r 1) P 2 = (ct 2, r 2) s 2 12 = c 2 (t 1 t 2) 2 ( r 1 r 2) 2 s ciò significa che i due punti possono essere collegati da un segnale che si propaga alla velocità della luce, o minore di essa, cioè tra di essi vi può essere una relazione di causa-effetto. In altre parole, un segnale che si trova nel punto dello spazio r 1 all istante t 1 può raggiungere il punto dello spazio r 2 all istante t 2, se s Se invece la distanza tra i due punti è tale che: s 2 12 < 0 i due punti non possono essere collegati da un segnale, perché questo dovrebbe propagarsi a velocità superiore a quella della luce, quindi tra di essi non vi potrà mai essere una relazione di causa-effetto. Essendo s 12 un invariante relativistico, il segno di tale quantità sarà lo stesso in tutti i sistemi di riferimento e pertanto se due eventi possono o non possono essere in relazione di causa-effetto in un sistema essi lo saranno anche in tutti gli altri. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 18 / 38

19 Relatività speciale: Esempi di Quadrivettori e Invarianti di Lorentz 2) Quadrivettore velocità e tempo proprio La grandezza dxµ non può costituire un 4-vettore in quanto le differenze di coordinate dt (dx µ ) sono 4-vettori, cioé si trasformano come il 4-vettore posizione x µ, mentre la differenza di tempi (dt) si trasforma come la componente 0 di tale 4-vettore. Possiamo allora introdurre il concetto di tempo proprio τ di un corpo, definito come il tempo misurato da un orologio in quiete rispetto al corpo stesso. Operativamente si può pensare al tempo proprio tra due eventi come l intervallo tra due eventi in quiete rispetto all orologio, che si verificano cioé nello stesso punto. In tal caso l invariante relativistico ds 2 sarà dato da: (ds) 2 = (cdτ) 2 (9) Essendo (ds) 2 un invariante relativistico lo possiamo esprimere in un altro sistema di riferimento in moto con velocità V lungo l asse x 3 rispetto al precedente come: (ds) 2 = (cdt) 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2 = (cdt) 2 (d r) 2 (10) Uguagliando la (9) e la (10), otteniamo che il tempo proprio sarà dato dall equazione: dτ = (cdt)2 (d r) 2 c (11) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 19 / 38

20 Relatività speciale: Esempi di Quadrivettori e Invarianti di Lorentz Definiamo ora il quadrivettore velocità: u µ = dxµ dτ Siccome il tempo proprio, dτ, è un invariante allora u µ si trasforma come x µ. Analogamenente la quantità u µ si trasforma come x µ. Pertanto la quantità u µ u µ è invariante. Consideriamo un sistema inerziale S rispetto al quale la particella é vista muoversi con velocità v. Allora dalla (11) si avrà: dτ = dt 1 1 ( ) 2 d x = dt 1 β c 2 dt 2 = dt (13) γ Pertanto la eq. (12) diventa Ancora si avrà: u µ = γ dxµ dt (12) = γ(c, v) (14) u µ = γ(c, v) u µ u µ = γ 2 (c 2 v 2 ) = γ 2 c 2 (1 β 2 ) = c 2 γ 2 1 = c 2 (15) γ 2 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 20 / 38

21 Relatività speciale: Esempi di Quadrivettori e Invarianti di Lorentz 3) Quadrivettore energia-impulso Anche l energia e il 3-impulso di una particella costituiscono le componenti di un 4-vettore impulso definito nel modo seguente: per cui (mediante l eq. (15)) Definiamo l energia: p µ = mu µ = (γmc, γm v), (m = massa) (16) p µ = mu µ = (γmc, γm v) (17) p 2 = p µ p µ = (mc) 2. (18) E = cp 0 = γmc 2 (19) Per v = 0 E = mc 2 (energia a riposo della particella). Il 3-impulso è dato da: p = γm v (20) Pertanto il 4-impulso può essere così espresso: ( ) p µ E =, px, py, pz = c il cui quadrato è: p 2 = ( ) E c ; p ( ) 2 E p 2 = (mc) 2 (invariante) (21) c R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 21 / 38

22 Relatività speciale: Esempi di Quadrivettori e Invarianti di Lorentz Da qui si ricava la relazione tra massa, 3-impulso ed energia totale di una particella: E 2 = ( pc) 2 + (mc 2 ) 2 E 2 = ( pc) 2 + (mc 2 ) 2 (22) Inoltre possiamo definire l energia cinetica K = E mc 2 = ( pc) 2 + (mc 2 ) 2 mc 2 (23) Naturalmente nel limite classico ritroviamo la usuale definizione di energia cinetica: si ottiene K = p 2 /2m. β = v c = γmv γmc = γmv E/c = p mc = pc mc 2 1 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 22 / 38

23 Relatività speciale: Esempi di Quadrivettori e Invarianti di Lorentz Il quadrivettore p µ si trasforma come il quadrivettore x µ tenendo conto delle analogie: E c t, E 2 c 2 t e p x, p x (24) E = γ (E βp z) p x = p x p y = p y p z = γ (p z βe) dove: γ = β = 1 1 β 2 V c (25) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 23 / 38

24 Relatività speciale: Esempi di Quadrivettori e Invarianti di Lorentz Se il sistema di riferimento S.R. è quello in cui la particella è a riposo avremo: E = mc 2 p x = 0 p y = 0 p z = 0 (26) Prendiamo ora un sistema di riferimento S.R. che si muove con velocità -β lungo l asse z rispetto ad esso (cioè un sistema nel quale la particella viene vista muoversi con velocità β); in tale sistema essa avrà quadri-impulso (sostituire le (26) nelle trasformazioni di Lorentz (25)): E = γ( E ( β)p z ) = γm m 0 p x = 0 p y = 0 p z = γ(p z ( β) E ) = γβm 0 m R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 24 / 38

25 Relatività speciale: Esempi di Quadrivettori e Invarianti di Lorentz 4) Quadrivettore derivata spazio-temporale Le derivate temporale e spaziali costituiscono le componenti di un quadrivettore covariante cosi definito: µ = ( 1 x = µ c t, x 1, x 2, ) ( 1 = x 3 c t, + ) per c = 1 : µ = Il corrispondente vettore controvariante è: µ = ( ) ( ) 1 = x µ c t, 1,, = x 1 x 2 x 3 c t ; per c = 1 : µ = ( ) t ; + ( ) t ; Quadrato dell operatore quadri-gradiente (D Alambertiano): 2 = = µ µ = 2 t 2 2 (27) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 25 / 38

26 Relatività speciale: Dilatazione dei tempi Come conseguenza delle trasformate di Lorentz si ha il fatto che gli intervalli di tempo cambiano da un sistema di riferimento all altro. Questo fatto è particolarmente evidente nel caso del decadimento di una particella in volo. Se τ è la sua vita media quando essa è a riposo, quando si muove di velocità v essa decadrà rispetto all osservatore del laboratorio con una vita media τ : τ = γτ Poiché γ > 1, ciò significa che nel sistema in cui la particella si muove, essa verrà vista decadere dopo un tempo maggiore rispetto alla sua vita media (cioè al tempo di decadimento nel sistema in cui è a riposo). Consideriamo ad esempio il muone che ha τ = 2.2µs. Se esso possiede un energia di 50 GeV, la sua vita media misurata in laboratorio sarà (sapendo che m = 105MeV ): τ = γτ = E m τ = MeV 105MeV τ 500τ = 1.1ms R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 26 / 38

27 Relatività speciale: Unità di misura dell energia Nella fisica classica l energia si misura in Joule (J). Una forma di energia è rappresentata dal lavoro eseguito da una forza F per eseguire uno spostamento x inclinato di un angolo θ rispetto alla forza: L = F x = F x cosθ [L] = [F ][ x] = 1J = 1N 1m In particolare nel caso della forza esercitata dal campo elettrico E su una carica q, la forza è: F = q E e lo spostamento della carica è parallelo alla forza che lo muove (cos θ=1), per cui il lavoro compiuto dal campo sarà: L = F x = q E x = q V [L] = J = [q][ V ] = 1J = 1C 1V }{{}}{{} q E V In fisica nucleare e delle particelle si adopera l elettron-volt (ev ) come unità di misura dell energia: 1eV rappresenta l energia guadagnata da un elettrone quando viene accelerato da una differenza di potenziale di 1 Volt: 1eV = q e }{{} 1V = C 1V = }{{} J (28) C J 1eV = J N.B. Oltre all ev si usano frequentemente i suoi multipli: Relazione ev J 1keV = 10 3 ev 1MeV = 10 6 ev 1GeV = 10 9 ev R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 27 / 38

28 Relatività speciale: Unità di misura dell impulso e della massa Qualche precisazione sulle relazioni Energia-impulso-massa. Il vettore quadrimpulso è: p µ = (E/c; p ) e la formula della relazione energia-impulso-massa è: E 2 = ( p c) 2 + (mc 2 ) 2 o anche E = cioè ( p c) e (mc 2 ) hanno le dimensioni di un energia: ( p c) 2 + (mc 2 ) 2 [ p c] = ev [ p ] = ev ( MeV, GeV ) c c c [mc 2 ] = ev [m] = ev c 2 ( MeV c 2, GeV c 2 ) Abitualmente si lavora nel sistema in cui c = 1. In tale sistema, il quadrimpulso si scrive: e la relazione energia-impulso diventa: p µ = (E; p ) c = 1 E 2 = p 2 + m 2 oppure E = p 2 + m 2 Pertanto, se gli impulsi vengono espressi in MeV/c e le masse in MeV/c 2, per far tornare le unità di misura, nei calcoli occorre sostituire ( p c) ad ogni ( p ) e (mc 2 ) ad ogni (m): Es. β = p E p p c m mc 2 β = p c E R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 28 / 38

29 Relatività speciale: Relazione Kg MeV/c 2 Abbiamo visto la relazione ev J (28): 1eV = J Vediamo ora la relazione Kg MeV/c 2 (MeV/c 2 è l unità di misura della massa). Per fare questo vediamo prima la relazione Kg J: 1J = 1N }{{} 1Kg m s 2 1m = 1Kg Relazione Kg MeV/c 2 1 ev c 2 m m2 1m = 1Kg s2 s 2 = J ( m/s) 2 = J m 2 /s 2 = J s2 m }{{ 2 } Kg 1Kg = 1J s2 m 2 1 ev c 2 = Kg Relazione ev/c 2 Kg = Kg R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 29 / 38

30 Relatività speciale: Esercizi Qualche piccolo accorgimento per fare i calcoli: Far apparire c vicino all impulso e c 2 vicino alla massa: p p c m mc 2 h = J s (costante di Planck) c Km/s = m/s c 200MeV fm N.B. 1fm = m c = hc 2π J s m/s J m = = ev m = ev m = = MeV fm 200 MeV fm N.B. 1fm = m α = e 2 /( c) = 1/137 (costante di struttura fine) e 2 = cα = 200MeV fm 1 = 1.44MeV fm 137 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 30 / 38

31 Relatività speciale: Cinematica CONSERVAZIONE DEL QUADRIMPULSO La conservazione dell energia e del tri-impulso in un sistema chiuso possono essere riassunte nel principio di conservazione del quadri-impulso totale. Consideriamo un sistema di due particelle interagenti: le particelle prodotte nello stato finale devono avere un quadrimpulso totale uguale a quello iniziale. p µ 1 + p µ 2 = n i=3 p µ i µ = 0, 1, 2, 3 µ = 0 E 1 +E 2 = E 3 +E Conservazione dell energia µ = 1 p 1,x +p 2,x = p 3,x +p 4,x +... µ = 2 p 1,y +p 2,y = p 3,y +p 4,y +... Conservazione del tri-impulso µ = 3 p 1,z +p 2,z = p 3,z +p 4,z +... R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 31 / 38

32 Variabili di Mandelstam Consideriamo una reazione nella quale due particelle iniziali di 4-impulso p 1 e p 2 interagiscono e producono due particelle finali di 4-impulso p 3 e p 4. Si definiscono variabili di Mandelstam le seguenti tre quantità: s = (p 1 + p 2 ) 2 = (p 3 + p 4 ) 2 t = (p 1 p 3 ) 2 = (p 2 p 4 ) 2 u = (p 1 p 4 ) 2 = (p 2 p 3 ) 2 Le uguaglianze tra stato iniziale e finale sono dovute alla conservazione dei 4-impulsi totali. Le variabili di Mandelstam sono degli invarianti relativistici (cioè sono uguali in ogni S.R.) in quanto sono il quadrato di 4-vettori e quindi possono essere calcolati nel S.R. nel quale il calcolo risulta più semplice. Solo due delle variabili s, t, e u sono indipendenti. Infatti, le quantità non-triviali che caratterizzano il processo sono in totale sei: p 1 p 2, p 1 p 3, p 1 p 4, p 2 p 3, p 2 p 4, p 3 p 4 dalle quali si devono sottrarre le quattro condizioni dovute alla conservazione energia - impulso : p µ 1 + pµ 2 = pµ 3 + pµ 4 con µ = 0, 1, 2, 3. Si può facilmente dimostrare infatti che: s + t + u = m m2 2 + m2 3 + m2 4. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 32 / 38

33 Cinematica relativistica: Sistema di riferimento del laboratorio (LAB) Consideriamo un urto tra due particelle (1 e 2 nella figura). Con sistema di riferimento del laboratorio si intende di solito il sistema nel quale la particella bersaglio è a riposo (ad esempio la particella 2) e solo la particella proiettile è in moto: { p1 = (E 1; p 1) dove: E 1 = m p 1 2 p 2 = (m 2; 0) L energia e l impulso totali nel sistema del laboratorio saranno pertanto dati da: { E LAB T OT = E 1 + m 2 p T LAB OT = p 1 Se nello stato finale vengono prodotte solo due particelle (3 e 4 nella figura), la conservazione del quadrimpulso impone: { E1 + m 2 = E 3 + E 4 p 1 = p 3 + p 4 R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 33 / 38

34 Cinematica relativistica: Sistema di rif. del centro di massa (C.M.) Il sistema di riferimento del centro di massa è il sistema nel quale l impulso totale è nullo e pertanto le due particelle iniziali (1 e 2 nella figura) hanno tri-impulsi uguali in modulo e direzione ma opposti in verso: p 1 = (E 1 ; p ) dove: E 1 = m ( p ) 2 p 2 = (E 2 ; p ) dove: E 2 = m ( p ) 2 Le energie totali sono diverse se le masse delle due particelle sono diverse. L energia e l impulso totali nel sistema del C.M. saranno pertanto dati da: { E T OT = E1 + E 2 p T OT = 0 Se nello stato finale vengono prodotte solo due particelle (3 e 4 nella figura), la conservazione del quadrimpulso impone: { E 1 + E2 = E3 + E 4 0 = p 3 + p 4 p 3 = p 4 = p back-to-back nel C.M. N.B. Il sistema del laboratorio può coincidere con il C.M. se i due fasci vengono fatti collidere testa a testa con impulsi uguali e opposti. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 34 / 38

35 Cinematica relativistica: Significato della variabile di Mandelstam s nel C.M. Il significato della variabile di Mandelstam s è di facile interpretazione nel sistema di riferimento del C.M. Prese infatti due particelle 1 e 2, i loro tri-impulsi in tale sistema sono uguali e opposti: p 1 = p 2 = p In tale sistema quindi avremo: s = (E1 + E2 ) 2 ( p 1 + p 2 ) 2 = (E1 + E2 ) 2 = (ET OT ) 2 (29) }{{} = p p = 0 ENERGIA TOTALE NEL C.M. La variabile di Mandelstam s rappresenta dunque il quadrato dell energia totale disponibile nel C.M. La variabile di Mandelstam s è il quadrato del quadrimpulso totale iniziale, ma anche di quello finale (per la conservazione del quadrimpulso) ed inoltre è un invariante relativistico: pertanto esso deve essere conservato tra stato iniziale e finale e deve avere lo stesso valore sia nel sistema del C.M. sia nel sistema del LAB. s C.M./LAB in = s C.M./LAB fin Si fa spesso uso di questa relazione per risolvere i problemi di cinematica relativistica. R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 35 / 38

36 Cinematica relativistica: Decadimento di una particella in due particelle Applichiamo i principi di conservazione al caso di una particella che decade in altre due particelle: Mettiamoci nel sistema di riferimento del C.M. che è quello nel quale la particella che decade è a riposo. In tale sistema avremo: Stato iniziale Part. 0: P = (M; 0) Applichiamo i principi di conservazione di energia e impulso: { M = E1 + E 2 = m p 2 + m p 2 Stato finale Part. 1: p 1 = (E 1; p 1) Part. 2: p 2 = (E 2; p 2) 0 = p 1 + p 2 p 1 = p 2 = p e p 1 = p 2 = p (30) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 36 / 38

37 Cinematica relativistica: Decadimento di una particella in due particelle (continua) Alcune considerazioni: 1) Elevando a quadrato entrambi i membri della prima delle due eq. (30) si ha: M 2 = m p 2 + m p (m p 2 )(m p 2 ) = = m m p (m p 2 )(m p 2 ) Il minimo valore possibile per M si ha per p = 0 in corrispondenza del quale si ha: M 2 = m m m 1m 2 = (m 1 + m 2 ) 2 Pertanto la massa della particella genitore deve essere sempre maggiore o uguale della somma delle masse delle particelle figlie : M m 1 + m 2 In particolare, se M = m 1 + m 2, le due particelle vengono emesse con impulso nullo, cioè ferme. 2) Le particelle prodotte escono back-to-back nel C.M. (v. seconda eq. (30)). Le direzioni sono tutte possibili, il modulo invece è fissato e si può ricavare dalla relazione (31). (31) R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 37 / 38

38 Cinematica relativistica: Decadimento di una particella in due particelle (continua) Dimostrate per esercizio che il modulo del vettore impulso delle due particelle è fissato e vale: p = 1 M 2M 4 + (m 2 1 m2 2 )2 2M 2 (m m2 2 ) e che: E 1 = m p 2 = 1 ( M 2 + m 2 1 m 2 2) 2M E 2 = m p 2 = 1 ( M 2 + m 2 2 m 2 1) 2M E 1 + E 2 = M Dal decadimento emergono quindi due particelle back-to-back che hanno energia diversa (se m 1 m 2) ma fissa. Il decadimento a tre corpi, invece, non è monoenergetico (ad esempio è da questa considerazione che si è dedotto che nel decadimento β del neutrone (n p + e + ν e) doveva essere emessa una terza particella, il neutrino (o meglio un anti-neutrino in questo caso), oltre alle due che venivano rivelate, e cioè il protone e l elettrone). R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 38 / 38