Esercizio 1 I mesoni K + possono essere prodotti attraverso la reazione γ + p K + + Λ su protoni fermi.

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1 Esercizio 1 I mesoni K + possono essere prodotti attraverso la reazione γ + p K + + Λ su protoni fermi. Determinare l energia minima del fotone nel laboratorio per cui la reazione avviene Λ decade in volo in un protone e un π, Λ p + π Se la velocità di Λ è 0.8c, determinare il momento massimo del π nel laboratorio e la massima componente del momento nel laboratorio ortogonale alla direzione di volo di Λ Sono note m π = 140 MeV/c 2, m K + = 494 MeV/c 2, m Λ = 1116 MeV/c 2 Esercizio che verrà svolto a lezione 1

2 Esercizio 2 Il possibile decadimento radioattivo del protone è un argomento che suscita molto interesse. Un possibile decadimento è p π 0 + e +. Il pione neutro π 0 decade in 2 fotoni, π 0 γγ. Calcolare l energia massima e minima per i fotoni se il protone decade a riposo. Sono note m π 0 = 135 MeV/c 2, m p = 938 MeV/c 2, m e + = MeV/c 2 Nel sistema di riferimento del protone l energia del π 0 è E π 0 = m2 p + m 2 π 0 m 2 e 2m p = 479MeV e il suo impulso p π 0 = E 2 π 0 m 2 π 0 = 459 MeV. Come visto a lezione, l energia dei fotoni emessi varia da un minimo pari a E min = (E π 0 p π 0 )/2 = 9.7 MeV ad un massimo pari a E max = (E π 0 + p π 0 )/2 = 469 MeV 2

3 Esercizio 3 Un fascio di elettroni incide su un bersaglio fisso producendo la reazione: Si determini: e p ψ(2s) e p ψ(2s) J/ψ η 1. l energia di soglia E min dell elettrone incidente necessaria a produrre la reazione; 2. il 3-impulso massimo della ψ(2s) nel sistema di riferimento del laboratorio quando la reazione è prodotta da elettroni di energia pari a 20 GeV. Si noti che nel centro di massa l energia della ψ(2s) è massima quando la massa invariante della coppia e p è minima, pari cioè alla somma delle masse di elettrone e protone; 3. l impulso della J/ψ nel sistema di quiete della ψ(2s). [m ψ(2s) = MeV/c 2 ; m p = MeV/c 2 ; m e = MeV/c 2 ; m J/ψ = MeV/c 2 ; m η = MeV/c 2 ]. (1) 1. L energia cinetica di soglia è data da: K min = (m ψ(2s) + m e + m p ) 2 (m e + m p ) 2 2m p = m2 ψ(2s) + 2m ψ(2s)(m e + m p ) 2m p 2. L energia della ψ(2s) nel laboratorio è massima quando la sua energia nel sistema del centro di massa è massima e la ψ(2s) è emessa nella direzione di volo dell elettrone. Nel centro di massa l energia è massima quando la massa invariante della coppia e p è minima (pari cioè alla somma delle masse di elettrone e protone). La conservazione dell energia e impulso impone in tal caso: E ψ(2s) = s m2 ep + m 2 ψ(2s) 2 s = s (m e + m p ) 2 + m 2 ψ(2s) 2 s come per il decadimento in due corpi di una particella di massa s. Per elettroni da 20 GeV su protoni a riposo: s = m 2 e + m 2 p + 2E e m p = 6198 MeV (2) β CM = p CM E e = (3) E CM E e + m p γ CM = (4) 3 = MeV

4 quindi Eψ(2S) = 4124 MeV. L impulso corrispondente è p ψ(2s) E = ψ(2s) 2 m2 ψ(2s) = 1849 MeV/c. Dalle trasformazioni di Lorentz: p max ψ(2s) = γ CM ( p ψ(2s) + β CM E ψ(2s)) = MeV/c 3. Nel sistema di quiete della ψ(2s) la J/ψ ha: EJ/ψ = m2 ψ(2s) m2 η + m 2 J/ψ = MeV (5) 2m ψ(2s) p J/ψ = EJ/ψ 2 m2 J/ψ = 199 MeV/c (6) 4

5 Esercizio 4 Esercizio 16 delle dispense di Paramatti 5

6 Esercizio 5 Si vuole studiare la reazione ν + Cl 37 Ar 37 + e per rivelare interazioni di neutrini solari. Il rivelatore contiene 600t di tetracloruro di etile C 2 Cl 4. Calcolare quanti atomi di Ar 37 vengono prodotti al giorno facendo le seguenti assunzioni: la potenza totale emessa sotto forma di neutrini di energia superiore alla soglia della reazione è MeV/s l energia media dei neutrini sopra soglia è 0.9 MeV la distanza Terra-Sole è 150 milioni di km la sezione d urto media dei neutrini attivi per nuclei di Cl 37 è cm 2 l abbondanza isotopica del Cl 37 è circa 25% il peso molecolare del C 2 Cl 4 è 166 g/mol Il flusso di neutrini che originano la reazione sulla terra è Φ = P < E > 1 4πR 2 = MeV/s 0.9 MeV 1 4π( ) 2 cm 2 = ν/scm 2 Il numero di bersagli N C2 Cl 4 è N A N C2 Cl 4 = ρ MassaMolare V = m = MassaMolare Il bersaglio per la reazione è il Cl 37. Siccome ogni molecola di N C2 Cl 4 contiene 4 nuclei di Cl 37 e l abbondanza isotopica del Cl 37 è 25%, N A N Cl37 = N C2 Cl = Quindi: dn r = Φ N Cl37 σ = /s dt e pertanto in un giorno si hanno 1.6 nuclei di Ar 37. 6

7 Esercizio 6 Un bersaglio di Tetraborato di Litio (Li 2 B 4 O 7, massa molecolare g/mol, densità ρ = 2.4 g/cm 3 ) di spessore d = 10 µm viene irraggiato con un fascio di protoni di energia E = 675 kev e potenza P = 6.75 µw, per produrre la reazione: p + 11 B 12 C 3 4 He (7) La sezione trasversa del fascio è contenuta completamente nell area del bersaglio. Un rivelatore che copre il 30% dell angolo solido attorno al bersaglio osserva circa reazioni in un minuto di presa dati. 1. Si calcoli il numero di protoni che arriva sul bersaglio nell unit di tempo; 2. Sapendo che l abbondanza isotopica del 11 B circa 80%, si calcoli il numero dei nuclei di 11 B per unit di volume. 3. Si determini la sezione d urto totale della reazione. 1. Il flusso di fotoni integrato sull area Σ del fascio è: La densità di bersagli è: ΣΦ = P E = 6.75 µw J = s 1 n b = NAρ LiBO A LiBO = cm 3 La rate attesa è quindi min 1 = 450 s 1 = σ Φ Σn b d 0.3 da cui: 450 s 1 σ = P n E b d 0.3 = 0.9 cm 24 = 0.9 barn 7

8 Esercizio 7 Ad un collisore e + e vengono misurate le seguenti reazioni, col relativo numero di eventi: e + e e + e (10 6 eventi) (8) e + e Υ(3S) Υ(1S)π + π ( eventi) (9) e + e Υ(3S) Υ(2S)π + π ( eventi) (10) E noto che la Υ(3S) decade in Υ(1S)π + π con una probabilit del 4.4% e che, all energia considerata e nell intervallo angolare coperto dal rivelatore, σ(e + e e + e ) = 6.5 nb. Si determini: 1. La sezione d urto σ(e + e Υ(3S)) nello stesso intervallo angolare. 2. La probabilità con cui la Υ(3S) decade in Υ(2S)π + π. (11) σ(e + e Υ(3S)) = BR(Υ(3S) Υ(2S)π + π ) = σ(e+ e e + e ) 5 nb (12) = 2.8% (13)